一元函数导数与微分
第三章一元函数导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的
导数。
6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中
值定理。
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方
法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
8、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、
铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
9、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
10、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
11、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数；
6、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
7、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；
8、函数图形的凹凸性；
9、洛必达法则。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数；
4、隐函数和由参数方程确定的导数；
5、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；
6、极值的判断方法；
7、图形的凹凸性及函数的图形描绘；
8、洛必达法则的灵活运用。
3.1 导数的引入
3.1.1 导数定义
问题引入：
一. 直线运动的速度，切线问题
1.直线运动的速度 先建立坐标系：
设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴.此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定. 位置函数： )(t f s = （1） 从时刻0t 到时刻t 的一个时间间隔，有平均速度为：
000)
()(t t t f t f t t s s --=
-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即： 0
0)
()(lim
t t t f t f v t t --=→ （3）
极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法.
2.曲线的切线
建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为：
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→ （4）
如图3-1,割线斜率的极限就是切线的斜率.
图3-1
二. 导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
非匀速直线运动的速度和切线的斜率都可以归为一般数学形式： 0
0)
()(lim
x x x f x f x x --→ （5）
此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ?和函数的增量
y ?,式（5）写成：
0000()()lim
lim x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=?? （6）
由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念.
2.导数的定义
定义3.1 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量
x ?（点x x ?+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ?；如果y ?与x ?之比当
0→?x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数 ，记为)(0x f '，或者记为0
00()
,
,x x x x x x dy df x y dx dx
==='
即 00000()()()lim lim x x y f x x f x f x x x
?→?→?+?-'==??， （7）
函数)(x f y =在点0x 处可导有时也说成)(x f y =在点0x 具有导数或导数存在. 导数的定义也可取不同的形式，常见的有：
h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→ （8）
00)
()(lim
)(0
x x x f x f x f x x --='→ （9）
在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 3. 函数在一点处不可导的定义
定义3.2 如果式（7）的极限不存在，就说函数在点0x 处不可导.
如果，当0→?x 时，比值∞→??x y
时，就说函数)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大（此时函数不可导）,如函数1
y x
=在0x =点处不可导.
4.导函数的定义
定义3.3 如果函数)(x f y =在区间I 内的每点处都可导，就称函数)(x f y =在区间I 内可导.对任意I x ∈都对应着)(x f y =的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数)(x f y =的导函数，记作： dx
x df dx dy x f y )
(,),
(,'' （10） 由式（7）、式（8）得 0
0()()()()
()lim
=lim x h f x x f x f x h f x f x x h
?→→+?-+-'=? （11） 导函数)(x f '简称导数，而)(0x f '是)(x f 在0x 处的导数或导数)(x f '在点0x x =处的值.
三. 函数求导的一般步骤
1. 函数求导的步骤
第一步 根据定义3.3写出式（11）的形式. 第二步 把具体函数带入进行计算. 2.一些简单函数的求导. 例1 求x
x f 1)(=的导数.
解 h x
h x h x f h x f x f h h 1
1lim )
()(lim )(00-+=-+='→→
2001)(1lim )(lim
x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→.
例2 求x x f =)(的导数.
解 h x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00l i m )
()(l i m )(
x x h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→.
例3 求函数f (x )=sin x 的导数. 解 f '(x )h x f h x f h )
()(lim
-+=→h
x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h
h x h h +?=→
x h h
h
x h cos 2
2sin )2
cos(lim 0=?+=→.
即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .
3.1.2导数的几何意义
由切线问题的讨论知，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '在几何上表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率，即 h
x f h x f k x f h )
()(lim
)(000
0-+=='→
曲线在点处的切线方程为
))((000x x x f y y -'=-
曲线在点处的法线方程为 )()
(1
000x x x f y y -'-=- 例4 求等边双曲线x y 1=
在点)2,2
1
(处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 根据导数的几何意义，得切线的斜率为 412
12
2
11-=-
='==
=
x x x y k
切线方程为
.
