一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为________;(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:∠PFD?∠AEM=90°;
(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
【答案】(1)∠PFD+∠AEM=90°
(2)过点P作PG∥AB
∵AB∥CD,
∴PG∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG
∵∠MPN=90°
∴∠NPG-∠MPG=90°
∴∠PFD-∠AEM=90°;
(3)设AB与PN交于点H
∵∠P=90°,∠PEB=15°
∴∠PHE=180°-∠P-∠PEB=75°
∵AB∥CD,
∴∠PFO=∠PHE=75°
∴∠N=∠PFO-∠DON=45°.
【解析】【解答】(1)过点P作PH∥AB
∵AB∥CD,
∴PH∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH
∵∠MPN=90°
∴∠MPH+∠NPH=90°
∴∠PFD+∠AEM=90°
故答案为:∠PFD+∠AEM=90°;
【分析】(1)过点P作PH∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH,然后根据∠MPH+∠NPH=90°和等量代换即可得出结论;(2)过点P作PG∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG,然后根据∠NPG-∠MPG=90°和等量代换即可证出结论;(3)设AB与PN 交于点H,根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE,然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE,然后根据三角形外角的性质即可求出结论.
2.点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=65°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图①,将三角板MON的一边ON与射线OB重合时,则∠MOC=________;(2)如图②,将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度,此时OC是∠MOB的角平分线,求旋转角∠BON和∠CON的度数;
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时,∠NOC=∠AOM,求∠NOB的度数.
【答案】(1)25°
(2)解:∠BOC=65°,OC平分∠MOB
∠MOB=2∠BOC=130°
∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°
∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°
(3)解:∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°
∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°
∠MON=90°
∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°
4∠NOC+∠NOC=25°
∠NOC=5°
∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°
【解析】【解答】解:(1)∠MON=90,∠BOC=65°
∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°
【分析】(1)根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数;(2)根据角平分线的性质,由∠BOC=65°,可以求得∠BOM的度数,然后由∠NOM-90°,可得∠BON的度
数,从而得解;(3)由∠BOC=65°,∠NOM=90°,∠NOC= ∠AOM,从而可求得∠NOC的度数,然后由∠BOC=65°,从而得解.
3.如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动.
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(2)若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)解:不变化.理由:∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∠AOB=90°,∴∠APB=180°(∠OAB+∠ABO)=180° ×90°=135°
(2)解:都不变.
理由:∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线,AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠CAQ=∠QBP=90°,又∠APB=135°,
∴∠Q=45°,∴∠C=45°
【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° ?(∠OAB+∠ABO);根据邻补角的平分线互相垂直,得到∠CAQ=∠QBP=90°,由∠APB的度数,求出∠Q和∠C的度数.
4.如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,?….
例如:当α=30°时,OA1, OA2, OA3, OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON 上,∠A3OA4=120°;
当α=20°时,OA1, OA2, OA3, OA4, OA3的位置如图3所示,
其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA3恰好与OA2重合.
解决如下问题:
(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是________;
(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,OA3, OA4并求出α的值;
(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是________
(4)(选做题)当OA i所在的射线是∠A i OA k(i,j,k是正整数,且OA j与OA k不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α=180°),旋转是否可以停止?写出你的探究思路.
【答案】(1)45°
(2)解:如图所示.
∵α<30°,
∴∠A0OA3<180°,4α<180°.
∵OA4平分∠A2OA3,
∴2(180°﹣6α)+ =4α,解得:
(3),,
(4)解:对于角α=120°不能停止.理由如下:
无论a为多少度,旋转过若干次后,一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会停止.
