3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
选修2-1 第二章编写 蒋兴安班级 姓名
课题：§3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
学习目标：
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
2. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
学习重点：空间向量的正交分解及其坐标表示．
学习难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量．
【自主学习】预习教材第33～34页，完成下列问题．
1．空间向量的标准正交分解与坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a ，存在唯一一组三元有序实数(x ，y ，z )，使得a ＝x i ＋y j ＋z k .我们把a ＝x i ＋y j ＋z k 叫作a 的标准正交分解，把i ，j ，k 叫作标准正交基．__________ 叫作空间向量a 的坐标，记作a ＝_________，a ＝____________ 叫作向量a 的坐标表示．
在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(x ，y ，z )，向量OP →
的坐标也是__________．
2、向量a 在向量b 上的投影与向量坐标
(1)一般地，若b 0为b 的单位向量，称a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的．
如图所示，向量a 在向量b 上的投影为OM ＝|a |cos 〈a ，b 〉．
(2)向量坐标与投影： ①i ，j ，k 为标准正交基，a ＝xi ＋yj ＋zk ，那么：a ·i ＝，a ·j ＝，a ·k ＝.把x ，y ，z 分别称为向量a 在x 轴，y 轴，z 轴正方向上的投影．
②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的.
【预习自测】完成课本第34页练习题．
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在下列选项中，CD
的相反向量是( ) A.BA B ．A 1C 1 C.A 1B 1 D ．AA 1
2.如图所示的正三棱柱中，与〈AB ，AC
〉相等的是( ) A ．〈AB ，BC 〉B ．〈BC ，CA
〉 C ．〈C 1B 1 ，AC 〉D ．〈BC ，B 1A 1 〉
【合作探究】
探究1 棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →
，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标:(1)AE →，AG →，AF →；(2)EF →，EG →，DG →
.
2、空间向量的夹角
探究2 在直角坐标系中，有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝3，BC ＝4，AA ′＝6.
(1)写出C ′的坐标，给出AC ′→关于i ，j ，k 的分解式；(2)求BD ′→
的坐标．
【基础检测】
1．已知i ，j ，k 是空间的标准正交基，并且AB →＝－i ＋j －k ，则AB →
的坐标为( )
A ．(－1,1，－1)
B ．(－i ，j ，－k )
C ．(1，－1，－1)
D ．不确定
2．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，那么可以与m ，n 构成空间另一个基底的向量是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．2a
3．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OG →
等于( ) A ．13a ＋13b ＋13c B ．12a ＋12b ＋12
c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c 4. 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
5．若|a |＝4，|b |＝5，且a 在b 上的投影为－2，则a ·b ＝________，〈a ，b 〉＝
________.
平面向量正交分解及坐标表示及坐标运算
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算 学习目标 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。 学习任务： (一)平面向量的正交分解： 阅读课本94-95页，回答下列问题 1、什么是正交分解？ 2、观察右图，OA a = ,完成下列问题: (1)向量1OA 与向量i 共线，则存在唯一实数x ，使得i OA ___1 =; (2)向量2OA 与向量j 共线，则存在唯一实数y ，使得j OA __2=; (3)由平行四边形法则，________________+=+==OA a . 3、阅读课本第95-96页，完成下列问题 向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的 向量i ，j 作为 ，对于任一向量a ， ____________一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫___________，记作_________ 其中x 叫 ，y 叫 。 说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标 ； （3）i =（ ， ），j =（ ， ），0(0,0)=； （4）直角坐标系中点A 、向量OA 、有序数（x,y ）有什么关系？从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是 。 (二)平面向量的坐标运算 1.阅读课本第96页，完成问题 已知),(),,(2211y x b y x a == ，则 (1)=+b a ____________________,=-b a ____________________(用坐标表示)。 (2)=a λ____________________(R ∈λ)(用坐标表示)。 2.阅读课本第97页例4，完成课本第100页练习1，2；课本第101页习题A 组2。 3.若A 点坐标为),(11y x ，B 点坐标为),(22y x ，O 为坐标原点，则 (1)OA =___________,OB =___________,________________________=-=-=AB 。 (2)若A 点坐标为(-1，4)，B 点坐标为(2，1)，则________=AB 。 (3)完成课本第100页练习3；课本第101页习题A 组1。 3.阅读课本第97页例5，；课本第101页练习6,7，习题A 组3,4,7，B 组1。 4.已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10）.若),(R AC AB AP ∈+=λλ试求λ为何值时， （1）点P 在第一、三象限角平分线上；（2）点P 在第三象限内. 2.3.4平面向量共线的坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 2.学会将几何问题转化为代数问题，从而体会转化及数形结合的数学思想。 自学探究： 1.你还记得向量共线定量吗？若),(11y x a =，),(22y x b =则怎样用坐标表示两个共线向量？ 2.阅读课本第98页，完成下列任务： (1)若),(11y x a =,),(22y x b =)0( ≠b ，则_____________________//??b a ； (2)阅读课本第98页例6，完成100页练习4,101页A 组5,6 (3)阅读课本第98页例7,完成101页B 组2 ★ 总结：证明A,B,C 三点共线的方法是什么？ 技能提升 1.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a ∥b ，求y. 2.设向量a = (1，2)，b =（2，3），若向量b a +λ与向量c = )7,4(--共线，求λ. 3.已知),1,(),2,1(x b a ==，若b a 2+与b a -2平行，则x 的值为 。 4.若向量),,4(),1,(x b x a ==则当x = 时a 与b 共线且方向相同。 5.已知向量()()5,4,12,==→ → OB k OA ()10,k OC -=→ 则A 、B 、C 三点共线则k 为（ ） A 、 32 B 、32- C 、2 1 D 、1 1 A 2 A
