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高考数学二轮复习3大题型14个填空题强化练十二椭圆双曲线和抛物线含解析

14个填空题专项强化练(十二) 椭圆、双曲线和抛物线

A 组——题型分类练

题型一椭圆的定义及标准方程

1．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 2

＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则△

PF 1F 2的面积为________．

解析：因为PF 1＋PF 2＝14，又PF 1∶PF 2＝4∶3，所以PF 1＝8，PF 2＝6. 因为F 1F 2＝10，所以PF 1⊥PF 2.

所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝1

2×8×6＝24.

答案：24

2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，

F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆方程为________________．

解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上，知4a 2＋3

2＝1.

①

又PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，即2×2c ＝2a ，c a ＝1

，②

又c 2

＝a 2

－b 2

，③

联立①②③得a 2

＝8，b 2

＝6. 故椭圆方程为x 28＋y 2

6＝1.

答案：x 28＋y 2

6＝1

[临门一脚]

1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax 2

＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0且A ≠B )；若A ＜B ，则焦点在x 轴上；若A ＞B ，则焦点在y 轴上．

2．椭圆的定义中一定满足“PF 1＋PF 2＝2a ，且a ＞c ”，用椭圆的定义求解a ，b ，c 有时比用方程简便．

题型二椭圆的几何性质

1．椭圆x 29＋y 2

＝1的离心率是________．

解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2

＝5， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53

. 答案：

2．椭圆x 2

＋my 2

＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________. 解析：由题意可得， 1

m ＝1

，所以m ＝4. 答案：4

3．已知圆C 1：x 2

＋2cx ＋y 2

＝0，圆C 2：x 2

－2cx ＋y 2

＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，若

圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．

解析：圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需?????

2c ≤a ，c 2a 2＋c

b 2≤1?0<

c a ≤12

答案：? ??

??0，12 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的

圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________．

解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2

＋y 2

＝a 2

，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝

2ab

b 2

＋a

＝a ，得a 2＝3b 2

，所以C 的离心率e ＝

1－b 2a 2＝6

. 答案：

[临门一脚]

1．弄清楚a ，b ，c ，e 的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示． 2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a ，b .

3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a ，b ，c 的方程或不等式．题型三双曲线的定义及标准方程

1．F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29－y 2

7＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|

＝8，则△PF 1F 2的周长为________．

解析：由双曲线的方程可知a ＝3，b ＝7，所以c ＝4，则|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝2，|F 1F 2|＝2c ＝8，据此可知△PF 1F 2的周长为8＋2＋8＝18.

答案：18

2．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝1

2x ，则该双曲线的标准方程

为________________．

解析：设双曲线的方程为x 2

4－y 2

＝λ(λ≠0)，则

－12

＝λ，解得λ＝1，故双

曲线的标准方程为x 2

－y 2

＝1.

答案：x 2

－y 2

＝1

3．(2018·柳州模拟)设双曲线x 29－y 2

6＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交

双曲线左支于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最小值为________．

解析：|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋|AF 1|＋2a ＋|BF 1|＝4a ＋|AB |≥4a ＋2b 2

a ＝4×3＋2×6

3＝16.

答案：16

4．设双曲线与椭圆x 227＋y 2

36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为

(15，4)，则此双曲线的标准方程是____________．

解析：法一：椭圆x 227＋y 2

36＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，

b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|

15－

＋－

－15－

＋＋

＝4，故a ＝2.又b 2

＝32

－a 2

＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 2

＝1.

法二：椭圆x 227＋y 2

36＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2

2＝1(a >0，b >0)，

则a 2

＋b 2

＝9，①

又点(15，4)在双曲线上，所以

16a 2－15

2＝1，②

联立①②解得a 2

＝4，b 2

＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 2

5＝1.

法三：设双曲线的方程为x 2

27－λ

＋

y 2

36－λ

＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，

故

1527－λ＋16

36－λ

＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.

故所求双曲线的方程为y 24－x 2

＝1.

