实际问题与一元二次方程

22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）

实验中学李莉

【教学目标】

1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中

的数量关系列一元二次方程并求解。

2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。

3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。

重点：列方程解应用题.

难点：找相等关系列方程。

【学习过程】

一、出示学习目标与重难点：

学习目标：

1、会列一元二次方程解应用题;

2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;

3、通过实际问题的学习，逐步培养自己灵活处理问题的能力.

重点：列方程解应用题.

难点：找相等关系列方程。

二、复习回顾：

列一元一次方程解应用题有哪些步骤？

①审题，设未知数；②找相等关系；③列方程；④解方程；⑤检验，作答。三、自主学习：

（一）自学例题思考下列问题：

（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了

人；第一轮传染后，共有人患了流感。

（2）在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么

第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感。

（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？

（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？交流与点拨：

学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；

前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。

四、例题学习：

（一）例1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染x个人根据题意列方程：

1+x+x(1+x)=121

（解略）

（注意板书，要求步骤清楚，条理。）

引导思考：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?

（要求学生快速作答，以检验他们对知识的理解掌握情况。）

（二）例2：某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

在例一的基础上引导学生分析解决问题，尽量让学生自主解答。

五、课堂练习：

1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排1 5场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

3.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?

（三个问题层层递进，由学生自主完成，然后小组交流解决。）

六、总结反思：（针对学习目标）

可由学生自己完成，教师作适当补充。

（列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。）

【达标检测】

1、某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2250张相片；如果全班有x名同学，根据题意列方程为（）

A、B、C、D

2、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，求每轮繁殖中平均一个细菌繁殖多少个细菌？

【布置作业】

一元二次方程解直角三角形试题

一元二次方程与解直角三角形的检测试题 班级________姓名___________座号________________ 成绩____________ 一、填空题(3分×13) 1、关于x的方程（k-√3）x2―13x + 6 = 0是一元二次方程，则k ______; 2、关于x的方程x2+ 2x ＝0的根__________________; 3、已知关于x的方程x2 + mx ＋1＝0的一个根是2－√3，则方程的另一根是 ______; 4、若关于x的方程9x2- (k + 6)x + k + 1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ______； 5、已知方程x2 + mx + n＝0的两个根分别为2和－1，则m＝_______； 6、以2和-3为根的一元二次方程是____________________； 7、在RtABC中,∠C＝90o，则tanA .tanB＝___________； 8、化简1-sin2A- cos2A＝_______________； 9、在RtΔABC中，若|2sin A- √2 |＋（2cosB -√3）2＝_______________； 10、菱形中较长的对角线与较短的对角线的比为√3：1，那么菱形的锐角 为____________； 11、一个等腰三角形两边分别长为3cm和6cm，则底角的余弦值为 ______________； 12、在RtΔABC 中，∠C＝Rt∠,若a＝10，SΔABC= ,则∠A＝ ___________； 13、等腰梯形的底角为60o，两底边长分别为2cm和16cm，则梯形的面积 为____________； 二、选择题(4分×6) 1、如果一元二次方程2x(mx-4)＝x2-6有两个实数根，则m的最大整数值是（） （A）1 （B）2 (C) 3 (D)1 2、用换元法解分式方程3(x2 +2 )－7(x +2 )＋2＝0，若设 x2 +2 ＝y，则换元后的方程为（） (A)3y2-7y + 8＝0 （B）3y2-7y＋6＝0 （C）3y2-7y＋14＝0 （D）3y 2-7y＋2＝0 3、ΔABC 中，∠C＝90o，BC＝10，AB＝5√2，则B的度数为（）（A）30o（B）45o（C）60o (D) 120o 3、从山顶A望地面C、D两点，它们的俯角分别是45o和30o，如果测得CD 为100米，那么山高AB等于（） (A) 100米（B）100米（C）302米（D）50(3 + 1)米 4、一个三角形的两边长分别为3cm和12cm，夹角为30o和它面积相等的等腰直 角三角形的斜边的长为（） （A）5cm (B)6cm (C)7cm (D)8cm 5、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且 5 3 cos= α, AB = 4, 则AD的长为（）． （A）3 （B） 3 16 （C） 3 20 （D） 5 16 6、某市在“旧城改造”中计划内一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元 三.解方程（6分‘×2=12） x x x x 2 3 1 4 6 2 2 + + + =3 四、不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.(10分) 五、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，在距离B地6千米外 A B C D E ? 150 20米30米

方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案

方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4．

一元二次方程的基本解法

第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x

（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.

一元二次方程与动点及答案

1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间 为t 秒． （1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？ （3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． P C A B Q ↑

3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题： （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？

初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点

初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】

一元二次方程测试题及答案.doc

一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0，则 a 值为（） A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ，则下列说中，正确的是（） （A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2 （C）方程两根和是 1 （D）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1

实际问题与一元二次方程(单、双循环)

实际问题与一元二次方程—比赛问题 教学目标 知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。 教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计 回顾引入：解下列方程 x （x －1）=90 x(10－x)=24 x （x+2）=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？ 分析思考：1、什么是单循环？ 2、什么是双循环？ 解：设邀请x 个球队参加比赛。

拓展变形： 举办一次足球联赛，赛制为双循环形式，一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 归纳总结 当个体为x 个，总数为n 时 单循环公式：n x x =-2 )1( 双循环公式：x （x －1）=n 做题时先判断是单循环还是双循环，再套公式 变式练习，巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n 为 （ ） （思考：这题是 循环） A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送了 72 张，则这个 小组共有多少人？ （思考：这题是 循环） 3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切，相互握手恭贺，这次共握手 28 次，一共有多少人参加开会？（思考：这题是 循环） 小结：1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式 作业：各教师自定

相似三角形,一元二次方程,三角函数

相似三角形，一元二次方程，三角函数 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60㎝，小孔O到像CD的距离是30㎝，若物体AB的长为16㎝，则像 CD的长是㎝ 15. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中 心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（ 0， 2 ），则点E的 坐标是 21. （8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6 （1）请用尺规作图的方法在AB 上找点D ，使得△ACD ∽△ABC （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD的长 22. （10分） 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件. （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

24. （12分） 如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边 CD，CB上，点F 在AC上，AB=3 ，BC=4 （1）求AF BG 的值； （2）把矩形CEFG绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP （Ⅰ）求AF BG 的值 （Ⅱ）判断 CP与AF的位置关系，并说明理由. 22．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； (2)求∠BAC的度数．

23.(本题满分10分) 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录. (1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律， ①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.

