高考复习——《电场》典型例题复习

十二、电 场

1、两种电荷 电荷守恒

⑴电荷：具有吸引轻微小物体的性质的物体就说它带了电，这种带电的物体叫做电荷。 ①自然界只存在两种电荷，即正电荷和负电荷，用毛皮摩擦过的硬橡胶所带的电荷为负

二、画龙点睛

概念

一、知识网络

电荷，用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷为正电荷。

②电荷间的相互作用：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

⑵电荷量

电荷的多少，叫做电荷量。

单位：库仑，简称库，符号是C。1C＝1A·s。

⑶使物体带电的方法及其实质

⑴摩擦起电

用摩擦的方法可以使物体带电。用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的硬橡胶棒带负电。

摩擦起电的实质：不是创造了电荷，而是使自由电子从一个物体转移到另一个物体。

⑵静电感应

将电荷移近不带电的导体，可以使导体带电，这种现象叫做静电感应。

利用静电感应使物体带电，叫做感应起电。

静电感应的实质：不是创造了电荷，而是使电荷从物体的一部分转移到另一部分。

2、元电荷

(1)元电荷

电子(或质子)的电荷量e，叫做元电荷。

e＝1.60×10－19C，带电体的电荷量q＝Ne．

(2)比荷

电荷量Q(q)与质量m之比，叫电荷的比荷。

3、电场

(1)概念

存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用力的一种特殊物质形态，称为电场。

(2)电场的基本性质

①对放入其中的电荷有力的作用，这种力称为电场力；

②电场能使放入电场中的导体产生静电感应现象。

4、电场强度

(1)试探电荷

①试探电荷：为了研究电场的存在与分布规律而引入的电荷，叫做试探电荷。

②试探电荷必须满足的条件

a．电量充分小

b．体积充分小

(2)电场强度

①定义：放入电场中某点的电荷所受的电场力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度，简称场强。

②公式

E＝F

q(量度式)

③场强的大小和方向

a．大小：等于单位电荷量的电荷受到的电场力的大小；

b．方向：电场中某点的场强的方向跟正电荷在该点所受的电场力的方向相同。

④场强的单位

在国际单位制中，场强的单位是伏每米，符号V/m，1N/C＝1V/m。

⑤电场强度的物理意义

电场强度是表示电场的强弱和方向的物理量，反映了电场本身的力的性质，由电场本身决定，与试探电荷无关。

5、电场线

(1)电场线

如果在电场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致，这样的曲线就叫做电场线。

(2)电场线的实验模拟

电场线是为形象描述电场而引入的假想的线，不是电场里实际存在的线。

(3)几种典型的电场线分布

①点电荷的电场线②等量异种点电荷的电场线

③等量同种点电荷的电场线④点电荷与带电平板的电场线分布

⑤带等量异种电荷的平行金属板间的电场线

(4)电场线的物理意义

①电场线中某点的切线方向表示该点的场强方向；

②电场线的疏密程度表示场强的相对大小。

(5)电场线的特点

①电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向，电场线的疏密程度表示场强的相对大小；

②电场线不是真实存在的，是形象地描述电场的假想的线；

③电场线是不封闭的曲线，它起始于带正电的场电荷或无穷远处，终止于负电荷或无穷远处，电场线不会在没有电荷的地方中断；

④静电场中任意两条电场线都不相交；

⑤静电场中任意两条电场线也不相切；

⑥仅在电场力作用下，电场线一般不是电荷的运动轨迹。

⑦电场线和等势面一定正交，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．

⑧沿电场线的方向，正电荷的电势能逐渐减小，负电荷的电势能逐渐增大．

⑨沿电场线的方向电势逐渐降低，电场线的方向是电势降落陡度最大的方向．

⑩若取无限远处为电势的零点，那么在正电荷形成的电场中，各点的电势都是正值，而

且距正电荷越近电势越高；在负电荷形成的电场中，各点的电势都是负值，而且距电荷越近电势越低．

⑹电场线的应用

6、匀强电场

(1)匀强电场

在电场的某一区域，如果场强的大小和方向都相同，这个区域的电场叫做匀强电场。 (2)匀强电场电场线分布的特点

匀强电场的电场线是等间距的平行直线。

例题：如图所示，是某电场区域的电场线分布，A 、B 是电场中

的两点，问：

①A 、B 两点，哪点的场强大； ②画出A 点的场强方向；

③画出负电荷在B 点的受力方向。

解析：①电场的强弱可通过电场线的疏密来确定，从图中可看出，

B 点处在电场线较A 密的地方，故B 点的场强大于A 点的场强，即

E B ＞E A 。 ②过A 点作曲线的切线，切线方向即是该点的场强方向。

③过B 点作曲线的切线，负电荷在该点的受力方向与该点的场强方向相反。 7、静电平衡状态

(1)静电平衡

当导体中的电荷静止不动，从而场强分布不随时间变化时，导体就达到了静电平衡。 (2)静电平衡状态

导体中（包括表面）没有电荷的定向移动的状态，叫做静电平衡状态。 (3)静电平衡的条件

处于静电平衡状态的导体，内部的场强处处为零。 (4)静电平衡导体的性质

①处于静电平衡状态的导体，表面上任何一点的场强方向都跟该点的表面垂直； ②处于静电平衡状态的导体，电荷只能分布在导体的外表面上。 ③处于静电平衡状态的导体是一个等势体，其表面为一个等势面。

处于静电平衡状态的导体，内部场强处处为零，电荷仅分布在导体的外表面上。因内部场强处处为零，则在导体内部任两点间移动电荷都不做功，因而任两点间的电势差都为零，导体是个等势体，导体表面是个等势面。

静电平衡下的地球及与之相连的导体是等势体。所以实际中常取地球或与之相连的导体的电势为零。

8、静电屏蔽

(1)静电屏蔽

导体壳(金属网罩)能保护它所包围的区域，使这个区域不受外电场的影响，这种现象叫做静电屏蔽。

(2)静电屏蔽的应用

电子仪器外套金属网罩，通讯电缆外包一层铅皮等。

9、电势差

(1)电场力做功的特点

电场力做功也与路径无关，仅跟移送电荷的电荷量、电荷

在电场中移动的初末位置有关。

例：在匀强电场E中，电荷从A移动到B，可沿不同的路径，

图中有三种典型的路径。设A、B两点沿电场方向的距离为s，用无

限分割的方法，可以证明，经任意路径移动，电场力做的功都相同。

W AB＝Eq·s

对非匀强电场，也可证明电场力做功与路径无关。

(2)电势差

①电势差

电荷q在电场中由一点A移动到另一点B时，电场上所做的功W AB与电荷量q的比值W AB

q，叫做A、B两点间的电势差。

②公式

U AB＝W AB

q(量度式)

