二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系

一、知识要点

知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y≠0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：二、典型例题例1、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，

求当PQ最短时△MPQ的面积．

变式训练：1、函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则b

a

c

a

c

b

c

b

a

+

+

+

+

+的值是________ 2、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

3．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．

（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

图1x 图2

x

5．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．

（1）求m 的取值范围；

（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．

例2、(本题满分12分) 二次函数2

6(0)y ax bx a =++≠的图像交y 轴于C 点，交x 轴于A ，

B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程24120x x --=的两个根.

（1）求出点A 、点B 的坐标及该二次函数表达式.

（2）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点

Q 作QD ∥AC

交于BC 点D ，设Q 点坐标（m ，0），当CDQ ?面积S 最大时，求m 的值.

（3）如图3，线段MN 是直线y =x 上的动线段（点M 在点N 左侧），且MN =M 点的横坐标为n ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线

交于点Q .以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n 的值；若不能，请说明理由．

变式训练：（2012?资阳）如图是二次函数y =ax 2

+bx +c 的部分图象，

由图象可知不等式ax 2

+bx +c ＜0的解集是（ ）

A ．1＜x ＜5

B ．x ＞5

C ．x ＜﹣1且x ＞5

D ．x ＜﹣1或x ＞5

例3、 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b =2

1222x x -=，求a ，b 的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数2

2

2y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A

在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.

变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝

。参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．

(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．

例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶

点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan tan CA BO 1O C ∠-∠=． （1）求证： n 4m 0+=；

（2）求m 、n 的值；

（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

变式训练： （2012湖北荆门10分）已知：y 关于x 的函数 y =（k ﹣1）x 2

﹣2kx +k +2的图象与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；

（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足 （k ﹣1）x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2．①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时， 请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．

【家庭作业】

1. （2012天津市10分）已知抛物线y =ax 2+bx +c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求

A

B C

y y y --的值；

（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求

A

B C

y y y -的最小值．

2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C 1的函数解析式为2

y ax bx 3a(b 0)=+-<，若 抛物线C 1经过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=。

（1）求抛物线C 1的顶点坐标. （2）已知实数x 0>，请证明：1x x +

≥2,并说明x 为何值时才会有1

x 2x

+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1

A(

m ,y )，

2B(n,y )是C 2上的两个不同点，且满足： 0

0AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m 的

表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析

式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q

两点间的距离

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x

求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ

二次函数与二次不等式练习题

一、填空题 1．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ． 2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为． 3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限． 4．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为． 5．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为． 6．直线y=3与抛物线y=－x2+8x－12的两个交点坐标分别是_____________与_____________ 7．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ． 8．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点． 9．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围． 10．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是． 二、选择题 11．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（） A．3个B．2个C．1个D．无 12．如图2-8-8所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（） A．－3 B．3 C．D．－ 13．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2-8-9所示，则下列关系正确的是（） A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1 14．下列各式中，y是x的二次函数的是 ( )

A ． 21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ． 2210x y -+= 15.在同一坐标系中，作22y x =+2、22y x =--1、212 y x =的图象，则它们 ( ) A ．都是关于y 轴对称 B ．顶点都在原点 C ．都是抛物线开口向上 D ．以上都不对 16.若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为 ( ) A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ． 无法确定 17.抛物线122+-=x x y 则图象与x 轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 不能确定 18．关于02=--n x x 没有实数根，则n x x y --=2的图象的顶点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 19. 在同一直角坐标系中，函数b ax y -=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ） 20．对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A 顶点作标为(－3，2) B 对称轴为y=3 C 当3≥x 时y 随x 增大而增大 D 当3≥x 时y 随x 增大而减小 三．解答题 21．解不等式22530x x ++> 22．若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x R ∈都成立，求a 的取值范围

