2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
( 全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 已知集合 M ＝ x x － 2＜ ，x ∈ ，N ＝ － ，则 M ∩N ．
课标全国Ⅱ，理
1) |( 1) R} 1,0,1,2,3} 1 (2013 { 4 { ＝( ) ．
A ．{0,1,2}
B ． { － 1,0,1,2}
C ． { － 1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3} 2． (2013 课标全国Ⅱ，理 2) 设复数 z 满足 (1 － i) z ＝2i ，则 z ＝( ) ．
． A ．－ 1＋iB ．－ 1－ IC
a ． 1＋ i D ．1－i a 1，a 5＝ ，则 a 1 (2013
课标全国Ⅱ，理
3) 等比数列
{ }
的前 n
项和为 S
. 已知
S 3＝a 2＋
3
10
9
n n
＝(
) ．
1
1
1
1
A ． 3
B ． 3
C ． 9
D ． 9
4． (2013 课标全国Ⅱ，理 4) 已知 m ，n 为异面直线， m ⊥平面 α， n ⊥平面 β. 直线 l 满足 l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则 ( ) ．
A ．α∥β 且 l ∥α
B ．α⊥β 且 l ⊥β
C ．α 与 β 相交，且交线垂直于 l
D ．α 与 β 相交，且交线平
行于 l
课标全国Ⅱ，理 已知 ＋ax ＋x 5 的展开式中 x 2 的系数为 ，
．
5) (1 )(1)
5 (2013 5
则 a ＝() ．
A ．－ 4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
N ＝
，那么
6．(2013 课标全国Ⅱ，理 6) 执行下面的程序框图，如果输入的
10
输出的 S ＝( ) ．
1+
1 1
1
A ． 2 L
10
3
B ． 1+ 1
1 L 1
2!
3! 10! C ． 1+
1
1 L
1
2 3
11
1+ 1 1 1
2! 3! L
D ．
11!
O －xyz 中的坐标分别是
．
课标全国Ⅱ，理
7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 7 (2013
(1,0,1) ， (1,1,0) ，(0,1,1) ，(0,0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投
影面，则得到的正视图可以为 ( ) ．
8． (2013 课标全国Ⅱ，理8) 设a＝
3
6
，b＝
5
，c＝
log
7，则
()
．log log 1014
A．c＞ b＞ aB．b＞c＞a C．a＞c＞b D ． a＞ b＞ c
．课标全国Ⅱ，理已知 a＞，x，y 满足约束条件x1,若z＝ x＋y的最小(20139)x y 3,
902
y a x 3 .
值为 1，则 a＝() ．
11
A．4
B ．
2
C ． 1
D ． 2
．课标全国Ⅱ，理
10) 已知函数f
(
x＝x3＋ ax2＋ bx＋c，下列结论中错误的是
()
．
10(2013)
A． x0∈ R， f(x0)＝0
B．函数 y＝ f(x)的图像是中心对称图形
C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间 ( －∞， x0) 单调递减D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f ′(x0)＝ 0
11．(2013 课标全国Ⅱ，理11) 设抛物线 C： y2＝2px( p＞ 0) 的焦点为 F，点 M在 C 上，| MF| ＝
，若以 MF为直径的圆过点
(0,2) ，则C的方程为()．
5
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x C，直线y＝ ax＋b a＞将
．
(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A－1,0)，B0) 12((1,0) ， (0,1)(
△ABC分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 () ．
12
,
1
1
21
1 , 1
,
A．(0,1)B．22C．23D． 3 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
uuur uuur 13．(2013 课标全国Ⅱ，理13) 已知正方形 ABCD的边长为
2，E 为 CD的中点，则AE BD
2013 全国新课标卷 2 理科数学第2页
取出的两数之和等于 5 的概率为1
，则 n＝ __________.
14
1
15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15) 设θ为第二象限角，若tanπ，则 sin θ＋ cos θ
42
＝__________.等差数列a
n的前 n 项和为 S n，已知S10＝， S15＝，则．
(2013 课标全国Ⅱ，理16){
16}025
nS n的最小值为 __________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
．课标全国Ⅱ，理
17)(本小题满分12分△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，
17 (2013)
c，已知 a＝ bcos C＋ csin B.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．
18．(2013 课标全国Ⅱ，理 18)( 本小题满分 12 分 ) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中， D，E 分别
是AB，BB1的中点， AA1＝AC＝ CB＝2
AB .