或者W AB＝qU AB

③物理意义

电势差反映了电场本身两点的能的性质。

电场中A、B两点间的电势差U AB，在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做的功W AB。

④单位：

在国际单位制中，电势差的单位是伏特，简称伏，符号是V。1V＝1 J/C。

⑤电势差是标量

电势差是标量，两点间电势差可以是正值也可以是负值。

U AB＝－U BA

电势差的绝对值也叫电压。

应用W AB＝qU AB时的两种思路：

①可将q、U AB，连同正负号一同代入；

②将q、U AB的绝对值代入，功的正负依据电场力的方向和位移（或运动）方向来判断。

应用U AB＝W AB

q求U AB时，将W AB、q的正负号一同代入。

B

C

例题1：在如图所示的电场中，把点电荷q ＝＋2×10－

11C ，由A 点移

到B 点，电场力做功W AB ＝4×10－

11J 。A 、B 两点间的电势差U BA 等于多少？B 、A 两点间的电势差U BA 等于多少？

解析：由电势差的定义式可知

U AB ＝W AB q ＝4×10－

11

2×10－11

V ＝2V U BA ＝W BA q ＝－4×10－

11

2×10－

11

V ＝－2V 例题2：如图所示的电场中，A 、B 两点间的电势差U AB ＝20V ，电荷q ＝－2×10－

9C

由A 点移到B 点，电场力所做的功是多少？

解析：方法一、电场力所做的功

W AB ＝U AB ·q ＝20×(－2×10－9)J ＝－4.0×10－

8J 。 方法二、电场力所做功

W AB ＝U AB ·q ＝20×2×10－9J ＝4×10－

8J 。

因F 电方向从B 到A ，s 方向由A 到B ，故电场力做负功。 10、电势

(1)电势

电场中某点的电势，等于单位正电荷由该点移到参考点（零电势点）时电场力所做的功。 U AB ＝?A －?B U BA ＝?B －?A

例题：在图中所示的电场中，取C 点为零电势点，1C 的正电荷分别由A 、B 、D 三点移动到C 点时，电场力所做的功分别是15J 、5J 、－3J ，这三点的电势就分别是A ＝15V

，B ＝5V ，D ＝－3V 。

有了电势的概念，即可用两点的电势的差值来表示两点间的电势差。 U AB ＝?A －?B U BA ＝?B －?A

A 、

B 两点间的电势差U AB ＝

A

－B ＝ 15V －5V ＝10V ，D 、A 两点间的电势差U DA ＝

D －A ＝－3V －15V ＝－18V 。

(2)电势的数值是相对的

电场中某点的电势与零电势点的选取有关， 电场中某点的电势的数值是相对的。 (3)电势是标量 电势是标量，电势的正、负表示该点的电势比零电势高还是低。

(4)物理意义

电势是描述电场中一点的能的性质的物理量。 (5)沿电场线的方向，电势越来越低

电场中电势的高低可以根据电场线的方向来判断。 如何判断电势高低呢？

分析：只要两点间的电势差的情况了解了，电势高低即可清楚，故可取一电荷在电场中

A B

移动讨论电场力做功。

在电场中移动电荷时，有下面的四种典型情况：

沿着电场线移动正电荷，电场力做正功；逆着电场线移动正电荷，电场力做负功；沿着

电场线移动负电荷，电场力做负功；逆着电场线移动负电荷，电场力做正功。

沿着电场线的方向将单位正电荷由A 点移动B

正功：

U AB ＝?A －?B ＞0

?A ＞?B 结论：沿电场线方向，电势逐渐降低。 沿电场线的方向，电势越来越低。 11、电势能

(1)电势能

电荷在电场中具有的能，称之为电势能。 (2)电场力做功与电势能变化的关系 ①电场力做正功时电势能减少 ②电场力做负功时电势能增加 ③电场力做功与电势能变化的关系

电势能的变化与电场力做的功的数值相等。电势能的增减可从物理意义上分析得出。 电场力做多少正功，电势能就减少多少。电场力做多少负功，电势能就增加多少。 W ＝εA －εB ＝－Δε

电势能的变化与电场力做的功的数值相等。电势能的增减可从物理意义上分析得出。

顺着电场线方向移动正电荷或逆着电场线方向移动负电荷时，电场力做正，电势能减少；逆着电场线移动正电荷或顺着电场线移动负电荷，电场力做负功，电势能增加。

(3)电势能的数值

电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把电荷从该点移动到电势能为零处电场力所做的功。

例1：在如图所示的电场中，已知A 、B 两点间的电势差U AB ＝－10V 。

(1)电荷q ＝＋4×10－

9 C 由A 点移动到B 点，电场力所做的功是多少？电势能是增加还是减少？

(2)电荷q ＝－2×10－

9 C 由A 点移动到B 点，电场力所做的功是多少？电势能是增加还是减少：

解析：从图中电场线的方向知道，?A ＜?B ，U AB ＝?A －?B ＜0，题中给出的U AB 为负值。

(1)电荷q ＝＋4×10－

9 C 由A 点移动到B 点，电场力所做的功为

W AB ＝qU AB ＝4×10－9×(－10)J ＝－4×10－

8J 。

正电荷由A 点移动到B 点，电场力的方向与位移的方向相反，电场力做负功，即克服电场力做功。这时其它形式的能转化为电势能，电势能增加。

(2)电荷q ＝－2×10－

9 C 由A 点移动到B 点，电场力所做的功为

F

v A B

W AB ＝qU AB ＝－2×10－

9×(－10)J ＝2×10－

8J 。

负电荷由A 点移动到B 点，电场力的方向与位移的方向相同，电场力做正功，这时电势能转化为其它形式的能，电势能减少。

总结：在应用公式W AB ＝qU AB 进行计算时，式中的各个量可以取绝对值，功的正负则根据电场力的方向和位移的方向来判断。这时，公式可写成

W ＝qU 。

不论电场如何分布，电场力是恒力还是变力，都可用W ＝qU 来计算电功。

例2：将电荷量为6×10－

6C 的负电荷从电场中的A 点移到B 点，电荷克服电场力做了3×10－5J 的功，再从B 移到C ，电场力做了1.2×10－

5J 的功，求

①A 、C 间的电势差U AC ？

②电荷从A 移到B ，再从B 移到C 的过程中电势能共改变了多少？

解：①U AC ＝W AC q ＝W AB ＋W BC

q

＝3V

②W AC ＝W AB ＋W BC ＝－3×10－

5＋1.2×10－

5＝－1.8×10－

5J

可见电势能增加了1.8×10－

5J 。

⑷关于能量的转化和守恒定律在电场中的应用 ①如果只有电场力对带电粒子做功

电场力对带电粒子所做的正功，等于其电势能减少量，也等于其动能的增加量；带电粒子反抗电场力所做的功(电场力对带电粒子做负功)，等于其电势能的增加量，也等于其动能的减少量．

总之，带电粒子在电场里运动的过程中，如果只有电场力对带电粒子做功，那么带电粒子的动能和电势能互相转化，而且动能和电势能的总和保持不变．

②如果电场和重力都对带电微粒做功，此外其他力不做功．那么，带电微粒的电势能和机械能互相转化，而且带电微粒的电势能和机械能的总和保持不变． 12、等势面

电场中电势相同的各点构成的面，叫等势面。

等势面不仅可形象描述电势，而且每相邻两等势面间距也可形象表示它们间的电势差。 13、几种典型电场的等势面

(1)点电荷电场中的等势面，是以电荷为球心的一簇球面； 下图是点电荷电场中的等势面及与等高线对比的示意图。

(2)等量异种点电荷电场中的等势面，是两簇对称曲面；

下图是等量异种点电荷电场中的等势面及与等高线对比的示意图。

(3)等量同种点电荷电场中的等势面，也是两簇对称曲面；

下图是等量同种点电荷电场中的等势面及与等高线对比的示意图。

(4)匀强电场中的等势面，是垂直于电场线的一簇平面。

14、等势面的特点

(1)同一等势面上各点的电势相等，在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。电荷从一个等势面上的任一点移到另一个等势面上的任一点，电势能的变化量相同，电场力做的功相同。

