一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC.
(1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线;
(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)8.
【解析】
(1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可;
(2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.
试题解析:连接AD,OA,
∵∠ADC=∠B,∠B=60°,
∴∠ADC=60°,
∵CD是直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°,
∵AP=AC,OA=OC,
∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°,
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°,
即OA⊥AP,
∵OA为半径,
∴AP是⊙O切线.
(2)连接AD,BD,
∵CD是直径,
∴∠DBC=90°,
∵CD=4,B为弧CD中点,
∴BD=BC=,
∴∠BDC=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DCB=45°,
即∠BDE=∠DAB,
∵∠DBE=∠DBA,
∴△DBE∽△ABD,
∴,
∴BE?AB=BD?BD=.
考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.
2.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;
(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.
【答案】(1)(2)见解析;(3)9
【解析】
分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB
为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB 为直角,即BD 垂直于AC ,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD =DC =BD =
1
2
AC ,进而确定出∠A =∠FBD ,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(2)连接EF ,BG ,由三角形AED 与三角形BFD 全等,得到ED =FD ,进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;
(3)由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1,在直角三角形BEF 中,利用勾股定理求出EF 的长,利用锐角三角形函数定义求出DE 的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似,由相似得比例,求出GE 的长,由GE +ED 求出GD 的长,根据三角形的面积公式计算即可.
详解:(1)连接BD .在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,∴∠A =∠C =45°. ∵AB 为圆O 的直径,∴∠ADB =90°,即BD ⊥AC ,∴AD =DC =BD =1
2
AC ,∠CBD =∠C =45°,∴∠A =∠FBD .
∵DF ⊥DG ,∴∠FDG =90°,∴∠FDB +∠BDG =90°.
∵∠EDA +∠BDG =90°,∴∠EDA =∠FDB .在△AED 和△BFD 中,A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠??
=??∠=∠?
,∴△AED ≌△BFD (ASA ),∴AE =BF ; (2)连接EF ,BG . ∵△AED ≌△BFD ,∴DE =DF .
∵∠EDF =90°,∴△EDF 是等腰直角三角形,∴∠DEF =45°. ∵∠G =∠A =45°,∴∠G =∠DEF ,∴GB ∥EF ,∴∠FEB =∠GBA . ∵∠GBA =∠GDA ,∴∠FEB =∠GDA ;
(3)∵AE =BF ,AE =2,∴BF =2.在Rt △EBF 中,∠EBF =90°,∴根据勾股定理得:EF 2=EB 2+BF 2.
∵EB =4,BF =2,∴EF
∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF =90°,∴cos ∠DEF =DE
EF
. ∵EF
=∴DE
=
. ∵∠G =∠A ,∠GEB =∠AED ,∴△GEB ∽△AED ,∴GE AE =EB
ED
,即GE ?ED =AE ?EB ,
∴
GE =8,即GE
,则GD =GE +ED
∴1191011092252
S GD DF GD DE =??
=??=??=.
点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.
3.已知A (2,0),B (6,0),CB ⊥x 轴于点B ,连接AC 画图操作:
(1)在y 正半轴上求作点P ,使得∠APB=∠ACB (尺规作图,保留作图痕迹)
理解应用:
(2)在(1)的条件下, ①若tan ∠APB 1
2
=
,求点P 的坐标 ②当点P 的坐标为 时,∠APB 最大 拓展延伸: (3)若在直线y 4
3
=
x+4上存在点P ,使得∠APB 最大,求点P 的坐标
【答案】(1)图形见解析(2)(0,2),(0,4)(0,23)(3)(95
3
-,
125
5
)
【解析】
试题分析:(1)以AC为直径画圆交y轴于P,连接PA、PB,∠PAB即为所求;
(2)①由题意AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆,交y轴于P和P′,易知P(0,2),P′(0,6);
②当⊙K与y轴相切时,∠APB的值最大,(3)如图3中,当经过AB的园与直线相切时,∠APB最大.想办法求出点P坐标即可解决问题;
试题解析:解:(1)∠APB如图所示;
(2)①如图2中,∵∠APB=∠ACB,∴tan∠ACB=tan∠APB=1
2
=
AB
BC
.∵A(2,0),B
(6,0),∴AB=4,BC=8,∴C(6,8),∴AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆,交y轴于P和P′,易知P(0,2),P′(0,6).