二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系 一、知识梳理 知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y ≠0时，就是二次不等式。 知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函 数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。 知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示： 二、精典题型剖析 例1、已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图 （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ， 求当PQ 最短时△MPQ 的面积． 变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a ++ +++的值是________ 2、已知二次函数y=x 2-2x+3. (1) 若它的图像永远在x 轴的上方，则x 的取值范围是__________; (2) 若它的图像永远在x 轴的下方，则x 的取值范围是__________; (3) 若它的图像与x 轴只有一个交点，则x 的取值范围是__________. 3、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点． △=b 2﹣4ac △＞0 △=0 △＜0 二次函数 y=ax2+bx+c(a ＞0)的图像 x y O x y O x y O 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ＞0)的根 a b x 22 ,1?±-= a b x 2-= 无实数根 一元二次不等式 ax 2 +bx+c ＞0(a ＞0)的解集 x ＜ 1x 或x ＞2x （1x ＜2x ） a b x 2- ≠ x 为全体实数 一元二次不等 ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集 1x ＜x ＜2x （1x ＜2x ） 无解 无解

初中数学二次函数与不等式

二次函数与不等式 班级____________ 姓名___________________ 1、二次函数的图象如图，则不 式<0的解 22--=x x y 22--x x 集x 的范围是______________; 2、函数的图象如图，那么：c bx x a y ++=2（1）方程=2的根是________________;c bx x a ++2（2）不等式>2的解集是______________;c bx x a ++2（3）不等式<2的解集是_____________;c bx x a ++2 3、已知关于x 的一元二次方程的两根分 02=++n mx x 别为x 1=a,x 2=b （ab C.ab 4、若二次函数f kx y c bx x a y +=++=221与一次函数的图象如图，当y 1

二次函数二次不等式练习题

二次函数、二次不等式练习题 姓名：___________ 班级：___________成绩：___________ 一、单选题 1．已知R 为实数集，集合}02|{2≥-=x x x A ，}1|{B >=x x ，则 （ ） A.)1,0( B. ]1,0( C. )2,1( D. ]2,1( 2．不等式()12303x x ? ?+-≤ ??? 的解集为（ ） A. 2{ 3 x x ≥或13x ?≤-?? B. 1233x x ??-≤≤???? C. 2{ 3 x x >或13x ?<-?? D. 1233x x ??-<的解集是11,23??- ??? ，则a b +的值是（ ） A. 14- B. 10- C. 14 D. 10 5．已知关于x 的不等式01442 >++ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]1,0[ B. ）1,0[ C. ）（1,0 D. f ]1,0（ 6．已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤.则实数a b +的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．已知关于x 的不等式24410ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A. []0,1 B. [)0,1 C. ()0,1 D. (]0,1 8．若函数762--=x x y ，则它在]4,2[-上的最大值、最小值分别是( ) A. 9，－15 B. 12，－15 C. 9，－16 D. 9，－12 9．函数142+--=x x y ,]2,3[-∈x 的值域（ ） A. (-∞,5) B. [5，+∞) C. [-11，5] D. [4，5] 10．函数()21122 y x =-++的顶点坐标是 （ ） A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2) 11．已知函数]5,[,4)(2m x x x x f ∈+-=的值域是]4,5[-，则实数m 的取值范围是 A. B. C. D. 12．若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A. (],2-∞ B. [)2,+∞ C. [)4,+∞ D. (],4-∞ 13．3)(2++-=a x y 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14.若方程()2 250x m x m ++++=只有负根，则m 的取值范围是（ ） A. 4m ≥ B. 54m -<≤- C. 54m -≤≤- D. 52m -<<- 15．若()()2212f x x a x =--+在(] ,5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 6a > B. 6a ≥ C. 6a < D. 6a ≤ 16．函数)0(4)(2 >+-=m mx x x f 在]0,(-∞上的最小值是( ) A. 4 B. －4 C. 与m 的取值有关 D. 不存在 二、填空题

二次函数与方程和不等式练习题

练习九 二次函数与方程和不等式 1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限； 3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对 4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>?>a B 、0,0a C 、0,0>?

二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解

二次函数与方程及不等式的关系(供参考)

