高三一轮复习等差数列知识点精讲]

高三一轮复习等差数列知识点精讲

知识精讲

1．等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

【例1】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

【例2】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列

2．等差数列通项公式：*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项为1a ，公差为d ，末项为n a 推广：d m n a a m n )(-+=，从而m

n a a d m

n --=

；

总结：等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

【例1】（2003年全国高考题）等差数列{a n }中，已知a 1＝1

3

，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）

A ．48

B ．49

C ．50

D ．51

【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 。

【例3】（2006年全国卷1）设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11+a 12+a 13等于（ ）

A.120

B.105

C.90

D.75

【例4】若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-10n(n ＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________；数列{na n }中数值最小的项是第_______项。

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 【例1】如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++= 那么

【例2】已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则等差数列的公差为（ ）

A ．3或－3

B ．3或－1

C ．3

D ．－3

【例3】（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ） A 、5

B 、6

C 、8

D 、10

【例4】在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π

3

)＝（ ）

A.3

2

B.12

C ．－

3

2

D ．－12

【例5】（2009北京东城高三第一学期期末检测）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______. 【例6】等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）

A ．21n a n =+

B ．21n a n =-

C ．23n a n =-

D ．25n a n =-

4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n +时，

1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项：()()()121211

21212

n n n n a a S n a +++++==

+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

【例1】（2011年高考江西卷文科）设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）

A.18

B.20

C.22

D.24

【例2】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 【例3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则

【例4】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972,___.S a a a =++=则，则a 5为

______. 【例5】设{}n a 是公差为-2的等差数列，如果a 1+a 4+….. + a 97 =50，那么a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）

A.-182

B.-78

C.-148

D.-82

【例6】（2006年重庆高考题）在等差数列{}n a 中，若a 4+a 6=12，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则S 9的值为（ ）

A.48

B.54

C.60

D.66

【例7】（1）已知等差数列{}n a 的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项。 （2）等差数列-16，-12，-8……，前几项的和为72？

5．等差数列的性质

（1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

【例1】已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k = 【例2】在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 【例3】等差数列}{n a 中，a 2+a 7+ a 12 =24，求S 13 =

【例4】已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10=

【例5】（2005年福建高考题）已知等差数列}{n a 中，a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12=（ ）

A.15

B.30

C.31

D.64

（2）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 （3）若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 【例1】在等差数列{a n }中，若S 4=1，S 8=4，则a 9+a 10+a 11+a 12=

【例2】设S n 是等差数列{a n }的前n 和，若31

84=S S ，则=16

8S S

6．等差数列前n 项和的最值 【例1】已知数列{a n }为等差数列，若

a 11

a 10

<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为（ ） A ．11

B ．19

C ．20

D ．21

【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ）

A.a 19＞0,a 21＜0 B .a 20＞0,a 21＜0 C.a 19＜0,a 21＞0 D.a 19＜0,a 20＞0

【例3】等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=

【例4】等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

【例5】若{a n }是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是

6．等差数列前n 项和的比值问题

【例1】（武汉调研）已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若132+=n n

T S n n ，求8

8a a

【例2】（2004年福建高考题）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

95a 35=a ，则=5

9S S

（ ） A ．1

B ．-1

C ．2

D ．

2

1

【例3】设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=

n n T S n n ，那么=n n b a ________ 7．设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 【例1】成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数。

8．设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

①当项数为偶数n 2时，

()

121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++???+=

=奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶

()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a

S na a ++=

=奇偶

②当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=??

-==????

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 【例1】一个等差数列的前12项和胃354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d

【例2】项数为2n+1的等差数列{}n a 的奇数项的和和偶数项的和之比为 。

【例3】项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数

【例4】已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）

A.5

B.4

C.3

D.2

【例5】等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2010，S 20092009－S 2007

2007

＝2，则S 2010的值为________.