2
(1)证明： BC1∥平面 A1CD；
(2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅱ，理19)( 本小题满分12 分) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售
季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了
130 t 该农产品．以 X( 单位： t,100 ≤ X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T( 单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1) 将 T 表示为 X 的函数；
(2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；
(3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如：若需求量 X∈[100,110) ，则取 X＝105，且 X＝105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的
频率 ) ，求 T 的数学期望．
20．(2013 课标全国Ⅱ，理
20)( 本小题满分
12 分 ) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M ： x 2 y 2
=1 (
a ＞
b ＞
0)
右焦点的直线 x y 3
0 交 M 于 A ，B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP
的
a
2
b 2
斜率为 1
.
2
(1) 求 M 的方程；
(2) C ， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值．
21．(2013 课标全国Ⅱ，理 21)( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ＝e x －ln( x ＋m) ．
(1) 设 x ＝0 是 f ( x) 的极值点，求 m ，并讨论 f ( x) 的单调性； (2) 当 m ≤2时，证明 f ( x) ＞ 0.
请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请
写清题号．
22．(2013 课标全国Ⅱ，理22)( 本小题满分 10 分) 选修 4—1：几何证明选讲
如图， CD为△ ABC外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD于点 D， E， F 分别为弦 AB 与弦AC 上的点，且 BC·AE＝ DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
(1)证明： CA是△ ABC外接圆的直径；
(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C四点的圆的面积与△ ABC外接圆面积的比值．
23．(2013 课标全国Ⅱ，理23)( 本小题满分 10 分) 选修 4—4：坐标系与参数方程
已知动点 P，Q都在曲线 C：
x2cos t,
( t 为参数 ) 上，对应参数分别为 t ＝α 与 t ＝ 2α (0 ＜
y2sin t
α＜2π) ， M为 PQ的中点．
(1)求 M的轨迹的参数方程；
(2)将 M到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013 课标全国Ⅱ，理 24)( 本小题满分 10 分) 选修 4—5：不等式选讲设 a ，b ，c 均为正数，且 a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1) ab ＋bc ＋ac ≤ 1
；
3
(2) a 2 b 2 c 2
1.
b c
a
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
( 全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案： A
解析： 解不等式 ( x －1) 2＜4，得－ 1＜x ＜3，即 M ＝ { x| －1＜x ＜3} ．而 N ＝{ －1,0,1,2,3} ，所以 M ∩ N ＝ {0,1,2} ，故选 A. 2．
答案： A 解析： z=
2i
2i 1 i ＝ 2
2i
＝－ 1＋i.
1 i
1 i 1 i
2
3． 答案： C
解析：设数列 { a n } 的公比为 q ，若 q ＝ 1，则由 a 5＝ 9，得 a 1＝9，此时 S 3＝27，而 a 2＋ 10a 1＝99，不满足题意，因此 q ≠1. ∵q ≠1时， S 3＝
a 1
(1
q 3 )
＝a 1· q ＋
10a 1，
1 q
3
∴
1 q ＝ q ＋ 10，整理得 q 2＝ 9. 1 q
4
1
∵a 5＝a 1· q ＝9，即 81a 1 ＝9，∴ a 1＝
.
4．
答案： D
解析： 因为 m ⊥α ，l ⊥m ，l α，所以 l ∥ α. 同理可得 l ∥β. 又因为 m ，n 为异面直线，所以 α 与 β 相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D. 5． 答案： D
C 5r x r (0 ≤r ≤ 5， r ∈ Z) ，则含 x 2 的项为 C 52 x 2 ＋
解析： 因为 (1 ＋ x) 5 的二项展开式的通项为 ax · C 1
5 x
＝(10 a x 2
，所以 10＋5a ＝ 5， a ＝－ 1.
＋5 )
6．
答案： B k ＝ ，S ＝ ，T ＝ 时，T ＝ ， S ＝ ；
解析： 由程序框图知，当 1
1 0 1 1 当 k ＝
2 时， T
1
， S=1+ 1 ；
2 2
当 k ＝3 时， T
2 1 ， S 1+ 1
2 1 ；
3 2 3
当 k ＝4 时， T
1 ， S 1+ 1 1
1
；?；
2 3
42 2 3
2 3
4
当 k ＝ 10 时，
T
1
， S 1+ 1 1
L 1 ， k 增加 1 变为 ，满足 k ＞ ，输
2 3 4 L
10
2! 3! 10! 11
N
出 S ，所以 B 正确．
答案： A
解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系
O －xyz 的图像为下图：
则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A.