044),
2
1
(42=-+--=-y x x y
法线的斜率为 4
1112=-=k k 法线方程为
.01582),2
1(412=+--=
-y x x y
例5
求曲线
(0,4)-的切线方程.
解 设切点的横坐标为0x 则切线的斜率为
02
1
23
02
323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为
)(230
00x x x x x y -=-.
根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,
解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42
344-=-x y , 即3x -y -4=0.
注：(1). 如果0()f x '=∞，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x M 处有垂直于
x 轴的切线
0x x =；
(2). 如果0()0f x '=，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x M 处有平行于
x 轴的切线
0()y f x =.
3.1.3 导数存在性判定
一. 单侧导数
根据函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '的定义，导数是一个极限， h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→ .
而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.由函数在点0x 处的左、右极限得左、右导数的定义 左导数的定义
h
x f h x f x f h )
()(lim )(000
0'-+=-
→-.
右导数的定义
h
x f h x f x f h )
()(lim )(000
0-+='+
→+.
例6 求函数x x f =)(在0=x 处的导数
解 00()(0)||
(0)lim
lim 0x x f x f x f x x →→-'==-,
0000||||lim lim 1,lim lim 1x x x x x x x x x x x x
++--→→→→====--. 所以0||
lim x x x
→不存在,
即x x f =)(在0=x 点不可导.
函数在点0x 处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等.函数)(x f 在开区间
),(b a 的内可导，及)(a f +'的)(b f -'都存在，就说)(x f 在闭区间],[b a 上可导.
二. 函数的可导性与连续性的关系 设函数()y f x =在点0x 处可导, 即)(lim 00x f x
y
x '=??→?存在. 则
00)(lim lim lim
lim 00
000
=?'=????=????=?→?→?→?→?x f x x y
x x y y x x x x .
这就是说, 函数()y f x =在点0x 处是连续的. 所以, 如果函数()y f x =在点x 处可导, 则函数在该点连续. 但是一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
例7 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大， h f h f h )
0()0(lim
-+→+∞=-=→h
h h 0lim 3
0.
3.1.4 基本初等函数导数公式
基本初等函数的导数公式在初等函数的求导运算中起着重要的作用，前面我们通过定义已经
得到了一些公式，在这里我们再计算两个，还有的需要后面的知识推导，为了熟练地掌握它们，现将这些公式给出.
例8求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解 f '(x )h
x f h x f h )
()(lim
-+=→h a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)
1(log lim 0t t a a t x +→
a a e
a x a x
ln log 1==. 特别地有(e x )=e x .
例9 求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解 h
x h x h x f h x f x f a a
h h log )(log lim )
()(lim
)(00
-+=-+='→→ h x
a h a h a h x
h x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→
a x e x a ln 1log 1==. 即 a
x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 x
x 1)(l n
='.
a x x a ln 1)(log =', x x 1)(ln ='
基本初等函数的导数公式
(1)0)(='C ； (2)1)(-?='μμμx x ；(3)x x cos )(sin =',(4)x x sin )(cos -='； (5)x x 2sec )(tan ='；(6)x x 2csc )(cot -='；(7)x x x tan sec )(sec ='； (8)x x x cot csc )(csc -='；(9)a a a x x ln )(=；(10)x x e e =')(； (11)a x x a ln 1)(log =
'；(12)x x 1)(ln ='；(13)211
)(arcsin x
x -='；
(14)2
11)(arccos x x --
='；(15)211)(arctan x x +=
'；(16)2
11
)cot (x x arc +-='.
3.2 导数的计算
由于初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，所以要想解决初等函数的求导问题就必须建立求导运算的基本法则和方法.
3.2.1 求导法则
一.求导四则运算法则
定理3.1 如果函数()u u x =及()v v x =在点x 处具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 处具有导数, 并且
()()()()u x v x u x v x '''±=±????, (1) ()()()()()()+u x v x u x v x u x v x '''=???? , (2)
2
()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '''??-=????
