第3章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算
§3．1.2 空间向量的数乘运算
知识点一 空间向量的运算
已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体.
(1)化简
12'23
AA BC AB ++
(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的
3
4
分点,设'MN AB AD AA αβγ=++
,试求α,β,γ的值.
解 (1)方法一 取AA ′的中点为E,则
1
''
2
AA EA =
又'',BC A D ='',AB D C =取F 为D ′C ′的一个三等分点(D ′F=
2
3
D ′C ′),
则D ′F =23
AB
∴
1
2
'AA +BC +
2
3
AB ='EA +
''A D +'D F =EF
方法二 取AB 的三等分点P 使得2
3
PB AB =, 取CC ′的中点Q,则 12 'AA +BC +23AB =122
'3
CC BC AB ++=
CQ BC PB ++=,PB BC CQ PQ ++=
(2) 13
'24
MN MB BN DB BC =+=+
= 13
()(')24DA AB BC CC +++ = 13()(')24AD AB AD AA -+++=113
'244
AB AD AA ++ ∴α＝12，β＝14，γ＝34
.
【反思感悟】 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，
遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．
如图所示,平行六面体A 1B 1C 1D 1- ABCD ，
M 分AC 成的比为12，N 分A 1D →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB ＝ a ，AD →
＝b ，
AA 1→
＝c ，试用a 、b 、c 表示MN ，
解 111112
33
MN MA AA A N CA AA A D =++=++ = 1112
()33
AC AA A A AD -
+++ ＝－13(a ＋b )＋c ＋2
3(－c ＋b )
＝－13a ＋13b ＋13
c
知识点二 共线问题
设空间四点O ，A ，B ，P 满足,OP mOA nOB =+其中m+n=1，则（ ） A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上
C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上
D. AB 与AP →与AP →
的方向一定相同 答案 A
解析 已知m+n=1，则1,m n =- (1)OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+
()OP OA n OB OA ?-=-AP nAB
?=因
AB
≠ 0 .所以
AP 和AB
共线，即点A ，P ，B 共线，故选
A
.
【反思感悟】（1）考察点P 是否在直线AB 上，只需考察AP 与AB 是否共线；
（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明
AP 与AB 是否共线.
已知A 、B 、P 三点共线，O 为空间任意一点，OP OA OB αβ=+
求α+β的值.
解 ∵A 、B 、P 三点共线，由共线向量知，
存在实数t ，使AP = t AB
由AP = OP -OA ，AB = OB -OA
代入得：
(1)OP t OA tOB =-+；
又由已知OP OA OB αβ=+，∴α＝1－t ，β＝t ，∴α＋β＝1. 知识点三 共面问题
已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)由已知得EF 綊HG ，
∴,
EG EF FG FG HG =+=+
∵FG ,HG 不共线，
∴
,,,EG FG HG 共面且有公共点G ，
∴E ，F ，G ，H 四点共面.
（2）BD BF FG GD EF EB EG =++=-+EF HD HG -+- ()EG AH AE HG EG EH HG =+--=+- 22EG EG GH GH EG GH =+++=+
∵
EG 与GH 不共线，
∴BD →，EG →，GH →
共面．
由于BD 不在平面EFGH 内，所以BD ∥平面EFGH .
【反思感悟】 利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
用向量法证明：空间四边形ABCD 的四边中点M ，N ，P ，Q 共面．
证明 △AMQ 中,MQ MA AQ =+
=
11
()22
BA AD BD +=
△ CNP 中, NP NC CP =+ =
11
()22
BC CD BD +=
所以MQ NP =,所以M,N,P,Q 四点共面.
课堂小结：
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a ，b 共线时，表示a ，b 的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a ∥b 时，也具有同样的意义．
(2)“共线”这个概念具有自反性a ∥a ，也具有对称性，即若a ∥b ，则b ∥a .