答案：y 24－x 2

5＝1

[临门一脚]

1．先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2

，b 2

的值，

即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2

2＝λ(λ≠0)，

再根据条件求λ的值．

2．双曲线的定义运用时，首先要分清楚点在双曲线的哪一支上或在两支上，否则会出错．

题型四双曲线的几何性质

1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2

6＝1的离心率为________．

解析：由已知得，a ＝3，b ＝6，则c ＝a 2

＋b 2

＝3，所以e ＝c a

＝ 3. 答案： 3

2．已知双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的焦距为

________．

解析：由题意得，25

＝2，所以a ＝5，所以c ＝5＋20＝5，所以该双曲线的焦距为

10.

答案：10

3．(2018·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的

一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为________．

解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a 得b ＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝c a

＝

1＋? ??

??b a

2＝ 5.

答案： 5

4．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F

且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．

解析：由题意得E (a,0)，不妨设A ? ????－c ，b 2a ，B ? ????－c ，－b 2

a ，显然△ABE 是等腰三角形，故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而

b 2a

＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e

－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.

答案：(1,2) [临门一脚]

1．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．根据渐近线方程求离心率时要注意有两解．

2．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑： (1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成； (2)通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系； (3)利用点在曲线内部建立不等式关系；

(4)利用解析式的结构特点，如a 2

，|a |，a 等的非负性来完成范围的求解．题型五抛物线

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2

＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．

解析：因为抛物线方程为y 2

＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，设PA ⊥

l ，A 为垂足，

所以PF ＝PA ＝x P －(－1)＝3，所以点P 的横坐标是2. 答案：2

2．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．

解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2

＝12y .

答案：x 2

＝12y

3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2

＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.

直线OA 的方程y ＝

x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6,23)，所以AB ＝4 3.故正三角形OAB 的面积为

2×43×6＝12 3.

答案：12 3

4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2

＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，

PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．

解析：∵抛物线方程为y 2

＝6x ，

∴焦点F ? ????32，0，准线l 的方程为x ＝－32. ∵直线AF 的斜率为－3，

∴直线AF 的方程为y ＝－3? ??

??x －32，

当x ＝－3

时，y ＝33，

由此可得A 点坐标为? ??

??－32，33. ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为? ??

??92，33，

∴PF ＝PA ＝92－? ????

－32＝6.

答案：6 [临门一脚]

1．一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．

2．抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

3．求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p 几何意义要明确．

B 组——高考提速练

1．若双曲线x 2

－y 2

＝1的离心率为3，则实数m ＝________.

解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2

＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m 1

＝3，解得m ＝2.

答案：2

2．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为________．

解析：依题意得AC ＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝AB ＝4，长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2

－c 2

＝216－4＝4 3.

答案：4 3

3．抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2

＋y 2

－2y －1＝0所得的弦长为2，则p ＝________.

解析：抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p

，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)

＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p

2，所以? ????p 22

＋1＝(2)2

，解得p

＝2.

答案：2

4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)上的一点，若PF ―→1·PF ―→

2＝0，tan

∠PF 1F 2＝1

，则此椭圆的离心率为________．

解析：因为PF ―→1·PF ―→2＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，所以PF ―→1⊥PF ―→

2，sin ∠PF 1F 2＝55，cos

∠PF 1F 2＝255.所以PF 1＝455c ，PF 2＝255c ，则PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝5

答案：

5．(2018·苏北四市质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)

的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．

解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，得b a ＝1

，则该双

曲线的离心率e ＝c a

＝

1＋? ??

??b a

2＝

. 答案：

6．已知椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N

与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为____________．

解析：由△FMN 为正三角形，得c ＝OF ＝32MN ＝32×2

b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋

c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 2

＝1.

