用射影面积法求二面角在高考义中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！
定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'
S ，平面α和
平面β所成的二面角的大小为θ，则S
S '
cos =θ.
本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.
证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '
，作BC AD ⊥于D ，连结AD.
α⊥'AA 于'A ，α∈D ， AD ∴在α内的射影为D A '.
又α?⊥BC BC AD , ，
BC D A ⊥∴'
（三垂线定理的逆定理）. '
ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.
设△ABC 和△BC A '
的面积分别为S 和'
S ，θ=∠'
ADA ，则D A BC S AD BC S '
'2
1,21?=?=.
S
S AD BC D A BC AD D A '
''
2
121
cos =
??==∴θ. 典题妙解
下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1 如图, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则
面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( )
A.?45
B. 21arctan
C. 4
2arctan D. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，
.31)22(,22,52211=+===EC BC BE
.10
3
cos 1sin ,1012cos 12112
12
121=∠-=∠=?-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC
.32cos ,221,3sin 21''
11===?==∠?=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ
3
2arccos
=∴θ. 故答案选D.
例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形, SD ⊥面AC, SB =
3.
(1) 求证:BC ⊥SC;
(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小;
(3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD ⊥面AC ， ∴SC 在面AC 内的射影是SD.
又 四边形ABCD 是正方形，?BC 面AC ， ∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.
（2）解： SD ⊥面AC ，?CD 面AC ，CD SD ⊥∴.
又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.
∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ .
1,2,3,1,902222=-==-=∴==?=∠CD SC SD BC SB SC SB BC SCB .
'
A
A
B D C
α
1
C A
1 C A
.2
2
cos ,2121,2221''===?==?=∴S S SD AD S SC BC S θ 故4πθ=.
所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4
π. （3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME.
EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.
∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME
25
,232122=
+===
AE AD DE SB ME ， 2
2
21,222=
=
=+=
SA MD SD AD SA . 0
2cos 2
22=?-+=∴ME
MD DE ME MD θ. 故2πθ=.
所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2
π. 解法二：
⊥BA 面SAD ，
∴SB 在面SAD 内的射影是SA.
又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 . 而?DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为
2
π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB =
2，AF = 1，M 是线段EF 的中点.
(1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 2
1
=
，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 2
1
=
， AO EM =∴，EM ∥AO.
∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.
又?EO 平面BDE ，
∴ AM ∥平面BDE.
（2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.
又 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ，
∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥.
而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴.
?BD 平面BDF ，
∴面AE ⊥平面BDF.
（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥ ,,，ADF BA 面⊥∴.
∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. AB =
2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .
连结FO ，则2,22=-=
⊥BO FB FO BD FO .
.2
1cos ,2221,221''
===?==?=∴S S AF AD S FO BD S θ
故3
π
θ=
.
所以二面角A —DF —B 的大小为
3
π. 例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，?=∠=60,22PAB PD .
（1）证明：AD ⊥平面PAB ；
（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小.
D M
C B
E F
M
C B
E
F
O
D M
C B
E
F
O
P
A D
B
（1）证明：,22,2===PD PA AD 2
2
2
PD PA AD =+∴. ?=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥. 又 四边形ABCD 是正方形，
AB DA ⊥∴.
而A PA AB = ，AB 、PA ?面PAB ，
∴AD ⊥平面PAB. （2） AD ∥BC ，
∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠.
在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，?=∠=60,22PAB PD ，
7,72222==?-+=∴PB AB PA AB PA PB .
由（1）得，AD ⊥平面PAB.
PB CB ⊥∴，即?=∠90CBP .
又 BC = AD = 2，
27tan =
=
∠∴BC PB PCB . 2
7
arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为2
7
arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.
由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB = ，
⊥∴PE 面ABCD.
∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设
它们的面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ .
2,160cos ,1322=-==?==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .
14
255
cos 1sin ,14212cos 2222=
∠-=∠=?-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 22
1,255sin 21'=?==∠??=
∴AD BE S BPD PD PB S . 55
4
cos '=
=∴S S θ，554arccos =θ. 所以二面角P —BD —A 的大小为55
4arccos
.
点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！
金指点睛
1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.
（1）证明：AB ⊥平面V AD ；
（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.
V
D C
A B
P
A D
B C
E
2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.
（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.
3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，?=∠90ABC ，PA ⊥平面
ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.
4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是
SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为?60，求λ的值.
S
A B
D C
E
1C
C B
A
D
E
1A
1B E
B C
A D
P
金指点睛的参考答案
1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面
V AD ⊥底面ABCD.
（1）证明：AB ⊥平面V AD ；
（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,, .
又 平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ?平面V AD ， ∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.
AB ⊥AD ，AB ?底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）.