但特殊的,当a为120°时,第一次旋转120°,∠MOA1=120°,第二次旋转240°时,与OM 重合,第三次旋转360°,又与OM重合,第四次旋转480°时,又与OA1重合,…依此类推,旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况,不会出第三条射线,所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况,旋转不会停止
【解析】【解答】解:(1)解:如图所示.aφ=45°,
【分析】(1)根据题意,明确每次旋转的角度,计算即可;(2)根据各角的度数,找出等量关系式,列出方程,求出α的度数即可;(3)类比第(2)小题的算法,分三种情况讨论,求出α的度数即可;(4)无论a为多少度,旋转很多次,总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线,但当a=120度时,只有两条射线,不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会中止.
5.如图1, .如图2,点分别是上的点,且, .
(1)求证: F;
(2)若的角平分线与的角平分线交于点,请补全图形并直接写出与之间的关系为________.
【答案】(1)证明:如图,延长EH,交CD的延长线与M,
(2)∠BFE=2∠P.
【解析】【解答】解:(2)结论:∠BFE=2∠P,理由如下:
如图,设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x
=
,
故答案为:∠BFE=2∠P.
【分析】(1)延长EH,交CD的延长线与M,根据平行线的性质及等量代换即可证明;
(2)设∠B=∠HEF=y,∠BFE=x,根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.
6.
(1)思考探究:如图①,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,请探究与的关系是________.
(2)类比探究:如图②,四边形中,设,,,四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用,的代数式表示)
(3)拓展迁移:如图③,将(2)中改为,其它条件不变,请在图③中画出,并直接写出 ________.(用,的代数式表示)
【答案】(1)
(2)解:延长、,交于点 .
,
由(1)知:
∴ .
(3)
【解析】【解答】解:(1)
∵平分,平分,
∴,
∵是的外角
∴
∵是的外角
∴
( 3 )延长,交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图:
,
【分析】(1)利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.(2)延长BA、CD交于点F,然后根据(1)的结题可得到∠P的表达式.(3)延长AB、DC交于F,然后根据(1)的结题可得到∠P的表达式.
7.已知,与两角的角平分线交于点P,D是射线上一个动点,过点D的直线分别交射线,,于点E,F,C.
(1)如图1,若,,,求的度数;
(2)如图2,若,请探索与的数量关系,并证明你的结论;
(3)在点运动的过程中,请直接写出,与这三个角之间满足的数量关系:________.
【答案】(1)解:∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ,
∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ,
∴∠BPC=∠BAP+∠ABP= ;
(2)解:,理由如下:
∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴设,,
∵,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴;
(3)
【解析】【解答】解:(3)∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线,
∴设,,
∵,
∴,
如图,当点P在线段BD上时,
,
∴;
如图,当点P在线段BD的延长线上时,
,即,
∴,
即;
故答案为:.
【分析】(1)根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解;
(2)设,,根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解;
(3)分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.
8.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起.
(1)如图(1)若∠BOD=35°,则∠AOC=________ .
如图(2)若∠BOD=35°,则∠AOC=________ .
(2)猜想∠AOC与∠BOD的数量关系,并结合图(1)说明理由.
(3)三角尺AOB不动,将三角尺COD的OD边与OA边重合,然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度,当∠AOD(0°<∠AOD<90°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相垂直.(填空)
当________ ⊥ ________时,∠AOD = ________ .
当________ ⊥ ________时,∠AOD = ________ .
当________ ⊥ ________时,∠AOD = ________ .
当________ ⊥ ________时,∠AOD = ________ .
【答案】(1)145°;145°
(2)解:∠AOC与∠BOD互补.
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°.
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC,
∴∠AOC+∠BOD=180°,
即∠AOC与∠BOD互补.
(3)AB;OD;30°;CD;OA;45°;OC;AB;60°;AB;CD;75°
【解析】【解答】解:(1)若∠BOD=35°,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°;
如图2,若∠BOD=35°,
则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD
=360°-35°-90°-90°
=145°;(3)解:当 AB ⊥ OD 时,∠AOD = 30°.
当 CD ⊥ OA 时,∠AOD = 45°.
当 OC ⊥ AB 时,∠AOD = 60°.
