高考数学-解答题答题模板
【模板·细则概述】
“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．
模板1 三角函数的图象与性质
典例1 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π
2.
(1)若f (α2)＝－34，α∈(0，π
2
)，求cos α的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π
6个
单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．
审题路线图 (1)f (x )＝m·n ――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性
周期性求出ω cos α
(2)y ＝f (x )――→图象变换
y ＝g (x )――→整体思想
g (x )的递增区间
规 范 解 答·评 分 标 准
构 建 答 题 模 板 解 f (x )＝m·n ＝cos ωx sin ωx ＋3cos(ωx ＋π)cos ωx ＝cos ωx sin ωx －3cos ωx cos ωx
＝sin 2ωx 2－3(cos 2ωx ＋1)2＝sin(2ωx －π3)－32
.3分
第一步 化简：利用辅助角将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．
第二步 求值：根据三角函
评分细则 1.化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；
2．计算cos α时，算对cos(α－π3)给1分；由cos(α－π3)计算sin(α－π
3)时没有考虑范围扣1分；
3．第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π
2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2]上有且只有
一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －1
2
＝
32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π
6
)，
由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π
2，
所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π
6
)．
(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π
3)的图象；再将所得图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π
3)的图象，所以g (x )＝sin(2x
－π3
)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π
3，
所以g (x )∈[－
3
2
，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π
2]
上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <3
2
或－k ＝1， 解得－
32 2 或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－ 32，3 2 ]∪{－1}. 模板2 解三角形 典例2 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6 3 ，B ＝A ＋π 2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． 审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1 2ac sin B 方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1 2ab sin C 评分细则 1.第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． 2．第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝1 2ab sin C 计算，同样得分． 跟踪演练2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且3cos C ＋sin C ＝3a b ， (1)求B 的大小； (2)若a ＋c ＝57，b ＝7，求AB →·BC → 的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝ 3a b ， 由正弦定理可得：3cos C ＋sin C ＝ 3sin A sin B ， ∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ， 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C ) 3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C ， sin B sin C ＝3sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ， ∴tan B ＝3， 又0 3. (2)由余弦定理可得： 2ac cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝(a ＋c )2－2ac －b 2， 整理得：3ac ＝(a ＋c )2－b 2， 即：3ac ＝175－49.∴ac ＝42， ∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21. 模板3 数列的通项与求和问题 典例3 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48. a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn (1)求a n 1和a 4n ； (2)设b n ＝a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 审题路线图 数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征 ――→ 选定求和方法 分组法及裂项法、公式法求和 评分细则 (1)求出d 给1分，求a n 1时写出公式结果错误给1分；求q 时没写q >0扣1分； (2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时，求S n 中间过程缺一步不扣分． 跟踪演练3 在等差数列{a n }中，首项a 1＝－1，数列{b n }满足b n ＝(12)n a ，且b 1b 2b 3＝1 64. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝(－1)n 6n －5 a n a n ＋1 ，求数列{c n }的前n 项的和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 1＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＝－3＋3×2 2d ＝3d －3. ∵数列{b n }满足b n ＝(12)n a ，且b 1b 2b 3＝1 64， ∴(12)123a a a ＋＋＝(12)3d －3＝(1 2 )6， ∴3d －3＝6，解得d ＝3.∴a n ＝－1＋3(n －1)＝3n －4. (2)∵c n ＝(－1)n 6n －5a n a n ＋1＝(－1)n (13n －4＋1 3n －1 )， ∴当n 为偶数时，数列{c n }的前n 项的和 T n ＝－(－1＋12)＋(12＋15)－…－(13n －7＋13n －4)＋(13n －4＋13n －1)＝1＋13n －1＝3n 3n －1. 当n 为奇数时，数列{c n }的前n 项的和 T n ＝T n －1－(13n －4＋1 3n －1 ) ＝3(n －1)3(n －1)－1－(13n －4＋13n －1)＝3n －23n －1 . ∴T n ＝????? 3n 3n －1 ，n 为偶数，3n －2 3n －1，n 为奇数. 模板4 空间中的平行与垂直关系 典例4 (12分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF . 审题路线图 (1)条件中各线段的中点――→设法利用 中位线定理取PD 中点M ――→考虑平行关系长度关系 平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――→线面平行 的判定定理EF ∥平面P AD (2)平面P AD ⊥平面ABCD P A ⊥AD ――→面面垂直 的性质P A ⊥平面ABCD ―→P A ⊥DE ―――――→ 正方形ABCD 中E 、H 为AB 、BC 中点 DE ⊥AH ――→线面垂直 的判定定理DE ⊥平面P AH ――→面面垂直的 判定定理平面P AH ⊥平面DEF 评分细则 1.第(1)问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD同样给分； 2．第(2)问证明P A⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面P AH只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，缺少条件不扣分． 跟踪演练4(2015·北京)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点． (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积． (1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ， 又因为VB ?平面MOC ，OM ?平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC . (2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .又OC ?平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1， 所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB . 所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝3 3， 又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等， 所以三棱锥VABC 的体积为 33 . 模板5 概率与统计的综合问题 典例5 (12分)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中 共抽取6件样品进行检测. (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解 评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分； (2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分； (3)求对样本事件个数而没有列出的给1分； (4)最后没下结论的扣1分． 跟踪演练5 近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A 户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B 户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：(单位：万元/平方米)： (1)求a ，b 的值； (2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率． 