(3)如果应用上述结论判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．
AB ＝λBC →或AB ＝μAC →即可．也可用“对空间任意一点O ，有OB →＝tOA →＋(1－t )OC →
”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
MP ＝xMA →＋yMB →
.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知
共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在
有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
课时作业
一、选择题
1．下列命题中是真命题的是( )
A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量
,AB CD 满足 | AB |>| CD |，且AB 与 CD 同向，则AB >CD
D. 若两个非零向量 AB 与CD 满足AB + CD = 0，则AB ∥CD →
答案 D
解析 A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．
C 错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB >C
D →
这种写法．
D ．对.∵
AB + CD = 0 ,∴AB = CD -，
∴AB 与CD 共线，故AB ∥CD ，正确.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )
A ．A
B +＋B
C →＝AC →
B ．AB －B
C →＝AC →
C ．AB ＝BC →
D ．|AB |＝|BC →
| 答案 C
3．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )
A ．OM ＝2OA →－O
B →－O
C →
B ．OM ＝15OA →＋13OB →＋12O
C →
C ．MA ＋MB →＋MC →
＝0
D ．OM ＋OA →＋OB →＋OC →
＝0 答案 C
解析 若有MA ＝ xMB → ＋ yMC →，则M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC
→
且x ＋y ＋z ＝1，则M 与点A 、B 、C 共面，A 、B 、D 三项不满足x ＋y ＋z ＝1，C 项满足MA →
＝xMB →＋yMC →
，故选C.
4．已知向量a 与b 不共线，则a ，b ，c 共面是存在两个非零常数λ，μ使c ＝λa ＋μb 的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 验证必要性时，当a ，b ，c 共面且a ∥c (或b ∥c )时不能成立，不能使λ，μ都非零．
5. 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量 1111,,D A D C A C 是（ ）
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量
D ．不共面向量 答案 C
解析 如图所示，因为
11,D C D A AC -=而
11AC A C =,
∴ 1111D C D A A C -=，即
1111DC D A AC =+,而
1D A 与 11A C 不共线，
所以1D C ，1D A ，11A C 三向量共面.
二、填空题
6．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP ＝2OA →＋OB →
＋λOC →
，则λ＝________.
答案 －2
解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．
7．三个向量x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．
答案 共面
解析 因x a －y b ，y b －z c ，z c －x a 也是三个向量，且有z c －x a ＝－(y b －z c )－(x a －y b )所以三向量共面．
8. 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若
AC = a ,B BD = b , 则 AF 等于 ________．
答案 23a ＋13b
三、解答题 9 如图所示，E ，F ，G ，H 分别为正方体ABCD —A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．
求证：(1)E ，F ，D ，B 四点共面；
(2)平面AEF ∥平面BDHG .
证明 （1）∵ 11ED EB BD EB B D =+=+,
∴,,ED EB EF 共面且具有公共点E ， ∴E ，F ，D ，B 四点共面.
(2)∵E ，F ，G ，H 分别是A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，D 1C 1的中点，
EF ＝12B 1D 1→
＝GH →
，
11AF AA A F =+ ＝ BB 1→
＋B 1G →
＝BG →
，
∴EF ∥GH ，AF ∥BG ，∴EF ∥平面BDHG ，AF ∥平面BDHG ，又AF ∩EF ＝F ，∴平面AEF ∥平面BDHG . 10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．
证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，
EF EA AD DF =++ ,
EF ＝EB →＋BC →＋CF →
①
又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有
EA ＝ －EB → ，DF →＝－CF →
， ② 将②代入①后，
两式相加得2EA ＝ AD →＋BC →， ∴11
22
EF AD BC =
+ ， 即 EB →与BC →，AD →
共面， ∴EF 与AD ， BC 平行于同一平面．
空间向量的加减数乘运算练习题集
课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面
C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．
3.1.2 空间向量的数乘运算(一) 教案(人教A版选修2-1)
第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一） 教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌 握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程： 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共 线定理， 二、新课讲授 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其 中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 O P O A t =+ a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t = a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP O P O A =- ， ∴ O P O A t -= a ， O P O A t =+ a ． ①
3.1.2空间向量的数乘运算教案-新人教版选修1-1
§3.1.2空间向量的数乘运算 【学情分析】： 本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间 这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算 （2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 （3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题 【教学重点】： 空间向量的数乘运算及运算律 【教学难点】： 用向量解决立几问题 【教学过程设计】： 、空间向量的数乘运算 （ 平面向量进行比较学习， 类似于平面向量共线，对空间任意两个向量