②当⊙K与y轴相切时,∠APB的值最大,此时AK=PK=4,AC=8,
∴BC22
AC AB
-3,∴C(6,3∴K(4,2),∴P(0,3
案为:(0,3
(3)如图3中,当经过AB的园与直线相切时,∠APB最大.∵直线y=4
3
x+4交x轴于M
(﹣3,0),交y轴于N(0,4).∵MP是切线,∴MP2=MA?MB,∴MP5
PK⊥OA于K.∵ON∥PK,∴ON
PK
=
OM
MK
=
NM
MP
,∴
4
PK
=
3
MK
=
5
35
,∴PK=
125
5
,
MK=95
5
,∴OK=
95
5
﹣3,∴P(
95
5
﹣3,
125
5
).
点睛:本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题,学会构造辅助圆解决最大角问题,属于中考压轴题.
4.已知:如图,AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,∠APB是平分线分别交BC,AB于点D、E,交⊙O于点F,∠A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根(k为常数).
(1)求证:PA?BD=PB?AE;
(2)求证:⊙O的直径长为常数k;
(3)求tan∠FPA的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)tan∠FPA=2﹣3 .
【解析】
试题分析:
(1)由PB切⊙O于点B,根据弦切角定理,可得∠PBD=∠A,又由PF平分∠APB,可证得△PBD∽△PAE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得PA?BD=PB?AE;
(2)易证得BE=BD,又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),即可得AE+BD=k,继而求得AB=k,即:⊙O的直径长为常数k;
(3)由∠A=60°,并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),可求得AE与BD的长,继而求得tan∠FPB的值,则可得tan∠FPA的值.
试题解析:
(1)证明:如图,
∵PB切⊙O于点B,
∴∠PBD=∠A,
∵PF平分∠APB,
∴∠APE=∠BPD,
∴△PBD∽△PAE,
∴PB:PA=BD:AE,
∴PA?BD=PB?AE;
(2)证明:如图,
∵∠BED=∠A+∠EPA,∠BDE=∠PBD+∠BPD.
又∵∠PBD=∠A,∠EPA=∠BPD,
∴∠BED=∠BDE.
∴BE=BD.
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),
∴AE+BD=k,
∴AE+BD=AE+BE=AB=k,
即⊙O直径为常数k.
(3)∵PB切⊙O于B点,AB为直径.
∴∠PBA=90°.
∵∠A=60°.
∴PB=PA?sin60°=PA,
又∵PA?BD=PB?AE,
∴BD=AE,
∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数).
∴AE?BD=2,
即AE2=2,
解得:AE=2,BD=,
∴AB=k=AE+BD=2+,BE=BD=,
在Rt△PBA中,PB=AB?ta n60°=(2+)×=3+2.
在Rt△PBE中,tan∠BPF===2﹣,
∵∠FPA=∠BPF,
∴tan∠FPA=2﹣.
【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
5.如图,AB是半圆O的直径,半径OC⊥AB,OB=4,D是OB的中点,点E是弧BC上的动点,连接AE,DE.
(1)当点E是弧BC的中点时,求△ADE的面积;
(2)若3
tan 2
AED ∠=
,求AE 的长; (3)点F 是半径OC 上一动点,设点E 到直线OC 的距离为m ,当△DEF 是等腰直角三角形时,求m 的值.
【答案】(1)62ADE S =;(2)16
55
AE =
;(3)23m = ,22m =,71m =-.
【解析】 【分析】
(1)作EH ⊥AB ,连接OE ,EB ,设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a ,则EH =OH =2+a ,根据Rt △AEB 中,EH 2=AH?BH ,即可求出a 的值,即可求出S △ADE 的值;
(2)作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE ,设EF =2x ,DF =3x ,根据DF ∥BE 故AF AD
EF BD
=,得出AF =6x ,再利用Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2,即可求出x ,进而求出AE 的长; (3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论,分别求出m 的值. 【详解】
解:(1)如图,作EH ⊥AB ,连接OE ,EB , 设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a , ∵点E 是弧BC 中点, ∴∠COE =∠EOH =45°, ∴EH =OH =2+a ,
在Rt △AEB 中,EH 2=AH?BH , (2+a )2=(6+a )(2﹣a ),
解得a =222±-, ∴a =222-, EH=22, S △ADE =
1
622
AD EH =;
(2)如图,作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE
设EF =2x ,DF =3x ∵DF ∥BE
∴
AF AD
EF BD = ∴
6
22AF x ==3 ∴AF =6x
在Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2 (6x )2+(3x )2=(6)2 解得x =
255 AE =8x =
16
55
(3)当点D 为等腰直角三角形直角顶点时,如图
设DH =a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH , ∴∠DFO=∠EDH ∴△ODF ≌△HED ∴OD =EH =2
在Rt △ABE 中,EH 2=AH?BH (2)2=(6+a )?(2﹣a ) 解得a =±232- m =23
当点E 为等腰直角三角形直角顶点时,如图
同理得△EFG ≌△DEH
设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a
在Rt△ABE中,EH2=AH?BH
(2+a)2=(6+a)(2﹣a)
解得a=222
±-
∴m=22
当点F为等腰直角三角形直角顶点时,如图
同理得△EFM≌△FDO
设OF=a,则ME=a,MF=OD=2
∴EH=a+2
在Rt△ABE中,EH2=AH?BH
(a+2)2=(4+a)?(4﹣a)
-
解得a=±71
m=71
-
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题,解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.