解 (1)a ＝1.16，b ＝1.17. (2)A 户型小于100万的有2套，设为A 1，A 2； B 户型小于100万的有4套，设为B 1，B 2，B 3，B 4， 买两套售价小于100万的房子所含基本事件为： {A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共有15个． 令事件A 为“至少有一套面积为100平方米住房”， 则A 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个． ∴P (A )＝915＝35，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为3 5 . 模板6 直线与圆锥曲线的位置关系 典例6 (12分)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心 率为 3 2 ，且点????3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ， B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP | 的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→求出a 基本量法求得椭圆C 方程 (2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P 、Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||QP | . ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 方程联立――→通法 研究判别式Δ并判断根与系数的关系 ―→用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 最值――――――→利用①得 S △ABQ 和S △OAB 关系 得S △ABQ 最大值 规 范 解 答·评 分 标 准 构 建 答 题 模 板 解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32， 解得a 2＝4，b 2 ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 ＝1.2分 (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2 4 ＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP | ＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 2 0＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24 ????x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ | |OP | ＝2.5分 (ⅱ)设A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2 1＋4k 2 . 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝1 2|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2 ＝2(16k 2＋4－m 2)m 2 1＋4k 2 ＝2 ????4－m 2 1＋4k 2m 21＋4k 2 .8分 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程． 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得 到方程：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用根与系 数的关系． 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系． 第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系． 第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件. 评分细则 1.第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分； 2．第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1 分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分． 跟踪演练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 32的椭圆过点(2，22 )． (1)求椭圆的方程； (2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围． 解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋1 2b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2 ， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2 ， 即m 2－4k 2 4(m 2－1) ＝k 2. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±1 2 . 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m | 5， |PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5(2－m 2)， 所以S ＝1 2|PQ |d ＝m 2(2－m 2) ＝1(m 2≠1)， 故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)． 模板7 解析几何中的探索性问题 典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点． (1)若线段AB 中点的横坐标是－1 2 ，求直线AB 的方程； (2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB → 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说 明理由． 审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB → 为常数的条件下求m →下结论 评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0，扣1分； (3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分； (4)没有假设存在点M 不扣分； (5)MA →·MB → 没有化简至最后结果扣1分，没有最后结论扣1分． 跟踪演练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝16 3于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为 定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 解 (1)由题意得??? c a ＝12 ，127＋5 ＝b ， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， ∴???? ? a ＝4， b ＝23， c ＝2， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 2 12＝1. (2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由? ???? x 2 16＋y 2 12＝1，x ＝my ＋3， ∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0. ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4， 由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1 x 1＋4， ∴y M ＝28y 1 3(x 1＋4). 同理可得y N ＝28y 2 3(x 2＋4) ， ∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3 ＝9y M y N 49＝16y 1y 2 (x 1＋4)(x 2＋4) ∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49 ＝－12 7 ，为定值. 模板8 函数的单调性、极值与最值问题 典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审题路线图 求f ′(x )――→讨论f ′(x ) 的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； (5)通过分类讨论得出a 的范围，给2分． 跟踪演练8 设函数f (x )＝x ln x －ax . (1)若函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值； (2)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由已知得x >0，x ≠1， f ′(x )＝ln x －1 ln 2x －a ≤0在[2，＋∞)上恒成立， ∴当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )max ≤0. 又f ′(x )＝ln x －1ln 2x －a ＝－1ln 2x ＋1 ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋1 4 －a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a . ∴14－a ≤0，即a ≥14，故a 的最小值为14 . (2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”． 由(1)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝1 4－a ， ∴f ′(x )max ＋a ＝1 4 . 问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤1 4”． ①当a ≥1 4时，由(1)知，f (x )在[e ，e 2]上为减函数， 则 f (x )min ＝f (e 2)＝ e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2. ②当a <14时，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上的值域为[－a ，1 4－a ]． (ⅰ)－a ≥0，即a ≤0时，f ′(x )≥0在[e ，e 2]上恒成立， 故f (x )在[e ，e 2]上为增函数， 于是f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>1 4，矛盾．
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