. (3) 证 仅证明公式（2） h
x v x u h x v h x u x v x u h )
()()()(lim
])()([0-++='?→
)]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h
h -+++-++=→
??
?
-+++???-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()
()()()(lim 0 h
x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )
()(lim
)()(lim )()(lim
000-+?++?-+=→→→
=)(')()()('x u x u x v x u ?+?. 法则(2)可简单地表示为 ()+u v u v u v '''= .
注:法则(1)、(2)可推广到有限可导函数的情形. 例1 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求()f x '及)2 (πf '.
解 x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,
443)2 (2-='ππf .
例2 tan y x =, 求y '.
解 x
x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '
-'=
'='='
x x
x x x 2222
2sec cos 1cos sin cos ==+=.
即 ()2
tan =sec x x '.
例3 sec y x =, 求y '.
解 x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x x
2cos sin =
=sec x tan x . 即 ()sec sec tan x x x '=.
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: ()sc sc t c x c xco x '= , ()2
cot csc x x '=-.
二. 反函数求导法则
定理3.2 如果函数()x f y =在某区间y I 内单调、可导且()0f y '≠,那么它的反函数
()-1y f x =在对应区间(){}
,x y I x x f y y I ==∈内也可导, 并且
)(1])([1y f x f '=
'-. 或1dy dx
dx dy
=.
简要证明: 由于()x f y =在y I 内单调、可导(从而连续), 所以()x f y =)的反函数
()-1y f x =存在, 且()-1f x 在x I 内也单调、连续.
任取x x I ∈,给x 以增量()0,x x x x x I ??≠+?∈,由()-1y f x =的单调性可知
()()110y f x x f x --?=+?-≠,
于是
y
x
x y ??=??1. 因为()-1y f x =连续, 故 0lim 0
=?→y x
从而
)
(11lim lim
])([001y f y
x x y
x f y x '=??=??='→?→?-.
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例4 设 sin ,[, ]22
x y y ππ
=∈-
为直接函数, 则arcsin y x =是它的反函数. 函数sin x y =在开区间)2
,2
(ππ-内单调、可导, 且
()sin =cos 0y y '>.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间()1,1x I =-内有 2
211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='=
'.
类似地有: 2
11)(arccos x x --
='.
例5 设 tan ,(, )22
x y y ππ
=∈-
为直接函数, 则arctan y x =是它的反函数. 函数tan x y =在区间)2
,2
(ππ-内单调、可导, 且
()2
tan sec 0y y '=≠
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间(),x I =-∞∞内有 22211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan x
y y y x +=+=='=
'. 类似地有: 2
11)cot arc (x x +-
='.
例6 设()0,1y x a a a =>≠为直接函数, 则log a y x =是它的反函数. 函数y
x a =在区间
(),y I =-∞∞内单调、可导, 且
()
ln 0y y a a a '=≠ .
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间()0,x I =∞内有 a
x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 基本初等函数的导数我们基本都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数ln tan x 、3x e 的导数怎样求？
三. 复合函数求导法则数
定理3.3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为
)()(x g u f dx dy '?'=或dx
du du dy
dx dy ?=. 证 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.
当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有
x
x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?
-?+-?+=?-?+=??)
()()()()]([)]([)]([)]([ x
x g x x g u u f u u f ?-?+?
?-?+=)
()()()(,
x
x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)
()(lim
)()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ). 简要证明:
x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim )()(lim lim 00x g u f x u u y
x u ''=?????=→?→?. 例7 已知3x e y =, 求
dx
dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
322
33x u e x x e dx
du du dy dx dy =?=?=. 例8 已知212sin x x y +=, 求dx
dy
.
解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此
2
222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例9 已知lnsin y x =, 求dx
dy
. 解
)(sin sin 1)sin (ln '?='=x x
x dx dy
x x x cot cos sin 1=?=.