6.如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OC,AC,可先证明AC平分∠BAE,结合圆的性质可证明OC∥AE,可得∠OCB=90°,可证得结论;
(2)可先证得四边形AOCD 为平行四边形,再证明△OCB 为等边三角形,可求得CF 、AB ,利用梯形的面积公式可求得答案. 【详解】
(1)证明:连接OC ,AC . ∵CF ⊥AB ,CE ⊥AD ,且CE =CF . ∴∠CAE =∠CAB . ∵OC =OA , ∴∠CAB =∠OCA . ∴∠CAE =∠OCA . ∴OC ∥AE .
∴∠OCE +∠AEC =180°, ∵∠AEC =90°, ∴∠OCE =90°即OC ⊥CE ,
∵OC 是⊙O 的半径,点C 为半径外端, ∴CE 是⊙O 的切线.
(2)解:∵AD =CD , ∴∠DAC =∠DCA =∠CAB , ∴DC ∥AB , ∵∠CAE =∠OCA , ∴OC ∥AD ,
∴四边形AOCD 是平行四边形, ∴OC =AD =a ,AB =2a , ∵∠CAE =∠CAB , ∴CD =CB =a , ∴CB =OC =OB , ∴△OCB 是等边三角形, 在Rt △CFB 中,CF =
,
∴S 四边形ABCD = (DC +AB )?CF =
【点睛】
本题主要考查切线的判定,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.
7.已知P 是
O 的直径BA 延长线上的一个动点,∠P 的另一边交O 于点C 、D ,两点位
于AB 的上方,AB =6,OP=m ,1sin 3
P =,如图所示.另一个半径为6的1O 经过点
C 、
D ,圆心距1OO n =.
(1)当m=6时,求线段CD 的长;
(2)设圆心O 1在直线AB 上方,试用n 的代数式表示m ;
(3)△POO 1在点P 的运动过程中,是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形,如果能,试求出此时n 的值;如果不能,请说明理由.
【答案】(1)CD=25;(2)m=
2381
2n n
- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】
分析:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .解Rt △POH ,得到OH 的长.由勾股定理得CH 的长,再由垂径定理即可得到结论; (2)解Rt △POH ,得到Rt 3
m
OH OCH =.在和Rt △1O CH 中,由勾股定理即可得到结论;
(3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论:① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时,分1OP OO =和11O P OO =.②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得结论. 详解:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .
在Rt △1
sin 63
POH P PO =中,=,,∴2OH =. ∵AB =6,∴3OC =. 由勾股定理得: 5CH = ∵OH ⊥DC ,∴225CD CH ==.
(2)在Rt △1sin 3POH P PO m 中,=,=,∴3
m OH =
. 在Rt △OCH 中,2
293m CH ??- ???
=.
在Rt △1O CH 中,2
2
363m CH n ??-- ??
?=. 可得: 22
36933m m n ????--- ? ?????
=,解得23812n m n -:=.
(3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况: ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i )1OP OO =,即m n =,由2
381
2n n n
-=,解得9n :=.
即圆心距等于
O 、1O 的半径的和,就有O 、1O 外切不合题意舍去.
ii )11O P OO = n =,
解得:23m n =,即23n 2381
2n n
-=,解得n : ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得: 2
8132n m n
-=.
∵1POO ∠是钝角,∴只能是m n =,即2
8132n
n n
-=,解得n :
综上所述:n 点睛:本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解答(3)的关键是要分类讨论.