一元二次方程的实际问题

一元二次方程的实际问题 一、传播问题 例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 归纳总结：按这样的感染速度，n轮后有多少台电脑被感染？ 第1轮：（1+x） 第2轮： 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（） A．5 B．6 C．7 D．8 二、变化率问题 例：2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元，至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来该市出口贸易的高速增长． （1）求这两年这个市出口贸易的年平均增长率； （2）按这样的速度增长，请你预测2013年这个市的出口贸易总值．（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563） 2、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为． 三、数字问题

1、有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，则原来的两位数为． 2、已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 3、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数． 四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b．且当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实

初三期末复习(一元二次方程、命题与证明、相似三角形)

九年级上期期中测试卷(第1、2、3章) 一、填空题(3分×11=33分) 1．若方程01682 =-x ，则它的解是 . 2．已知：，则的值为________。 3．“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是_________ _________________________________，它们______(“是”或”不是”)互逆定理. 4．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且AC ＝6厘米，AD ＝4厘米，则AB=_______.BC=________. 5．如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AH:HE=________。 6．关于x 的方程03522=-++p x x 的一个根是4-，另一个根是________，p=______． 7．在关于x 的方程(m-5)x m-7 +(m+3)x-3=0中:当m=____时，它是一元二次方程；当m=____时，它是一元一次方程。 8．两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm 2 ，则它们的面积之和为＿＿＿cm 2 。 9. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． 10. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2． 图形所对应的小正方格个数的算式．并计算出第（50）个图形所对应的小正方格的个数 12．关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是 （ ） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C D B C ' B '

次函数与一元二次方程、不等式之间的关系

二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________；

一元二次方程实际问题

22.3实际问题与一元二次方程（第1课时） 启东市合作初级中学：董燕飞

当 堂 反 馈（10分钟） 一、选择题 1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，?所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B ．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1-70%）a 元 D ．（1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）． A ．100p p + B ．p C ．1001000p p - D ．100100p p + 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，?第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，?那么预计2004年的产量将是________． 3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999年涨价30%?后，?2001?年降价70%?至a?元，?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，?从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

相似三角形的复习与一元二次方程的练习及预习

A B C D E C B A D E A A A B A A A C 相似三角形的复习与一元二次方程的练习 及预习 （满分100分，90分钟） 相似三角形复习 基础知识 1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。 2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 3．相似三角形的判定 ①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似． DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似． A A ＇ B C AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’＝BC/B ’C ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． A A ’ B C B ’ C ’ AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’ ∠A ＝∠A ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A A B C B ’ C ’ ∠A ＝∠A ’ ∠B ＝∠B ’ ∴ △ABC ∽△A ’B ’C ’

A B C D C B A D E A B C D E A B C D E A B D 4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。 5.基本图形： 练习题 1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平 分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积. 2、 （2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF; (3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。 F C A B P E H

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

实际问题与一元二次方程的几种常见模型

实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支

单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得

一元二次方程及其解法

第2课时 一元二次方程及其解法 一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 22)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：

) 04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 （5）、韦达定理 若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则 a b x x -=+21，a c x x =21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用 韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=a b -，二根之积 =a c 也可以表示为a b x x -=+21,a c x x =21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 3、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?

实际问题与一元二次方程汇总

一元二次方程的应用题 （一）传播与球赛问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 第一轮后共有人患流感；第二轮后共有人患流感。 等量关系： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 分析：设每个支干长出x个小分支。 主干长出支干的数量个，支干总共长出小分支的数量个。 等量关系： 解：设每个支干长出x个小分支。 3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 第一轮后被感染的电脑共有台，第二轮后被感染的电脑共有台。 等量关系： 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x个队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。A队与B队的比赛和B队与A队是同一场，所以全部的比赛是场。 等量关系： 解：设共有x个队参加比赛

5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？ 分析：此比赛是循环比赛。 设共有x队参加比赛，每队要与其他个队各赛一场。 等量关系： 解：设共有x队参加比赛 6.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会? 分析：设有x个人参加聚会，每人要与其他个人握手一次 等量关系： 解：设有x个人参加聚会 7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72，这个小组共有多少人？ 分析：设这个小组共有x个人，每人要与其他个人互送贺卡 等量关系： 解：这个小组共有x个人 （二）面积问题 1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。 2.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用

专训1 一元二次方程与三角形的综合的四种类型(含答案)

专训1一元二次方程与三角形的综合的四种类型名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一,常常与其他知识结合,其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种,主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及一元二次方程与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用． 一元二次方程与三角形三边关系的综合 1．三角形的两边长分别为4和6,第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解,则第三边的长为() A．3B．4C．3或4D．无法确定 2．根据一元二次方程根的定义,解答下列问题． 一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm,第三边长为a cm(a为整数),且a满足a2－10a＋21＝0,求三角形的周长． 解：由已知可得40时,关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由． 一元二次方程与等腰三角形的综合 5．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0. (1)求证：无论k取任何实数值,方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长． 一元二次方程与动态几何综合

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：