(2)等势面一定和电场线垂直，且电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 (3)在相邻等势面间电势差值相同的情况下，等势面密处场强大，等势面疏处场强小。 (4)不同电势的等势面在空间不能相交，同一电势的等势面一般也不相交。 例题：下列说法中正确的是( )

A ．某匀强电场若用相邻的两个等势面的电场差均相等的等势面来表示，则这些等势面一定是间隔相等的一系列平面

B ．凡是场强不为零的匀强电场，一定能够用一些间隔相等、同一方向的平行电场线来描述

C ．某非匀强电场，它的电场线图可能由间隔不等的同一方向的一些平行直线组成

D ．如果在某电场中各点的电场线都是方向相同、相互平行的直线，那么这个电场一定是匀强电场

答：ABD

15、电容器

(1)电容器：任何两个彼此绝缘又相隔很近的导体，组成一个电容器。 (2)电容器的充放电

①充电：电容器两板分别接在电池两端，两板带上等量异种电荷的过程叫做充电。 在充电过程中，电路中有短暂的充电电流。

充电后，切断与电源的联系，两个极板上都保存有电荷，

两极板间有电场存在。充电过程中由电源获得的电能储 存在电场中，称为电场能。 充电：电源能量→电场能。

负电荷中和的过程叫做放电。 放电：电场能→其他形式能。

U U ＝0

16、电容

(1)电容器所带电荷量：电容器所带电荷量，是指每个极板所带电荷量的绝对值。 (2)电容

①定义：电容器所带电荷量Q 与电容器两极板间的电势差U 的比值，叫做电容器的电容。

②公式

用C 表示电容，则有

C ＝Q U ＝ΔQ ΔU

(量度式)

上式表示，电容器的电容在数值上等于使两板间电势差为1 V 时电容器所带电荷量。或等于使电容器两极板间电势差增加1V 时所需的电荷量。需要的电荷量多，表示电容器的电容大。

③物理意义

电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，由电容器本身决定。

定义式C ＝Q

U 为量度式，C 不能说与Q 成正比，与U 成反比，C 与Q 、U 无关。不论电

容器是否带电，带多少电，两极板间的电势差是多少等，电容器的电容都是个定值。Q ＝CU ，Q 由C 、U 决定；U ＝Q

C

，U 由Q 、C 决定。

④单位

在国际单位制中，电容的单位是法拉，简称法，符号是F 。如果一个电容器带1C 的电量，两极板间的电势差是1V ，这个电容器的电容就是1F 。法拉这个单位太大，实际中常用较小的单位：微法(μF)和皮法(pF)，它们与法拉的关系是：

1 F ＝106μF ＝1012pF 17、平行板电容器的电容

(1)平行板电容器：两块平行且相互绝缘的金属板构成的电容器，叫做平行板电容器。 平行板电容器是电容器中具有代表性的一种。可描述一对平行板的几何特性，强调一下：①两极间距d ；②两极板的正对面积S 。

⑵介绍静电计：静电计是在电容器的基础上制成的，用来测量电势差。把它的金属球接一导体，金属外壳接另一导体，从指针的偏角可测出两导体间的电势差，指针偏角越大，指针与外壳间电势差越大。

⑶跟平行板电容器的电容有关的因素

①与极板间的距离有关 d ↑→C ↓，d ↓→C ↑ ②与极板的正对面积有关 S ↑→C ↑，S ↓→C ↓ ③与极板间的介质有关

板间充满某种介质时，C 会变为板间为真空时的若干倍。 ⑷平行板电容器电容的决定公式

C ＝εS 4πkd

(决定式)

注意：①平行板电容器充电后保持两极板与电源相连，U 、C 、Q 、E 怎样随d 、S 变化 U 不变，等于电源电压。 C ↓→Q ↓ d ↑→

E(＝U/d)↓ C ↑→Q ↑ S ↑→

E(＝U/d)不变

②平行板电容器充电后两极板与电源断开，U 、C 、Q 、E 怎样随d 、S 变化 Q 不变

C ↓

U(＝Q/C)↑ E ＝U d ＝Q/C d ＝4πkQ

εS ，保持不变

C ↓

U(＝Q/C)↑ E ＝U d ＝Q/C d ＝4πkQ

εS

↑

18、常用电容器

电容器从构造上看，分固定电容器和可变电容器。 (1)固定电容器

固定电容器的电容是固定不变的。 (2)可变电容器

可变电容器的电容是可以改变的。 (3)电容器的两个重要参数 ①电容值 ②击穿电压：加在电容器两极上的电压超过某一值（击穿电压）时，板间电介质被击穿，电容器将被损坏，这个极限电压称为击穿电压。

额定电压：指电容器长期工人作时所能承受的电压，额定电压应小于击穿电压，电容器工作时的电压不应超过额定值。

1、电荷守恒定律

电荷既不能创造，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量不变，这个结论叫做电荷守恒定律。

形状完全相同的两个小球

(1)若一个带电，一个不带电，两小球接触后再分开，则电荷量平分．

(2)若两小球分别带同种电荷q1、q2，两者接触后再分开，则每个小球带电为 ． (3)若两小球分别带异种电荷q1、q2，两者接触后再分开，则每个小球带电为 ． 2、库仑定律

(1)与电荷间相互作用力有关的因素

规律

d ↑→

S ↓→

①两电荷间距离：距离越近，电荷间相互作用力越大；

②两电荷电荷量：电荷量越大，电荷间相互作用力越大。

(2)点电荷

把带电体处理为点电荷的条件：当带电体的大小、形状及电荷的分布对相互作用力没有影响或影响可忽略不计时，可将带电体看作点电荷。

当带电体的线度比起相互作用的距离小很多，不考虑大小和电荷的具体分布时，带电体可视为点电荷。

(3)库仑定律

①内容

真空中两个点电荷之间相互作用的电力，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

②公式

如果用Q1和Q2表示两个点电荷的电荷量，用r表示它们之间的距离，用F表示它们之间的相互作用力，则库仑定律的公式如下：

F＝k

式中的k是个常量，叫做静电力常量。k＝9.0×109N·m2/C2。

③方向

作用力的方向在它们的连线上，再根据同性相斥，异性相吸进一步确定。

④说明

a．适用条件：真空(干燥的空气)、点电荷；

b．计算时Q1、Q2仅取电荷量的绝对值，方向再判断。

c．各物理量均取国际制单位。

d．如果点电荷不止两个，点电荷受到的电力等于各点电荷独立作用时所受各力的矢量和。

e．在库仑定律中，当r→0时，两个电荷间的作用力F→∞，这是没有物理意义的。f．库仑定律和万有引力定律都遵从二次平方反比规律。

3、点电荷电场的强度电场的叠加

(1)真空中点电荷的场强

①真空中点电荷场强公式

E＝k Q

r2(决定式)