8． 答案： D
解析： 根据公式变形， a
lg 6 1 lg 2 ， b
lg10 1 lg 2 ， c
lg14 1
lg 2
，因为 lg 7
lg 3 lg 3
lg 5
lg 5
lg 7
lg 7
＞ lg 5 ＞lg 3 ，所以
lg 2
lg 2
lg 2
，即 c ＜b ＜a. 故选
lg 7 lg 5
lg 3
D. 9．
答案： B
解析： 由题意作出 x
1, 所表示的区域如图阴影部分
x y
3
所示，
作直线 2x ＋ y ＝1，因为直线 2x ＋y ＝1 与直线 x ＝1 的交点
坐标为 (1 ，－ 1) ，结合题意知直线 y ＝ a( x －3) 过点 (1 ，－ 1) ，代入得 a 1
，所以 a
1 .
10． 2
2
答案： C
解析： ∵x 0 是 f ( x) 的极小值点，则 y ＝ f ( x) 的图像大致如下图所 示，则在 ( －∞， x 0) 上不单调，故 C 不正确．
11．
答案： C
M 的坐标为 x 0，y 0 ，由抛物线的定义，得
MF ＝x 0
解析： 设点
(
)
x 0＝ － p | |
＋
p
＝ 5，则
2
5.
2
又点 F 的坐标为
p
,0 ，所以以 MF 为直径的圆的方程为 ( x －x 0 ) x p ＋( y － y 0) y ＝0.
2
2
将 x ＝0，y ＝2 代入得 px 0＋ 8－4y 0＝0，即 y 02
－4y 0＋8＝0，所以 y 0＝4.
2
由 y 0 2 ＝2
0 ，得 162 p 5 p ，解之得 p ＝2，或 p ＝8.
px
2
C 的方程为 y
x 故选
所以 2＝ x 或 y 2＝
C.
4
16 . 12． 答案： B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．答案： 2
解析： 以 AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系，如图所示，则点 A 的坐标为 (0,0) ，点 B 的坐标为 (2,0) ，
uuur uuur
点 D 的坐标为 (0,2) ，点 E 的坐标为 (1,2) ，则 AE ＝(1,2) ， BD uuur uuur
＝ ( －2,2) ，所以 AE BD 2 .
14．答案： 8
C n 2 种取法，两数
解析：从 1,2 ，?， n 中任取两个不同的数共有
之和为 5 的有 (1,4) ，(2,3)2
种，所以
2
1
，即
2 4
1
，解得 n ＝8. C n 2 14
n n 1
n n 1 14
2
15．答案：
10
5
解析： 由 tan
π
1 tan 1
，得 tan θ＝ 1
，即 sin
θ＝ 1
cos θ .
4
1 tan
2
3
3
将其代入 sin
2
θ ＋cos 2
θ ＝1，得
10
cos 2
1.
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝
3 10
，sin θ＝
10
，sin
θ＋ cos θ ＝ 10 .
10105
解析： 设数列 { a } 的首项为 a 1，公差为 d ，则 S 10＝ 10a 1＋ 10 9 ＝10a 1＋ 45d ＝0，①
d
n
2
15 14
S 15＝
15a 1 1＋
d ＝ 25. ②
2 d ＝15a 105
2
联立①②，得 a 1＝－ ， d ，
3 3
所以 S n ＝ 3n
n(n 1) 2 1 n 2 10 n .
2 3 3 3
令 f n ＝nS n ，则 f (n)
1 3
10 2 ， f '(n) n 2 20
( ) 3
n .
3
3 令 f
n
n
20
′( ) ＝0，得 ＝0 或
n.