8.如图1,是用量角器一个角的操作示意图,量角器的读数从M 点开始(即M 点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块30°(∠CAB =30°)角的三角板拼在一起,三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合,现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ,在旋转过程中,射线CP 与量角器的半圆弧交于E .连接BE . (1)当射线CP 经过AB 的中点时,点E 处的读数是 ,此时△BCE 的形状是 ; (2)设旋转x 秒后,点E 处的读数为y ,求y 与x 的函数关系式; (3)当CP 旋转多少秒时,△BCE 是等腰三角形?
【答案】(1)60°,直角三角形;(2)y=4x(0≤x≤45);(3)7.5秒或30秒
【解析】
【分析】
(1)根据圆周角定理即可解决问题;
(2)如图2﹣2中,由题意∠ACE=2x,∠AOE=y,根据圆周角定理可知∠AOE=2∠ACE,可得y=2x(0≤x≤45);
(3)分两种情形分别讨论求解即可;
【详解】
解:(1)如图2﹣1中,
∵∠ACB=90°,OA=OB,
∴OA=OB=OC,
∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠AOE=60°,
∴点E处的读数是60°,
∵∠E=∠BAC=30°,OE=OB,
∴∠OBE=∠E=30°,
∴∠EBC=∠OBE+∠ABC=90°,
∴△EBC是直角三角形;
故答案为60°,直角三角形;
(2)如图2﹣2中,
∵∠ACE=2x,∠AOE=y,
∵∠AOE=2∠ACE,
∴y=4x(0≤x≤45).
(3)①如图2﹣3中,当EB=EC时,EO垂直平分线段BC,
∵AC⊥BC,
∵EO∥AC,
∴∠AOE=∠BAC=30°,
∠AOE=15°,
∴∠ECA=1
2
∴x=7.5.
②若2﹣4中,当BE=BC时,
易知∠BEC=∠BAC=∠BCE=30°,
∴∠OBE=∠OBC=60°,
∵OE=OB,
∴△OBE是等边三角形,
∴∠BOE=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠ACE=1
2
∠ACB=60°,
∴x=30,
综上所述,当CP旋转7.5秒或30秒时,△BCE是等腰三角形;
【点睛】
本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
9.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.点E为CD边上一点,AE与BE分别为
∠DAB和∠CBA的平分线.
(1)请你添加一个适当的条件,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;
(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(3)在(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,
sin∠AGF=4
5
,求⊙O的半径.
【答案】(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)作出相应的图形见解析;(3)圆O的半径为2.5.
【解析】
分析:(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可;(2)作出相应的图形,如图所示;
(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行,可得同旁内角互补,再由AE与BE为角平分线,可得出AE与BE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AF与FB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据sin∠AGF的值,确定出sin∠AEB的值,求出AB的长,即可确定出圆的半径.
详解:(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:
证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形;
故答案为:AD=BC;
(2)作出相应的图形,如图所示;
(3)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∵AB为圆O的直径,点F在圆O上,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAG+∠FGA=90°,
∵AE平分∠DAB,
∴∠FAG=∠EAB,
∴∠AGF=∠ABE,
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5
AE AB ,
∵AE=4,
∴AB=5,
则圆O的半径为2.5.
点睛:此题属于圆综合题,涉及的知识有:圆周角定理,平行四边形的判定与性质,角平分线性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.
10.已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E,过点D作DF⊥BC,垂足为F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若等边三角形ABC 的边长为4,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析(2)332 23
π
-
【解析】
试题分析:(1)连接DO,要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可;
(2)首先由已知可得到CD,CF的长,从而利用勾股定理可求得DF的长;再连接OE,求得CF,EF的长,从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积.
试题解析:
(1)证明:连接DO.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形.
∴∠ADO=60°,
∵DF⊥BC,
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°,
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°,
∴DF为⊙O的切线;
(2)∵△OAD是等边三角形,
∴AD=AO=AB=2.
∴CD=AC﹣AD=2.
Rt△CDF中,
∵∠CDF=30°,
∴CF=CD=1.
∴DF=,
连接OE,则CE=2.
∴CF=1,
∴EF=1.
∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)?DF=,
∴S扇形OED==,
∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣.
【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况,当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积.
2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一.解答题(共30小题) 1.(2015?大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.(2015?潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.(2015?枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长. 4.(2015?西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM, AM. (1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.(2015?广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径. 6.(2015?北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 7.(2015?莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O 在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.