②适用条件

真空（干燥空气）、点电荷

③点电荷场强方向

如果场电荷Q是正电荷，E的方向就是沿着PQ连线并背离Q；如果场电荷Q是负电荷，E的方向就是沿着PQ连线并指向Q。

(2)E＝F

q 与E＝k

Q

r2的比较

①适用条件不同

E＝F

q 适用于任何静电场，E＝k

Q

r2只适用于真空中点电荷的电场。

②电荷量的含义不同

E＝F

q 中的q为试探电荷的电荷量，E＝k

Q

r2中的Q为场电荷的电荷量。

③公式的含义不同

E ＝

F q 为量度式，不能得出E 与F 成正比，E 与q 成反比；E ＝k Q

r 2为真空中点电荷场

强的决定式，E 与Q 成正比，E 与r 2成反比。 (3)电场的叠加

如果有几个点电荷同时存在，它们的电场就互相叠加，形成合电场。这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。

例题：如图所示，在真空中有两个点电荷Q 1＝＋3.0×10－8C 和Q 2＝－3.0×10－

8C ，它

们相距0.1 m 。求电场中A 点的场强，A 点与两个点电荷的距离r

解析：真空中点电荷Q 1和Q 2的电场在

A

点的场强分别为E 1和E

2，它们大小相等，方向如图。

合场强E 、场强E 1、场强E 2矢量三者构成一正三角形，故合场

强E 的方向与Q 1和Q 2的连线平行。合场强的大小为

E ＝E 1cos60o＋E 2 cos60o＝2E 1cos60o

即E ＝E 1＝E 2＝k Q 1

r

2＝2.7×104V/m

场强的方向与两点电荷的连线平行，并指向负电荷一侧。

注意：用E ＝k Q

r 2求解E 时，同样应注意Q 代电荷量的绝对值，方向根据场电荷Q 的

电性确定。

例题：如图，点电荷q 与4q 静止于空气中，相距r ，它们都是正电荷，求： ①它们连线中点A 的场强； ②求场强为零的点的位置。 解析：①设q 、4q 在A 点产生的场强分别为E 1、E 2，则

E ＝E 2－E 1＝k 4q ( r/2)2－k q ( r/2)2＝12kq

r 2，方向从A →q 。

②先分析E ＝0的点的可能位置范围。因E ＝0为q 、4q 两点电荷产生场强叠加的结果，

故两场强必等大反向，则可断定E ＝0的点在q 与4q 的中间连线上。

令E ＝0的点距q 为x ，则有

k

q x 2＝k 4q

(r －x)2

得：x 1＝r

3

，x 2＝－r(无意义，舍去)

4、电势与电场强度的关系

(1)电场强度E 大的地方电势?不一定高。电势?高的地方电场强度E 不一定大。

1 －Q 2

E

1 Q 2

r

在正的点电荷形成的电场中，A比B所在处的电场线密，所以E A＞E B；而沿电场线的方向，电势是逐渐降低的，所以?A＞?B。

故在正的点电荷形成的电场中，电场强度E大的地方电势?一定高。

在负的点电荷形成的电场中，C比D所在处的电场线密，所以E C＞E D；而沿电场线的方向，电势是逐渐降低的，所以?C＜?D。

故在负的点电荷形成的电场中，电场强度E大的地方电势?一定低。

(2)电场强度E为零的点电势?不一定等于零，电势?为零的地方电场强度E也不一定等于零。

在等量同种点电荷的电场中，两点电荷连线的中点，根据场强矢量的叠加，此点E＝0。而选取一条无限接近该点的电场线可知：沿电场线方向电势降低，至无穷远处为0，则该点?＞0。

在等量异种点电荷的电场中，由图知，两点电荷连线的中垂线为一等势面并伸向无穷远，所以此点?＝0。根据场强矢量的叠加，此点E≠0。

结论：电场强度E与电势?无直接关系。

5、电势差与电场强度的关系

(1)电势差与电场强度的方向关系

在电场中场强方向是电势降低最快的方向。

(2)电势差与电场强度的数值关系

设A、B两点间的距离为d，电势差为U，场强为E。把正电荷q由A点移动到B点，电场力所做的功为：W＝Fd＝qEd，而W＝qU，可见，

U＝Ed

在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积。

注意：场强与电势差的关系：U＝Ed ①只适用于匀强电场；②d是沿场强方向的距离。

(3)匀强电场的场强计算公式

①匀强电场的场强计算公式

E＝

U

d

这个等式表明，在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差。

②场强的另一单位

由由E＝

U

d，可得E的单位为V/m，

推导：1

V

m＝1

J

C·m＝1

N

C

即1 V/m＝1 N/C。

【例题】如图，在匀强电场中的M 、N 两点距离为2 cm ，两点间的电势差为5 V ，M 、N 连线与场强方向成60o角，则此电场的电场强度多大？

解析：根据E ＝U

d ，得

E ＝U

MN ·cos60o

＝500 V/m 。

6、带电粒子的加速

方法一：根据动力学和运动学方法求解

平行金属板间的场强：E ＝U

d

带电粒子受到的电场力：F ＝qE ＝qU

d

带电粒子的加速度：a ＝F m ＝qU

md

带电粒子从正极板运动到负极板做初速度为零的匀加速直线运动，设到达负极板的速度为v ，根据运动学公式有：

v 2＝2ad

解得：v ＝

2qU

m

方法二：根据动能定理求解

带电粒子在运动过程中，电场力所做的功W ＝qU 。设带电粒子到达负极板时的动能E k

＝1

2

mv 2，由动能定理可知 qU ＝12mv 2－1

2mv 02

由此可求出 v ＝

2qU

m

例题：实验表明，炽热的金属丝可以发射电子。在炽热金属丝和金属板间加以电压U ＝2500V(如图)，从炽热金属丝发射出的电子在真空中被加速后，从金属板的小孔穿出。电子穿出后的速度有多大？

设电子刚从金属丝射出时的速度为零。电子质量m ＝0.91×10－30kg ，电子的电荷量e ＝1.6×10－

19C 。

解析：金属丝和金属板间的电场虽然不是匀强电场，但仍可用v ＝2qU

m

求出v ： v ＝

2qU

m

＝3.0×107m/s 7、带电粒子的偏转

如图所示，在真空中水平放置一对金属板Y 和Y ′，板间距离为d ，在两板间加以电压U 。现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以水平速度v 0射入电场中，求：

N

(1)带电粒子在电场中的运动及运动方程

带电粒子沿极板方向作速度为v 0的匀速运动； 垂直于极板方向作初速度为零的匀加速运动。 粒子的运动类似平抛运动。

以进入点为坐标原点，沿极板方向取x 轴，垂直于极板方向取y 轴，则粒子在电场中的运动方程为

x ＝v 0t

y ＝12at 2＝qU 2md t 2 解得： y ＝

qU 2mdv 02

x 2

(抛物线轨迹方程) (2)带电粒子飞过电场的时间 T ＝L v 0

(3)带电粒子离开电场时偏转的侧位移 y ＝12at 2＝qUL 22mdv 02＝L 2tan φ＝UL 24v 02U ′

(U ＇为进入偏转电场前的加速电压)

(4)带电粒子离开电场时的速度大小 v x ＝v 0

v y ＝v ⊥＝aT ＝qUL

mdv 0

v ＝v x 2＋v y 2＝

v 02＋(qUL mdv 0

)2

(5)带电粒子离开电场时的偏角 tan φ＝v y v x ＝v ⊥v 0＝qL mdv 02U ＝UL

2dU ′ φ＝arctan(qL mdv 02

U)