二次函数与方程及不等式的关系 6、如图,将二次函数y=x 2 -m(其中m >0)图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y 1,另有一次函数y=x+b 的图象记为y 2,则以下说法:(1)当m=1,且y 1与y 2恰好有三个交点时,b 有唯一值为1; (2)当b=2,且y 1与y 2恰有两个交点时,m>4或<0m<7 4 ; (3)当m=b 时,y 1与y 2至少有2个交点,且其中一个(0，m); (4)当m=-b 时,y 1与y 2一定有交点. 其中正确说法的序号为 9. (2014·浙江杭州江干一模，16，4分)如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B (4，2)，一次函数y ＝kx －1的图象平分它的面积．若关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋k )x ＋2m ＋k 的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为________． 解析 过B 作BE ⊥AD 于E ，连结OB ，CE 交于点P ，∵P 为矩形OCBE 的对称中心，则过点P 的直线平分矩形OCBE 的面积．∵P 为OB 的中点，而B (4，2)，∴P 点坐标为(2，1)，∵P 点坐标为(2，1)，点P 在直线y ＝kx －1上，∴2k －1＝1，k ＝1.∵关于x 的函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象与坐标轴只有两个交点，∴①当m ＝0时，y ＝－x ＋1，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当m ≠0时，函数y ＝mx 2－(3m ＋1)x ＋2m ＋1的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交点(0，2m ＋1)，若抛物线过原点时，2m ＋1＝0，即m ＝－12，此时，Δ＝(3m ＋1)2－4m (2m ＋1)＝(m ＋1)2>0，故抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意．若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也符合题意，此时Δ＝(m ＋1)2＝0，m ＝－1.综上所述，m 的值为：m ＝0或－1或－12. 答案 m ＝0或－1或－1 2 1．(原创题)函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <3且k ≠0 C ．k ≤3且k ≠0 D ．k ≤3 18.已知二次函数2y x bx =+的对称轴为直线1x =,若关于x 的一元二次方程

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于

0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值

一元二次函数方程和不等式教学设计

一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆

二次函数与一元二次方程知识点及经典例题

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系 1、 一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交 点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根； 2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0） 与x 轴交点个数情况：①判别式?②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2 ＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2 ＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2 ＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个 x 3-≥a 例 2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2 -x ＋4 1与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717 ) 83(2 -=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个； 例4：二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax 2 ＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集； （3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值； （4） 若方程ax 2 ＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。 3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（ a c a b x x x x =-=+2121，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x +-= 22 与X 轴的一个交点是 （－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212 421) (-=+ 例6：若抛物线32 -+= ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a ③ 利用韦达定理求面积：

二次方程与二次函数基础知识

十字相乘法与一元二次方程（函数） 一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 ，韦达定理是 . 1. 用十字相乘法分解因式： （1）232x x ++ （2）256x x -+ （3）256x x -- (4)2865x x +- (5)2656x x -- (6)241615x x -+ 2. 解一元二次方程： （1）213360x x ++= （2）22480x x --= （3）22950x x ++= （4）23710x x -+= 3. 若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根． （1）12x x -= ；（2）2221x x += （3） 1211x x += （4） 2212 11x x += 4.（1）已知一个一元二次方程的两根之和为10，两根之积为13. 求此方程. (2) 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：2() (0)f x ax bx c a （2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a （3）零点式：12() ()()(0)f x a x x x x a 二次函数2()(0)f x ax bx c a 的顶点坐标是_________ ,对称轴方程是__________ 5． 画出下列二次函数图象： （1）23y x = （2）233y x =-+ （3）2(2)1y x =-+ 6． 用配方法求顶点坐标： （1）221212y x x =++ （2）21212y x x = -- （3）2132 y x x =-+ （4）21y x x =-++ 7．二次函数的图象分别满足下列条件，分别求相应的二次函数解析式： (1)顶点(1,2)--，过点(1,6)- (2)过三点(2,3)A --,(0,1)B -,(1,3)C

二次函数与方程不等式的关系

二次函数与方程不等式的关系 一、知识点梳理 1、二次函数表达式的几种常见方法 （1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式 的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解. （2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶 点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其 代入k h x a y +-=2)(中求解. 2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况： （1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ； （2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a - 21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(a b -; （3）当042＜a c b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点. 3、二次函数的图像与一次函数图像的交点 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程

一元二次方程与二次函数提高训练题

一元二次方程与二次函数提高训练题 1、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2 241y x x k =++-的图 象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 ()1 2 y x b b k = +<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴1 23k =，，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； 当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意． 当3k =时，二次函数为2 242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2 246y x x =+-． （3）设二次函数2 246y x x =+-的图象与x 轴交于 A B 、两点，则(30)A -， ，(10)B ，． y 8 6 4 2