25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙ O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O
4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan = F ,求DE 的长。 5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A
7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。 求证:(1)AC 平分∠DAB ; (2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)求DE 的长。 9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:DE 为⊙F 的切线; (2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,
∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
九年级数学上册圆几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学圆易错题压轴题(难) 1.在直角坐标系中,A(0,4),B(4,0).点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动,同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点C、D运动的时间是t秒(t>0).过点C作CE⊥BO于点E,连结CD、DE. ⑴当t为何值时,线段CD的长为4; ⑵当线段DE与以点O为圆心,半径为的⊙O有两个公共交点时,求t的取值范围; ⑶当t为何值时,以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切? 【答案】(1); (2) 4-<t≤; (3)或. 【解析】 试题分析:(1)过点C作CF⊥AD于点F,则CF,DF即可利用t表示出来,在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程,从而求得t的值; (2)易证四边形ADEC是平行四边形,过点O作OG⊥DE于点G,当线段DE与⊙O相切 时,则OG=,在直角△OEG中,OE可以利用t表示,则OG也可以利用t表示出来,当 OG<时,直线与圆相交,据此即可求得t的范围; (3)分两圆外切与内切两种情况进行讨论,当外切时,圆心距等于两半径的和,当内切时,圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径,列出方程即可求得t的值. (1)过点C作CF⊥AD于点F, 在Rt△AOB中,OA=4,OB=4,
∴∠ABO=30°, 由题意得:BC=2t,AD=t, ∵CE⊥BO, ∴在Rt△CEB中,CE=t,EB=t, ∵CF⊥AD,AO⊥BO, ∴四边形CFOE是矩形, ∴OF=CE=t,OE=CF=4-t, 在Rt△CFD中,DF2+CF2=CD2, ∴(4-t-t)2+(4-t)2=42,即7t2-40t+48=0, 解得:t=,t=4, ∵0<t<4, ∴当t=时,线段CD的长是4; (2)过点O作OG⊥DE于点G(如图2), ∵AD∥CE,AD=CE=t ∴四边形ADEC是平行四边形, ∴DE∥AB ∴∠GEO=30°, ∴OG=OE=(4-t) 当线段DE与⊙O相切时,则OG=, ∴当(4-t)<,且t≤4-时,线段DE与⊙O有两个公共交点.∴当 4-<t≤时,线段DE与⊙O有两个公共交点; (3)当⊙C与⊙O外切时,t=; 当⊙C与⊙O内切时,t=;
人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC . (1)求证:CD 是⊙M 的切线; (2)二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ,使S △PDM =6S △QAM ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)证明:连接CM , ∵OA 为⊙M 直径,∴∠OCA=90°.∴∠OCB=90°. ∵D 为OB 中点,∴DC=DO .∴∠DCO=∠DOC . ∵MO=MC ,∴∠MCO=∠MOC . ∴ . 又∵点C 在⊙M 上,∴DC 是⊙M 的切线. (2)∵A 点坐标(5,0),AC=3 ∴在Rt △ACO 中,. ∴545(x )x 5)12152- =--(,∴,解得10 OD 3 = . 又∵D 为OB 中点,∴ 1552 4 +∴D 点坐标为(0,154). 连接AD ,设直线AD 的解析式为y=kx+b ,则有
解得. ∴直线AD 为 . ∵二次函数的图象过M (5 6 ,0)、A(5,0), ∴抛物线对称轴x= 154 . ∵点M 、A 关于直线x=154对称,设直线AD 与直线x=15 4 交于点P , ∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长,∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点. 当x= 15 4时,45y (x )x 5)152 = --(. ∴P 点的坐标为(15 4,56 ). (3)存在. ∵ ,5 y a(x )x 5)2 =--( 又由(2)知D (0,154),P (15 4,56 ), ∴由 ,得 ,解得y Q =± 103 . ∵二次函数的图像过M(0,5 6 )、A(5,0), ∴设二次函数解析式为, 又∵该图象过点D (0,15 4 ),∴,解得a= 512 . ∴二次函数解析式为 . 又∵Q 点在抛物线上,且y Q =±103 . ∴当y Q =103 时,,解得x= 1552-或x=1552 +; 当y Q =5 12 - 时,,解得x= 15 4 .
