2018-2019学年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题+Word版含答案

2018-2019学年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、填空题（本题满分80分,每小题10分.）

1.若对任意的[0,]2π

θ∈，不等式42sin cos sin cos 0a a θθθθ+--≤恒成立，则实数a 的最

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最小值为 ．

2.设数列{}n a 满足：11a =，11449n n n n a a a a ++-+=，则2018a = ．

3.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有

2[()2log ]4f f x x -=，则不等式()6f x <的解集为 ．

4.已知点P 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上，1F ，2F 为双曲线的两个焦点，且120PF PF ?=，则12PF

F ?的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为 ．

5.设G 为ABC ?的重心，若BG CG ⊥，BC =，则AB AC +的最大值为 ．

6.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为 ．

7.设正实数x ，y 满足2211274x y x y +++=，则1534P x y

=-的最小值为 ． 8.设数列{}n a 的通项公式为3n a n n =-，*n N ∈，该数列中个位数字为0的项按从小到大的

顺序排列构成数列{}n b ，则2018b 被7除所得的余数为 ．

二、解答题（本题满分70分，第9题20分，第10题、第11题25分.）

9.已知O 为坐标原点，(1,0)N ，M 为直线1x =-上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .

（1）求曲线E 的方程；

（2）过点11(,)22

Q -

-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.

10.对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 如下：

①(1,1)1f =；

②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；

③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++- .

（1）求(,)f m n 的解析式；

（2）设*)n a n N =∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明：6n S <.

11.已知正数a ，b 满足1a b +=，求M =的最小值.

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

一、填空题

1. 4

2. 53

3. {|04}x x <<

4. 12

- 5. 6. 772

7. 6 8. 4 二、解答题

9.解：（1）设(,)P x y ，(1,)M t -，易知01x ≤<.

因为OP 平分MON ∠，所以21OM

MP PN t PN ON ==+，所以

1)x x +=-①

)y t y -=-②

由①，②可得21y t x =-，代入①得11x x +=-E 的方程为2(01)y x x =≤<.

（2）记(1,1)A ，(1,1)B -，则1QA k =，13QB k =-

. 直线l 的方程为11()22

y k x +=+，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得 21(1)02

ky y k -+-=.

当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，12(1)0k k ?=--=，解得1,2k =

当1k k ==时，r y =，切点T 在曲线E 上；

当2k k ==r y =，切点T 不在曲线E 上.

若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或12k +=

，故所求k 的取值范围为113(,1]{}32

+-.

10.解：（1）由条件②可得：

(2,1)(1,1)2(11)22f f -=?+=?，

(3,1)(2,1)2(21)23f f -=?+=?，

……

(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=-+=，

将上述1m -个等式相加得(,1)(1,1)2(23)f m f m -=++???+.

而(1,1)1f =，所以2(,1)2(23)11f m m m m =++???++=+-.

由条件②可得：

(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，

(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，

……

(,)(,1)2(11)f m n f m n m n --=+--2(2)m n =+-，

将上述1n -个等式相加得(,)(,1)2[(1)(2)]f m n f m m m m n -=+++???++-.

而2

(,1)1f m m m =+-，所以 (,)2[(1)(2)]f m n m m m n =+++???++-2221231m m m mn n m n ++-=++--+.

（2）因为22(,)231f n n n n n n n n =+?+--+2

(21)n =-

，所以11(21)()2

n n a n -==-?， 所以0111

1

1

1()3()(21)()222n n S n -=?+?+???+-?，

12111111()3()(23)()2222n n S n -=?+?+???+-?1(21)()2

n n +-?， 两式相减得：

1211112()2()222n S =+?+?+???+1112()(21)()22

n n n -?--? 111()21211212

n n n ---=+--2121322n n n --=--，

故12362

n n n S -+=-

，*n N ∈，所以6n S <. 11.解：由柯西不等式可得2221(21)()()2a a λλ++≥+，222255[()](1)()1212b b μμ++≥+，所以

M =

52b μ+

≥+① 取等号的条件分别为

221

4a λ=②

2225()

12b μ

=③

=2241μλ=+，结合②，③得22215(1)()12

b a +=. 又1a b +=，所以22

225()(1)12b b b +=-，整理得43214428826350250b b b b -++-=，故 32(41)(36635025)0b b b b --++=④

记32()36635025f b b b b =-++，则2'()10812650f b b b =-+2753108()0124

b =-+>，所以()f b 在(0,1)上为增函数，所以，当01b <<时，()(0)250f b f >=>.于是，由④可得14b =，从而34

a =. 代入②，③求得23λ=，53μ=.

代入①式，整理得12M ≥，因此M

的最小值为12

.