例10 已知3221x y -=, 求
dx
dy . 解 )21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 32
2)21(34x x
--=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ), 则
dx
dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=. 例11 已知()
ln cos x
y e =, 求
dx
dy . 解
])[cos()
cos(1])cos([ln '?='=x x x e e e dx dy
)tan()()]sin([)
cos(1x x x x x e e e e e -='?-?=
. 例12 已知x
e y 1sin =, 求
dx
dy . 解
)1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '??='?='=x
x e x e e dx dy x x x x e x x 1cos 11
sin 2??-=.
例13 设0x >, 证明幂函数的导数公式()
1x x μμμ-'=.
解 因为()
ln ln x x x e
e μ
μ
μ==, 所以
()()()ln ln ln 11ln x
x
x
x e e x e
x x μ
μμμμμμμ--'''===.
例14 求双曲正弦函数sh x 的导数. 解 因为)(21sh x x e e x --=, 所以
x e e e e x x x x x ch )(2
1)(21)sh (=+='-='--,
即 ()sh =x chx '. 类似地, 有()ch =s x hx '.
3.2.2 含参变量函数与隐函数求导
一. 含参变量函数求导
设y 与x 的函数关系是由参数方程?
??==)()
(t y t x ψ?确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参
数方程所确定的函数.
在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设()x t ?=具有单调连续反函数()1
t x ?
-=, 且此反函数能与函数()=y t ψ构成复合
函数()-1=y x ψ?????, 若()x t ?=和()=y t ψ都可导, 则
)
()(1t t dt
dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?ψ''=?=?=, 即 )
()(t t dx dy ?ψ''=
或dt
dx dt dy
dx dy
=. 若()x t ?=和()=y t ψ都可导, 则
)
()
(t t dx dy ?ψ''=
. 例15 求椭圆?
??==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解
t a
b t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为
a
b dx
dy
t -==4
π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 2
24sin 0b b y ==π.
切线方程为)2
2(22a x a b b y --=-, 即 0bx ay +=. 例16 抛体运动轨迹的参数方程为?????-==2212
1gt t v y t v x ,求抛体在时刻t 的运动速度的大小和方向.
解 先求速度的大小.
速度的水平分量与铅直分量分别为 ()()12,x t v y t v gt ''==-, 所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为
22)]([)]([t y t x v '+'=22
21)(gt v v -+=. 再求速度的方向,
设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为
12)()(tan v gt
v t x t y dx dy -=
''==α. 二. 隐函数求导基本方法
1. 显函数与隐函数
形如()y f x =的函数称为显函数. 例如sin ,ln x
y x y x e ==+. 由方程(),0F x y =所确
定的函数称为隐函数，例如, 方程3
10x y +-=确定的隐函数为y ,31x y -=.
如果在方程(),0F x y =中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯
一的y 值存在, 那么就说方程(),0F x y =在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的.
2. 隐函数求导
在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例17 求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解 把方程两边的每一项对x 求导可得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ? y '+y +xy '=0, 从而 y e
x y
y +-
='(x +e y ≠0). 例18 求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在
x =0处的导数y '|x =0.
解 把方程两边分别对x 求导可得 5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,
由此得 2
521146
++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以2
1|2521
1|0460=++='==x x y x y . 例19 求椭圆19162
2=+y x 在)32
3 ,2(处的切线方程.
解 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='?+y y x . 从而 y
x y 169-='.
当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率
43|2-='==x y k .
所求的切线方程为
)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .
三. 对数求导法
为了解决幂指函数或复杂的积、商函数求导问题，我们引人对数求导方法.所谓对数求导法是先在()y f x =的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设()y f x =, 两边取对数, 得()ln ln y f x =, 方程两边对x 求导, 得
])([ln 1'='x f y y
, ()[ln ()]y f x f x ''=
.
例20 求()sin 0x
y x
x =>的导数.
