MSDC.初中数学.实数与二次根式A级.第02讲.学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求
二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简，会进行
二次根式的混合运算（不要求分母有理化）
1. 二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥?及其运用．
2. 二次根式乘除法的规定及其运用．
3. 二次根式的加减运算．
无 穷 小 是 零 吗 ？ ── 第 二 次 数 学 危 机
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的．
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论．他指出："牛顿在求n x 的导数时，采取了先给x 以增量0，应用二项式(0)n x +，从中减去n x 以求得增量，并除以0以求出n x 的增量与x 的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比．这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x 有增量，又令增量为零，也即假设x 没有增量．"他认为无穷小dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx 为逝去量的灵魂"．无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论．导致了数学史上的第二次数学危机．
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠．其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等．
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础．从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础．
中考要求
重难点
课前预习
二次根式的概念及性质
模块一 二次根式的概念及性质
二次根式的概念：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2()a a =（0a ≥）；（3）2 (0) (0)a a a a a a ≥?==?-
．
对二次根式定义的考察
【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、4、33、1x
、(0)x x >、0、42、1x y
+、x y +（x ≥0，y ≥0）．
【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A ．7-
B ．38
C ．x
D ．x
【例2】 当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
【例3】 当x 是多少时，1231
x x +++在实数范围内有意义？
【巩固】使式子2(6)x --有意义的未知数x 有（ ）个 ．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
【巩固】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要，?底面应做成正方形，
试问底面边长应是多少？
【例4】 解答下列题目
例题精讲
（1） 已知6y =，求
x y
的值．
（20，求20112011a b +的值．
【巩固】已知a 、b 5b +，求a 、b 的值．
【巩固】已知实数a 与非零实数x 满足等式：222130x x ??-++ ??
?
对二次根式性质的考察
【例5】 计算
（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 2
【巩固】计算
（1） 2(0)x ≥ （2）2
（3）2 （4）2
【例6】 在实数范围内分解下列因式:
（1）25x - （2）44x - （3） 223x -
【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=(1)1a a a +=+-=；
乙的解答为：原式=(1)2117a a a a ++-=-=．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
【巩固】若-3≤x ≤2时，试化简2x -
【巩固】如果0a >，0a b
<
模块二 二次根式的乘除运算
（0a ≥，0b ≥）
【例8】 =x ，y 必须满足条件 ．
【例9】 化简：（1）
＝______；（2＝______；（3______．
【例10】 如果)3(3-=-?x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥
B ． 3x ≥
C ．03x ≤≤
D ． x 为任意实数
【巩固】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．
【例11】 把4
324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11- B ．11 C ．44-
D ．44
【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：
（1）;1a a -
（2）?---1
1)1(y y
【例12】 先化简，再求值：((6)a a a a --，其中2
15+=a
【例13】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．
【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：==
=
验证：=
同理可得：
=……