CD 、略解的向量。 分别是空间四边形ABCD的边AB、 的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、
练习与测试： （基础题） 1． 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++ ； AD （2）1()2AB BD BC ++ ； AG （3）1()2 AG AB AC -+ ．MG （中等题） 2、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则（ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ．-+- B C D M G A
空间向量的加减数乘运算练习题集
3. A 、B 、C 不共线，对空间任意一点 0,若 OP = ；O A + 1 OB+ 8OC 则P 、A 、B 、C 四点（ ） B .共面 AB = — a — 2b , ??? BD = — 2BA,??? BD 与 BA 共线， 又它们经过同一点B , ? A 、 B 、D 三点共线. 【答案】 A 课时作业（十四） ［学业水平层次］ 一、选择题 1.对于空间中任意三个向量 a , b,2a — b ,它们一定是（ ） A .共面向量 B .共线向量 C .不共面向量 D .既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案 A. 【答案】 A 2.已知向量 a 、b ,且AB= a +2b , BC = — 5a + 6b , CD= 7a — 2b , 则一定共线的三点是（ A . A 、B 、 B . A 、B 、C C . B 、C 、 D . A 、C 、D 【解析】 BD = BC + CD = — 5a + 6b + 7a — 2b = 2a + 4b , BA =—
C .不一定共面 D .无法判断 ???点P 、A 、B C 四点共面. 【答案】 B 4. （2014莱州高二期末）在平行六面体ABCDA i B i C i D i 中，用向量 AB, AD, AA i 表示向量BD i 的结果为（ ） 图 3-1-9 =AB — AD + AA i =AD +AA i — AB =AB + AD — AA i =AB + AD + AA i 【解析】 BD i = BA + AA i + A i D i = — AB+ AA i + AD.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 5. 如图3-i-i0,已知空间四边形ABCD 中，AB = a — 2c, CD = 5a + 6b — 8c,对角线AC, BD 的中点分别为E 、F ,则EF = ____________ 用向 量a , b , c 表示）. 1 8 + 1 8 +
《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）； ⑵ ()() 63a b c a b c -+--+-r r r r r r . 复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共线 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r () 3CD a b =-u u u r r r ，求证: A,B,C 三点共线. 反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r ，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .
3.1.1空间向量及其运算
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
《空间向量的数乘运算》教学设计
教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用． 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；
2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解． 教学过程 引入新课 提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律． 活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来． 活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！ 探究新知 提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？ 活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发
高中数学选修2-1 同步练习 专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)
第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BC D ．1CB 2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+- D ．22OP OA OB OC =+- 3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OB D ．OC 4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD = A ．21 33+b c B ．5 233-c b C ． 2133 -b c D ．123 3 + b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1 ()2 AB BD BC + +=
A ．BC B ．CG C ． 1 2 BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是 与 的交点,若 ,则 下列向量中与 相等的向量是 A ．11 22 -++a b c B ． 11 22++a b c C ． 11 22 -+a b c D ．11 22 - -+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量， ， 是 A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则 1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；
空间向量的数乘运算(一)
3.1.2空间向量的数乘运算（一） ------共线向量和共面向量 雷店高中 佘佳 【教学目标】 知识目标：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式． 能力目标：培养学生的空间想象能力； 培养学生的类比思想、转化思想； 培养学生探讨、研讨、综合自学应用能力； 培养学生空间向量的应用意识。 【教学重点】：共线、共面定理及其应用． 【教学难点】：共面定理的证明及应用 【教学方法】：问题探究式，启发引导式。 【课时安排】：一课时 【教学过程】： 一、引入新课 提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。 二 、新课讲解 思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？ 利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。 思考：1.空间中任意两个向量共面吗？ 2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？ 3.空间中三点共线上的充要条件是什么? （1）．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向 量。读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠ 的充要条件是存在实数λ，使a b λ= （λ唯一）． 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对空间任一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t OA OP += ①， 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。 在l 上取A B a = ，则①式可化为O P O A t A B =+ 或(1)O P t O A t O B =-+ ② a l P B A