可以证明，将带电粒子的速度方向反向延长后交于极板中线上的中点。 (6)带电粒子射出偏转电场后打到荧光屏上 在距偏转电场粒子射出端为x 的地方，有一与极板垂直的荧光屏。带电粒子射出偏转电场后作匀速直线运动，打到荧光屏上。如果在偏转电场中没有加偏转电压，这时带电粒子打在荧光屏的中心点O 。设加偏转电压后，粒子打在荧光屏上的点距O 点的距离为y ＇，如图所示。

根据相似三角形知识有：

y ＇y ＝x ＋

L 2L

2

y ＇＝qL 2mdv 02(x ＋L 2)U ＝tan φ(x ＋L 2

) 例题：一电子在水平偏转电场中，射入时的速度v 0＝3.0×107m/s 。两极板的长度L ＝6.0cm ，相距d ＝2cm ，极板间的电压U

＝200V 。求电子射出电场时竖直偏移的距离y 和偏

v 0

转的角度φ。

解析：电子在竖直方向做匀加速运动，射出电场时竖直偏移的距离为

y ＝12at 2＝qUL 22mdv 02＝0.36cm 离开电场时的偏转角φ为 tan φ＝v ⊥v 0＝qL mdv 02

U

代入数值后得 φ＝6.8o 注意：

1、让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物经过同一加速电场由静止开始加速，然后在同一偏转电场里偏转，不会分成三股。在荧光屏上只出现一个亮点。

2．微观带电粒子，在电场中或在磁场中时，其重力一律忽略不计，宏观带电微粒，在电场中或在磁场中时，其重力不能忽略．

3．宏观带电微粒在匀强电场与重力场的复合场中的运动

由于带电微粒在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，因此其处理方法有下列两种： (1)正交分解法：先将复杂的运动分解为两个互相正交的简单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们可以掌握，然后再按运动合成的观点，去求出复杂运动的相关物理量．

(2)等效“重力”法：将重力与电场力进行合成，如图所示，则F 等效于“重力”， 等

效于“重力加速度”，F 的方向等效于“重力”的方向．

4．用能量观点处理带电粒子在电场中的运动

(1)从功能观点出发分析带电粒子的运动问题时：在对带电粒子受力情况和运动情况进行分析的基础上，再考虑应用恰当的规律解题．如果选用动能定理，要分清有几个力做功，做正功还是做负功，是恒力做功还是变力做功，以及初、末状态的动能．

(2)如果选用能量守恒定律解题时：要分清有多少种形式的能参与转化，哪种形式的能 增加，哪种形式的能减少．并注意电场力做功与路径无关． 8、示波管的原理

(1)构造及作用 ①电子枪

发射并加速电子。 ②偏转电极

YY ＇：使电子束竖直偏转(加信号电压)；

XX ＇：使电子束水平偏转(加扫描电压)。 ③荧光屏 ④玻璃壳 (2)原理

YY ＇的作用：被电子枪加速的电子在YY ＇电场中做匀变速曲线运动，出电场后做匀速直线运动，最后打到荧光屏上。

初中物理-压强典型例题

压强 (1)压力方向:与受力物体的支承面相垂直.由于受力物体的受力支承面可能是水平面,也可能是竖直面,还可能是角度不同的倾斜面,因此,压力的方向没有固定的指向,它可能指向任何方面,但始终和受力物体的受力面相垂直. (2)单位:如重力、摩擦力等其他力的国际单位一样,是牛顿. (3)压力作用效果:压力的作用效果与压力的大小和受力面积大小有关. 当受力面积一定时,压力越大,则压力的作用效果越显著;当压力一定时,受力面积越小,压力的作用效果越显著. 2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。它是表示压力作用效果的物理量。 3．压强公式：P=F/s，式中p单位是：帕斯卡，1帕=1 N/m2，表示是物理意义是1m2的面积上受到的压力为1N。 4. F= Ps； 5．增大压强方法：(1)S不变，F 增大；(2)F不变，S 减小；(3)同时把F↑，S↓。而减小压强方法则相反。例如：在生产和生活中,如果要减小压强,可减小压力或增大受力面积;如果

要增大压强,则可以增大压力或减小受力面积,但从实际出发,压力大小往往是不可改变的,则减小压强应增大受力面积,增大压强应采用减小受力面积的方法 6．应用：菜刀用久了要磨一磨是为了增大压强，书包的背带要用而宽是为了减小压强铁路的钢轨不是直接铺在路基上而是铺在在枕木上是为了减小压强，钢丝钳的钳口有螺纹是为了增大摩擦。 7．液体压强产生的原因：是由于液体受到重力作用，而且液体具有流动性,所以液体对容器底和容器侧壁有压强,液体内部向各个方向都有压强。 8．液体压强特点： (1)液体对容器底部和侧壁都有压强； (2)液体内部向各个方向都有压强； (3)液体的压强随深度增加而增加，在同一深度，液体向各个方向的压强相等； (4)不同液体的压强还跟液体密度有关系。流速和压强的关系：在液体中流速越大的地方，压强越小。 (1)计算 液体压强的计算公式是 p＝gh 式中为液体密度,单位用千克/米3;g＝9.8牛/千克;h是液体内某处的深度,单位用米;p为液体压强,单位用帕. ⑴推导过程：液柱体积V=Sh ；质量m=ρV=ρSh。液片受到的压力：F=G=mg=ρShg。液片受到的压强：p=F/S=ρgh。 由公式p＝gh可知,液体的压强大小只跟液体的密度、深度h有关,跟液体重、体积、容器形状、底面积大小等其他因素都无关.

小学数学总复习经典习题解析

小学数学总复习经典好题解析 提前练习一道：分数的加减法单元习题 李林喝了一杯牛奶的1/6,然后加满水，又喝了一杯的1/3，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多，还是水多？ 解答题 1、甲、乙两个修路队同时合修一条1875米的公路，用25天。完工时乙队比甲队少修125米，乙队平均每天修35米，甲队平均每天修多少米？ 2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇是快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？ 3、电影门票20元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一，那么一张门票降价多少元？ 4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8, 两车还需要几小时才能相遇？ 5、加工一批零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个，两人零件个数就相等，这批零件共多少个？

6、修一条路3天修完。第一天修全长的37%，第二天和第三天修的米数的比是4:5，第二天修了64米，这条路全长多少米？ 7、红星鞋厂生产一批儿童鞋准备装箱。如果每箱装70双，5箱装不满，如果每箱装44双，7箱又装不完，最后决定每箱装A双，这是恰好装满A箱而没有剩余，这批儿童鞋共有多少双？ 8、有两桶油，第一桶用去1/4后，余下的与第二桶的质量比是3:5，第一桶原来有油18千克，第二桶原来有油多少千克？ 9、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出。一段时间后，客车行了全程的7/8,货车行的超过中点54千米，已知客车比货车多行了90千米，甲、乙两地相距多少千米？ 10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？ 11、生产一批零件，甲每小时可以生产70个，乙单独做要10小时完成，现在由甲、乙两个人同时合做完成，甲、乙生产零件数量的比是4:3，甲一共生产理解多少个？ 12、一个商店以每双6.5双的价格购进一批布鞋，以每双8.7元的价格售出，当卖出这批布鞋的3/4时，不仅收回原来的成本，而且还盈利20元，购进这批布鞋是多少双？

