2012届高三数学（理）全真模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1、若复数3(,)12a i

a R i i

+∈-为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2

B ．4

C ．-6

D ．6

2、已知集合2{|1},{},,P x x M a P M P a =≤=?=若则的取值范围是 （ ） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-?+∞

3、下列判断错误的是（ ）

A ．,a b ，m 为实数，则“2

2

am bm <”是“a” C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若(4,0.25)X B ，则()1E X = 4、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，则ω=（ ）

A ．3

B ．2

C ．

32

D ．

23

5、设2

226

(13)4,()a a x dx x x

=-++

?

则二项式的展开式中不含3x 的系数的系数和是（ ）

A ．-160

B ．160

C ．161

D ．-161

6、在ΔABC 中，内角A 、B 、C

的对边分别是a 、b 、c

，若22,sin a b C B -=，则A=( )

A ．30

B ．60

C ．120

D ．150

7、椭圆22

143

x y +=的离心率为e ，点22(1,)4440e x y x y +--+=是圆的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程是（ ）

A ．3240x y +-=

B ．4670x y +-=

C ．3220x y --=

D ．4610x y --=

8、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体的（

）

A

B

C 1

D ．外接球的表面积为163

π

9、已知抛物线2

2(1)y px p =>的焦点F 恰为双曲线 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦

点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为（

）

A

B

C ． 2

D ．主视图

左视图

10、已知函数2()2,[4,5]x f x x x =-∈，对于()f x 值域内的所有实数m ，则满足不等式

2424t mt m t ++>+恒成立的t 的集合是（ ）

A ．(,5)-∞-

B ．(,5)(2,)-∞-?+∞

C ．(,2)(5,)

-∞-?+∞

D ．(,5)(2,)-∞-?-+∞

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填

在答题卡相应位置上。)

11、下列程序执行后输出的结果是S=

12、设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且函数

2

()4f x x x ξ=++没有零点的概率为12

，则μ的值等于

13、把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ij a （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如42a ＝8，若ij a =2012，则i =

，j =

。

14、已知

O 为ΔABC

的外心，AB=2, AC=1, ∠BAC=120

，设

121,,,A B a A C b A O a b λλλλ===++

则

=

15、选做题：考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分

（1）曲线34cos sin()4

p p π

θθ=+

=与直线

（2）若关于x 的不等式|1||3|[0,4]x x m x -+-<∈在上有解，则m 的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16、（12分）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??

????

上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ??

=∈????

，求0cos 2x 的值。

17．（12分）盒中有大小相同的编号为1，2，3，4，5，6的六只小球，规定：摸一次需1元，从盒中摸出2只球，如果这2只球的编号均能被3整除，则获一等奖，奖金10元，如果这2只球的编号均为偶数，则获二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖 （1）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率；

（2）若有2人参加摸球游戏，按规定每人摸一次，摸后放回，2人共获奖金X 元，求X 的分布列及期望。

18．（12分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，

2

π

=

∠=∠CEF BCF ，2,3==EF AD .

（1）证明：AE//平面DCF ；

（2）当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 为3

π

；

19．（12分）已知数列{}n a 中31=a ，52=a ，其前n 项和满足：)3(22112≥+=+---n S S S n n n n .

（1）试求数列{}n a 的通项公式；

（2）令1

1

2+-?=n n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：61

（3）证明：对任意的??

?

??∈610，m ，均存在*∈N n 0，使得（2）中的m T n >成立.

20、（13分）已知F 、F '分别是椭圆22

1:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ．

（1）求轨迹2C 的方程；

（2）若动点P 在直线02:=--y x l 上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ．试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．

A

B

C

D

E

F

21、（14分）

2012届高三全真模拟数学(理)答题卡

17、（12分）

11、12、13、

14、15、（1）（2）

三、解答题

16、（12分）

19、（12分）20、（13分）

2012届高三数学（理）全真模拟试卷答案

1—10：DCCCC ABDBB 11. 1275 12. 4 13. 64 14 14、13

6

15. （1

） （2）(2,)+∞

16、（1

）解：由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得

2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6

f x x x x x x x π

=+-=+=+

所以函数()f x 的最小正周期为π

因为()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?在区间0,

6π??????上为增函数，在区间,62ππ??

????

上为减函数，又 (0)1,2,162f f f ππ????===- ? ?????，所以函数()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值为2，最小值

为-1

（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π?

?=+ ??

? 又因为06()5f x =，所以03sin 265x π?

?+= ??

?

由0,42x ππ??

∈????

，得0272,636x πππ??+∈????

从而04cos 265x π?

?

+==- ??

? 所以

00003cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ??-?????