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则
a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。 例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。 练习：见学案 小结： 作业：见作业纸
专题3-空间向量的正交分解与坐标表示
23,,e e 为有公共起点O 的三个两两
点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________． 注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算 （1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________． （2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算 空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则 （1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ； （2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ； （3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-． 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．
平面向量的分解及向量的坐标表示
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第二节平面向量的分解及向量的坐标表示 课时作业 一、选择题 1．(2009年湖北卷>若向量a＝(1,1>，b＝(－1,1>，c＝(4,2>，则c＝( > A．3a＋bB．3a－b C．－a＋3bD．a＋3b 2．(2009年广东卷>已知平面向量a＝(x,1>，b＝(－x，x2>，则向量a＋b( > A．平行于x轴 B．平行于第一、第三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 3．(2009年重庆卷>已知向量a＝(1,1>，b＝(2，x>，若a＋b 与4b－2a平行，则实数x的值是( >b5E2RGbCAP A．－2B．0 C．1D．2 4．(2008年海南宁夏卷>平面向量a，b共线的充要条件是( > A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．?λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0
5.如右图所示，在△ABC中，已知 A(2,3>，B(6，－4>，G(4，－1>是中线AD 上一点，且错误!＝2错误!，则点C的坐标 为( >p1EanqFDPw A．(－4,2> B．(－4，－2> C．(4，－2> D．(4,2> 二、填空题 6．(2009年江西卷>已知向量a＝(3,1>，b＝(1,3>，c＝(k,7>，若(a－c>∥b，则k＝________.DXDiTa9E3d 7．(2009年辽宁卷>在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0>，B(6,8>，C(8,6>，则D点的坐标为________．RTCrpUDGiT 8．(2009年湖北卷>已知P＝{a|a＝(1,0>＋m(0,1>，m∈R}，Q ＝{b|b＝(1,1>＋n(－1,1>，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.5PCzVD7HxA 三、解答题 9.如右图所示，已知A(－2,1>， B(1,3>，求线段AB的中点M和三等分点 P，Q的坐标． 10．已知A(1,0>，直线l：y＝2x－ 6，点R是直线l上的一点，若错误!＝2 错误!，求点P的轨迹方程．jLBHrnAILg 参考答案 1．解读：c＝(4,2>＝3a－b.选B. 答案：B
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计 【教学设计构想】 １.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”,学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。 ２．将知识的数学形态转化为教学形态;教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。 ３.教学重心前移;对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题,以往的教学,是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。 ４.还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考,与同伴交流的时间。 【教材内容地位】 本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”,向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解,建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。 2.３节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，２.平面向量的正交分解及坐标表示， 3.平行向量的坐标运算, 4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第２节。 【目标与目标解析】 知识与技能: １.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:（1)能写出给定向量的坐标;（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段; 2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1)知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标;（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。 