解1 两边取对数, 得ln ln sin y x x = , 上式两边对x 求导, 得x x x x y y 1sin ln cos 1?+?=',
于是)1sin ln (cos x x x x y y ?+?=')sin ln (cos sin x x x x x x +?=. 解2 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: y =x sin x =e sin x ·ln x
, )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +?='?='?.
例21 求函数)4y x =
>的导数.
解 先在两边取对数, 得
ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],
上式两边对x 求导, 得)41312111(211-----+-='x x x x y y ,
于是1111
()21234
y y x x x x '=
+------ 1111()1234
x x x x +------.
3.2.3 高阶导数的计算
一.高阶导数基本概念
在物理学上变速直线运动的速度()v t 是位置函数()s t 对时间t 的导数，即：v ds
dt
=，而加速度a 又是速度v 对时间t 的变化率，即速度v 对时间t 的导数：a dv d ds dt dt dt ??
=
= ???
，或()a s ''=,这种导数的导数d ds dt dt ??
???
叫做s 对t 的二阶导数.
下面我们给出它的数学定义：
函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数.我们把()y f x ''=的导数叫做函数
()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即：()y =y ''''或22d y d =dy dx dx dx ?? ???
.类似地，二阶导
数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导
数叫做n 阶导数.分别记作：y '''，()
4y ，…，()
n y 或33d y dx ，44d y dx ，…，n d y
n dx
,这样我们给出
了高阶导数的定义.
二. 高阶导数的计算
1. 高阶导数的运算法则
函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可.除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式. （1） )()()(][n n n v u v u ±=±.
（2） 设uv y =，则'''uv v u y +=；()'
''
''
''
'
'''2uv v u v u uv v u y ++=+=；
()''''''''''
'''
'
''''''''332uv v u v u v u
uv
v u v u y +++=++=.
依此类推，我们可由数学归纳法证可得莱布尼茨公式（结果与二项式()n
v u +展开式极为相似）：
()()(0)1(1)(1)()n n n n uv u v C u v -=++ )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-=N
K k k n k n v u C 0
)()(， （其中u u =)0(，v v =)0(）. 2. 利用法则求函数高阶导数
例22 求对数函数()y=2ln 1x +的n 阶导数. 解 2y =
1+x '；()2y =-1+x ''；()212y =1+x ''' ；()
()
42123y =-1+x ；…； 一般地，可得()
()
()()
1
n 21!
y =11n n
n x ---+ .
例23 求幂函数)(+∈=N n x y n
的n 阶导数. 解 ()1
'
'-==n n
nx
x y ；()2
'
1
'')1(---==n n x
n n nx y ；
()
3'
2''')2)(1()1(----=-=n n x n n n x n n y ；…；
x n n n y n 2)2)(1()1( --=-；!12)2)(1()(n n n n y n =?--= ； 0)2()1(===++ n n y y .
例24 求函数ax e y =（a 为常数）的n 阶导数. 解 ()ax
ax
ae
e y =='
'；()ax
ax
e
a ae y 2'
''==；()ax
ax
e
a e a y 3'
2'''==；…；
()
)('
1)(+-∈==N n e a e a y ax n ax n n .
例25 求三角函数x y sin =与x y cos =的n 阶导数. 解 ()??
?
?
?+
===2sin cos sin '
'πx x x y ； ()()??? ?
??+=+=-==22sin sin sin cos '
''ππx x x x y ；
()??? ?
?
?+=??? ?
?+
=-=-=23sin 23sin cos sin '
'''ππx x x x y ；
()()??? ?
??+=+==-=24sin 2sin sin cos '
)4(ππx x x x y ；…；
一般地，()
??? ???+=2sin sin )
(πn x x n ，类似可得，()??? ?
??+=2cos cos )
(πn x x n ，()+∈N n .
上面是常用函数高阶导数计算的例子，下面是运用莱布尼茨公式公式进行高阶导数计算的例
子.
例26 求函数cos x
y e x =的5阶导数.