初中数学圆的真题汇编及答案解析 一、选择题 1.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,则侧面积为() A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】B 【解析】 【分析】 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解. 【详解】 解:圆锥的侧面积为:1 2 ×2π×1×3=3π, 故选:B. 【点睛】 此题考查圆锥的计算,解题关键在于掌握运算公式. 2.如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥AD,以BD为直径作圆,交于AB于E,交CD于F,若BD=12,AD:AB=1:2,则图中阴影部分的面积为() A.123B.1536π -πC.30312π -D.48336π -π【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD长,利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数,进而求得∠EOD的度数,那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE,算出后乘2即可. 【详解】 连接OE,OF. ∵BD=12,AD:AB=1:2, ∴AD=43,AB=83,∠ABD=30°, ∴S△ABD=33,S扇形=60361 6,63393 3602 OEB S π π ? ==?= V
∵两个阴影的面积相等, ∴阴影面积=()224369330312ππ?--=- . 故选:C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积. 3.如图,已知AB 是⊙O 是直径,弦CD ⊥AB ,AC =22,BD =1,则sin ∠ABD 的值是( ) A .2 B .13 C 22 D .3 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据垂径定理,可得BC 的长,再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC 是直角三角形,利用勾股定理求得AB 的长,得到sin ∠ABC 的大小,最终得到sin ∠ABD 【详解】 解:∵弦CD ⊥AB ,AB 过O , ∴AB 平分CD , ∴BC =BD , ∴∠ABC =∠ABD , ∵BD =1, ∴BC =1, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB =90°, 由勾股定理得:AB ()22222213AC BC +=+=,
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,AB 是半圆的直径,过圆心O 作AB 的垂线,与弦AC 的延长线交于点D ,点E 在OD 上DCE B ∠=∠. (1)求证:CE 是半圆的切线; (2)若CD=10,2 tan 3 B = ,求半圆的半径. 【答案】(1)见解析;(2)413 【解析】 分析: (1)连接CO ,由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°,即可得出结论; (2)设AC=2x ,由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ,通过证明△AOD ∽△ACB ,列出等式即可. 详解:(1)证明:如图,连接CO . ∵AB 是半圆的直径, ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠, ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径, ∴CE 是半圆的切线. (2)解:设AC =2x ,
∵在Rt △ACB 中,2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A , ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =,AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛:本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,相似三角形. 2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,E (8,0),F(0 , 6). (1)当G(4,8)时,则∠FGE= ° (2)在图中的网格区域内找一点P ,使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形. 要求:写出点P 点坐标,画出过P 点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法). 【答案】(1)90;(2)作图见解析,P (7,7),PH 是分割线. 【解析】 试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG 的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形,且∠FGE="90" °. (2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P 在以EF 为直径
数学九年级上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,以A (0,3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ,与y 轴相交于点B ,弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ,且∠BEO =60°,AD 的延长线交x 轴于点C . (1)分别求点E 、C 的坐标; (2)求经过A 、C 两点,且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式; (3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ,试判断以M 点为圆心,ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系,并说明理由. 【答案】(1)点C 的坐标为(-3,0)(2)2343333 y x x =++3)⊙M 与⊙A 外切 【解析】 试题分析:(1)已知了A 点的坐标,即可得出圆的半径和直径,可在直角三角形BOE 中,根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标,同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标; (2)已知了对称轴的解析式,可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标,然后根据此点坐标以及C ,A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (3)两圆应该外切,由于直线DE ∥OB ,因此∠MED=∠ABD ,由于AB=AD ,那么 ∠ADB=∠ABD ,将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ,即ME=MD ,因此两圆的圆心距AM=ME+AD ,即两圆的半径和,因此两圆外切. 试题解析:(1)在Rt△EOB 中,3 cot60232EO OB =??==, ∴点E 的坐标为(-2,0). 在Rt△COA 中,tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==, ∴点C 的坐标为(-3,0). (2)∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F (-1,0), 点C 与点F (-1,0)都在抛物线上. 设()()13y a x x =++,用(03A ,代入得 ()()30103a =++,
2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)答案 一、选择题 1.已知的半径为,的半径为,圆心距,则与的位置关系是( C ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如图,为的直径,是的弦,,则的度数为( C ) A. B. C. D. 3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为( C ) A. B. C. D. 4. 如图,在中,,的半径为3,则图中阴影部分的面积是( C ) A. B. C. D. 5.如图,AB是圆O的弦,OC⊥AB,交圆O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( D ) A.40° B.50° C.70° D.80° 6.如图,蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( A ) A. B.40πm2 C. D.55πm2 7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为( A ) A. B. C. D. 8.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 9.如图,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6cm,圆锥的面积为15πcm2,则sin∠ABC的值为( C ) A. B. C. D.