3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。 过程与方法: 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法,体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。 情感态度与价值观： 在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流,从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。 重点：平面向量坐标表示的定义 突破办法:渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想． 难点:对平面向量坐标表示生成过程的理解 突破办法:设置情景问题,注意过程分析与引导,力求自然、合理 【教学过程】 (一）问题情境1：倾斜角为３０度的斜面上，质量为10０kg的物体匀速下滑， 欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力,该如何对重力进行分解? 设计说明:引出课题。 回顾向量基本定理,构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。 （二）向量坐标表示的定义探究 问题１：如图所示，取与x轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ,ｊ为基底，分别用i,j表示向量ａ、b.
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标： 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 教学过程： 一.复习引入 平面向量基本定理及应用 二.思考分析 在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量． 问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3. 三.抽象概括 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间向量的坐标表示 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
平面向量的正交分解与坐标表示
140206平面向量的正交分解与坐标表示 140206平面向量的正交分解与坐标运算 教学目的:掌握平面向量的正交分解方法,会运用坐标计算向量的和、差、数乘运算。 教学重点:掌握平面向量的正交分解方法,会运用坐标计算向量的和、差、数乘运算。 教学难点:掌握平面向量的正交分解方法,会运用坐标计算向量的和、差、数乘运算。 教学过程: 一、问题探索 【问题1】如图,光滑的斜面上,物体会向下滑动, 如何知道使物体下滑的作用力有多大 30时,你能计算出【思考】当重力是4N,斜面的倾斜角是0 下滑的作用力吗 【定义】将一个向量分解为两个互相垂直的向量,称为向量的正 交分解。 二、向量的正交分解与坐标表示 【问题2】将向量a 置于直角坐标系内,以两轴正向的 单位向量i 、j 作为基底, 如何研究向量a 的正交分解式 【结论】1、对于直角坐标平面内的任一向量a ,存在唯一的一 对实数,x y , 使(,)a xi y j x y =+= 2、当向量a 的起点在坐标原点时,终点的坐标是(,)x y 3、||a = 三、平面向量的坐标运算
【问题3】已知11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,求a b + ,a b - 和a λ 【思考】请你总结向量的加法、减法和数乘运算的法则。四、向量坐标运算的应用 O i j x y a 【例1】已知(,)A A A x y 、(,)B B B x y ,求证: (,)B A B A AB x x y y =-- 【例2】已知)2,3(-=a ,)1,2(-=b ,)4,7(-=c ,若b a c μλ+=,求实数λ和μ的值。 【例3】平行四边形的三个顶点的坐标是A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),求第四个顶点的坐标。 【练习】 1、已知)4,3(-=a ,)1,1(-=b 且A B = b a 23-,若B 点坐标是 (1,0),求A 点坐标。 2、已知M是圆22 x y -+-=上的动点,A点坐标是(1,1), (3)(3)4 点N在MA的延长线上,且MA=2AN,求动点N的轨迹方程。 五、布置作业 P101 T1 T2 T3 T4 六、课后反思
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式 如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的 有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一 个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一 点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐 标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、 向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是 存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量 的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例
平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 考点一：平面向量的坐标表示 1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 2.已知起点和终点求向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a ＝(x，y)叫做向量的坐标表示. 显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。 变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求 → AB的坐标。 ⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4， 方向如图所示，分别求它们的坐标。 ⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43， ∠x0A=60°,求向量 → OA的坐标。 ⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所 示，求a的坐标。 考点二：相等向量的坐标表示 例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与 → AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______. 变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则 x=_______,y=_______. ⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则 x=_______,y=_______. ⑶已知向量i=(1,0),j=(0,1)，a=(3i+3j),则a的坐标是 ______.