3
当 20
时， ′( ) ＞0,
20
时， ′( ) ＜ 0，所以当 20
( ) 取最小值，而 ∈ N n
0 n 时， 3 fn fn 3 3 ＋ ，则 f (6) ＝－ 48，f (7) ＝－ 49，所以当 n ＝7 时， f ( n) 取最小值－ 49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．① 又 A ＝π－ ( B ＋C) ，故 sin A ＝sin( B ＋ C) ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．②由①，②和 C ∈(0 ，π ) 得 sin B ＝cos B ， 又 B ∈(0 ，π ) ，所以 π B. 4 (2) △ABC 的面积 S 1 ac sin B 2 ac . 2 4 由已知及余弦定理得 2 2 π 4＝ a ＋c － 2ac cos . 4 2 2 ≥2ac ，故 ac 4 ，当且仅当 a ＝c 时，等号成立． 又 a ＋ c 2 2 因此△ ABC 面积的最大值为 2+1 . 18． A C 于点 F ，则 F 为 AC 中点． 解： (1) 连结 AC 交 1 1 1 又 D 是 AB 中点，连结 DF ，则 BC 1∥ DF. 因为 DF 平面 A 1 CD ， BC 平面 A CD ， ? 1 1 BC ∥平面 A 1CD 所以 1 . (2) 由 AC ＝CB ＝ 2 AB 得， AC ⊥BC. 2 uuur C －xyz . 以 C 为坐标原点， CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 CA ＝ ，则 D ，E ，A 1 uuur ＝(1,1,0) uuur ＝(0,2,1) uuur ＝(2,0,2) ． 设 CD CE ， 2 (1,1,0) (0,2,1) (2,0,2) ， ， CA 1 设 n ＝( x 1，y 1，z 1 ) 是平面 A 1CD 的法向量， uuur x 1 y 1 0, 则 n CD 0, uuur 即 n CA 1 0, 2x 1 2z 1 0. 可取 n ＝ (1 ，－ 1，－ 1) ． 同理，设 m 是平面 A 1CE 的法向量， uuur m CE 0, ，－2)． 则uuur 可取 m ＝(2,1 m CA 1 0, n m n ·m 3 ， 从而 cos 〈 ， 〉＝ | n || m | 3 故 sin 〈 n ， m 〉＝ 6 . 3 即二面角 D －A 1C －E 的正弦值为 6 . 3 19． 解： (1) 当 X ∈[100,130) 时， T ＝500X －300(130 －X) ＝ 800X － 39 000 ， 当 X ∈[130,150] 时， T ＝500×130＝ 65 000. 800X 39000,100 X 130, 所以 T 由 65000,130 X 150. 元当且仅当≤ X ≤ (2) (1) 知利润 T 不少于 57 000 150. 120 由直方图知需求量 X ∈[120,150] 的频率为 0.7 ，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3) 依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET ＝45 000 ×0.1 ＋53 000 ×0.2 ＋61 000 ×0.3 ＋65 000 ×0.4 ＝ 59 400. 20． 解： (1) 设 A( x 1，y 1) ，B( x 2 ，y 2) ，P( x 0， y 0) ， 则 x 12 y 12 x 22 y 22 y 2 y 1 = 1 ， a 2 b 2 =1， a 2 b 2 =1， x 1 x 2 由此可得 b 2 x 2 x 1 y 2 y 1 =1. a 2 y 2 y 1 x 2 x 1 因为 x 1＋x 2＝ x 0，y 1＋y 2＝ y 0， y 0 1 x 0 ， 所以 a 2＝ b 2 2 . 2 又由题意知， M 的右焦点为 ( 3 ，0) ，故 a 2－ b 2 ＝3. 因此 a 2＝6，b 2 ＝3. 所以 M 的方程为 x 2 y 2 =1 . 6 3 x y 3 0, (2) 由 x 2 y 2 6 3 1, x 4 3 , x 0, 3 解得 或 3. y 3 , y 3 因此|AB|＝ 4 6 . 3 由题意可设直线 CD 的方程为 5 3 ， y ＝ x n n3 3 设 C( x 3，y 3) ，D( x 4，y 4) ． y x n, 由 x 2 y 2得 3x 2＋4nx ＋ 2n 2－ 6＝ 0. 6 3 1 于是 x 3,4 ＝ 2n 2 9 n 2 . 3 ， 因为直线 CD 的斜率为 1 CD ＝ 2 | x 4 x 3 4 9 n 2 . 所以| | | 3 由已知，四边形 ACBD 的面积 S 1 |CD | |AB| 8 6 9 n 2 . 2 9 当 n ＝0 时， S 取得最大值，最大值为 8 6 . 3 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 . 3 21． 解： (1) f ′(x) ＝ e x 1 . x m 由 x ＝0 是 f ( x) 的极值点得 f ′(0) ＝ 0，所以 m ＝1. 于是 f ( x) ＝ e x － ln( x ＋ 1) ，定义域为 ( － 1，＋∞ ) ， f ′(x) ＝ e x 1 . x 1 函数 f ′(x ) ＝ e x 1 在 － ，＋∞ 单调递增，且 f ′ (0) ＝ 0. x 1 因此当 x ∈( －1,0) 时， f ′(x) ＜0； 当 x ∈(0 ，＋∞ ) 时， f ′(x) ＞0. 所以 f ( x) 在 ( －1,0) 单调递减，在 (0 ，＋∞ ) 单调递增． m ＝ 时， f x ＞ (2) 当 m ≤ ， x ∈ －m ，＋∞ 时， ln( x ＋m ≤ ln( x ＋ 2)，故只需证明当 2( 0. 2( ) ) ) 当 m ＝ 2 时，函数 f ′(x ＝ x 1 在 － ，＋∞ 单调递增． ) e x 2 ( 2 ) 又 f ′( － 1) ＜0， f ′(0) ＞ 0， 故 f ′(x) ＝ 0 在 ( － 2，＋∞ ) 有唯一实根 x 0，且 x 0 ∈( －1,0) ．当 x ∈( －2，x 0) 时， f ′(x ) ＜ 0； 当 x ∈( x 0，＋∞ ) 时， f ′(x) ＞0，从而当 x ＝ x 0 时， f ( x) 取得最小值． 由 f ′(x 0) ＝0 得 e x 0 ＝ 1 2 ，ln( x 0＋2) ＝－ x 0， x 0 故 f x f ( x 0 1 ＋ x 0 ＝ x 0 1 2 ≥ ＝ x 0 2 ＞0. x 0 2 综上，当 m ≤2时， f ( x) ＞ 0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22． 解： (1) 因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线， 所以∠ DCB ＝∠ A ，由题设知 BC DC ， FA EA 故△ CDB ∽△ AEF ，所以∠ DBC ＝∠ EFA. 因为 B ， E ， F ，C 四点共圆， 所以∠ CFE ＝∠ DBC ， 故∠ EFA ＝∠ CFE ＝90°. 所以∠ CBA ＝ °，因此 CA 是△ ABC 外接圆的直径． 90 °，所以过 B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为 CE ，由 DB ＝ BE ，有 CE (2) 连结 CE ，因为∠ CBE ＝ 90 2 2 2 2 2 2 ＝DC ，又 BC ＝DB · BA ＝2DB ，所以 CA ＝4DB ＋ BC ＝6DB. 2 2 ABC 外接圆面积的比值为 1 而 DC ＝DB ·DA ＝ DB ，故过 B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ . 