第八章第7讲空间向量在证明空间位置关系中的应用
第7讲 空间向量在证明空间位置关系中的应用
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的
法向量，则求法向量的方程组为?
????
n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.
(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量为v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0.
1．利用?
????
n ·
a ＝0n ·
b ＝0，列出关于n ＝(x ，y ，z )的方程组，即由x ，y ，z 为未知数的两个三
元一次方程组成的不定方程组，根据其特点令其中一个为非零实数．即可求出其它两个．例
如令z ＝z 0(z 0≠0)．可求出x ＝x 0，y ＝y 0，则法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)．
2．利用向量方法求解立体几何问题，最后将向量关系“翻译”成几何元素关系．
1．(选修2－1 P 118A 组T 7改编)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1，0,1)．若k a ＋b 与2a －b 垂直，则k 的值为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：选D.k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,1)＝(k －1，k,1)， 2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,1)＝(3,2，－1)， 因为k a ＋b 与2a －b 垂直． ∴(k －1，k,1)·(3,2，－1)＝0， 即3k －3＋2k －1＝0，
∴k ＝4
5，故选D.
2．(选修2－1 P 104练习T 2(3)改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不对 解析：选C.∵n 1≠λn 2，且n 1·n 2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直，故选C.
3．(选修2－1 P 104内文改编)已知直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量为u ，v ，有下列命题：
①若a ⊥u ，则l ∥α；②若a ∥b ，a ∥u 则m ⊥α； ③若u ∥v ，则α∥β；④若a ∥u ，u ⊥v ，则l ⊥β. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B.对于①，l 可能在平面α内，故①为假； 对于②，由a ∥b ，即l ∥m ，由a ∥u ， 则有l ⊥α，∴m ⊥α，故②为真；
对于③，由u ∥v ，则以u ，v 为法向量的两平面α，β平行． 即u ∥v ，且u ⊥α，v ⊥β， ∴α∥β，故③为真；
对于④，由a ∥u ，则l ⊥α，又由u ⊥v ， 则α⊥β，∴l ∥β或l ?β，故④为假， ∴②、③为真，故选B.
4．(选修2－1 P 107练习T 1改编)如图，F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E
是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )
A ．
B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EB
C ．B 1E ＝1
2
EB
D ．
E 与B 重合
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体棱长为2，则D (0,0,0)，
F (0,1,0)，D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，且设E (2,2，t )．则D 1F →＝(0,1，－2)，DE →
＝(2,2，t )．
由D 1F ⊥DE ，得(0,1，－2)·(2,2，t )＝0，即2－2t ＝0. ∴t ＝1，即E 为BB 1的中点，故选A.
5．(选修2－1 P 118A 组T 10改编)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别
是DD 1，BD ，AA 1的中点，求证D 1G ∥平面EFC .
证明：取基底{DA →，DC →，DD 1→}＝{a ，b ，c }，由题意有EC →＝ED →＋DC →
＝－12
c ＋b ，
EF →＝ED →＋DF →
＝－12c ＋12a ＋12
b .
GD 1→＝GA 1→＋A 1D 1→
＝－a ＋12
c ，
设GD 1→＝λEC →＋μEF →.
即(－a ＋12c )＝λ(－12c ＋b )＋μ(－12c ＋12a ＋1
2
b )，
∴?????
－1＝12
μ，
0＝λ＋1
2μ，
12＝－12λ－12μ.
解得λ＝1，μ＝－2.
即存在λ＝1，μ＝－2，使GD 1→＝EC →－2EF →
， 即GD 1→、EC →、EF →
共面．又GD 1?平面EFC . ∴GD 1∥平面EFC .
(提示：此题还有其他两种证明方法：①建立空间直角坐标系，求出EFC 的法向量n ，
证明n ⊥D 1G →
；②连接GB 与BD 1，证明平面GBD 1∥平面EFC .)
利用向量法证明平行问题
已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：
FC 1∥平面ADE .
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)． FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量， 则????? n ⊥DA →，n ⊥AE →，即?????
n ·
DA →＝2x ＝0，n ·
AE →＝2y ＋z ＝0，
解得????
?
x ＝0，z ＝－2y ，
令z ＝2，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n ＝－2＋2＝0.所以FC 1→⊥n .