数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
《空间向量的数乘运算》教案
第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二） 教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程： 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理， 二、新课讲授 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面： ①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。 ②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ， ∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-， ∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a ． ①
空间向量的加减及数乘运算
第三章 空间向量 3、1、1空间向量及其加减运算 基础性练习： 1、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A c CC b CB a CA 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．c b a ++- D ．c b a -+- 2、给出以下命题： （1） 两个空间向量相等，则它们得起点相同，终点也相同； （2） 若空间向量、 =,则= （3） 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC =； （4） 若空间向量满足===则,； （5） 空间中任意两个向量必相等。 其中不正确得命题得个数就是（ ） A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算得结果为向量1AC 得共有（ ） ①1)(CC BC AB ++； ②11111)(C D D A AA ++ ③111)(C B BB ++ ④11111)(C B B A AA ++ A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 4、化简：（-）－（-）= 。 巩固性练习： 5、下列说法正确得就是（ ） A 、若||||=，则、得长度相同，方向相反； B 、||||，=则是向量若向量； C 、空间向量得减法满足结合律； D 、在四边形ABCD 中，一定有=+ 6、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量相等得向量共有（ ） A 、1 个 B 、 2 个 C 、3 个 D 、4个 7、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量DD +-1化简后得结果就是（ ） A 、1BD B 、D 1 C 、B 1 D 、1DB 8、空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上得中点，则+++= ； 9、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别就是BC 、CD 得中点，则)(2 1BC BD AB ++=
空间向量的数乘运算说课
《空间向量的数乘运算》说课 宾县第二中学高二数学组 一、教材分析 1、教学内容：空间向量的数乘运算是人教版选修2-1第三章第二节课。是在学习平面向量的基础上运用类比是思想方法推广到空间向量。数乘运算以及分配律和结合律，进而分别给出空间向量的共线及共面的定义，进一步研究了空间向量共线和共面的问题。本节课的主要内容是空间向量的数乘运算，以及共线共面的定理及其推论，并运用它们证明空间向量的共线和共面问题。 2、地位和作用 空间向量的引入除了在平面几何、立体几何中产生较大的影响外，对于中学教材的其它章节来讲，有着不同程度的影响，如在三角函数，解析几何中应用，可以改善其教材结构，优化解题方法；又如在物理学和力学中也有许多应用。对一些高考创新题也常围绕向量和其他章节的知识交汇点命题。 二、教材目标的确定 1、教情、学情分析：高一“平面向量”的学习是学习空间向量的前提。高二年级学生的身心发展的鼎盛时期，思维活跃，善于探索，所以他们对于向量从平面到空间的推广不难接受。 2、教学目标 （1）经历由平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算。类比平面中的共线的定义推广空间中共线向量的充要条件和共面向量的充要条件； （2）认识到事物是不断发展变化的，会用联系的观点看待问题 3、教学重、难点 教学重点：空间向量的共线、共面问题 教学难点：空间向量的四点共面问题 三、教法与学法 教法分析： 启发式提问类比式探索点拨式讲解 学法指导：自主探索观察发现类比猜想 教学手段的运用： 四、教学过程的设计 教学流程设计 自主回顾，夯实基础Ppt展示实物空间向量，理解空间向量的数乘运算、运算律理解共线向量的定理推广共面向量定理应用感悟归纳练习巩固，点拨讲解反馈评价课堂小结，布置作业 1、自主回顾，夯实基础 方式：由学生自主回顾平面向量数量积及共线向量的有关知识，激发学生的兴趣，尽快熟悉空间向量的有关内容。 问题：知道的平面向量的运算律有哪些？（加、减、及数乘运算） 意图：有效的学习应以学生已有的知识为基础，平面向量是空间向量的基础，学生学习的时间较长，必要的复习很重要。 2、Ppt展示实物空间向量，体会空间向量的必要性 意图：由多媒体展开并引导学生理解、归纳空间向量的数乘运算律，归纳共线、共面向量的充要条件。
§3.1.2 空间向量的数乘运算
第二课时： §3.1.2 空间向量的数乘运算（二） 教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程： 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理， 二、新课讲授 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝ a ，其中 是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数 ，使b ＝ a （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的 和a ，b ＝ a 表示空间与a 平行或共线，长度为 | a |，当 >0时与a 同向，当 <0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t u u u r u u u r a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. ∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t u u u r a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA u u u r u u u r u u u r ， ∴ OP OA t u u u r u u u r a ， OP OA t u u u r u u u r a ． ① 若在l 上取AB u u u r a ，则有OP OA t AB u u u r u u u r u u u r ．(**) 又∵ AB OB OA u u u r u u u r u u u r ∴ ()OP OA t OB OA u u u r u u u r u u u r u u u r (1)t OA tOB u u u r u u u r ．② 当12t 时，1()2OP OA OB u u u r u u u r u u u r ．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式． ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同， 是平面向量相关知识的推广． 4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？） 5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 O A B C D
