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实数知识点及典型例题

(4)《实数》知识点总结及典型例题练习题

第一节、平方根

1.

平方根与算数平方根的含义

平方根:如果一个数的平方等于a ,那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2,记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根,即x 2=a ,记作x=a 。 2.平方根的性质与表示

⑴表示:正数a 的平方根用a ±表示,a 叫做正平方根,也称为算术平方根,a -叫做a 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根:a ±(根指数2省略) 0有一个平方根,为0,记作00= 负数没有平方根

⑶平方与开平方互为逆运算

开平方:求一个数a 的平方根的运算。

a a =2==???-a a

0<≥a a

()a a =2

(0≥a )

⑷a 的双重非负性:0≥a 且0≥a (应用较广) 例:y x x =-+-44 得知0,4==y x

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后,得____ (6)若0>>b a ,则b a > (7)()

)

0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题:

(1)求算数平方根与平方根

1:求下列数的平方根

36 0.09 (-4)2 0 1

(2)解简单的二次方程

3:2

81250x -= 4 :4(x+1)2=8

(3)被开方数的意义

5:若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. -

2

B. -(

+1)2 C.-

D.-(+1)

6:实数在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a

(4):有关x 的取值范围目前中考的所有考点 例题:求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x

8: 当______m 时,m -3有意义;当______m 时,3

3-m 有意义

9:

x

-11

10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是( ). A 、1≥x B 、1-≥x

C 、11≤≤-x

D 、11≥-≤或x

(5)非负性

知识点:总结:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零,这个性质在代数式求值中经常被使用.

10.已知b a ,是实数,且有0)2(132=+++-b a ,求b a ,的值.

11: .已知实数a 、b 、c 满足,2|a-1|+2b c ++2)2

1

(-c =0,,求a+b+c 的值.

13.若111--+-=x x y ,求x ,y 的值。

14.522y 2++-+-=x x x ,求x y 的平方根和算术平方根。

15. 若0|2|1=-++y x ,求x+y 的值。

16.若312-a 和331b -互为相反数,求

b

a

的值。

17.若054=-++-y x x ,求xy 的值.

18.若1210m n ++-=,求20004m n -的值。

其它问题

19.已知b a ,为有理数,且3)323(2b a +=-,求b a +的平方根

20.设a 、b 是有理数,且满足()

2

212a b +=-,求b a 的值

21.已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 、y 满足04422=+++-y y x ,求

2008220092()()()a b x cd y a b cd y +-+++的值.

实数知识点及典型例题

实数知识点及典型例题

22. 已知实数a 满足1992a a -=,则21992a -的值是( ) A.1991

B.1992

C.1993

D.1994

23 .已知x 、y 互为倒数,c 、d 互为相反数,a 的绝对值为3,z 的算术平方根是5,求22c d xy a

实数知识点及典型例题

-++的值

24.请你估算11的大小( )

A.1﹤11﹤2

B. 2﹤11﹤3

C. 3﹤11﹤4

D. 4﹤11﹤5 25.若数轴上表示数a 的点在原点的左边,则化简22a a +的结果是( ) 26、

21++a 的最小值是________,此时a 的取值是________.

27、当x=-8时,则

3

2

x 的值是( )

A ,-8

B ,-4

C ,4

D ,±4 28、若a=2

3-

,b=-∣-2∣,c=33

)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是( ).

A.a >b >c

B.c >a >b

C.b >a >c

D.c >b >a

第二节:立方根和开立方

1.立方根的定义

如果一个数的立方等于a ,呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a

2. 立方根的性质

任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.

3. 开立方与立方

开立方:求一个数的立方根的运算。

()a a =3

3

a a =3

3 33a a -=- (a 取任何数)

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *0的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根

1. 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ,这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时,这个数叫做a 的奇次方根。当n 为偶数时,这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。

实战演练:

1、36的平方根是 ;16的算术平方根是 ;

2、8的立方根是 ;327-= ;

3、37-的相反数是 ;绝对值等于3的数是

4、的倒数的平方是 ,2的立方根的倒数的立方是 。

实数知识点及典型例题

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实数知识点及典型例题

5、2-的绝对值是 ,11-的绝对值是 。

6、9的平方根的绝对值的相反数是 。

7+的相反数是 ,的相反数的绝对值是 。

实数知识点及典型例题

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实数知识点及典型例题

8--+的相反数之和的倒数的平方为 。 一、填空

1.如果162

=x ,那么_____=x ;

2.144的平方根是______,64的立方根是_______; 3.