(完整版)压强计算经典题(含答案)

压强计算题专题 1一只大象重为6×104牛，每只脚掌与地的接触面积为600厘米2，则这只大象四脚着地站在地面时，对地面压强多大？抬起两只脚时，大象对地面的压强又多大？ 2,一个正方体铁块质量是7.9㎏，铁的密度是7.9×103kg／m3放在桌面上，桌子面积1㎡ 求桌面上受到压强是多少？ 3小王同学双脚与地面的接触面积为 4×10-2m2，请根据图13中某些情况下的压强数值估算： （1）小王同学的重力； （2）小王同学平躺时与床面的接触面积； （3）小王同学背着重力为40N的书包行走时对水平地面的压强。 4如图12所示，重为20N的容器放在水平桌面上．容器的底面积S＝2×10-2m2，高h＝O．4m．当容器装满水时，容器对水平桌面的压强为4×103Pa，（g＝10N／kg，ρ水＝1．0×103kg／m3）求容器中水的 重力是多少N？容器底部受到压力是多少N? 5如图14，平底茶壶的质量是400g，底面积是40cｍ2，内盛0．6kg的开水，放置在面积为1ｍ2的水平桌面中央。试求：⑴水对茶壶底部的压力；⑵茶壶对桌面的压强。

6在研究液体内部压强时，把装有砂的小玻璃管竖直放在酒精中，该管底面积为10厘米2，管与砂的总质量为100克，已知 酒精 ＝0.8×103千克／米3。求： （1）管底所受的压力是多少牛顿？（2）管底处的压强是多少帕斯卡？（3）管底的深度是多少厘米？ 1\F=G=6×10^4N 当四脚着地站在地面时，S=600c㎡×4=2400c㎡=0.24㎡p=F/s=6×10^4N /0.24㎡=2.5×10^5Pa 当两脚着地站在地面时，S=600c㎡×2=1200c㎡=0.12㎡p=F/s=6×10^4N /0.12㎡=5×10^5Pa 2\（1）铁块对桌面的压力： F=G=mg=7.9kg×10N/kg=79N； （2）由ρ= m V 可得，正方体铁块的体积： V= m ρ = 7.9kg 7.9×103kg/m3 =10-3m3， 由V=L3可得，正方体的边长： L= 3 V = 3 10-3m3 =0.1m， 受力面积： S=L2=（0.1m）2=0.01m2， 铁块对桌面的压强： p= F S = 79N 0.01m2 =7.9×103Pa． 故答案为：79；7.9×103． 3\解： （1）G人=p人S人=1.5×104Pa ×4×l0-2m2= 600N

七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)

七年级数学上册典型例题 例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程， 得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x， 移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??

初中物理压强经典例题

初中物理压强经典例题 1、如图所示，平底茶壶的质量是300克，底面积是40平方厘米，内盛0.6千克 的水，放在面积为1平方米的水平桌面中央。 ⑴水对茶壶底部的压力多大？ ⑵当小明将100克的玻璃球放入茶壶内，水面上升了1厘米，但水并未溢出。此 时茶壶对桌面的压强为多少？ 2、如图8所示，水平桌面上放置的容器容积为1.5×10-3米3，底面积为1.0×10-2米2，高为20厘米，容器重1牛，当它盛满水时求： （1）水对器底的压力和压强； （2）容器对桌面的压力． 3、随着电热水器的不断改进，图l4所示的电热水壶深受人们的喜爱。它的容积 为2L，壶身和底座的总质最是l.2kg，底座与水平桌面的 =1.0×l03kg/m3)求： 接触面积为250cm2，装满水后水深l6cm。(ρ 水 (1)装满水后水的质量； (2)装满水后水对电热水壶底部的压强； (3)装满水后桌面受到的压强。

4、两只容积相等、高度和底面积都不相等的圆柱形容器A和B的平面图如图所 示，容器A的底面积为400厘米2，高为10厘米。两个容器都盛满水且放在水平桌面上。不考虑两个容器本身的重力和体积大小。求： (1) 容器A中水的质量。 (2) 容器A中水对容器底部的压强。 (3) 容器B中水对容器底部的压力。 5、如图重为120N、底面积为0．1m2的物体在20N的水平拉力F作用下沿水平地面向右匀速运动了10m，用时20s．求： (1)物体对地面的压强； (2)物体所受摩擦力的大小； 6、质量是20t的坦克，每条履带与地面的接触面积是2，每条履带的宽度是0.4m， 求： （1）坦克所受的重力是多大？（g取10N/） （2）坦克在平路上行驶时对地面的压强是多大？ （3）如果坦克垂直路过一条宽度是0.5m的壕沟，当坦克位于壕沟的正上方时，坦克对地面的压强是多大？

2021年新人教版七年级数学下期末复习资料 知识归纳与典型例题

七年级数学 下学期期末复习知识归纳总结与典型例题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 期末几何复习 二. 知识归纳总结(知识清单) 知识点(1)同一平面两直线的位置关系 知识点(2)三角形的性质 三角形的分类 <1>按边分 <2>按角分 ???? ???三角形 三角形锐角三角形)9()8(

知识点(3)平面直角坐标系 <1>有序实数对 有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做有序实数对，利用有序实数对可以很准确地表示(18) 的位置。 <2>平面直角坐标系 在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的(19) 三、中考考点分析 平面图形及其位置关系是初中平面几何的基础知识，相交点与平行线更是历年中考常见的考点，通常以填空题和选择题的形式考查，其中角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决实际问题是重点；平面直角坐标系的考查重点是在直角坐标系中表示点及直角坐标系中点的特征，分值为3分左右，考查难度不大；三角形是最基本的几何图形，三角形的有关知识是学习其它图形的工具和基础，是中考重点，考查题型主要集中在选择题和解答题。 【典型例题】 相交线与平行线 例一、如图:直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D 若∠1＝20°，∠2＝65°

则∠3＝＿＿＿ 解析:∵a∥b(已知) ∴∠2＝∠DBC＝65°(两直线平行，内错角相等) ∵∠DBC＝∠1＋∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ∴∠3＝∠DBC－∠1 ＝65°－20° ＝45° 本题考查平行线性质和三角形的外角性质的应用 例二．将一副三角板如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是【】A．45°B．50°C．60°D．75° 解析:∵AE∥BC(已知) ∴∠C＝∠CAE＝30°(两直线平行，内错角相等) ∵∠AFD＝∠E＋∠CAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) ＝45°＋30°=75°故选D 本题解答时应抓住一副三角板各个角的度数 例三．如图，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数 解析:∵∠3＝∠5(对顶角相等)∠1＋∠3＝180°(已知) ∴∠1＋∠5＝180°(等量代换) ∴AD∥BE(同旁内角互补，两直线平行) ∵CD⊥AD(已知) ∴∠6＝90°(垂直定义) 又∵AD∥BE(已证) ∴∠6＋∠DCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠DCE＝90° 又∵CM平分∠DCE(已知)