因为FC 1?平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .
用向量证明线面平行的方法有：
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
1.如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别
是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .
求证：AB ∥GH .
证明：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两互相垂直．
以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，P (0，0,2)，Q (0，2,0)．
所以AB →
＝(－2,0,0)．
因为点D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以点G ，H 分别是△P AQ ，
△PBQ 的重心，所以G ????23，23，23，H ????0，23，23，所以GH →
＝???
?－23，0，0. 所以AB →＝3GH →，所以AB →∥GH →
，即AB ∥GH .
2.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .
证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直．
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，
D (0,2,0)，P (0,0,2)，
E (0,0,1)，
F (0,1,1)，
G (1,2,0)．
法一：EF →＝(0,1,0)，EG →
＝(1,2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????
n ·EF →＝0，n ·
EG →＝0，即?????
y ＝0，x ＋2y －z ＝0，
令z ＝1，则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量，
∵PB →＝(2,0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ?平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .
法二：PB →＝(2,0，－2)，FE →
＝(0，－1,0)， FG →
＝(1,1，－1)．
设PB →＝sFE →＋tFG →
，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴?????
t ＝2，t －s ＝0，
－t ＝－2，解得s ＝t
＝2.
∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →
不共线， ∴PB →，FE →与FG →
共面．
∵PB ?平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .
利用向量法证明垂直问题
如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC
＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．
求证：EF ⊥BC .
[证明] 法一：∵E 、F 分别是AC ，DC 的中点． ∴EF →＝12AD →＝12(BD →－BA →)．
又|AB →|＝|BC →|＝|BD →
|＝2， 〈BA →，BC →〉＝〈BD →，BC →
〉＝120°.
∴EF →·BC →＝12(BD →－BA →)·BC →＝12(BD →·BC →－BA →·BC →)＝12
(2×2×cos 120°－2×2×cos 120°)＝
0，∴EF →⊥BC →
.即EF ⊥BC .
法二：
由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直于BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，
D (3，－1,0)，C (0,2,0)，
因而E (0，12，32)，F (32，1
2，0)，
所以EF →
＝(32，0，－32)，BC →＝(0,2,0)，
因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .
用向量证明垂直的方法：
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
1.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .求证：BD ⊥平面AED .
证明：连接AC ，∵AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝120°.
又CD ＝CB ＝AD ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝30°，∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设BC ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，A (3，0,0)，D ??
??
32
，－12，0，
F (0,0,1)，
因此BD →＝????32，－32，0，AD →＝????－32
，－12，0，∴BD →·AD →
＝0，∴BD ⊥AD ，又AE ⊥
BD ，
且AE ∩AD ＝A ，
AE ，AD ?平面AED ，∴BD ⊥平面AED . 2.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠
B ＝∠
C ＝90°，AB ＝4，C
D ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．
(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .
证明：(1)以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图(1)所示的空间直角坐标系C -xyz ，
图(1)
∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°. ∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.
∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，
M (32，0，32
)，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →
＝(23，3,0)， CM →
＝(32，0，32
)，
令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，
则?????
DP →·n ＝0，DA →·
n ＝0，即???
－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，
∴???
z ＝12
y ，x ＝－3
2
y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．
∵n ·CM →
＝－3×32＋2×0＋1×32
＝0，
∴n ⊥CM →
，又CM ?平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .
(2)如图(2)，取AP 的中点E ，
图(2)
则E (3，2,1)，BE →
＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .
又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →
，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ?平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .
立体几何中的探索性问题
如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，
P 为侧棱SD 上的点．
(1)求证：AC ⊥SD ；
(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．
[解] (1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .
连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .
以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →
分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设底面边长为a ，则高SO ＝6
2
a ，
于是S ????0，0，62a ，D ???
?－2
2a ，0，0，
B ????22a ，0，0，
C ???
?0，2
2a ，0，
OC →
＝????0，22a ，0，
SD →
＝????－22
a ，0，－62a ，
则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD . 从而AC ⊥SD .
(2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 理由如下：
由已知条件知DS →
是平面P AC 的一个法向量，
且DS →
＝????22a ，0，62a ，
CS →
＝?
???0，－22a ，62a ，
BC →
＝???
