18-19 第2章 2.1 2.1.1 曲线与方程的概念
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程的概念
学习目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．
[自主预习·探新知]
1．曲线与方程的概念
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．
思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示]如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．
思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充
要条件是什么？
[提示] 若点P 在曲线C 上，则F (x 0，y 0)＝0；若F (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上，所以点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0，y 0)＝0.
2．两条曲线的交点坐标
曲线C 1：F (x ，y )＝0和曲线C 2：G (x ，y )＝0的交点坐标为方程组???
F (x ，y )＝0，
G (x ，y )＝0.的实数解． [基础自测]
1．思考辨析
(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x .( )
(2)方程x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．( )
(3)条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙：“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．( )
[提示] (1)√
(2)× x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．
(3)× 必要不充分条件．
2．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
【导学号：33242091】
A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0
C ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x
D ．x －y ＝0与y ＝lg 10x
[答案] D
3．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )
A B C D
[答案] D
[合作探究·攻重难]
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[解](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列
命题中正确的是( )
A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C
B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C
C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程
D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上
B [“曲线
C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、
D 都不正确，B 正确．]
2．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )
A ．直线2x －y ＝0
B ．直线2x ＋y ＋3＝0
C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0
D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0
C [方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，
即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.
∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.]
(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ? ??
??m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值. 【导学号：33242092】
[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，
(2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，
点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M ? ??
??m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，
即? ??
??m 22
＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.
3．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．
[解] ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.
∴k ＝－2a 2－2a ＝－2? ????a ＋122＋12. ∴k ≤12，
∴k 的取值范围是? ??
??－∞，12.
[如何证明已知曲线C 的方程是f (x ，y )＝0?
[提示] 用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，证明中分两个步骤：第一步，设M (x 0，y 0)是曲线C 上任一点，
证明(x 0，y 0)是方程f (x ，y )＝0的解；第二步，设(x 0，y 0)是方程f (x ，y )＝0的任一解，证明点M (x 0，y 0)在曲线C 上．
方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？
【导学号：33242093】
[思路探究] 将方程转化为????? 2x ＋3y －5＝0
x －3≥0或x －3－1＝0，再判断曲线形状．
[解] 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得????? 2x ＋3y －5＝0，
x －3≥0，或者
x －3－1＝0，也就是2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.
方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程1．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线x －y ＝0对称
C [将(－x ，－y )代入xy 2－x 2y ＝2x 方程不变，故选C.]
2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( )
【导学号：33242094】
A ．2
B ．3 C.12 D ．13
D [因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，代入曲线方程可得a ＝13，故选
D.]
3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．
4个点 [由方程得?????
x 2－4＝0y 2－4＝0，表示四个点．] 4．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是________．
两条线段 [由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0，
1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1.
∴曲线表示两条线段．]
5．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过点A (0，－2)，B (1,0)，求a ，b 的值.
【导学号：33242095】
[解] 由已知得????? a ×02＋b ×(－2)2＝4，
a ×12＋
b ×02＝4， 解得a ＝4，b ＝1.
曲线与方程练习题
曲线与方程 命题人：褚晓清 审核人：王焕功 一、选择题 1、方程(x 2＋y 2－4) x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( ) 2、已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0 3、已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是 A ．满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 B ．方程(,)0f x y =是曲线 C 的方程 C ．方程(,)0f x y =所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确 4、方程2(326)[log (2)3]0x y x y --+-=表示的图形经过点(0,1)A -，(2,3)B ，(2,0)C ，57(,)34 D -中的 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 52(2)0y +=表示的图形是 A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 6、方程y =- A B C D
7、一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上 且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 A ．221664x y += B ． 221664x y += C ．22168x y += D ．22168x y += 8、“点M 在曲线||y x =上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 9、已知(2,0)M -，(2,0)N ，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是 A ． 222x y += B ．224x y += C ．222(2)x y x +=≠± D ．224(2)x y x +=≠± 10、一动点C 在曲线221x y +=上移动时，它和定点B (3，0)连线的中点P 的轨迹方程是 A ．22(3)4x y ++= B ．22(3)1x y -+= C ．22(23)41x y -+= D ．223()12 x y ++= 11、已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23 ＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29 ＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 12、设圆C 与圆x 2＋(y －3)2 ＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 二、填空题 13、已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________． 14、曲线y =||0()y ax a +=∈R 的交点有______个． 15、已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的 轨迹所包围的图形的面积为__________．