而,A AD VA = V A 、AD ?平面V AD ，
故AB ⊥平面V AD.
（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，
∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,22
2=+==
VA AB VB BD .
47
c o s 1s i n ,432c o s 2222=
∠-=∠=?-+=∠V B D V B D BV BD VD BV BD VBD . 4
3
60sin 21,47sin 21'=??==∠?=
∴VD VA S VBD BV BD S . 721cos '==∴S S θ，7
21arccos =θ.
所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为7
21arccos
. 2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.
（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21=
=，求二面角11C AD A --的大小.
（1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF.
EF EC AE FC AF ∴==,,1 ∥112
1
,CC EF CC =.
在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，12
1
BB DB =
， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC.
∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥.
在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，
D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=?=∠=∠=.
∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.
D C AD 1=∴. 而,1EC A
E = 1AC ED ⊥∴
所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线. （2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴==
= .
?=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB
1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .
∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.
设AB = BC = 1，
则2
2,2
6
,2
2
,2,22222111=
-==
+==
===AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC . 4
2
21,22211'1=?==?=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===
S S 所以二面角11C AD A --的大小为
3
π
. V
D C 1C
C B
A
D
E
1A
1B 1C
C B
A
D
E
1A
1B F
1C
C B
A
D
E
1A
1B
3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，?=∠90ABC ，PA ⊥平面
ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.
（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，?=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6. 3
3
t a n ,33t a n =
=∠==
∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ?=∠=∠∴30ACB ABD . 而?=∠+∠90DBC ABD ， ?=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.
又 PA ⊥平面ABCD ，?BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.
A AC PA = ，PA 、AC ?平面PAC ，
故BD ⊥平面PAC.
（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.
∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.
7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC .
72)(,522222=-+=
=+=AD BC AB DC AD PA PD .
3330cos ,30,90=??=∴?=∠?=∠BC EC ACB BEC .
5
431
cos 1sin ,5472cos 2222=
∠-=∠=?-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 362
1
,312sin 21'=?==∠??=
∴PA EC S CPD PD PC S . .31
93
3arccos ,31933cos '===θθS S
所以二面角A —PC —D 的大小.31
93
3arccos
4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是
SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为?60，求λ的值. （1）证明：连结BD.
四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴.
又 SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，
且a DE λ=（0＜1≤λ），
∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.
（2）解：设O BD AC = ，连结EO.
SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，?CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴.
又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.
而D AD SD = ，SD 、AD ?面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE.
∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ，
则?=60θ.
a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===
∴== .
a AO EA EO AC EO 2
42,2
2
2
λ+=-=⊥∴.
2
121cos ,2121,221212'2'22=+===?=+=?=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .
解得22=
λ，所以λ的值为2
2
. E
B C
A D
P
E
B C
A D
P
S
A B
D C
E O
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
射影面积法求二面角
射影面积法（cos S S 射影原 q = ） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ= 1 11?? 3 。 例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =， BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得： 2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ， 2==EC AE 则1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 1 21=?=?= =?EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为?，则3 3 3 1cos = = = 原 射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ= 3 2）. A C B E P A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5
二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角 的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
射影面积法