?－22a ，22a ，0.
设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →
＝????－22
a ，22a (1－t )，6
2at ，
由BE →·DS →
＝0?t ＝13
.
即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →
.
又BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .
对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标 ，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．
1.(2016·武汉调研)如图，棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .
(1)求证：BD ⊥AA 1；
(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．
解： (1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，
∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2
＝AA 21＋AO 2
－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，
∴A 1O ⊥AO .
由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .
以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，
C (0,1,0)，
D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．
由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→
＝(0,1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→
，即BD ⊥AA 1.
(2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →
＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．
从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →
＝(－3，1＋λ，3λ)．
设n 3⊥平面DA 1C 1，则?????
n 3⊥A 1C 1→，
n 3⊥DA 1→，
又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→
＝(3，0，3)，
设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，???
2y 3＝0，
3x 3＋3z 3＝0，
取n 3＝(1,0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1，
则n 3⊥BP →，即n 3·BP →
＝－3－3λ＝0，
得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP . 2.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB
＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．
(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1.
(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值．
解：(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．
图(1)
∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k . 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .
又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .
∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .
又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.
(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→
的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间
直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→
＝(0,3k,1)，AA 1→
＝(0,0,1)．
图(2) 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由?????
AC →·n ＝0，AB 1→·
n ＝0，得?????
－4kx ＋6ky ＝0，
3ky ＋z ＝0.
取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．
设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈AA 1→
，n 〉|＝??????AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.
1．(选修2－1 P 117A 组T 3改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，
M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →
，且AB 1⊥MN ，求λ的值．
解：如图所示，取B 1C 1中点P ，以MC →，MA →，MP →
的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
∵底面边长为1，侧棱长为2，则A (0，32，0)，B 1(－12，0,2)，C (12，0,0)，C 1(1
2
，0,2)，
M (0,0,0)，设N (1
2
，0，t )，
∵C 1N →＝λNC →
，∴N (12，0，21＋λ
)，
∴AB 1→
＝(－12，－32，2)，
MN →
＝(12，0，21＋λ
)．
又∵AB 1⊥MN ，∴AB 1→·MN →
＝0.
∴－14＋41＋λ
＝0，∴λ＝15.
2. (选修2－1 P 113B 组T 2改编)如图，四边形ABEF 与ABCD 是两个全等的正方形，且平面ABEF 与平面ABCD 互相垂直，M 、N 分别是AC 与BF 上的点，且CM ＝BN .
(1)求证MN ⊥AB ； (2)求证MN ∥平面CBE .
证明：(1)设正方形的边长为1.CM →＝λCA →，则BN →＝λBF →
.
取一组向量的基底为{BA →，BE →，BC →
}，记为{a ，b ，c }． 则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴MN →＝MC →＋CB →＋BN →＝－λCA →＋CB →＋λBF → ＝－λ(a －c )－c ＋λ(a ＋b )＝λb ＋(λ－1)c ， ∴MN →·BA →＝[λb ＋(λ－1)c ]·a ＝λ(b ·a )＋(λ－1)(c ·a ) ＝λ×0＋(λ－1)×0＝0. ∴MN →⊥BA →
，即MN ⊥AB . (2)法一：由(1)知MN ⊥AB .
又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，BE ∩BC ＝B . ∴AB ⊥平面CBE . 又MN ?平面CBE . ∴MN ∥平面CBE .
法二：由(1)知，MN →
＝λb ＋(λ－1)c
＝λBE →＋(λ－1)BC →. ∴MN →
与平面CBE 共面． 又MN ?平面CBE . ∴MN ∥平面CBE .
3．(选修2－1 P 119B 组T 2改编)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E
为CD 的中点．
(1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，
E ????a 2，1，0，B 1(a ，0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝????－a 2，1，－1，AB 1→
＝(a,0,1)， AE →＝????a 2，1，0.
因为B 1E →·AD 1→
＝－a 2
×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B 1E ⊥AD 1.
(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，
使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →
＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． 因为n ⊥平面B 1AE ，
所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →
，得?????
ax ＋z ＝0，ax 2
＋y ＝0.
取x ＝1，则y ＝－a
2
，z ＝－a ，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝????1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →
，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12
.