10.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于( A )。 A.27° B.32° C.36° D.54° 11.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,,则 的度数是( B ) A. B. C. D. 12.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( D ) A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则 的长为( C ) A. B. C. D. 14.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( B ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 15.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16. 如图,已知AB是的直径,点P在BA的延长线上,PD与相切于点D,过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C,若的半径为4,,则PA的长为( A ) A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中,若为边的中点,则必有成立.依据以上结论,解决如下问题: 如图,在矩形中,已知,点在以为直径的半圆上运动,则的最小 值为( D )A. B. C. 34 D. 10
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°
圆中考真题精选汇编二 1、(2010苏州)如图1,已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E ,则△ABE 面积的最小值是( ) A 、2 B 、1 C 、222- D 、22- 2、(2010临沂)如图2,直径AB 为6的半圆,绕A 点逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ',则图中阴影部分的面积是 ( ) A 、6π B 、5π C 、4π D 、3π 3、(2010陕西)如图3,点A 、B 、P 在⊙O 上,且50APB ∠=。若点M 是⊙O 上的动点,要使△ABM 为等腰三角形,则所有符合条件的点M 有( ) A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 ~ 4、(2010上海)已知圆O 1、圆O 2的半径不相等,圆O 1的半径长为3,若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3,则圆O 1与圆O 2的位置关系是( ) A 、相交或相切 B 、相切或相离 C 、相交或内含 D 、相切或内含 5、(2010武汉)如右图,⊙O 的直径AB 的长为10,弦AC 长为6,ACB ∠的平分线 交⊙O 于D ,则CD 长为( ) A 、7 B 、72 C 、82 D 、 9 6、(2010年山西)如图6是以AB 为直径的半圆形纸片,AB =6cm ,沿着垂直于AB 的半径OC 剪开, 将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ’A ’C ’ .如图2,其中O ’是OB 的中点.O ’C ’交BC ⌒ 于点F ,则BF ⌒ 的长为_______cm 。 B ' 第1题 第2题 |
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,?? BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵?? BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
圆中考试题 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 () (A )ο 15 (B )ο 30 (C )ο 45 (D )ο 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的4 1 ,那么这个圆柱的侧面积是 () (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =10寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A ) 2 25 寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C =ο 90,AO 的延长线交 BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
2017年江苏省中考数学真题《圆》专题汇编(解答) 1.(2017·南京第22题)“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知 AOB .请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断AOB 是否为直角(仅 限用直尺和圆规). 2.(2017·南京第24题)如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点.连接AO 并延长, 交PB 的延长线于点C .连接PO ,交⊙O 于点D .(1)求证:PO 平分APC .(2)连结DB .若 30C ,求证DB ∥AC . 小丽的方法 如图,在OA 、OB 上分别取点C 、D ,以C 为圆心,CD 长为半径画弧,交 OB 的反向 延长线于点 E.若OD OE , 则 90AOB . (第1题图) (第2题图)
3.(2017·无锡第24题)如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列 要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹): (1)作△ABC的外心O; (2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,点H分别在边BC 和AC上. (第3题图) 4.(2017·无锡第27题)如图,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC:CE=1:2,求点P的坐标. (第4题图)
5.(2017·常州第28题)如图,已知一次函数 4 4 3 y x的图像是直线l,设直线l分别 与y轴、x轴交于点A B 、. (1)求线段AB的长度; (2)设点M在射线AB上,将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N,以点N为圆心,NA的长为半径作N. ①当N与x轴相切时,求点M的坐标; ②在①的条件下,设直线AN与x轴交于点C,与N的另一个交点为D,连接MD交x 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P Q 、,当APQ与CDE相似时,求点P的坐标. (第5题图)