山东省济南市第一中学高三等差数列复习专题

一、等差数列选择题 1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）

2021高考数学考点精讲精练《02 解析式》(讲解)(解析版)

考点2：解析式 【思维导图】 【常见考法】 考点一：待定系数法 1.已知()f x 是一次函数，且()94f f x x =+????，求()f x 的解析式. 【答案】()31f x x =+或()32f x x =-- 【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()()()2 94f f x k kx b b k x kb b x ??=++=++=+??， 得294 k kb b ?=?+=?，解得31k b =??=?或3 2k b =-?? =-?.因此，()31f x x =+或()32f x x =--. 2.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求：求 ()f x 的解析式； 【答案】 ()2 1f x x x =-- 【解析】设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则有()()22 11222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对

任意实数x 恒成立，2222220a b a c =??∴=-??+=? ，解之得1,1,1a b c ==-=-，()2 1f x x x ∴=--. 考点二：换元法 1．已知 1()1x f x x = -，则()f x 的解析式为 。 【答案】．1 ()(01 f x x x = ≠-，且1)x ≠ 【解析】令t =1x ，得到x =1t ，∵x ≠1，∴t ≠1且t ≠0，∴()1 1(1111t f t t t t = =≠--且t ≠0) ∴()1 (01 f x x x = ≠-且x ≠0)， 2. 已知函数1)1f x =-，则函数()f x 的解析式为 。 【答案】2 ()2(1)f x x x x =+≥- 【解析】 (1)1f x x -=-令1t =则1t ≥-，且()2 1x t =+ ()2 1)()11f f t t ∴==+-，()1t ≥-2()2f x x x ∴=+，()1x ≥- 3.已知2 2 1111x x f x x --??= ?++??，则()f x 的解析式为 。 【答案】 2 21x x + 【解析】令11x t x -=+，得11t x t -=+，∴()2 2211211111t t t f t t t t -??- ?+??==+-?? + ?+?? ，∴()2 21x f x x =+． 4.已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x)＝ . 【答案】f (x )＝ln x ＋1 【解析】根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1。 5.设 若 ，则f(x)= .

2019年高考数学知识点专题精讲与知识点突破：三角函数(含答案解析)

高考数学精品复习资料 2019.5 20xx 高三数学知识点汇总 四、三角函数： 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈+=αββ 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角：③④⑤⑥ （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断 2 α 所在的象限。 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 x y O x y O

已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。 （7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取 一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αs in ； =αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： α 0 6 π 4 π 3 π 2 π π 2 3π sin α cos α αtan αcot 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 平方关系是 ， ， ； 倒数关系是 ， ， ； 商式关系是 ， 。 作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 （2）诱导公式： ααπ?+k 2： ， ， ； ααπ?+： ， ， ； x y O a x y O a x y O a y O a

等差数列专题训练

等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212

2021高考数学考点精讲精练《04 单调性》(讲解)(解析版)

考点4：单调性【思维导图】

【常见考法】 考法一：单调性的判断 1．下列函数中，满足“?x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1 x －x D ．f (x )＝ln(x ＋1) [答案】C 【解析】 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1 x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x C ．y x = D ．1y x =- 【答案】D 【解析】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x 在区间(0,)+∞上单调递增； 由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增； 结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ． 考法二：求单调区间 1．函数()() 2 ln 56f x x x =-+-的递减区间是__________. 【答案】5 ,32?? ??? 【解析】意可知2560x x -+->，解得23x <<，所以()() 2 ln 56f x x x =-+-的定义域是()2,3， 令()2 56u x x x =-+-,对称轴是52 x = ， ()256u x x x =-+-在52,2?? ?? ? 上是增函数，在5,32 ?? ?? ? 是减函数， 又 ()ln f u u =在定义域()0,∞+上是增函数，

等差数列(高三文科数学第一轮复习)