反函数例题讲解

反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C

初中物理竞赛浮力、压强经典题目大全

提高内容 一、 基本概念 1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。p 设微小面积A ?上的总压力为P ?，则 平均静压强：A P p ??= 点静压强： A P p A ??=→?lim 0 即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。 单位：N/m 2 (Pa) 2、 总压力：作用于某一面上的总的静压力。P 单位：N (牛) 3、流体静压强单位： 国际单位：N/m 2＝Pa 物理单位：dyn/cm 2 1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2 工程单位：kgf/m 2 混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压) 1 at=1 kgf/cm 2 =9.8×104Pa=10m 水柱 1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m 水柱 二、 流体静压强特性 1、 静压强作用方向永远垂直并指向作用面——方向特性。 2、 静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即p 只是位置的函数 ——大小特性。（各向相等） 3、静止流体中任一点的压强p 由两部分组成，即液面压强p 0与该点到液面间单位面积上的液柱重量h γ。 推广：已知某点压强求任一点压强 h p p ?+=γ12 4、静止流体中，压强随深度呈线性变化 用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。 大小：静力学基本方程式 方向：垂直并且指向作用面（特性一） 例题： ΔA ΔP

5、 同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。连通器： 三、测压计 1、分类：根据适用范围、适用条件的不同，分为液式、金属式、电测式。 2、液式测压计 原理：h p p γ+=0 （p 、p 0的标准必须一致，用表压） 方法：找等压面 （性质5：两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面） 特点：结构简单、使用方便、制造简单，常用于实验室中。 a. 液面计 b. 测压管

管理统计学期末复习典型例题

统计学是一门收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。包括：1.数据搜集：例如，调查与试验；2.数据整理：例如，分组；3.数据展示：例如，图和表；4.数据分析：例如，回归分析。 统计学的分科：按内容分为描述统计学（描述数据特征；找出数据的基本规律）和推断统计学（对总体特征作出推断）；按性质分为理论统计学（统计学的一般理论和数学原理）和应用统计学（在各领域的具体应用）。 一、描述统计学的典型例题 【例3.3】某生产车间50名工人日加工零件数如下（单位：个） 117 122 124 129 139 107 117 130 122 125 108 131 125 117 122 133 126 122 118 108 110 118 123 126 133 134 127 123 118 112 112 134 127 123 119 113 120 123 127 135 137 114 120 128 124 115 139 128 124 121 要求：请对上述数据进行分组，编制频数分布表；绘制直方图，并对该情况进行简要的分析说明 可以按Sturges 提出的经验公式来确定组数K=1+lgn/lg2 确定各组的组距：组距＝( 最大值- 最小值）÷组数 等距分组表（上下组限重叠——不重不漏：左闭右开）（上下组限间断）

面积来表示各组的频数分布；在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图(Histogram)；直方图下的总面积等于1。 分组数据—直方图（直方图的绘制） 对该情况进行简要的分析说明（略） 【例3.4】在某地区调查120名刚毕业参加工作的研究生月工资收入，进行分组

中考物理压强解题技巧及经典题型及练习题(含答案)

中考物理压强解题技巧及经典题型及练习题(含答案) 一、压强 1．下列与压强有关的事例的解释中正确的是 A．书包的背带较宽，是为了增大压强 B．用吸管喝饮料，利用了大气压强 C．拦河大坝修成上窄下宽，利用了连通器原理 D．起风时，常看见屋内的窗帘飘向窗外，这是因为窗外空气流速大，压强大 【答案】B 【解析】书包的背带较宽，是为了压力一定时，通过增大受力面积来减小压强，故A错误；当用吸管吸饮料时，首先是把吸管内的空气吸走，然后在外界大气压的作用下，饮料就被压进吸管里，所以，用吸管喝饮料是利用大气压强，故B正确；液体内部压强随着深度的增加而增大，所以水坝下部比上部建造的宽，是由于液体压强随着深度的增加而增大，故C错误；由于流体流速越大的位置压强越小，所以起风时，常看见屋内的窗帘飘向窗外，这是因为窗外空气流速大、压强小，故D错误，故选B。 2．在铁桶内放少量的水,用火加热,水沸腾之后把桶口堵住,然后浇上冷水,铁桶变扁,如图所示,关于铁桶变扁的原因,下列说法正确的是（） A．冷水的压力使铁桶变扁 B．大气压使铁桶变扁 C．铁桶内空气膨胀使铁桶变扁 D．铁桶变扁与压力无关 【答案】B 【解析】 试题分析：在铁桶内放少量的水，用火加热，水吸热汽化，液态水变为气态水蒸气，水蒸气将铁桶中的空气派出到铁桶外。水沸腾之后把桶口堵住，然后浇上冷水，水蒸气遇冷放热，发生液化现象，铁桶内的气压降低，而铁通外是大气压保持不变，铁通外的大气压大于铁桶内的大气压，所以铁桶变扁，故选B。 【考点定位】大气压强 3．如图所示，放在水平地面上的均匀正方体甲、乙对地面的压力相等，若在两物体上部沿水平方向切去一定的厚度，使剩余部分的高度相等，则剩余部分对地面的压力F甲'和F乙'、压强p甲'和p乙'的关系是（）

反函数_典型例题精析

2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．

压强经典习题含答案

压强经典习题 一、选择题（每题3分，共48分） 1、如图所示，在探究液体压强特点的过程中，将微小压强计的金属盒放在水中，下列做法能够使压强计U形管两边液面的高度差减小的是（） A．将压强计的金属盒向下移动一段距离 Ｂ．将压强计的金属盒向上移动一段距离 Ｃ．将压强计的金属盒在原位置转动180° Ｄ．将压强计的金属盒放在同样深度的食盐水中 2、在甲、乙两个试管中分别装有相同高度的水和酒精（ρ水＞ρ酒精），试管底部受到的液体的压强p甲和p乙的关系是（） A．P甲＞P乙 B．P甲=P乙 C．P甲＜P乙 D．无法确定 3、如图所示，装满水的密闭容器置于水平桌面上，其上下底面积之比为 4：1，此时水对容器底部的压力为F，压强为p。当把容器倒置后放到水 平桌面上，水对容器底部的压力和压强分别为（） A.F，P B．4F，P C．1/4F，P D．F，4p 4、如图所示，桌面上放有甲、乙两个鱼缸，同学们观察、比较后提出下列说法，其中正确的是（） A．鱼缸甲对桌面的压力小，缸中鱼受到水的压强大 B．鱼缸甲对桌面的压力大，缸中鱼受到水的压强小 C．鱼缸乙对桌面的压力小，缸中鱼受到水的压强小 D．鱼缸乙对桌面的压力大．缸中鱼受到水的压强大 5、将未装满水且密闭的矿泉水瓶，先正立放置在水平桌面上，再倒立放置， 如图所示。两次放置时，水对瓶底和瓶盖的压强分别为p A和p B, 水对瓶底 和瓶盖的压力分别为F A和F B，则（） A. p A＞p B ,F A＞F B B. p A＜p B , F A=F B C. p A=p B, F A＜F B D. p A＜p B ,F A ＞F B 6、如图所示，水平桌面上放着甲、乙、丙三个底面积相同的容器，若在三个容器中装入 质量相等的水，三个容器底部所受水的压力（）

