数学系毕业论文3
例谈构造法的应用
摘要：
关键词：
1 背景
构造法是一种极其重要的数学思想方法，同时也是一种古老而又年轻的思想方法。《普通高中课程标准》（实验）和《考试大纲》要求不但要掌握基础知识和基本技能，还进一步要求掌握数学解题思想方法，而构造法作为一种重要的数学解题思想方法，在中学数学中扮演着重要的角色，每年高考中都有所体现。以下表格是2010年全国高考部分省市及全国卷中采用构造法解决的题目的分布情况：
全国卷I 全国卷II 湖北卷重庆卷安徽卷
构造函数20题 12分
占8% 22题 12分
占8%
21题 14分
占9.33%
17题 12分
占8%
构造数列22题 12分
占8% 20题 13分
占8.67%
21题 12分
占8%
历史上许多著名的数学家，如：欧几里得（Euclid）、欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、康托（Cantor）等人，都曾用此法成功地解决过数学中的难题，促进了数学的发展，并且至今构造法仍然在数学教学、数学解题及科学研究中起着举足轻重的作用。例如欧几里得在《几何原本》中对命题“奇数的个数有无限个”的证明，欧拉在解决著名的“七桥问题”时，都用到了构造思想方法。
直觉派的先驱者克隆尼克，第二个强有力的倡导者是彭加勒，近代构造法的系统创立者布劳威，这一学派中的主要人物海丁和魏尔，他们认为传统数学缺乏构造性，应创立具有构造性的“直觉数学”。这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可容许证明方法的类的“严格有穷主义”的理论。由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”阶段。1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。
总之，构造法作为一种基本思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，
从而简化所要解决的问题。然而，用此方法解题并不容易，因为没有固定的模式和程序，而且非常灵活，被构造的对象也是多种多样的，所以学生要灵活掌握这种方法解题是有一定困难的。但从大量题型中，可以总结出：在用构造法解题时，首先要明确构造的目的，其次要仔细观察题目自身的特点，以便根据其特点确定最佳方案，实现构造。
构造法有同一知识内容范围内的构造和不同知识范围之间的构造，并且可以构造出多种多样的数学对象，比如有“构造函数”、“构造方程”、“构造数列”、“构造向量”、“构造不等式”、“构造几何图形”、“构造数学模型”等，在全国数学高考中，常见的构造有“构造函数”、“构造方程”、“构造数列”、“构造向量”、而“构造函数”、“构造数列”在高考中使用最为广泛。本文从“构造函数”和“构造数列”同一知识内容范围内的常见构造出发浅谈构造法在高考中的应用。 2 构造法应用的具体实例 2.1 构造函数
在求解某些数学问题时，可以根据问题自身的条件，构造出新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用新函数自身的特性来解决问题是一种行之有效的解题方法。 2.1.1 直接构造法
直接构造函数常常用于证明不等式恒成立问题，如证明：()()x g x f ≥ （()()x g x f ≤），移项有()()()()0(0≤-≥-x g x f x g x f ，构造函数
()()()x g x f x h -=，再对()x h 求导，利用导数相关性质，将()x h 与0进行比较，从而证明不等式。
例1 （2010年湖北卷）已知函数()()0>++=a c x
b
ax x f 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1-=x y .
(1)用a 表示出c b ,；
(2)若()x x f ln ≥在[)+∞,1上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：())
1(21ln 14131211+++>+++++
n n
n n ()1≥n
解：（1）略.
（2）由（1）知，()a x
a ax x f 211
-+-+=， 令()()x a x
a ax x x f x g ln 211
ln --+-+=-=， 则()10=g ,由
()()()2
22
2'11111x
a a x x a x a x ax x x a a x g ??? ??