依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12 y x b = +经过A 点时，可得32b =； 当直线12 y x b =+经过B 点时，可得1 2b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13 22 b -<<． 2、已知：关于x 的一元二次方程2 2 2(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 证明： []2 2 =2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+> ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）2(23)84 = (23)212 m m x m m -±+-±+= ∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 5＜21m +＜9． 35216,.2 217,24.63 218,. 2m m m m m m +=∴= +=∴=+=∴=令令令 ∴m=24 3、已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc

二次函数与一元二次方程教案 (2)

人教版数学九年级上册 1 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系． 2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． 教学重点 二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法． 教学难点 二次函数的性质的应用． 教学过程 一、导入新课 我们学习了一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)和一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就转化成了一元一次方程kx ＋b ＝0，且一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b ＝0的解． 现在我们学习了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c (a ≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题． 二、新课教学 1．问题讲解． 如下图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有函数关系 h ＝20t －5t 2． 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．

九年级数学下学期-二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程 教学目标 一、教学知识点 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 二、能力训练要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。 3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识。 三、情感与价值观要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2、具有初步的创新精神和实践能力。 教学重点 1.体会方程与函数之间的联系。 2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 教学难点 1、探索方程与函数之间的联系的过程。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教学方法：讨论探索法 教学过程： 1、设问题情境，引入新课 我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？

它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。 2、新课讲解 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以 用公式 h =－5t 2+v 0t +h 表示，其中h (m)是抛出时的高度，v (m/s ) 是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么（1）h 与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 小组交流，然后发表自己的看法。 学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0， 其中的v 为40m/s， 小球从地面抛起，所以h 0=0。把v ,h 带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t （2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 中的h=0求出t 即可。也就是－5t 2+40t=0 t 2－8t=0 ∴t（t－8）=0 ∴t=0或t=8 t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间。 也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地。 议一议 二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示 （1）每个图像与x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？ （3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ （课件展示） 学生讨论后，解答如下：

二次函数与一元二次方程教案 一

§6.3 二次函数与一元二次方程（一） 南京市东山外国语学校黄秀旺 【教学目标】 体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 教学重点: 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系． 教学难点: 理解二次函数图象与x轴的位置关系与一元二次方程的根的情况之间的关系．【教学过程】 一、创设情境，揭示课题 一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系为二次函数h=-5t2+40t，其函数图象如图（图略）所示． 试问：小球经过多少秒后落地?与同伴进行交流. （揭示课题：6.3 二次函数与一元二次方程） 二、活动探索，研究问题 1.师生探究 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？ (2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？ (3)探究：你能说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根吗？ 2.自主探究 类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 3.归纳总结 二次函数y=a x2+b x+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程a x2+b x+c=0的根有什么关系? 4.例题示范 三、自主研究，巩固应用 四、延伸拓展，提高能力 在本节一开始的小球上抛问题中, 提出新的问题: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2）方程 -5t2+40t=75的根的实际意义是什么？ （3）何时小球离地面的高度是60m? 五、回顾小结，强化认知 通过这节课的学习: 我发现了…… 我学会了…… 六、布置作业，课后练习课本P33–P34 4 ，7。

(完整word)初中数学二次函数与方程和不等式专题训练

初中数学二次函数与方程和不等式专题训练 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2010?保定一模）已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为（） A．x1=1，x2=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=﹣1，x2=1 D．x1=﹣1，x2=3 2．（3分）根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）得到一些对应值，列表如下：x 2.2 2.3 2.4 2.5 y ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 判断一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x1的范围是（） A．2.1＜x1＜2.2 B．2.2＜x1＜2.3 C．2.3＜x1＜2.4 D．2.4＜x1＜2.5 3．（3分）（2013?宝坻区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b 4．（3分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A 点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 5．（3分）若二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+f的图象如图，当y1＜y2时，关于x 的取值范围，有可能是下列不等式组解中的哪一个（）

A．B．C．D． 6．（3分）已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=（a﹣2）x2﹣x+的 图象与x轴（） A．没有交点B．相交于两点 C．相交于一点D．相交于一点或 没有交点 7．（3分）若不等式组（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣4x+1与 x轴的交点（） A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定 8．（3分）（2011?黔东南州）如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（） A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（3分）如图为二次函数y=ax2﹣bx的图象，若一元二次方程ax2﹣bx+m=0有实数根，则m的最小值为_________．