课题：等差数列（高三文科数学第一轮复习） 开课时间：20XX 年10月 18 日 授课班级：高三（4）班 主讲教师: 张文雅 [教学目标] 1、 知识目标：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用 等差数列的性质解决有关问题。 2、 能力目标：培养学生观察能力、探究能力、体现用方程的数学思想方法分析问题、解 决问题的能力。 3、 情感目标：通过等差数列公式的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于思考、善于思考的品质。 [重点]：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式 [难点]：理解并掌握等差数列的有关性质及应用。 [教学方法]:类比式、 探究式、讨论式、合作式。 [教学过程]： 知识梳理： 一、等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则该数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 用式子可表示为 二、等差数列的公式： 2、等差数列的前n 项和公式： 三、等差中项： 巩固练习： {}17611,35)5(S S S n a S n n 求项和，且的前是等差数列已知+= 四、判定与证明方法： ) ,2(1*-∈≥=-N n n d a a n n d m n a a m n )(-+=推广：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=,的等差中项与叫做成等差数列，那么、、如果b a A b A a b a A +=2且为同一常数；的任意自然数，证明定义法：对于12)1(--≥n n a a n )2,(1 ≥∈=-*-n N n d a a n n 即：d n a a n )1(11-+=：、等差数列的通项公式)(*∈N m n 、{}670669668667,20053,1)1(1、、、、）等于（则序号的等差数列，如果公差为是首项D C B A n a d a a n n ==={}614515,70,102a a a a n 求中）等差数列（=={}11128,168,48,)3(a S S S n a n n 求若项和为的前等差数列=={}725,32554a a S a n 求且项和的前）若等差数列（==的思想解决问题。 外两个，体现了用方程，知其中三个就能求另、、、、共涉及五个量及注：n n n n n S a n d a d n n na a a n S d n a a 11112)1(2)()1(-+=+=-+=

艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程

考点三十七 直线及其方程 知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.

5．线段的中点坐标公式 若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 典例剖析 题型一 直线的倾斜角和斜率 例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π 解析 斜率k ＝ －1－33－(－3) ＝－3 3， 又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________． 答案 －3 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点 求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率． 题型二 直线方程的求解 例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2， 即x ＋2y －4＝0.

高考数学一轮复习专题：等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】 等差数列的四种判断方法

高三数学等差数列测试题 百度文库

一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（ ） A ．2m B ．21m + C ．22m + D ．23m + 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之

高三一轮复习等差数列及其前n项和

等差数列及其前n项和 突破点一等差数列的基本运算 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系 [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1) 2d＝ n(a1＋a n) 2. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．() (4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 二、填空题 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________． 答案：3 2．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________． 答案：14 3．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4 4．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________. 答案：n2 [典例感悟] 1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10

2021高考数学考点精讲精练《20 递推公式求通项(第1课时)》讲解(解析版)

考点20 递推公式求通项（第一课时）【思维导图】

【常见考法】 考法一：公式法 1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a = 。 【答案】21n 【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n S n n =+当1n =时,代入可得2 11123S a ==+= 而由1n n n a S S -=-,代入可得()()22 2121n a n n n n ??=+--+-?? 21n =+ 当1n =时上式也成立综上可知21n a n =+ 2．已知数列 {}n a 的前n 项和31n n S =+，则它的通项公式是n a =_____; 【答案】()()1 41232n n n -?=? ? ?≥?? 【解析】 数列{}n a 的前n 项和31n n S =+ ∴114a S ==，1131(2,)n n S n n N -*-=+≥∈, 又 1(2,)n n n n N a n S S *-=-≥∈， ∴1131(31)23(2,)n n n n a n n N --*=+-+=?≥∈，检验当1n =时，11112324a S -=?=≠=， ∴()14(1)232n n n a n -=?=??≥?

3．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是 。 【答案】23n n a =? 【解析】当1n =时，1113 3,62 S a a = -= 当2n 时，111333 333222 2n n n n n n n a S S a a a a ---??=-= ---=- ??? 即 1 3n n a a -= ，故数列{}n a 为等比数列则16323n n n a -=?=? 因为623=?，所以,()2*3n n a n N ∈=? 4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，点()1,n n S S +（n N +∈）在直线3y x =上，则n a =____________. 【答案】() () 1 3 1232n n n -?=???≥?? . 【解析】因为点()1,n n S S +在直线3y x =上代入可得13n n S S +=,即 1 3n n S S +=. 由113S a ==可知数列{}n S 是首项为13S =,公比为3q =的等比数列.所以1333n n n S -=?= 由1n n n a S S -=-代入可得11 3323n n n n a ---=?=而113S a ==不符合上式 所以()()1 3123 2n n n a n -?=?=??≥??故答案为: ()()1 3 1232n n n -?=???≥?? 5．若数列{}n a 满足112a =,2 12323n n a a a na n a +++?+=,则n a =______ ．

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ）

新高考高中数学核心知识点全透视专题3.1 函数(精讲精析篇)

专题3.1函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 求函数的定义域 1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2 =+-_____. 76 y x x

【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1 [1]3 ， C.[-15]， D.无法确定 【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则() 2 1f x -的定义域为 _______________. 【特别提醒】 求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 热门考点02 求函数的解析式 1. 求函数解析式的四种方法 【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3 +3x 2 +1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2 ， x R ∈，则实数a=_____，b=______.