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
曲线和方程的概念说课
《曲线和方程的概念》说课稿 临朐二中谢文利 各位评委、老师,大家好！ 我说课的内容是“曲线和方程的概念”。下面我从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序设计、板书设计以及教后评价六个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学设想。恳请在座的领导、专家、同仁批评指正。 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 “曲线和方程”是高中数学人教B版选修2-1第二章第一节的重点内容之一，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何 https://www.wendangku.net/doc/a6596696.html,/view/900761eae009581b6bd9eb45.html 的教学奠定了一个理论基础。 2、教学内容的选择和处理 本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线 https://www.wendangku.net/doc/a6596696.html,/view/9d02094fc850ad02de8041ad.html） 坐标法、解析几何等概念，讨论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。共分两课时，这是第一课时。此课时的主要内容是建立“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念，并对概念进行初步运用。我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导学生进行观察、讨论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，加深学生对概念的认识然后在此基础上归纳定义。 3、教学目标的确定 根据新课程标准的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。 4、关于教学重点、难点和关键 由于曲线和方程的概念体现了解析几何的基本思想，学生只有透彻理解了这个概念，才能用解析法去研究几何图形，才算是踏上学好解析几何的入门之径。因此，我把曲线和方程的概念确定为本节课的教学重点。另外，由于曲线和方程的概念比较抽象，加之刚刚进入高二的学
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 2002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
曲线和方程典型例题
典型例题一 例1如果命题“坐标满足方程f x, y 0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是 (A)曲线C上的点的坐标都满足方程f x, y 0 . (B)坐标满足方程f x, y 0的点有些在C上，有些不在C 上. (C)坐标满足方程f x, y 0的点都不在曲线C 上. (D)—定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f x, y 0 . 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程 f x, y 0的点不一定都在曲线C上，易知答案为D. 典型例题二 例2说明过点P(5, 1)且平行于x轴的直线I和方程y 1所代表的曲线之间的关系. 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可?其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x,y) 0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是 曲线上的点”，即完备性?这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线I的方程为y 1，因而y 在直线I上的点的坐标都满足y 1，所以直线I上的点都在方程y 1表示的曲线上.但是以|y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上，因此方 ------ ■ — 程y 1不是直线I的方程，直线I只是方程|y 1所表示曲线的一部分. |1说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性. 典型例题三 例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x所表示的直线之间的关系. 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解：方程y x所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等?但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程y x，例如点(3,3)到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方 程y x.因此不能说方程y x就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的 点的轨迹也不能说是方程y x所表示的轨迹. 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都 满足方程”，即不满足纯粹性?只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例4曲线x2 (y 1)2 4与直线y k(x 2) 4有两个不同的交点，求k的取值范围.有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分
高鸿业版微观经济学练习题第二章-需求曲线和供给曲线概述以及有关的基本概念(参考练习与答案)
第二章 需求曲线和供给曲线概述以及有关的基本概念 2.1 判断题： 2.11 政府规定某种商品的最高限价会使该商品短缺现象发生。 （ ） 2.12 价格呈发散型蛛网波动，说明需求曲线的斜率绝对值大于供给曲线的斜率绝对值。 （ ） 2.13 对所有商品来说，价格上升，消费者的购买数量都会下降。 （ ） 2.14 需求曲线向右上方移动说明消费者愿意在更高的价格上购买更多的商品。（ ） 2.15 X 商品价格下降导致Y 商品需求数量上升，说明两种商品是替代品。 （ ） 2.16 汽车的价格下降，会使汽油的需求曲线向左下方移动。 （ ） 2.17 垂直的需求曲线说明消费者对此商品的需求数量为零。 （ ） 2.18 替代品的价格上升会导致供给量减少。 （ ） 2.19 某种商品的价格上升会使其互补品的需求曲线向右上方移动。 （ ） 2.110 从供给的角度看，价格越高，生产者获取利润的机会就越多。 （ ） 2.111 生产环境的改善会使供给曲线向左上方移动。 （ ） 2.112 原油价格的下降会促进人们对别的替代能源的开发。 （ ） 2.113 政府规定最高限价的意图是防止价格下跌。 （ ） 2.114 如果需求曲线比供给曲线陡直，征收单位销售税的结果是使消费者负担更大比例的税收。 （ ） 2.115 需求的价格弹性等于需求曲线的斜率。 （ ） 2.116 线性的需求曲线的上半部分的需求价格弹性绝对值总是大于1。 （ ） 2.117 购买某种商品的支出占全部收入的比例越小，其价格弹性就越小。 （ ） 2.118 一般来说，价格上升就会增加销售收入，而降价则要减少销售收入。 （ ） 2.119 在价格缺乏弹性时，价格变化的方向与销售收入的变化方向是相反的。 2.120 只要价格弹性绝对值大于1，边际销售收入一定大于1。 （ ） 2.121 如果某种商品很容易被别的商品替代，则该种商品的价格弹性就比较大。 2.122 高档商品因占人们的收入的比例比较大，所以它的价格弹性比较小。 （ ） 2.223 垂直的需求曲线的价格弹性一定等于无穷大。 （ ） 2.124 如果需求的价格弹性的绝对值等于零，说明该种商品是低档品。 （ ） 2.125 需求的价格弹性绝对值等于1，全部销售收入一定等于极大值。 （ ） 2.126 必需品的价格弹性必定大于高级品的价格弹性。 （ ） （ ） （ ）
圆锥曲线与方程 知识点详细
椭圆 1、椭圆的第一定义：平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （2）围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值围是)10(<
曲线与方程(轨迹方程)
高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
圆锥曲线与方程单元知识总结
圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质
2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、
的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质
3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
曲线与方程的教学设计
曲线与方程的教学设计 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题. 学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础. 二．目标和目标解析 教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想 方法. 上述教学目标具体体现在: （1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程; （2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围; （3）掌握求曲线方程的基本流程; （4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程; （5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程. 教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握. 三．教学问题诊断 新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维. 另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们