又DP ?平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时|AP |＝1
2
.
一、选择题
1．在空间四点O ，A ，B ，C 中，若OA → ， OB →，OC
→是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )
A ．O ，A ，
B ，
C 四点不共线
B ．O ，A ，B ，
C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面
D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线
[导学号03350667] 解析：选B.选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则向量OA →
，OB →，OC →共面，构不成基底；选项B 是错误命题，若四点共面，则OA →，OB →，OC →
共面．构不
成基底；选项C 是正确的，若四点共面，则OA →，OB →，OC →
构不成基底；选项D 是正确的，
若有三点共线，则这四点共面，向量OA →，OB →，OC →
构不成基底．
2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和侧面DCC 1D 1的中心，若
EF →＋λA 1D →
＝0(λ∈R )，则λ的值为( )
A ．－1 B.1
2
C ．1
D ．－1
2
[导学号03350668] 解析：选D.如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，
易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →
＝0，∴λ＝－12
，故选D.
3．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 上的点，
A 1M ＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
[导学号03350669] 解析：选B.∵正方体的棱长为a ，A 1M ＝AN ＝
2a 3，∴MB →＝23
A 1
B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋B
C →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →
＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋13B 1C 1→，又CD →是平面B 1BCC 1的一个法向量，且MN →·CD →＝????23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0，
∴MN →⊥CD →，
∴MN ∥平面B 1BCC 1，故选B.
4．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
[导学号03350670] 解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →
. 则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →
，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；
反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理， 设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →
＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →
，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.
故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件，故选B. 5.如图，已知边长为6的正方形ABCD 和正方形ADEF 所在平面互相垂直，O 是BE 的中点，FM →＝12
MA →
，则线段OM 的长为( )
A ．3 2 B.19 C ．2 5 D.21
[导学号03350671] 解析：选B.由题意可建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系(图略)，则E (0,0,6)，B (6,6,0)，M (6,0,4)，O (3,3,3)，
所以|OM →
|＝(6－3)2＋(0－3)2＋(4－3)2＝19，即线段OM 的长为19，故选B.
6．如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )
A ．1∶2
B ．1∶1
C ．3∶1
D ．2∶1
[导学号03350672] 解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1,0,0)，
E ????12，1，0，P (0,0，a )． 设点
F 的坐标为(0，y,0)， 则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝(1
2
，1，－a )，
∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →
＝0，
解得y ＝1
2
，即点F 的坐标为????0，12，0， ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1，故选B. 二、填空题
7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →
⊥平
面ABC ，则BP →
＝________.
[导学号03350673] 解析：∵AB →⊥BC →
， ∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →
⊥平面ABC ，
∴?????
BP →·AB →＝0BP →·
BC →＝0，即?????
x －1＋5y ＋6＝03x －3＋y －12＝0，
解得???
x ＝40
7
y ＝－15
7
，故BP →
＝???
?337，－157，－3. 答案：???
?337，－15
7，－3 8．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP
→
＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →
∥BD →
.其中正确结论的序号是________．
[导学号03350674] 解析：由于AB →·AP →
＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③
9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23
VB →
，
VN →＝23
VD →.
则VA 与平面PMN 的关系是________．
[导学号03350675] 解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →
＝a ＋c －b ，
由题意知PM →＝23b －1
3
c ，
PN →＝23VD →－13VC →
＝23a －23b ＋13
c . 因此VA →＝32PM →＋32
PN →，∴VA →，PM →，PN →
共面．
又∵VA ?平面PMN ，∴VA ∥平面PMN . 答案：平行
三、解答题
10.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝
∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．证明：CD ⊥平面P AE .
[导学号03350676]
证明：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，
h )．则CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →
＝(0,0，h )．
∵CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，∴CD ⊥AE ，CD ⊥AP . 又AP ?平面P AE .AE ?平面P AE ，AP ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面P AE .
11.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1
2
PD .证明：
平面PQC ⊥平面DCQ .
[导学号03350677] 证明：如图，以D 为坐标原点，线段DA ，DP ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .
设DA ＝1，则有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)， DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →
＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，
又DQ ∩DC ＝D ，故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ ?平面PQC ，
∴平面PQC ⊥平面DCQ .