等差数列复习专题

【学习目标】 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。 2.掌握等差数列的性质，能灵活运用等差数列的性质解决问题。 3.掌握等差数列前n 项和公式及其应用，能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题。 4会求等差数列前n 项和的最值。 【知识要点】 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 2.递推公式：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)。 3.通项公式：以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 。 4.等差数列通项公式可以看作特殊的一次函数，a n ＝nd ＋(a 1－d )，一次项系数为d 。 5.等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，满足的关系式是 a ＋ b ＝2A . 6.常用性质： （1）n m a a d n m --= （2）{a n }是等差数列，若正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 。特别地，当m ＋n ＝2k (m ， n ，k ∈N ＋)时，a m ＋a n ＝2a k . （3）等差数列{a n }中，若序号成等差数列，那么对应项也成等差数列。 7.等差数列前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 S n ＝na 1＋ n n － 2 d 8.等差数列前n 项和性质： （1）等差数列中，S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成等差数列。 （2）若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝ S 2n －1 T 2n －1 。 9.等差数列前n 项和公式是特殊的二次函数，因此可以利用此特征求前n 项和的最值。

第5讲 函数及其表示(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第5讲函数及其表示 思维导图 知识梳理 1．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示法

3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 核心素养分析 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。 重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。 题型归纳 题型1 函数的定义域 【例1-1】（2020?东城区一模）函数f(x)=√x?2 x 2+1 的定义域为（ ） A ．（﹣1，2] B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） 【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可． 【解答】解：函数f(x)=√x?2 x 2+1 ， 令 x?2x 2+1 ≥0，得x ﹣2≥0， 解得x ≥2， 所以f （x ）的定义域为[2，+∞）． 故选：B ． 【例1-2】（2020春?邯山区校级月考）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为（ ） A ．[﹣1，3] B ．[0，2] C ．[﹣1，1] D ．[﹣2，2] 【分析】由已知可得{?1≤1+x ≤2?1≤1?x ≤2，求解不等式组得答案． 【解答】解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，2]， ∴由{?1≤1+x ≤2?1≤1?x ≤2 ，解得﹣1≤x ≤1． ∴函数y ＝f （1+x ）+f （1﹣x ）的定义域为[﹣1，1]．

考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义

考点48 基本不等式(讲解) 【思维导图】 【常见考法】 考法一：直接型 1．若，则取最大值时的值是 。 103x << ()13x x -x 2．已知正数a 、b 满足，则ab 的最大值为 。 23a b += 3的最大值为 。 )63a -≤≤

考法二：换1型 1．已知实数，则的最小值为 。 0,0,31x y x y >>+=11x y + 2．已知,则的最小值是 。 0,0,1x y x y >>+=11x y + 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 0x >0y >211x y +=222x y m m +>+m 考法三：配凑型 1．已知，则的最小值为 。 1x >41x x +- 2．已知，且 ，则的最小值为 。 1,1a b >>11111a b +=--4a b +

3．函数的最小值为 。 233(1)1 x x y x x ++=>-+ 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。 考法四：消元型 1．若正数满足，则的最小值是 。 ,x y 220x xy +-=3x y + 2．若正数满足，则的最小值为 。 ,a b 111a b +=1411a b +-- 3．若实数满足，则的最大值为 、 ,x y 0xy > 考法五：求参数

1．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是。 a b c a b 191a b +=a b c +≥c 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 考法六： 综合运用 1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角ABC A B C a b c sin A sin B sin C 的取值范围为 。 B 2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、，则的最{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +小值为 。 3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则 ＋的最小值是 。 4b 1c 4．若直线过△的重心，且，，其中，，则的 MN ABC G AM mAB = AN nAC = 0m >0n >2m n +最小值是 。如何学好数学

高三等差数列复习专题百度文库

一、等差数列选择题 1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 {}n a ，已知11a =，2 2a =，且满足()211+-=+-n n n a a （n *∈N ），则该医院30天入 院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365 D ．465 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 4．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则 129 10 a a a a ++???+=（ ） A ． 278 B ． 52 C ．3 D ．4 7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等