空间向量及其运算教学设计
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难） 教学策略： 多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究 教学设计： 1.教学结构设计
空间向量及其加减运算,空间向量的数乘运算
空间向量及其加减运算，空间向量的数乘运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c - ++ B ．11 22 a b c ++ C ． 1122a b c -+ D ．11 22 a b c --+ 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 3．在直三棱柱11ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B =（ ） A ．a b c +- B ．a b c -+ C ．a b c -++ D ．a b c -+- 4．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则 PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）
A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0 5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =， PB b =，PC c =，则BE =（ ） A. 111222a b c -+ B.111222a b c -- C. 131222a b c -+ D.113222 a b c -+ 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（ ） A ．111633OG OA O B O C = ++ B ．112 633 OG OA OB OC =++ C ．2233OG OA OB OC =+ + D ．122 233 OG OA OB OC =++ 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311 488 OP OA OB OC = ++， 则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面 B ．共面 C ．共线 D ．不共线 8．设12342,32,23,325a m j k a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-=++（其中 ,,m j k 是两两垂直的单位向量），若4123a a a a λμν=++，则实数,,λμν的值分别是 （ ） A ．1,2,3-- B ．2,1,3-- C ．2,1,3- D ．1,2,3-
3.1.2 空间向量的数乘运算(二) 教案(人教A版选修2-1)
第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（二） 教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题． 教学重点：点在已知平面内的充要条件． 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学过程： 一、复习引入 1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式． 2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、新课讲授 1. 定义：如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a 平行于平面α，记作a //α． 向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． 2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平 面内的，但可以平移到同一平面内． 3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明． 结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形 ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量． 4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 5. 得出共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共 面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． 证明：必要性：由已知，两个向量a 、b 不共线． ∵ 向量p 与向量a 、b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ． 充分性：如图，∵ x a ，y b 分别与a 、b 共线， ∴ x a ，y b 都在a 、b 确定的平面内． 又∵ x a+y b 是以｜x a ｜、｜y b ｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内， ∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内，即向量p 与向量a 、b 共面．
空间向量的数乘运算
《空间向量的数乘运算》导学案 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点难点 重点：掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简 难点：理解共面向量定理及它们的推论 一、类比发现： 1：空间向量的数乘运算： （1）实数λ与向量的积是一个量，记作，其方向和长度规定如下： (1)当λ＞0时，λ与； 当λ＜0时，λ与； 当λ＝0时，λ＝. (2)|λ|＝. （2）向量的数乘运算满足的运算律： 数乘分配律：λ(＋)＝____ _____ 数乘的结合律：_______________ 二、学习探究 2：空间共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量或平行向量【检测】判断下列说法是否正确： （1）零向量与任一向量共线 （2）则 （3）3：空间两个向量共线定理：空间两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是 【提炼】若空间任意一点O和两点A,B满足关系式，且点P与A,B共线，则___________ 【检测】完成下列练习： 练习1．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点， OP → ＝ 1 3 OA → ＋βOB → ，则β＝________. 4：共面向量：同一平面的向量. 5：三个向量共面定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得 推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： ⑴存在，使 ⑵对空间任意一点O，有 【提炼】若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与A,B,C共面，则. 【检测】完成下列练习 练习1．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若 由OP→＝ 1 5 OA→＋ 2 3 OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则 λ＝________. 练习2：若P为AB中点, 则