平面向量的方法技巧及易错题剖析

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

平面向量的方法技巧及易错题剖析

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ·b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ?b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

（3）在实数中，若a ≠0，且a ?b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ?b =0，不能推出b =0。因为其中cos θ有可能为0；

（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ? a=c 。但是a ?b = b ?c c a =；

如右图：a ?b = |a |b |cos β = |b ||O A |，b ?c = |b |c |cos α =

|b ||O A |?a ?b =b ?c ，但a ≠c ；

(5)在实数中，有(a ?b )c = a (b ?c )，但是(a ?b )c ≠ a (b ?c )，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。

2．平面向量数量积的运算律

特别注意：

（1）结合律不成立：()()

a b c a b c ??≠??r r r r r r ； （2）消去律不成立a b a c ?=?r r r r 不能得到b c =?r r ；

（3）a b ?r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r 。

3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；

4．注重数学思想方法的教学

①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式2

2a a ??=，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

精编习题

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a ?在b ?方

向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的λ随分点P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

（一）平面向量常见方法技巧 方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题

特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。

例：化简下列各式：①CA BC AB ++；

②-+-；

③AD OD OA +-；

④MP MN QP NQ -++。结果为零向量的序号为___________。

方法二：强化运用向量加法法则

例：已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（ ）

A. ()()1,0,∈+λλ

B. ()???? ??∈+220,BC AB ，λλ

C. ()()1,0,AD AB ∈-λλ

D. ()

???? ??∈-22,0,λλ 答案：A 方法三：数形结合思想 例：已知向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0OP OP OP 321=++，且|OP ||OP ||OP |321===1，试判断321P P P ?的形状。

方法四：取特例 例：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()

m ++=，则实数m =_____________。

答案：1

方法五：应用22a |a |=解题 22|a |a =是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。

例：已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为?60，那么|b 3a |+等于（ ）

A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题

例1：已知向量a 、b 满足6|a |=，4|b |=，且a 与b 的夹角为?60，求|b a |+和|b 3a |-。

方法七：三角形形状的判断方法

由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断 已知平面上有互异的四点A 、B 、C 、D ，若()()

0AC AB DA 2DC DB =-?-+，则△ABC 的形状是

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等边三角形

（二）易错题剖析

【易错题1】若向量a 、b 满足关系式|b a ||b a |-=+，则下列结论中正确的是（ ）

A. 以a 、b 为邻边的四边形是矩形

B. a 、b 中至少有一个零向量或b a ⊥

C. a 、b 中至少有一个是零向量

D. a 、b 均为零向量

答案：B

解题思路：（1）当a 、b 均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，

b a +与b a -分别是以a 、b 为邻边的平行四边形的两条对角线。|b a ||b a |-=+表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以a 、b 为邻边的四边形为矩形时，⊥a b ；

（2）当a 、b 中有零向量时，条件显然满足。

综上所述，故选B 。

错因分析：误区：错选A 。

思考不严密，只注意到了向量a 、b 均不为零向量的情形，事实上，当a 、b 中有零向量时显然也满足条件。

由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。

【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（ ）

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

答案：B 。

解题思路：两个向量a 与b 共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反?这两个向量共线；两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选B 。

错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D 。

造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。

【易错题3】设点A （1-，2），B （1n -，3），C （2-，1n +），D （2，1n 2+）。若向量与共线且同向，则n 的值为（ ）

A. 2

B. 2-

C. 2±

D. 1

答案：A

解题思路：由已知条件得()1,n =，()n ,4=，由AB 与CD 共线得04n 2=-，2n ±=。当2n =时，AB =（2，1），=（4，2），则有2=，满足AB 与同向，当2n -=时，()1,2AB -=，()2,4CD -=，有2-=，此时与反向，不符合题意。因此，符合条件的只有2n =。故选A 。

错因分析：误区：由已知可得()1,n =，()n ,4=，因为AB 与CD 同向且共线，所以4n 2

-=0，2n ±=，因此错选C 。

出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。

向量共线的充要条件中λ的正负决定两个向量是同向还是反向，0>λ，同向；0<λ，反向。

【易错题4】已知

8|AB |=??→?，5|AC |=??→?，则|BC |??→?的取值范围是（ ） A. ]8,3[ B. （3，8） C. ]13,3[ D. （3，13） 答案：C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出8||=，5||=，AB AC BC -=。

（1）当△ABC 存在，即A 、B 、C 三点不共线时，13||3<<；

（2）当与同向共线时，3|BC |=；

当AC 与AB 反向共线时，13||=。

∴]13,3[|BC |∈，故选C 。

错因分析：误区：错选D 。

错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A 、B 、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当

A 、

B 、

C 共线时，△ABC 不存在。

题目中两向量a 、b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。

【易错题5】已知()3,1a =，()λ,2b =，设a 与b 的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围。

解题思路：由θ为锐角，得θcos >0，且1cos ≠θ，

∵θcos |b ||a |b a =?恒大于0，

∴0b a >?，即0321>?+?λ。

解得

32

-

>λ 若a 平行于b ，则0321=?-?λ。即6=λ，但若a 平行于b ，则0=θ或πθ=，与θ为锐角相矛盾，所以6≠λ。 综上，632

≠->λλ且。

失分警示：误区：∵θ为锐角，∴0cos >θ。

由θcos |b ||a |b a =?知，只需0b a >?，即0321>?+?λ，故32

->λ。

本题误以为两非零向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0b a >?，事实上，两向量的夹角],0[πθ∈，当0=θ时，有01cos >=θ，对于非零向量a 与b 仍有0b a >?，因此0b a >?是两非零向量a 与b 的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论：两非零向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0b a >?且a 不平行于b 。

【易错题6】已知点A （3，4-）与点B （1-，2），点P 在直线AB 上，且||2||=，求点P 的坐标。

解题思路：设点P 的坐标为（x ，y ），

由于||2||=，

所以，当点P 为有向线段的内分点时，2=λ，

此时有???????=+?+-==+-?+=.021224y ,3121)1(23x ∴点P 的坐标为（31，0）。

当点P 为有向线段??→?AB 的外分点时，2-=λ， 此时有()()()???????=-?-+-=-=--?-+=.821224y ,521123x ∴点P 的坐标为（5-，8）。

综上所述，点P 的坐标为（31

，0）或（5-，8）。

失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P 可能是AB 的内分点，也可能是AB 的外分点，因此本题必须分类讨论。

【易错题7】△ABC 中，已知0>?，0?，判断△ABC 的形状。

解题思路：A cos |AC ||AB |AC AB ??=?。 ()B cos ||||B cos ||||??-=-??=?π，C cos ||||??=?。

∵0,0,0>??。

∴0A cos >，0B cos >，0C cos >，∴A 、B 、C 均为锐角。∴△ABC 为锐角三角形。