外研英语七年级下学期期末复习题典型例题

初一英语Revision 2外研社（初中起点） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： Revision 2 二. 教学重点 1. 重点的词汇和语法 2. 考点例题 三. 内容的讲解与分析 1. like的句型有如下的两种. （1）Would you like sth. 此句型表示委婉地征求对方的意见。意为“你想要某物吗” 肯定回答为：Yes, please . / /否定回答为 :No, thanks . 如： Would you like some apples to eat Yes, please . 你想要些苹果吗好的，来点吧。 Would you like some fish No ,thanks . 你想要些鱼肉吗不，谢谢。 （2）Would you like to do sth. 此句表示委婉地提出邀请，意为：你愿意做某事吗 肯定回答为：I would like/love to. / I’d like to .(缩写形式) 否定回答为：Sorry, I am afraid not./ Sorry, I can’t. But … Would you like to come to my party Yes ,I’d like to. 你想来我的晚会吗是的，很愿意。 Would you like to fly kites with me Yes, I’d like to. 你想和我一起去放风筝吗很愿意。 Would you like to wear white shirtSorry, I am afraid not. 你想穿白上衣吗不想。 2. 我们来具体看看 can的用法. （1）表示某种能力时，意为“能,会”如： This boy can speak English. 这个男孩会说英语。 （2）表示允许或请求许可时，意为“可以，允许”，相当于may。若要表示更委婉，客气，可用 could来代替。如： You can /may go home now. 你现在可以回家了。 Can /Could I borrow two books at a time 我可以一次借两本书吗 Yes, you can .可以。 （3）表示可能性时，意为“可能”，具有怀疑或不肯定的意味，仅用于否定句或疑问句中. can的否定式can’t 的意思是“不可能”。如： I think you are a good student, you can’t do that thing. 我认为你是好学生，不可能做那样的事。 Can he be a bad man 他可能是坏人吗 3. must 是情态动词，它的用法如下： （1）表示命令，义务或要求时，意为“必须，应该”，其否定式mustn’t意为“不应

反函数典型例题精析.doc

学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)

初中物理 压强经典练习题(含答案)

初中物理压强经典练习题 一．选择题（共19小题） 1．（2014?泉州模拟）高度、材料相同的实心长方体A和B放在水平桌面上，它们的大小如图所示．它们对桌面的压力分别为F A、F B，压强分别为P A、P B．关于它们的大小关系，正确的是（） 去相同的厚度，并将切去部分叠放至对方剩余部分上表面的中央，如图（b）所示．若此时甲′、乙′对地面的压力、压强分别为F甲′、F乙′、p甲′、p乙′，则（） 3．（2014?龙江县二模）如图所示，放在水平地面上的两个实心长方体A、B，已知体积V A＜V B，高度h A＜h B，与地面的接触面积S A＞S B，对地面的压强p A=p B．下列判断正确的是（） 4．（2014?闸北区一模）如图所示，甲、乙两个正方体物块放置在水平地面上，甲的边长小于乙的边长．甲对地面的压强为p1，乙对地面的压强为p2（） 5．（2014?长沙模拟）如图所示，底面积相同的甲、乙两容器，装有质量相同的不同液体，则它们对容器底部压强的大小关系正确的是（）

6．（2014?清流县一模）在重相同、底面积相等、外形不一样的甲、乙、丙三个容器中，装入同样高h的同一种液体，如图所示，则（） 7．（2014?福州二模）如图为装满液体的封闭容器．设液体对容器底的压强为p1，压力为F1，容器对桌面的压强为p2，压力为F2，如果不计容器自重，则（） 8．（2014?路南区二模）水平桌面上有甲、乙、丙三个完全相同的容器，装有不同的液体，将三个长方体A、B、C分别放入容器的液体中，静止时的位置如图所示，三个容器的液面相平．已知三个长方体的质量和体积都相同．则下列判断正确的是（） 9．（2014?东营二模）一位初三同学站在操场上时对地面的压强大约为1.2×10Pa．某校初三有甲、乙、丙三个班，每班人数分别为38人、40人、42人，以班为单位站在操场上．关于每个班对地面的压强，下列估算中正确的是（） 两桶质量相同，上口面积相同，装相同质量的水放在水平地面上．关于水桶对地面的压强和水桶底受到水的压力的说法正确的是（）

人教版数学七年级下册期末复习典型例题解析

1.（2020?岐山县二模）将直角三角板ABC 按如图所示的方式放置，直线a 经过点A ，且直线a ∥BC ，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A ．35° B ．30° C ．60° D ．50° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据平角的定义求出∠2的度数． 【解答】解：如图． ∵直线a ∥BC ， ∴∠3=∠1=60°， ∵∠CAB=90°， ∴∠2=180°-∠CAB-∠3=30°， 故选：B ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

2.（2020?邢台一模）若a表示正整数，且 a，则a << 的值是（） A．3 B．4 C．15 D．16 【考点】实数与数轴；估算无理数的大小． 【专题】二次根式；数感． 【分析】直接利用a的取值范围得出符合题意的答案． 【解答】解：∵<< a << ∴正整数a=4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．

≤≤≤，则的3.（2020?鼓楼区一模）已知57,4 整数部分可以是（） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点】估算无理数的大小．无理数的整数部分与小数部分【专题】实数；运算能力． 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得 分． ≤≤≤， 【解答】解：∵57,4 ∴25≤a≤49，16≤b≤36， ∴41≤a+b≤85， 则 的整数部分可以是6，7，8，9． 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．

反函数·典型例题精析

2.4 反函數·例題解析 【例1】求下列函數得反函數: 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2,x ∈(－∞,0]其值域為y ∈[2,＋∞), 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为 ＝－，≥． y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 【例2】求出下列函數得反函數,並畫出原函數与其反函數得圖像. 解 (1)∵已知函數得定義域就是x ≥1,∴值域為y ≥－1, 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2, 它們得圖像如圖2.4－2所示. (1)求它得反函數;(2)求使f -1(x)＝f(x)得實數a 得值. (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0,∴a ＝－3. 或解 由f(x)＝f -1(x),那麼函數f(x)與f -1(x)得定義域与值域相同,定義域就是{x|x ≠a,x ∈R },值域y ∈{y|y ≠3,y ∈R },∴－a ＝3即a ＝－3. 【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d ++ 試求a 、b 、c 、d 滿足什麼條件時,它得反函數仍就是自身. 令x ＝0,得－a ＝d,即a ＋d ＝0. 事實上,當a ＋d ＝0時,必有f -1(x)＝f(x),

因此所求得條件就是bc －ad ≠0,且a ＋d ＝0. 【例5】設點M(1,2)既在函數f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)得圖像上,又在它得反函數圖像上,(1)求f -1(x),(2)證明f -1(x)在其定義域內就是減函數. 解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．???????? ??--1373137313737373 x 【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x -+-++-+----12 1212112212 111 解法(二) 由函數y ＝f(x)與其反函數y ＝f -1(x)之間得一一對應關 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --1 1 1 因為原函數得圖像與其反函數得圖像關於直線y ＝x 對稱, ∴函數y ＝f(x)得圖像關於直線y ＝x 對稱.

初三数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解

初三数学上册期末复习资料加经典例题 第一章、图形与证明（二） （一）、知识框架 (二)知识详解 2．1、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 2．2、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 ab S 2 1=注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=2 1 （l -中位线长）

线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 2．3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 2．4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 2．5、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 2.6、几种特殊四边形的性质

反三角函数典型例题

反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x 5= ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝arcsin 5 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ＝5 ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－ (2)1 sin x 4 =-，x [,]22ππ∈- 解：1x arcsin 4=- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，再用诱导公式 处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x =x =π- (3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+