_____2516=±

,_____814=-,____104

=,

_____106=-; 4.______287169=,_____83

33=,_____643

=--;

5.要切一面积为16平方米的正方形钢板,它的边长是__________米; 6.5-的相反数是__________,绝对值是_________,倒数是_________; 9.=0144.0_______;

=

-3

2710

2_________;

=+?6

32__________,=

???? ??-2

323________,

(

)(

)

_______252

5=+-;

10.比较大小:5-______6-, 14.3- _______π,

21

3-______ 21;

12.若492=x ,则x =______,若

64)1(3=-x ,则x =______; 14.如果

0)6(42

=++-y x ,那么=+y x ; 15.若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则

______3

=++cd b a ; 21.2

)5(-的平方根是

二、 选择题

1.与数轴上的点一一对应的是( )

A.实数

B. 正数

C. 有理数

D. 整数 2.下列说法正确的是( ).

A .(-5)是()25-的算术平方根

B .16的平方根是4±

C .2是-4的算术平方根

D .64的立方根是4± 3.如果1-x 有意义,则x 可以取的最小整数为( ). A .0 B .1 C .2 D .3 4.若 ()03212=-+++-z y x 则x+2y+z= ( )

A .6

B .2

C .8

D .0

5一组数246135

,343,22,16,27,2,14.3,313---π 这几个数中,无理数的个数是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7.一个自然数的算术平方根是x ,把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是( ) A. 12+x B. 1+x C. 1+x D. 12+x 8.若一个数的平方根是8±,则这个数的立方根是( ) A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4 9.计算(1) 461

2

11)31()3

1

()2(023-+÷+++?-- (2)

02338(22010)(32)3

----+-

第三节、实 数

1. 实数:有理数和无理数统称为实数

实数的分类:

① 按属性分类: ② 按符号分类

实数知识点及典型例题

实数知识点及典型例题

2. 实数和数轴上的点的对应关系:

实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示. 数轴上的每一个点都可以表示一个实数.

2的画法:画边长为1的正方形的对角线

实数知识点及典型例题

在数轴上表示无理数通常有两种情况: 思考:

(1)-a 2一定是负数吗?-a 一定是正数吗? (2)大家都知道

是一个无理数,那么

-1在哪两个整数之间?

(3)15的整数部分为a,小数部分为b ,则a= , b= (4)判断下面的语句对不对?并说明判断的理由。 ① 无限小数都是无理数; ② 无理数都是无限小数; ③ 带根号的数都是无理数;

④ 有理数都是实数,实数不都是有理数; ⑤ 实数都是无理数,无理数都是实数; ⑥ 实数的绝对值都是非负实数; ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法 一、平方法: 比较

2

3

和3的大小 二、移动因式法: 比较32和23的大小 三、求差法: 比较2

1

5-和1的大小 练习:

一、比较下列各组数的大小:

① 2-和3- ② 15和5

4

3 ④ 7-和-2.45 ⑤

327-与3

1

练习:平方根

1. 36的平方根是 ;16的算术平方根是 ;

2. 平方数是它本身的数是 ( ) ;平方数是它的相反数的数是 ( ) ;

3. 当x=__________ 时,12+x 有意义;

4.下列各式中,正确的是( )

(A)2)2(2-=- (B) 9)3(2=- (C) 393-=- (D) 39±=±

6.若a<0,则a a 22等于( ) A 、21 B 、2

1- C 、±21

D 、0

9. 计算 ⑴ 9

144

144

49

?

⑵494 ⑶41613+-

10.若1<x <3()

()

2

2

31--x x

练习:立方根

1.当x= _________时,325+x 有意义;

2.若164=x ,则x=_________;若813=n ,则n= ________。

3.若23-=x ,则x= __________; 若x -=364,则x =__________;

4.若n 为正整数,则121+-n 等于( )

A. -1

B. 1

C. ±1

D. 2n+1 5.求χ的值:8)12(3-=-x

6.(1)18

7

8

333

3

-+- (2)83122)10(973.0123+--?- (3)333)6(25.0343--?+-