2017年浙江中考真题分类汇编(数学):专题11圆、单选题 1、(2017 ?金华)如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦 A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、(2017?宁波)如图,在Rt △KBC中,Z A = 90 ° BC = .以BC的中点O为圆心的圆分别与AC相切于D、E两点,则:三的长为() JT B、 C、 D、AB的 AB、 长为(
3、(2017 ?丽水如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是() B、— C、 D、 32 4、(2017 ?衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是O O的直径,CD , EF是O O的弦, 且AB //CD //EF, AB=10 , CD=6 , EF=8。则图中阴影部分的面积是() A、一 B、 C、-- + 4." D、 、填空题
(2017?杭州)如图,AT 切O O 于点A , AB 是O O 的直径.若/ ABT=40 (2017?绍兴)如图,一块含45。角的直角三角板,它的一个锐角顶点 A 在 O O 上,边AB , AC 分别 与O O 交于点D , E.则/DOE 的度数为 9、 ( 2017 ?嘉兴如图,小明自制一块乒乓球拍, 正面是半径为比謬的 . 亏:一,弓形 (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为 C 10、 ( 2017?湖州)如图,已知 Z.4.L 一;「,在射线 上取点 ,以 为圆心的圆与 相 ,则 B= 6、( 2017?湖州)如图,已知在 上]1中,一-上二_二「.以.p?为直径作半圆 , 交二'_1 于点一.若 的度数是 度. 如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条 AB , AC 的夹角为120 ,AB 长为30cm ,则 8 、
数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD 2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案) 类型一 与全等结合 1. 如图,⊙O 的直径AB =4,C 为⊙O 上一点,AC = 2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵ 上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数; (2)当点P 移动到劣弧CB ︵ 的中点时,求证:四边形OBPC 是菱形; (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证:△APC 与△ABC 全等. 第1题图 (1)解:∵AC =2,OA =OB =OC =1 2 AB =2, ∴AC =OA =OC , ∴△ACO 为等边三角形, ∴∠AOC =∠ACO =∠OAC =60°, ∴∠APC =1 2∠AOC =30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO =90°, ∴∠ACD =∠DCO -∠ACO =90°-60°=30°; 第1题解图 (2)证明:如解图,连接PB ,OP , ∵AB 为直径,∠AOC =60°, ∴∠COB =120°, 当点P 移动到CB ︵ 的中点时,∠COP =∠POB =60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC =CP =OB =PB , ∴四边形OBPC 为菱形; (3)证明:∵CP 与AB 都为⊙O 的直径, ∴∠CAP =∠ACB =90°, 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中, ? ????AB =CP AC =AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL). 2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证:AC =DC ; (2)求证:BD ∥CM ; (3)若sin B =4 5 ,求cos ∠BDM 的值. 第2题图 (1)证明:如解图,连接OD , 一、选择题 1、(2020最新模拟山东淄博)一个圆锥的高为33,侧面展开图是 半圆,则圆锥的侧面积是( )B (A )9π (B )18π (C )27π (D )39π 2、(2020最新模拟四川内江)如图(5),这 是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中AOB ∠为120o ,OC 长为8cm ,CA 长为12cm ,则阴影部分的面积为( ) A .264πcm B .2112πcm C .2144πcm D .2152πcm 解:S = 212020360 π?- 21208360 π?=2112πcm 选(B )。 3、(2020最新模拟山东临沂)如图,在△ABC 中, AB =2,AC =1,以AB 为直径的圆与AC 相切,与 边 BC 交于点D ,则AD 的长为( )。A A 、55 2 B 、 554 C 、35 2 D 、354 4、(2020最新模拟浙江温州)如图,已知ACB ∠是O e 的圆周角,50ACB ∠=?,则圆心角AOB ∠是( )D A .40? B. 50? C. 80? D. 100? 5、(2020最新模拟重庆市)已知⊙O 1的半径r 为3cm ,⊙O 2的半径R 为4cm ,两圆的圆心距O 1O 2为1cm ,则这两圆的位置关系是( )C (A )相交 (B )内含 (C )内切 (D )外切 A C O B 图(5) 6、(2020最新模拟山东青岛)⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( ).C A .相离 B .相切 C .相交 D .内含 7、(2020最新模拟浙江金华)如图,点A B C ,,都在 O e 上,若34 C o ∠,则AOB ∠的度数为( )D A .34o B .56o C .60o D .68o 8、(2020最新模拟山东济宁)已知圆锥的底面半径为1cm ,母线长为3cm ,则其全面积为( )。C A 、π B 、3π C 、4π D 、7π 9、(2020最新模拟山东济宁)如图所示,小华从一个圆形场地的A 点出发,沿着与半径OA 夹角为α的方向 行 走,走到场地边缘B 后,再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上,此时∠AOE =56°,则α的度数是( )。A A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 10、(2020最新模拟福建福州)如图2,O e 中,弦 AB 的长为6cm ,圆心O 到AB 的距离为4cm ,则O e 的半径长 为( ) A .3cm B .4cm C .5cm D .6cm C 11、(2020最新模拟双柏县)如图,已知PA 是⊙O 的切线,A 为切点,PC 与⊙O 相交于B 、C 两点,PB =2 cm ,BC =8 cm ,则PA 的长等于( ) A .4 cm B .16 cm O C B A O B A 图2 A ·O P C B2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)
2020中考数学圆试题分类汇编