1994年全国高中数学联赛试题

1994年全国高中数学联赛试题

第 一 试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1、设a,b,c 是实数,那么对任何实数x, 不等式a x b x c sin cos .++>0都成立的充要

条件是

(A)a,b 同时为0,且c >0 (B)a b c 22+=

(C)a b c 22+< (D)a b c 22+>

2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c 都是复数，如果a b c 222+>,则

a b c 2220+->.(2).设a,b,c 都是复数，如果a b c 2220+->,则a b c 222+>.那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误

(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

3、已知数列{}a n 满足3411a a n n n ++=≥(),且a 19=,其前n 项之和为S n ,则满足不等式

||S n n --<61

125的最小整数n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

4、已知0104<<<

,则下列三数:x a b a =(sin )log sin ,y a b a =(cos )log cos ,

z a b a =(sin )log cos 的大小关系是

(A)x

5、在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

(A)(

,)n n -2ππ (B)(,)n n -1ππ (C)(,)02π (D)(,)n n n n --21ππ 6、在平面直角坐标系中,方程||||x y a x y b ++-=221(a,b 是不相等的两个正数)所代表

的曲线是

(A)三角形 (B)正方形

(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2)，若直线

l x my m :++=0与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是______.

2.已知x y a R ,[,],∈-∈ππ44且x x a y y y a 332040+-=++=???sin sin cos 则cos()x y +2=_____.

3.已知点集A x y x y =-+-≤{(,)|()()()}3452222,

B x y x y =-+->{(,)|()()()}4552222,则点集A B 中的整点(即横、纵坐标均为

整数的点)的个数为_____.

4.设0<<θπ,则sin (cos )θ

θ21+的最大值是______. 5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sin α=___

6.已知95个数a a a a 12395,,,, , 每个都只能取+1或-1两个值之一,那么它们的两两之积的和a a a a a a 12139495+++ 的最小值是___.