曲线和方程教案
《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
2015高中数学 1.1变化率与导数要点讲解 新人教A版选修2-2
变化率与导数要点讲解 一、求导的基本方法——导数极限定义 函数y =f (x )在点x 0的导数，正好就等于函数曲线在点M （x 0，f （x 0））的切线斜率. 我们看看这个结论是如何得出的. 右边这个图，在x 0右边距离为△x 的地方另取 一点，那么曲线上相应的点M 1的坐标为（x 0+△x ，f （x 0+△x ）），我们将点M 和M 1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线. 这条割线的斜率是多少呢？ 割线MM 1的斜率= 请注意，如果这时我们沿着曲线f （x ）移动点M 1，使它逐渐接近点M （也就是让△x 缩小，最后变成0），割线MM 1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT ，向切线MT 逼近. 从图中可以看出，当M 1沿着曲线逐渐向M 靠拢时，MM 1的斜率也会向MT 的斜率逐渐靠近. 我们可以把上面这句话写成：当△x →0，MM 1的斜率→MT 的斜率.用式子表示： 切线MT 的斜率= 这就是导数的定义. △x 中在x 前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta ，相当于英文字母的 D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x 这个符号，来代表x 的微小变化. 导数的定义还可以有其他形式，比如用h 替代△x ： 还可以用x 替代x 0，得到： 我们假设，这样，当△x →0，就相当于x →x 0，可以把式子改写成： 从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事. 什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的. 二、导数几何意义的应用 函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题. 一、切线的夹角问题 例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别 为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角. 解析：由方程组??? y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2 ，解得A (－2，0)，B (3，5)， 由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ， 根据两直线的夹角公式，tan θ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023 . 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第
曲线和方程典型例题
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而 在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例4 曲线4)1(2 2=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 4 1 B ．2 1 C ． 2 D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．3 15(-，)3 15 B ．0(，)3 15 C ．3 15(-，)0 D ．3 15(-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(- -N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2 =+y x ; ③ 12 2 2 =+y x ;④ 12 2 2 =-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限 的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方 程为（ ） A ． 135 122 2 =-y x B ． 13 12 52 2 =- y x C ．15 1232 2 =- y x D ． 112 53 2 2 =- y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）
曲线与方程知识点及题型归纳总结 (2)
曲线与方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、曲线的方程和方程的曲线 在直角坐标系中，如果是某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 (),0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1） 曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性） （2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性） 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F ，上诉定义中C F ????=????条件(1)C F 条件(2)F C 二、直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1） 建系-----建立适当的坐标系 （2） 设点-----设轨迹上的任一点(),P x y （3） 列式-----列出有限制关系的几何等式 （4） 代换-----将轨迹所满足的条件用含,x y 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 ,x y 的方程式化简 （5） 证明（一般省略）-----证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补 充检验）。 简记为：建设现代化，补充说明。 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。 题型归纳及思路提示 题型1 求动点的轨迹方程 思路提示： 动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法。 一、直译法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。 例10.30 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1 3 -，求动点P 的轨迹方程。 分析 设点(),P x y ，将题设中直线AP 与BP 斜率之积等于1 3 - 翻译成含,x y 的等式。 解析：因为点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，所以点B 的坐标为()1,1-，设点(),P x y ，由题意得 111 113 y y x x -+=-+-g ，化简得()22341x y x +=≠± ，故动点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠± 变式1 已知动圆过定点()4,0A ，且在y 轴上截得的弦的长为8，求动圆圆心的轨迹C 的方程
曲线与方程-课时作业(解析版)
课时作业8 曲线与方程 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( ) A ．圆 B ．两条直线 C ．一个点 D ．两个点 解析：由已知得????? x －2＝0，y ＋2＝0，即????? x ＝2，y ＝－2. 所以方程表示点(2，－2)． 答案：C 2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M(2,1)满足( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．既在直线l 上，也在曲线 C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上 解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 答案：B 3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )
A．两条线段B．两条直线 C．两条射线D．一条射线和一条线段 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)． 答案：A 4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( ) A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0) C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5) 答案：D 5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( ) 解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断． 答案：D 6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( ) A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C ．m ＝1 D ．m ∈(1，＋∞) 解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1. 答案：D 二、填空题(每小题8分，共24分) 7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析：由22－a (－3)2 ＝1，得a ＝13. 答案：13 8．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________． 解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线． 答案：两条直线 9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________． 解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所 以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12 ×2×1＝1. 答案：1 三、解答题(共40分) 10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10. (1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ? ?? ???m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．