射影面积法 在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即 以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。二面角为X 则COSX=S2/S1 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO 逆定理 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 用法： ⊥AO ∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。 已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO 证明：连接PA ， OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。 ∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。 ∴ ∠BAO=∠CAO 用公式法求二面角的平面角 大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就 确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ， ， ， 二面角 的平面角为 ，则有 ． 略证：如图， ， ，则 ．令 ， ．在 △ 中， ， ．同理， ， ．故 ． 又在△ 中， ， ① 在△ 中， ． ② α A B C O P E F
高中数学《二面角的平面角及求法》练习
高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面； 若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝． （1）求证：平面； （2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值； （3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论； （2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将 ，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示． （1）试判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值．
8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面 上的投影为直线与的交点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 9. （ （1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面； 求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝． （1）证明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．
第二章 航空摄影测量的基本知识
第二章航空摄影测量的基本知识 主要内容 1.航摄仪和感光材料 2.航摄基本知识及其作用 比例尺重叠度（航向旁向） 相片偏角 3.投影比较：类型特点 第一节航空摄影仪与感光材料 一、航空摄影仪 指航空摄影机、地面摄影测量用的摄影经纬仪，以及近景摄 影测量用的摄影机，简称摄影机。主要由暗箱和镜箱构成。 1.镜箱物镜 物镜筒 座架 框标平面镜箱体是一个可调节摄影物镜与像平面之间距离的封闭筒 2.暗箱： 3.框标平面:镜箱体后端为一金属框架，研磨成极为精确的平面 作用：像点坐标量测 3.框标坐标： 在框标平面内区其交点作为坐标原点，建立起框标直角坐标系。航摄软片紧密贴附在框标平面上，所以框标平面即为像
平面的位置。 4.像主点：摄影机主光轴与像平面的交点 5.摄影机主距（像片主距）：摄影机物镜后节点到像片主点的垂距称为摄影机主距，也叫像片主距，一般用字母f表示。 二、分类 （一）按摄影物镜焦距和像场角分为： 1.短焦距航摄仪， f＜150 mm，相应的像场角为β＞100o； 2.中焦距航摄仪 f:150 mm＜＜300 mm，像场角为70o＜β＜100o； 3.长焦距航摄仪 f＞300 mm，相应的像场角为2≤70o。 二、分类 （二）按照像幅（正方形）大小分： 1.短焦距航空摄影机的像幅多为18 cm×18 cm 2.中焦距航空摄影机的像幅有18 cm×18 cm和23 cm×23 cm 3.长焦距航空摄影机的像幅多为23 cm×23 cm和30 cm×30 cm 第二节航空摄影测量对摄影资料的基本要 求 ?测绘地形------摄影多采用竖直摄影方式，即航摄机在曝光瞬 间物镜主光轴保持垂直于地面。 ?《航空摄影测量规范》要求像片倾角应小于2o～3o。
最新版,二面角求法与经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
面积射影定理
面积射影定理 射影定理是我们初中时就接触了的几何定理，它是由古希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理，在它的帮助下我们不仅可以证明勾股定理，还可以快捷地解决许多几何问题。在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理——面积射影定理。 定理的叙述如下：平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即原射S S =θc o s ） 。 相信大家对这个定理一定不会感到陌生，因为在学习立体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值。但是定理的相关证明并没给出，所以在这里提供一种方法（可能不是很靠谱-_-）。 本着由特殊到一般的理念，我们就先从三角形开始吧。 个三角形所在平面成θ角，而为了方便，不妨将它们平移至
特殊位置。（如图） 于是易知θcos ==??DE CE ABD S ABC S 。而对于无法平移至一边重合的三角形，我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形，再结合相似知识，同样可以得证， 接下来我们开始讨论一般图形了，一般图形所具有的特点是没有明显的高和宽，这就迫使我们不得不转变思路。所以，我们可以尝试将图形分割，并且可以想象，当图形被等分成无限多块时，如果每一小块都符合定理，那么整个图形也就同样符合了。因此，我们以一个不规则图形为例进行说 B A
明。 在图示的心形图形中，我们将图形用正方形网格进行分割，当网格数趋于无穷大时，图形将被分割为无限多块面积相等的小正方形（就如同构成影像的像素），所以证明一般图形就转为证明正方形了。在证明正方形时我们则可以将正方形分成两个三角形，再结合上开头的结论，这样，证明就完成了。 关于面积射影定理的应用，当属大家所熟知的求二面角余弦值了。但是在其他地方它也可以大显身手，比如求椭圆的面积。 我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形，
最新版,二面角求法及经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
立体几何基本方法总结
立体几何基本方法总结 三个平行互相转化图
三个垂直互相转化及平行垂直转化
求法 几何法及其他方法 向量法 异面直线所成角 1、 取点找平行 1、建系写点坐标 2、 证平行定角 2、求两直线方向向量 3、 二角形求角 3、代入公式求角 4、 取舍得结论 4、得结论 公式： . -7* . | a b| cos | cos a,b | |a| |b| 范围： 其中：a 、b 分别是两直线的方向 向量。 斜线与平面所成角： 1、 看清线与面， 1、建系写点和相关向量坐标 斜线与其在平面内的射影 2、 取点找射影； 2、求直线方向向量和平面法向量 所成的锐角 3 、 证线面垂直， 3、代入公式求角 4、 定角再求角 4、得结论 公式： . "| a n I sin | cos a,n | 丄 —A |a| |n| 其中：a 为直线方向向量， n 为平 范围： 面法向量 二面角 几何法： 1、建系写点和相关向量坐标 一面角平面角的作法： 1、 认准两面和一棱， 2、求两平面的法向量 ①直接法：（略） 2、 取点找棱两垂线， 3、代入公式求角 ②三垂线法：如图，作 PH LB, 3、 注意分别在两面； 4、根据图形判断是锐二面角还是 PEL l 连EH ,由三垂线定理逆定 4、 证两个线线垂直， 钝二面角，从而取值。 理知EH / -p y 5、 即可定出平面角， 公式： 丄1 ，故 6、 之后求角得结论。 / PEH 为 r E -f | | cos | | cos a,n | - a n | 二面角的平面角；或作PHL B 过 I a I |n| H 作HEX 1，连PE 由三垂线定 射影面积法：cos B = S 射 — 理知，PE11，故/ PEH 为二面角 S 其中：a 为直线方向向量， n 为平 的平面角。 S 射表示一个面内某多边 面法向量 ③垂面法：若平面丫垂直于二面 形在另一个面内的射影 角a - 1 - B 的棱丨，（或Y 与a 、 多边形面积； B 都垂直）且与a 、B 分别交于 S 表示原多边形的面积 OAOB 则/ AOB 即为二面角a -1- B 的平面角。 范围：
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
二面角的计算(方法加经典题型)
二面角的求法 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α C B A
例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。 （I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ； （III ）求二面角P BC D --的大小。 2、 如图1-125， PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 的正切值。 18、（本题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A C D P E