解 ()
()
()n k k x x e e
k x k x
,,2,1,0),2
cos(cos ,)
()
( =?+==π
；
∴由莱布尼茨公式得：
∑=-=5
)()5(5)
5()(cos )(k k k x k x e C y
)2
3cos()22cos()2cos(cos 35251505π
ππ
?++?++++=x e C x e C x e C x e C x
x x
x )2
5cos()24cos(5545π
π
?++?
++x e C x e C x
x
x e x e x e x e x e x e x
x x x x x sin cos 5sin 10cos 10sin 5cos -++--=
)cos (sin 4x x e x
-=.
上面介绍了基本初等函数的高阶导数，下面介绍一个分段函数的高阶导数的求法.
例27 研究函数???<-≥=0
,0
,)(2
2x x x x x f 的高阶导数.
解 ???
????=---=--==--=--=<=>-=-
-+
+→→-→→+
00
lim 0)0()(lim )0(000
lim 0)0()(lim )0(0
00
20
2)(2
00'200'
'
x x x f x f f x x x f x f f x x x x x x f x x x x ????
???=---=--==--=--=<=>-=--+
+→→-→→+
2
2lim 0)0()(lim )0(200
2lim 0)0()(lim )0(00
022)(00'00'
''－不存在’
‘’‘’‘x x x f x f f x x x f x f f x x x x f x x x x ()??
?≥=≠=30
00
)()(k x x x f k 不存在.
二.含参变量函数和隐函数的二阶导数计算
1. 参变量函数的二阶导数
我们知道平面曲线C 一般的表达形式是参变量方程：
,)()
(?
?
?==t y t x ?? )(β≤≤t a （1） 这样，对于一般直角坐标下的函数方程求导公式就不再适合.必须给出参数方程相应的求导公式.
设0t t =对应曲线C 上的点P ，如果在点P 有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设ψ?,在点0t 可导，且0)('0≠t x .若t t ?+0对应C 上的点Q (图3-3)，割线PQ 的斜率
)
()()
()(0000t t t t t t x y ??ψψ-?+-?+=
??；
图3-3
于是曲线C 在点P 的切线斜率是:000
00000()()
lim
()
tan lim
()()
()
t t t t t y t t t x
t t ψψψαψ???→?→+?-'??===
''?'； 其中
α
为切线与
x 轴正向夹角．若0)(0='t ?，但0)(0≠'t ψ，同样可得
000()
cot lim
()
t t x y t ?αψ?→'?==
'?. 若ψ?,在],[βα上都存在连续的导函数，且,022≠'+'ψ?这时称C 为光滑曲线.其特点是在曲线C 上不仅每一点都有切线，且切线与x 轴正向的夹角)(t α是t 的连续函数. 若)(t x ?=具有反函数),(1x t -=?那么它与)(t y ψ=构成一个复合函数 1().y x ψ?-=
这时只要函数ψ?,可导，0)(≠'t ?（因而当0→?x 时，也有0→?t 和0→?y ），就可由复合函数和反函数的求导法则得到
'()/'()
dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t ?ψ=?== （2） 22d y d dy d dy dx dx dx dx dt dx dt
????== ? ????? （3）
例28 试求由摆线参量方程??
?-=-=)
cos 1()
sin (t a y t t a x 所确定的函数)(x y y =的二阶导数.
解 由（2）式可得含参量方程求导法则的：[][]2
cot )cos 1(sin )sin ()cos 1(''
t t a t a t t a t a dx dy =-=--=； 再对参量方程???
??=-=2cot )
sin (t
dx
dy t t a x 应用（3）式含参量方程求导法,则有： []'
224'21cot csc 1222csc (1cos )42
(sin )t t d y t dx a t a a t t ??- ???==
=---. 2. 隐函数二阶导数
对于隐函数的二阶导数，就是对一阶导数再求导，但由于是隐函数，因此计算有一定难度，下面简介它的求法的.
