反比例函数和三角函数应用辅导

图5

1．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图5所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为13② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 . ⑴ 求整修后背水坡面的面积；

⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

.2。如图6，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75，如果拖把的总长为

1.80m ，则小明拓宽了行路通道多少m ？

（结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26≈，cos150.97≈）

.3．如图7，某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处，问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？

75°15° 图6

北

东

60o 30o M

4．如图8，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里？（结果精确到1海里）

友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，

3 1.732≈．

5．如图9，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O 米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． (参考数据2≈1.4，3≈1.7)

6．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k

y x

=

的图象交于M N ，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．

C

Q

B

A

P

北

40

30

图8

图9

x

y

O

(2)M m ，

7．已知反比例函数)0(≠=

k x

k

y 和一次函数6--=x y ． （1）若一次函数和反比例函数的图象交于点()3m -，，求m 和k 的值； （2）当k 满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？

（3）当2k =-时，设（II ）中的两个函数图象的交点分别为A B ，，试判断此时A B ，两点分别在第几象限？AOB ∠是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

.8.已知双曲线x

y 3

=

和直线2y kx =+相交于点11()A x y ，和点22()B x y ，，且102

221=+x x .求k 的值.

.9.已知：如图3.2—1，动点P 在函数1

(0)2y x x

=

>的图象上运动，P M ⊥x 轴于点M ，P N ⊥y 轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线AB ：1y x =-+交于点E 、F ，则AF ·BE 的值是多少？

10.如图，已知双曲线(0)k

y x x

=

>经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k 是多少？

11.一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1?日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；?它的种植成本y 2与上市时间x 的关系可用图（b ）中的抛物线的一部分来表示．

（1）求出图（a ）中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式． （2）求出图（b ）中表示的种植成本y 2与上市时间x 的函数关系式．

（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）

C F E 图3.2—2B

A y

O x

图5

答案

1．分析：：本题是筑坝问题问题，只要搞清坡度的意义，将梯形的问题转化为解直角三角形的问题即可 解：作AE ⊥BC 于E . ∵ 原来的坡度是1∶0.75，∴

10.75AE EB =43

. 设AE =4k ，BE =3k ，∴ AB =5k ，又 ∵ AB =5米， ∴k =1，则AE =4米

设整修后的斜坡为AB ，由整修后坡度为13 有3

AE EB

，∴∠AB E =30°，

∴ 2AB AE

8米 . ∴ 整修后背水坡面面积为90×8=720米2 .

⑵ 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 . ·· 5分 解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：

第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元； 第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元 . ∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 .

解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，

∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 . 即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元 .

6．解析：该题综合考查反比例函数与一次函数表达式的确定、待定系数法，同时考查同学们从函数图象中获取信息的能力．

（1）将()14N --，代入k y x =

中，得4k =．所以反比例函数的解析式为4

y x =； 将()2M m ，代入解析式4

y x

=中，得2m =．

将()22M ，，()14N --，代入y ax b =+中，得224a b a b +=??

-+=-?

，解得22a a =??=-?， 所以一次函数的解析式为22y x =-．

（2）由图象可知：当1x <- 或02x <<时，反比例函数的值大于一次函数的值． 7．解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点()3m -，，

3(3) 6.k m m ?=?

-??=---?

，∴ 解得39m k =-??

=?，． 39m k =-=∴，．

（2）联立方程组(0)6k y k x

y x ?

=≠???=--?

，．有6k x x --=，即2

60x x k ++=．

要使两个函数的图象有两个不同的交点，方程062=++k x x 必须有两个不相等的实

数根．

224643640b ac k k -=-=->∴．

解得9k <，且0k ≠．∴当9k <且0k ≠时，这两个函数的图象有两个不同的交点． （3）当2-=k 时，2-在k 的可取值范围内，此时函数x

y 2

-

=的图象在第二、四象限内，从而它与6--=x y 的两个交点A B ，应分别在第二、四象限内，此时AOB ∠是钝角．

8．解：由??

?

??=+=x y kx y 3

2

得232230kx kx x x =++-=，． ∴12122

3x x x x k k

+=-=-

，． 故()2

2

2

121212246

210x x x x x x k k

+=+-=

+=． ∴2

5320k k --=．∴11k =或225k =-.

又2

4412b ac k -=+>0即13k >-，舍去225

k =-，故所求

k 的值为1.

9. 由点P 在函数1(0)2y x x =

>的图像上，所以1

2

xy =，即PM ·PN=1

2

，

由于直线AB ：1y x =-+的特殊性，可得∠OAB =∠OBA=450

，我

们就利用这一特性，得到：

,AF BE ==，

∴1

2212

AF BE PM PN ?=

=?=?=.

10.∵点E 、F 在双曲线(0)k

y x x

=>上，

∴xy k =，CE OC OA AF k ?=?=， ∴2OCE OAF k S S ??==

，∵F 为AB 边的中点，∴2

OBF OBE k S S ??==， ∵四边形OEBF 的面积为2，∴k =2.

11. （1）设y 1=mx+n ，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴0 5.150 2.1

n m n +=??

+=? 解得：m=-350，n=5.1， ∴y 1=-350

x+5.1（0≤x ≤50）． （2）又由题目已知条件可设y 2=a （x-25）2+2．因其图象过点（15，3），

∴3=a （15-25）2+2，∴a=

1100

， ∴y 2=1100x 2-12x+334

（或y=1100（x-25）2+2）（0≤x ≤50）

（3）第x 天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y 1-y 2=1

100

（x 2-44x+315（0≤x ≤55）．

依题意：y 1-y 2=0，即x 2-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x 1=9，x 2=25． 所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．