12．如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．
(1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向向量；
(2)若∠PDA ＝45°，求证MN →
为平面PCD 的一个法向量．
[导学号03350678] 解：(1)如图，取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，
因为N 是PC 的中点，所以NE ∥DC ，NE ＝1
2
DC .
又DC ∥AB ，DC ＝AB ，
AM ＝12AB ，所以AM 綊1
2
CD ，所以NE 綊AM .
所以四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE .所以AE →为直线MN 的一个以A 为起点的方向向量．
(2)证明：在Rt △P AD 中，∠PDA ＝45°，所以AP ＝AD ，所以AE ⊥PD ，又因为MN ∥AE ，所以MN ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AE ?平面P AD ，所以CD ⊥AE .
又因为MN ∥AE ，所以CD ⊥MN ，又因为CD ∩PD ＝D ，所以MN ⊥平面PCD .
所以MN →
为平面PCD 的一个法向量．
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
空间位置关系的判断与证明
. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》 空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。 （1）求证：EF⊥CD； （2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
最新空间位置关系的判断与证明
空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的 点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明
*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =
空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版
题型一 平面的基本性质 【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件． 【例2】 判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面． 【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个 【例4】 下列推理错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】 已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 共线问题 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析 板块一.对平面的进一步认识
空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
利用空间向量证明空间位置关系
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为 简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
空间位置关系与距离专题
1 C _ A _ B _ M _ D _ E O _ C 空间位置关系与距离专题 【考题回放】 1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中 点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别 是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则 四棱锥B —APQC 的体积为（ ） A ．16 B ．14 C ．13V D ．12 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列 四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥ ③若βαβα//,//,,则n m n m ? ?； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??， 其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线' BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD ' 有可能垂直于平面D BB ' 以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号） 6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【考点透视】 判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 1． 转化思想： ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
高考数学命题角度4_3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理
命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解 1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=?． （1）求证： 1AB B C ⊥； （2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值． 【答案】(1)见解析；（2） 21 7 . 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值. （2）∵1ABB ?为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，
∵在ABC ?中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点， ∴1OC = ， ∵12B C =， 13OB =，∴222 11OB OC B C +=， ∴1OB OC ⊥， 又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ． 以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ()1,0,0A -， () 10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ， 则() 1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3 C -， ()1 1,0,3AB =， () 10,1,3AC =， 则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =， 设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130, {30, n AB x z n AC y z ?=+=?=+=令1z =-，∴3x y ==， ∴( ) 3,3,1n = -， ∴21 cos ,7m n m n m n ?= =?． 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
空间向量在几何证明题解法
空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC,E 、F 分别是AB 、PB 的中点。 （1）求证：EF ⊥CD ； （2）证明：PA// 平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ， ⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且1 2 PA AD DC ===， 1AB =，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。 F E D C B A P
16．（本题满分14分）求ax 2 +2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件。 6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于121 0x x a = ??0＜a ≤1 综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1 由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根 故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2 +2x+1=0至少有一负根的充分条件 所以ax 2 +2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移 （1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为 4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ， )1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则???? ?=?=?, 0, 01AD n AC n 也即???=+-=+-002c a b a ，得? ??==c a b a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为 .3 1 3212| |||1=-+= ?= n n E D h
空间中直线间的位置关系
翔宇教育集团课时设计纸 总课题：7.1直线的倾斜角和斜率 总课时2 第2课时 主备人：杨玉叶 课题： 直线的倾斜角和斜率（二） 课型：新授课 教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。 （2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。 （3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。 教学重点： 过两点的直线的斜率公式。 教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。 教学过程： 一 复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的 条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？ 先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？ 二 讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关； （2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。 （4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量 直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？ （2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。
利用空间向量证明空间中的位置关系-新人教B版高考数学一轮总复习测试
核心素养测评四十三利用空间向量证明空间中的位置关系 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,1,1), 则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α或l∥α D.l与α斜交 【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1), 所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α. 2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 ( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 【解析】选 A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2. 3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.
以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.=+=+,=+=+,所以∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确. 5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( ) A.B1E=EB B.B1E=2EB C.B1E=EB D.E与B重合 【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2), 设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为·=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________. 【解析】=1,-3,-,=-2,-1,-, a·=0,a·=0,x∶y∶z