3 2 23． P α ， α ， Q α， α ， 解： (1) 依题意有 2sin ) 2sin 2 (2cos (2cos 2 ) 因此 M α＋ cos 2 α ， sin α＋ sin 2 α ． (cos ) M 的轨迹的参数方程为 x cos cos2 , (α 为参数， ＜ α＜ π ． y sin sin 2 0 2 ) (2) M 点到坐标原点的距离 d x 2 y 2 2 2cos (0 ＜α ＜ 2π ) ． 当 α ＝π 时， d ＝ ，故 M 的轨迹过坐标原点． 24． 解： (1) 由 a 2＋b 2≥2ab ， b 2 ＋c 2≥2bc ， c 2 ＋a 2≥2ca ， 由题设得 ( a＋b＋c) 2＝1，即 a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca＝ 1. 所以 3( ab＋ bc＋ca) ≤1，即 ab＋ bc＋ca≤1 . 3 (2)因为a 2 b b 2a ， b 2 c 2b ， c 2 a 2c ， c a 故a2b2c2 (a b c) ≥2( a＋b＋c)， b c a 即a2b2 b c c2 a ≥a＋b＋c. 所以a2b2 b c c2 a ≥ 1. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷(选择题共50分) 注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D． 答案：A 解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}， ∴A∩B＝{－2}．故选A． 2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()． A．A B．B C．C D．D 答案：B 解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称． 3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()． 答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D． 4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则()．A．?p：?x∈A,2x?B B．?p：?x?A,2x?B C．?p：?x?A,2x∈B D．?p：?x∈A,2x?B 答案：D 5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ππ 0, 22 ω? ?? >-<< ? ?? 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别 是()． A．2， π 3 -B．2， π 6 - C．4， π 6 -D．4， π 3 答案：A 解析：由图象可得，35ππ3π41234 T?? =--= ? ?? ， ∴T＝π，则ω＝2π π ＝2，再将点 5π ,2 12 ?? ? ?? 代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得， 5π sin1 6 ? ?? += ? ?? ， 令5π 6 ＋φ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 解得，φ＝2kπ－π 3 ，k∈Z， 又∵φ∈ ππ , 22 ?? - ? ?? ，则取k＝0， 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） 2013年普通高等学校招生全国统一测试 数 学（理）（北京卷） 本试卷共4页，150分。测试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （A ）{}0 （B ）{}1,0- （C ）{}0,1 （D ）{}1,0,1- （2）在复平面内，复数()2 2i -对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）“?π=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）1 （B ） 2 3 （C ）1321 （D ）610987 （5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲 线x y e =关于y 轴对称，则()f x = （A ）1x e + （B ）1x e - （C ）1x e -+ （D ）1x e -- （6）若双曲线2 2 221x y a b -=3 （A ）2y x =± （B ）2y x = （C ）1 2 y x =± （D ）2 y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于 （A ） 43 （B ）2 （C ）83 （D 162 开始 i =0，S =1 21 21 S S S += + i =i +1 i ≥2 是 输出S 结束 否 绝密★启用并使用完毕 2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（文） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的一项。 （1）已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1≤x<1｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）设a,b,c∈R,且a （D） （7）双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是 （A）m＞（B）m≥1 （C）m大于1 （D）m＞2 (8)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离 的不同取值有 （A）3个（B）4个 （C）5个（D）6个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6题，每小题5分，共30分。 （9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____ (10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________. (11)若等比数列｛a n｝满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=__________;前n项s n=_____. (12)设D为不等式组，表示的平面区域，区域D上的点与点（L，0）之间的距离的最小值为___________. (13)函数f（x）=的值域为_________. 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数 学(理科) 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N = （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z= （A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i （3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ） 13 （B ）1 3 - （C ） 1 9 （D ）19 - （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ??， 则 （A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5 的展开式中x 2 的系数为5，则ɑ = （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1 （6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S= （A ）11112310+ +++ （B ）111 12!3!10!++++ （C ）11112311++++ （D ）111 12!3!11! ++++ 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版 2013北京高考理科数学试题及答案解析 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A.1 B.2 3 C.13 21 D.610 987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1 e x + B. 1 e x - C. 1 e x -+ D. 1 e x -- 6.若双曲线22 22 1x y a b -=的离心率为3，则其渐近线方 程为 A. y =±2x B. y =2x C. 12 y x =± D.2y x = 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83162 8.设关于x ,y 的不等式组 210, 0,0x y x m y m -+>?? +? 表示的平面区 域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3 绝密★启封前 机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}101A =-， ，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，， （2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限 （3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 （4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ? 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 2014年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） （ （ 4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞ 6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为 作出可行域如图， （﹣ （﹣ ﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1． ） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（ 故答案为： 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ， ﹣， 故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种． 2013年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 2、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z= 21i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为 （A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P4 4、设F1，F2是椭圆E: 2 2x a + 2 2 y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线3 2a x = 上 的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ） 12 （B ） 23 （C ） 34 （D ） 45 5、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=?a a ，则=+101a a （A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和 实数n a a a ?,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ?,,21和 （B ） 2 A B +为n a a a ?,,21的算式平均数 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D . 78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158 2013年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2013?北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（） A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：B． 2对应的点位于（））（2013?北京）在复平面内，复数（2﹣i2．（5分）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限． 22=3﹣4i，=4﹣4i+【解答】解：复数（2﹣i）i 复数对应的点（3，﹣4）， 2对应的点位于第四象限．i﹣）所以在复平面内，复数（2 故选：D． 3．（5分）（2013?北京）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 D．充分必要条件．既不充分也不必要条件C 【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点． 【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点． 但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上， 将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选：A． 4．（5分）（2013?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） ．C．A．1DB． 的大2从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与【分析】小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．．1赋值0和【解答】解：框图首先给变量i和S ；+1=1，i=0执行 ；+1=2不成立，执行，i=1≥判断12 的值为成立，算法结束，跳出循环，输出S2≥2判断． ．故选：C 个单位长度，所得图象与1（x）的图象向右平移分）（5（2013?北京）函数f5．x）2013年高考理科数学四川卷word解析版
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