射影定理
射影定理 射影定理，又称“欧几里德定理”，由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。内容是：指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下： CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，AC·BC=AB·CD。 目录 1定理介绍 ?定理解释 ?定理提出者简介 2直角三角形射影定理 ?证法一 ?证法二 3任意三角形射影定理 ?内容 ?定理证明 4欧几里得面积射影定理 ?定理内容 ?证明思路 1定理介绍 定理解释 所谓射影，就是正投影。直角三角形或任意三角形中的射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：[1] 直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1] 定理提出者简介
欧几里得（希腊文：Ευκλειδη?，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。 他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。[2] 2直角三角形射影定理编辑 证法一 可以只用勾股定理来证明。 ①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD 证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2 ∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2 ∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2C D^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD ②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD) ∴AC^2=AD×AB ③∵BC^2=DC^2+BD^2 且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)×BD=AB×BD ∴BC^2=AB×BD ④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD 证法二 用三角函数证明 直角三角形中的射影定理 由等积法可知：AB×BC=BD×AC 在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB
求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法 面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点?对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们 并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 1.1二面角的相关概念 新教材⑴在二面角中给出的定义如下： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的 平面角中去研究?教材如下给出了二面角的平面角的概念： 二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平 面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角? 2.二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角 形的边角问题加以解决?定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介 绍? 2.1定位二面角的平面角，求解二面角 二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点?已知A和B到棱的距离分别为2和4,且 线段AB =10 ,试求： (1 )直线 AB 与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.
二面角问题求解方法大全
v1.0 可编辑可修改 五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 1 1 1 1 1 ABCD P -ABCD ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥ AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600 的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（cos s S q = 射影） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 A B C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角 1.二面角的概念： 二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为 l αβ--. 2．二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 3、二面角的大小 （1）二面角的平面角范围是[0,180]； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 4、用法向量求二面角 5、面面角的求法 （1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 （2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。 D C β α B A O m 2 m 1 n 2 n 1 D C β α l 如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。 如图，设 1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?== ?
小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角: 二.求二面角的平面角: 例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？ 例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?==?
全国高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
1 / 7 二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角.∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G F G
学会用面积法解证几何题
学会用“面积法”解证几何题 楚雄育才学校 刘宪敏 在初中几何课教学中，常常会遇到一些与直角形有关的证明题或计算题，在解决此类问题时，若我们能够利用“面积”这一中介来求解，往往会达到异象不到的效果，下面举几个例子来说明。 例1、在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是AB 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，求证：2 2 42b a a b DE += 。 【分析】：1、如图（1）所示，此题的常规解法是证明Rt △ABM ∽Rt △DEA ，从而得出 AD AM DE AB =，又22BM AB AM +=代入上述比例式即可得出证明 结果。 2、考虑到此题有一些Rt △，因此，我们还可以这样来分析，如图（2所示），连结DM ，易证Rt △ABM ≌Rt △DCM ，由此利用“面积”来证明（∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM ），证明过程如下： 证明：如图（2）所示，连结DM ∵M 是BC 的中点 ∴BM=CM ∠B=∠C=900 ?Rt △ABM ≌Rt △DMC A E B C D A E D
AB=AC 又∵S 矩形ABCD =S △AMD +2S △ABM 即：a b DE AM ab ???+?=2 121221 ∴AM ?DE=ab 又∵2 442 222 2 2 b a b a BM AB AM +=+=+= ∴2 2 42b a a b DE += . 说明：在解证与矩形有关的问题时，可将其分解成几个直角三角形，从中利用“面积”来解题。 例2、在Rt △ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则Rt △ABC 的内切圆半径为： 。 解法一：（运用切线长定理） 如图（3）所示，设⊙0切AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ， AE=AD=x ；BD=BF=y ，于是：x=a-R ，y=b-R ，c=x+y=a-R+b-R ， ∴R= 2 c b a -+ ① 解法二：（用面积法）如图（4）所示， 连结OA 、OB 、OC 则有：S △ABC =S △AOC +S △ COB +S △BOA E C F A E C F