例29 已知12
2
=-+xy y x ，求y ''.
解 此方程不易显化，故用隐函数求导法.两边同时对x 进行求导可得，
()()22d 10d
x y xy dx dx +-==,()2x+2yy -0y xy ''+=,故dy 2=y 2y x dx y x
-'=-.
()()()()()
222222122y =22y y x y y x d y d y x dx dx y x y x ''-----??-''== ?--?? ()()()()
22222122233=22y x y x y x y x y x y x x y y x y x ????
------- ? ?---????=--.
3.2.4﹡ 相关变化率
设()x x t =及()y y t =都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dt
dx 与
dt
dy
间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.
例30一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升, 其速度为140米/分. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则
500
tan h =α.
其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得
dt
dh dt d ?=?5001sec 2αα.
已知140=dt
dh (米/秒). 又当h =500(米)时,2tan 1,sec 2αα==. 代入上式得
140500
12?=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒).
即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.
3.3 一元微分及其应用
3.4.1 一元微分定义
一. 微分的定义
引例 函数增量的计算及增量的构成.
一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由0x 变到0+x x ?, 问此薄片的面积改变了多少？
设此正方形的边长为x , 面积为A , 则A 是x 的函数: 2
=A x . 金属薄片的面积改变量
为
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
一元函数微分与中值定理.
一元函数微分与中值定理 类型一：高阶导数问题 1、研究函数 1 0()0 x e x f x x -??≠=? =??的各次可微性（7P63） 当0x ≠时，归纳假设12 ()1()()x n n f x P e x - =，再利用导数定义归纳得出0点处 的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数 4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩） 用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22 x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专） 38、设41 x y x =-，求(2001).y （10P204 京13专） 将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设 y x = ，求()(0).n y （10P307 北建88）（曹庆梅） 转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式 2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f （10P342北京防化 92） 利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕） 65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）
一元函数(导数与积分)课堂训练题
填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
导数的综合应用
导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 导数和微分的概念 一元函数微分学 §1 导数和微分的概念 基本概念 1.导数定义 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 几种极限形式都要掌握 函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?Skip Record If...?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2.导函数?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. f(x)在（a, b）可导, f(x)在[a, b]可导 3.可导与连续的关系 可导一定连续，但连续不一定可导（如函数?Skip Record If...?在x=0点处连续，但是不可导） 4.导数的几何意义 切线方程：?Skip Record If...?； 法线方程：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 5.微分的定义 微分的几何意义 6.微分与导数的关系 ?Skip Record If...?在x处可微?Skip Record If...??Skip Record If...?在x处可导，且?Skip Record If...? 同时 ?Skip Record If...?。 §2 导数与微分的计算 基本概念 1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2.导数（微分）四则运算公式 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?， 特别地 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 特别地 ?Skip Record If...?。 后面两个公式不要记错。 3.复合函数的求导法则 如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。 §3 中值定理 基本概念 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C 高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用 一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 二、导数的综合应用 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1 C ． D ． ， 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线() y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1, x x x x -<?图象上点1P ，2P 处的切 线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3 y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足 2 3()e x y x x =+(0)0， e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =- 一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导， 引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多 自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 课时作业(十四) 1.D [解析] 依题意有f'(x )= 1x ·√2x -2×1 2 ×(2x )-12·lnx 2x ,故f' 1 2 = 2+ln2 1 =2+ln 2,故选D . 