当 AB ⊥ CD 时,∠AOD = 75°.
即∠AOD角度所有可能的值为:30°、45°、60°、75°.
【分析】(1)由于是两直角三角形板重叠,根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC的度数;根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;(2)由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补;(3)分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可.
9.如图,已知DC∥FP,∠1=∠2,∠FED=28°,∠AGF=80°,FH平分∠EFG.
(1)说明:DC∥AB;
(2)求∠PFH的度数.
【答案】(1)证明:∵DC∥FP,
∴∠3=∠2,又∵∠1=∠2,∴∠3=∠1,
∴DC∥AB
(2)解:∵DC∥FP,DC∥AB,∠DEF=30°,
∴∠DEF=∠EFP=30°,AB∥FP,
又∵∠AGF=80°,
∴∠AGF=∠GFP=80°,
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°,
又∵FH平分∠EFG,
∴∠GFH= ∠GFE=55°,
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°
【解析】【分析】(1)根据二直线平行,同位角相等得出,又∠1=∠2,故∠1=∠3,根据同位角相等,两直线平行得出DC∥AB;
(2)根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP,根据二直线平行,内错角相等得出,,根据角的和差,由
算出∠GFE的度数,根据角平分线的定义得出∠GFH的度数,最后
根据即可算出答案。
10.课题学习近平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
解:过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=________.
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°.点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
【答案】(1)∠DAC
(2)解:如图2,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=∠ABC=30°,∠CDE=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
故答案为∠DAC;
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,然后根据已知条件即可得到结论;(3)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数.
11.如图1,将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O,其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上,已知∠ABO=∠DCO=90°,∠AOB=45°,∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。
(1)求∠BOE的度数。
(2)如图2,若点C不落在边OA上,当∠COE=15°时,求∠BOD的度数。
【答案】(1)解:∵∠COD=60°,OE为∠COD的平分线,
∴∠COE=30°,
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°;
(2)解:∵∠COE=15°,
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°,
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°,
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】(1)OE为∠COD的平分线,求出∠COE的度数,则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和;
(2)现知∠COE的度数,则∠DOE度数可求,结合OE平分∠AOD,则∠AOD可求,于是∠BOD的度数可得;
12.如图所示,O为一个模拟钟面圆心,M、O、N 在一条直线上,指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动,OA 运动速度为每秒 30 ,OB 运动速度为每秒10 ,当一根指针与起始位置重合时,运动停止,设转动的时间为 t 秒,试解决下列问题:
(1)如图①,若OA顺时针转动,OB逆时针转动, =________秒时,OA与OB第一次重合;
(2)如图②,若OA、OB同时顺时针转动,
①当 =3秒时,∠AOB=________ ;
②当为何值时,三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线?________
【答案】(1)4.5
(2);解:由题意知,
∴∠BON=10t ,∠AON=180-30t (0≤t≤6),∠AON=30t-180(6 当ON为∠AOB的角平分线时,有 180-30t =10t , 解得:t =4.5; 当OA为∠BON的角平分线时, 10t =2(30t -180), 解得:t =7.2; 当OB为∠AON的角平分线时, 30t -180=2×10t , 解得:t =18(舍去); ∴经过4.5,7.2秒时,射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 【解析】【解答】(1)解:若OA顺时针转动,OB逆时针转动, ∴∠AOM+∠BON=180 , ∴, 解得:; ∴秒,OA与OB第一次重合; 故答案为:4.5 2)解:①若OA、OB同时顺时针转动, ∴,, ∴; 故答案为:120; 【分析】(1)设t秒后第一次重合.根据题意,列出方程,解方程即可;(2)①利用180 减去OA转动的角度,加上OB转动的角度,即可得到答案; ②先用t的代数式表示∠BON和∠AON,然后分为三种情况进行讨论:当ON、OA、OB为角平分线时,分别求出t的值,即可得到答案.