答案：x 24＋y 2

＝1

7．已知双曲线C ：x 2

3－y 2

＝1与直线l ：x ＋ky ＋4＝0，若直线l 与双曲线C 的一条渐近

线平行，则双曲线C 的右焦点到直线l 的距离是________．

解析：由题意得，双曲线C ：x 2

3－y 2

＝1的右焦点F (2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x ，

又直线l ：x ＋ky ＋4＝0与双曲线C 的一条渐近线平行，所以k ＝±3，所以直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0，所以双曲线C 的右焦点到直线l 的距离d ＝|2＋4|

＝3.

答案：3

8．(2018·镇江高三期末)已知双曲线x 2a

2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2

＝－12x 的焦点重

合，则双曲线的右准线方程为________．

解析：由题意知双曲线x 2a

2－y 2＝1的左焦点为(－3,0)，所以a 2

＝8，因此双曲线的右准

线方程为x ＝8

答案：x ＝8

9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5

，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为____________．

解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点P (－5,4)代入得25a 2＋16

b 2＝1.

又离心率e ＝c a ＝55，即e 2

＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15

，

解得a 2

＝45，b 2

＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 2

36＝1.

答案：x 245＋y 2

＝1

10．已知抛物线x 2

＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2

2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，

Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．

解析：设点P 在第一象限，由题意，p ＝2c ，P (2pc ，c )，即P (2c ，c )，代入椭圆方程，

可得c 2a 2＋4c 2b

2＝1，整理可得e 4－6e 2

＋1＝0，∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.

答案：2－1

11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，

以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别

为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝

F 1F 2AF 2－AF 1＝2c

3c －c

＝3＋1.

答案：3＋1

12.如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l

交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ ―→＝2QA ―→

，则椭圆的离心率为________．

解析：法一：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ ―→

＝

2QA ―→，所以Q ? ??

??－2a 3，a 3，由点Q 在椭圆上得49＋a 2

9b 2＝1，解得b 2a 2＝15，故离心率e ＝

1－b 2

2＝

1－15＝255

. 法二：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故直线AP 的方程为y ＝x ＋a ，与椭圆

方程联立并消去y 得(a 2

＋b 2

)x 2

＋2a 3

x ＋a 2c 2

＝0，从而(－a )x Q ＝a 2c 2a 2＋b 2，即x Q ＝－ac 2

a 2＋b

2，又

由A (－a,0)，P (0，a )，PQ ―→＝2QA ―→，得x Q ＝－2a 3，故－ac 2

a 2＋

b 2＝－2a 3，即5

c 2＝4a 2，e 2

＝45，

故e ＝25

答案：255

13．(2018·南京四校联考)已知右焦点为F 的双曲线的离心率为2，过点F 且与一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线交于点A ，AF ＝2，则该双曲线的标准方程为____________．

解析：法一：由e ＝2知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，不妨设直线l ：y ＝x －c ，

联立得?

y ＝x －c ，y ＝－x ，解得A ? ????c 2

，－c

2，AF ＝

? ????c －c 22＋? ??

??0＋c 22＝2，解得c 2＝8，又由e ＝

2知，a 2

＝b 2

＝4，故双曲线的标准方程为x 24－y 2

＝1. 法二：由e ＝2知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，且两条渐近线互相垂直，此时AF ＝2＝b ＝a ，故双曲线的标准方程为x 24－y 2

＝1.

答案：x 24－y 2

＝1

14.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

上顶点为A ，离心率为1

，点P 为椭圆在第一象限内的一点．若S △PF 1A ∶

S △PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．

解析：连结AF 2交PF 1于点B .由S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1得AB BF 2＝2

.而A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以由A ，B ，F 2三点共线得B ?

??2c 3，b 3，

kPF 1＝

3－0

2c 3

－－c

＝b 5c .又因为离心率为1

，所以a ＝2c ，b ＝3c ，故kPF 1＝b 5c ＝3

答案：35

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11

抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为；（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^20，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1x2时，直线与圆相离；当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F） <二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

高考数学试题分类大全

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

高三数学-抛物线专题复习

抛物线平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左 - 向上向下题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》

变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ：

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，