2.A [解析] 当x=1时,f (1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得f'(x )=-2+1x ,所以f'(1)=-2+11 =-1,所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0,故选A . 3.A [解析] 由题意,f'(x )=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=-2,故f (x )=x 2-4x.故选A . 4.B [解析] f'(x )=-sin x-f' π2 ,令x=π2,得f' π2 =-12,即f (x )=cos x+12x.f (0)=1,f'(0)=12 ,所以l 的方程为 y=12 x+1,结合选项可知直线2x+y+1=0与直线l 垂直.故选B . 5.32 [解析] ∵f'(x )=2x -x ,f'(1)=-1 2 ,又∵f (1)=1,∴切点是(1,1),∴切线方程是y-1=-1 2 (x-1),将点(0,a )代入, 解得a=12 +1=32 . 6.D [解析] 令f (x )=x 3-4x+4,则f'(x )=3x 2-4,f'(1)=-1,设切线的倾斜角为α,则tan α=-1,可得α=135°.故选D . 7.A [解析] 由题意,得f'(x )=ln x+1,∴f'(1)=1,又f (1)=a ,∴切线方程为y=x-1+a.∵切线过原点,∴0=0-1+a ,解得a=1.故选A . 8.A [解析] 由题意知,函数f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (0)=0,即f (0)=-m=0,解得m=0,即当x ≤0时,函数f (x )=x 3-2x ,则f'(x )=3x 2-2,所以f'(-2)=3×(-2)2-2=10,由奇函数的导函数为偶函数,可知f'(-2)=f'(2)=10,即曲线y=f (x )在点P (2,f (2))处的切线斜率为10.故选A . 9.B [解析] 由y=2x ln x ,得y'=2×ln x+2x×1x =2ln x+2,所以y'|x=e =2+2=4,且y|x=e =2e,所以切线方程为y-2e =4(x-e),即y=4x-2e,此切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为e 2 ,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三 角形面积S=12×e 2 ×2e =e 22 .故选B . 10.C [解析] 设直线与曲线切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),则切线的斜率k= y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1 =x 02 +x 0+1,又∵y'=3x 2,∴y'|x=x 0 =3x 02,∴2x 02 -x 0-1=0,解得x 0=1或x 0=-12 ,∴过点P (1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或 3x-4y+1=0.故选C . 11.C [解析] y'=1+1x ,当x=1时,切线的斜率k=2,切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1,因为它与抛物线相切.所以ax 2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解,即ax 2+ax+2=0,故{a ≠0,a 2-8a =0,解得a=8.故选C . 12.3 [解析] ∵f (x )=(x 2-a )ln x ,∴f'(x )=2x ln x+ x 2-a x ,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3. 考点06 函数与导数的综合应用（1） 【知识框图】 【自主热身，归纳提炼】 1、(2016南京学情调研）已知函数f (x )＝1 3x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值 范围为________． 【答案】???? 32，4 【解析】因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 解法 1 令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1?(1,2)，因此则需1 函数与导数的综合应用 命题动向：函数与导数的解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合进行深入考查，体现了能力立意的命题原则． 这几年，函数与导数的解答题一直作为“把关题”出现，是每年高考的必考内容，虽然是“把关题”，但是同其他解答题一样，一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难．从近几年的高考情况看，命题的方向主要集中在导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合应用． 题型1利用导数研究函数性质综合问题 例1 [2016·山东高考]设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ), 求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 解题视点 (1)求出g (x )的导数，就a 的不同取值，讨论导数的符号；(2)f ′(x )＝ln x －2a (x －1)，使用数形结合方法确定a 的取值，使得在x <1附近f ′(x )>0，即ln x >2a (x －1)，在x >1附近ln x <2a (x －1)． 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1 x －2a ＝1－2ax x . 当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x ) 单调递增； 当a >0时，x ∈??? ?0，1 2a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈????12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为????0，12a ，单调减区间为??? ?1 2a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当01，由(1) 知f ′(x )在????0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈????1，1 2a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在??? ?1，1 2a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减， 所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1 2a <1，当x ∈????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为????12，＋∞. 冲关策略 函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 题型2利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解题视点 (1)先求函数f (x )的定义域，再求f ′(x )，对参数a 进行分类讨论，由f ′(x )>0(f ′(x )<0)，得函数f (x )的单调递增(减)区间，从而判断f (x )的单调性；(2)利用(1)的结论，并利用函数的零点去分类讨论，即可求出参数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .一元函数微分学知识点
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