空间直角坐标系及空间向量的坐标表示
选修2—1 第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的坐标表示 总第(4)教案 （理科使用） ● 教学目的： 1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标； 2、掌握空间向量坐标运算规律； 3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4、会用中点坐标公式解决有关问题● 教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算● 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 教学过程： 一、复习引入： 空间直角坐标系： （1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为1，这个基底叫单位正交基底，用{} k j i ,,表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{} k j i ,,，以点O 为原点，分别以k j i ,,的方向为 正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz -，点O 叫原点，向量 i ,都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分 别称为xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系） 2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一 的有序实数组(,,)x y z ，使z y x ++= ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算：(类比平面向量的坐标运算) （1）若),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则 ),,(332211b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a ---=-， ))((321R a a a ∈=λλλλλ，，， 332211b a b a b a ++=?， ‖? 332211,,b a b a b a λλλ===（R ∈λ） 0332211=++?⊥b a b a b a 模长||3 22212a a a ++= （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则 ),,(122212z z y y x x AB ---=． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 |AB|=2 12212212)()()(z z y y x x -+-+-
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示 教学目标： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： ) 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22 e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 （ ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○ 2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= ； （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1) （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例： 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标. 例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
空间向量的标准正交分解与坐标表示
空间向量的标准正交分解与坐标表示 【学习目标】 理解空间向量的正交分解及坐标表示 【学习重点】 单位正交基底，空间直角坐标系的概念 【学习难点】 掌握空间向量的正交分解及坐标表示 【课前预习案】 一、复习 1.平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P，,a b是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y，使得向量P可以用,a b来表示，表达式为，其中,a b叫做。若a b ⊥，则称向量P正交分解。 2.平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量 =+，，,i j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a xi y j 则称有序对(),x y为向量a的，即a＝。 二、课本助读：认真阅读课本第33—34页的内容。 1.空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为正方向上的向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数，使得a=x i＋y j＋z k，我们把a=x i＋y j＋z k叫作a的，把i，j，k叫作。 （x，y，z）叫作空间向量a的，记作a=(x，y，z)，a=(x，y，z)叫作向量a的。
2.我们把,,a i x a j y a k z ?=?=?=分别称为向量a 在x 轴，在y 轴，在z 轴正方向上的投影。 向量的坐标等于 。 一般地，若b 0为b 的单位向量，称 为 上的投影。 3.如下图所示，问： （1）向量OP 在x 轴上的投影； （2）向量OP 在y 轴上的投影； （3）向量OP 在z 轴上的投影； 【课堂探究案】 探究一：向量的坐标表示 例1（P34例1）如图在直角坐标系中有长方体''''ABCD A B C D -,且 2,3,'5AB BC AA === (1) 写出点'C 的坐标，给出'AC 关于,,i j k 的分解式 (2) 求'AD 的坐标 探究二：向量a 在向量b 上的投影 例2（P34例2）已知单位正方体''''ABCD A B C D -，求
空间向量及其运算的坐标表示
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】 题型一 空间直角坐标系 注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．
平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示_
§2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 班级: 姓名: 【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接： 复习1：向量b 、() 0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e - . （二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理 学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形 法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。） 即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+. 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使 。其中，不共线的这两个向量,1e 2e 叫做表示这一平面内所有向量的基底。 问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？ 2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a b ，作=a ，=b ，则 叫 做向量a 与b 的夹角。如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。当 时， 表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当 时，表示a 与b 垂直。 记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为 _____________，叫做把向量正交分解。 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于 直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基 底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得____________， 这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i =__________，j =__________，0=__________ 二、合作探究 【例1】（见课本P94例1） 【例2】已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2 AB CD =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =，AB b =。试用,a b 为基底表示DC 、BC .