?=+-=+++=

? ? ???????????

17．解：（1）设摸一次得一等奖为事件A ，摸一次得二等奖为事件B ，

则1511)(26==C A P 5

1)(2623==C C B P

某人摸一次且获奖为事件B A +，显然A 、B 互斥 所以15

4

51151)(=+=+B A P 故某人摸一次且获奖，他获得一等奖的概率为：

4

1

154151)()()|(=÷=+=

+B A P A P B A A P ………………6分

（2）因为摸后放回，所以2人摸球是相互独立的 易知X 的可能取值为0，2，4，10，12，20

225121)1541)(1541()0(=--

==X P 7522)1541(5151)1541()2(=-?+?-==X P ==)4(X P 2515151=? ==)10(X P 225

22

)1541(151151)1541(=-?+?-

=

=)12(X P 7525115115151=?+? =

=)20(X P 225

1151151=?

期望

22520751222510254752?+?+?+?+?=EX 15

2

15225===（元）………12分

18.解法一：（1）证明过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ， 连结DG ，∴四边形BCGE 是矩形， 又四边形ABCD 是矩形，

EG AD EG AD =∴,//

∴四边形AEGD 是平行四边形， ∴AE//DG ，又?AE 平面DCF ，

∴ AE//平面DCF 。 5分

证法2：,//,//CF BE DC AB

∴,//DCF ABE 平面平面

∴ AE//平面DCF 。 5分

（2） 平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB ⊥BC ，

∴AB ⊥平面BEFC

过点B 作BH ⊥FE 交FE 的延长线于H ，连结AH ，∴ AH ⊥FE 。 故AHB ∠是二面角A-EF-C 的平面角。 7分 在1,3

,2,3==

∠∴===?GF CFE EF AD EG EGF Rt π

中，

又3,4,2

===∴=

∠GC BE CF CEF 故π

， 9分

2

9

3233tan ,233sin =?=∠==

∠=∴AHB BH AB BEH BE BH ∴当AB 的长为29时，二面角A-EF-C 为3

π

。 12分

解法二：如图建立空间坐标系C-xyz ， 设.,,c CF b BE a AB ===

A

B

C

D

E

F

H

G

)0,0,3(),,0,3(),0,0,0(B a A C ∴)0,,0(),0,,3(c F b E 1分

（1）)0,0,3(),,,0(=-=CB a b AE ，)0,,0(b BE =

.0,0=?=?BE CB AE CB

∴ CB ⊥AE ，CB ⊥BE ，所以CB ⊥平面ABE ，

CB ⊥平面DCF 4分

所以，平面ABE//平面DCF ，故AE//平面DCF 。 5分 （2）)0,,3(),0,,3(b CE b c EF =--= ， 又2||,0==?

???=-+=-+-∴4

)(30

)(32

b c b c b ，解得b=3，c=4， )0,4,0(),0,3,3(F E 7分

设平面AEF 的法向量是n =(1, y, z)，由n 0=?, n 0=?

解得n )3

3,

3,1(a

= 9分 因为BA ⊥平面BEFC ，),0,0(a =

2

9

,2127

43

3|||||3

cos

|2==

+=

?=

∴a a n BA π

12分 19（1）解 由)3(22112≥+=+---n S S S n n n n 得)3(21211≥+-=-----n S S S S n n n n n ，

1--=n n n S S a ，)3(211≥+=∴--n a a n n n ，即)3(211≥=---n a a n n n . 又23512=-=-a a ，)2(211≥=-∴--n a a n n n ，

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+???+-+-=---

1

2321)

21(23222211

3

2

1

+=+--=++???+++=----n n n n n 故数列{}n a 的通项公式为12+=n

n a . 4分

（2）证明 ???

??+-+=++==++-+-12112121)12)(12(221

1111n n n n n n n n n a a b ， ????????? ??+-++???+??? ??-+??? ?

?-=

+???+++=∴+121121

91515131211

321n n n n b b b b T 6

1

12131211

（3）证明 由（2）可知??

?

??+-=+12131211n n T ，

若m T n >，则得m n >??

?

??+-+12131211，化简得1213611+>-+n m . ??? ??∈61,0m ，061>-∴m ，161321-->∴+m n ，11613log 2-???

??-->∴m n ， 当111613log 2<-??

?

??--m ，即1510<

当111613log 2≥-??

?

??--m ，即61151<≤m 时，则

记11613log 2-??

? ??--m 的整数部分为S ，取10+=S n 即可，

综上可知：对任意的??

?

??∈610，m 均存在+∈N n 0使得式（2）中的m T n >成立. 12分

20、

6分

13分

21.