---=---=---= ① 当210<
a
x -<<11，则()()x g x g ,0'<是减函数，
所以()()01= 故()x x f ln ≥在[)+∞,1上恒成立. ② 当21≥ a 时， 11≤-a a ，若1>a ，则()()x g x g ,0'>是增函数， 所以()()01=>g x g 即 ()x x f ln >， 故当1≥x 时，()x x f ln ≥. 综上所述，所求a 的取值范围为?? ? ???+∞,21. （3）证明略。# 2.1.2 适当放缩后再构造 在证明有些不等式时，如果直接构造函数步骤繁琐，可以先利用不等式的相关性质将其进行适当放缩，然后构造适当的函数，降低证明的难度.如证明： ()()x g x f ≤（()()x g x f ≥），可以转化为先证明()())(M x f M x f ≥≤，再证()())(x g M x g M ≥≤. 例2 （2008年山东卷第21题）已知函数()() ()1ln 11 -+-= x a x x f n ，其中 *N n ∈，a 为常数. （1） 当2=n 时，求函数()x f 的极值； （2） 当1=a 时，证明：对任意的正整数n ，当2≥x 时，有()1-≤x x f . 解：(1)略. (2) 当1=a 时，有()() ()1ln 11 -+-= x x x f n . 当2≥x 时，对*N n ∈?， () 111 ≤-n x 恒成立， 因此，要证 () ()11ln 11 -≤-+-x x x n ，只需证()11ln 1-≤-+x x . 令 ()()[]()1ln 21ln 11---=-+--=x x x x x g ，由 ()1 2111'--=-- =x x x x g . 当2≥x 时，()0' ≥x g ， 所以 ()x g 在[)+∞,2上单调递增. 因此，当2≥x 时，()()02=≥g x g ， 即 ()11ln 1-≤-+x x 成立. 所以当2≥x 时，有 ()()11ln 11 -≤-+-x x x n ， 即()1-≤x x f . # 2.1.3 化离散为连续后再构造 数列作为一种特殊的函数，其定义域为正整数集*N （或它的有限子集 {}n ,,2,1 ），从它的图像可以看出，它们都是一群孤立的点，为了研究方便，往 往通过映射将其化为连续的函数。 例3 （07年山东卷）设函数()()1ln 2++=x b x x f ，其中0≠b ， （1）当2 1 > b 时，判断函数()x f 在定义域的单调性； （2）求函数()x f 的极值点； （3）证明对任意的正整数n ，不等式3211 11ln n n n ->??? ??+都成立. 解：（1）（2）略. （3） 令()+∞∈= ,01n x ，于是,要证3211 11ln n n n ->??? ??+(*N n ∈)转化为证明 ()321ln x x x ->+ （()+∞∈,0x ）. 构造函数()()1ln 23++-=x x x x h （0≥x ），由 ()()01 1311232 32 ' >+-+=++-=x x x x x x x h （()+∞∈,0x ） ， 知()x h 在()+∞,0单调增加，且()00=h ， 从而()+∞∈?,0x ，恒有()()00=>h x h ， 即当()+∞∈,0x 时，()321ln x x x ->+恒成立， 所以*N n ∈?，取()+∞∈= ,01 n x ，则恒有 3211 11ln n n n ->??? ??+ 故+∈?Z n ，不等式3211 11ln n n n ->??? ??+恒成立. # 2.2 构造数列求通项 数列是高中数学的重点内容之一，从近几年全国数学高考中可以看出，数列在数学高考中占有一席之地，而通项公式的求解往往是高考的热点及难点。对于一个既不是等差数列也不是等比数列的数列，要求解出它的通项公式是很困难的。但是，如果把这个数列通过变形构造出一个新的属于等差数列或等比数列的数列，那么就很容易求出这个新数列的通项公式，进而求出原先数列的通项公式。 下面就近五年有关求通解项公式的高考题，讨论构造法在高考中的应用。 2.2.1 构造等比数列法 求解数列{}n a 的通项公式，先根据等比数列的定义，通过数学运算，将递推公式变形为等比数列的形式：()()n pF n F =+1（p 为常数，且0≠p ），先求出数列(){}n F 的通项公式，再根据()n F 与n a 的关系，进而求出n a 的表达式。 首先，由递推关系q pa a n n +=+1（q p ,为常数），构造满足()m a p m a n n +=++1（m p ,为常数，且1 -= p q m ）的等比数列{}m a n +. 例1 （2010年全国I 卷）已知数列{}n a 中，11=a ，n n a c a 1 1- =+， （1） 设2 1 ,25-= = n n a b c ，求数列{}n b 的通项公式； （2） 求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围. 解：（1）依题意有n n n n a a a a 2221 2521-=--= -+， 故 22 4 222 11+-=-= -+n n n n a a a a ， 即241+=+n n b b ，于是 ??? ? ? +=+ +324321n n b b 又11=a ，则12 1 11-=-= a b ，31321-=+b 因此，数列???? ?? +32n b 是以31-为首项，4为公比的等比数列， 所以143 1 32-?-=+ n n b ， 即3 2 341--=-n n b . （2）略. 其次，将递推关系 ()()1 1++-+=-+n n n n a m a m q a m a m p （m q p ,,为常数），变形为() 222 12n n a m p q a m -= -+，构造新数列{} 2 2n a m -. 例2 （2010年湖北卷）已知数列{}n a 满足：211= a ，()()1 1112113++-+=-+n n n n a a a a ，01 21n n n a a b -=+ （1≥n ）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列. 解：（1）依题意，可知 () 2 2 113 21n n a a -?= -+， 令 2 1n n a c -=，则 n n c c 3 2 1= + 又由 4 31211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32 的等比数列. 求n b 略. （2）证明略.# 3.2.2 构造等差数列法 求解数列{}n a 的通项公式，先根据等差数列的定义，通过数学运算，将递推公式变形为等差数列的形式：()()p n F n F =-+1（p 为常数），先求出数列(){}n F 的通项公式，再根据()n F 与n a 的关系，进而求出n a 的表达式。 首先， 由递推关系()n f pa a n n +=+1（p 为常数），转化为()() p n f a n f a n n =-++11（p 为常数）形式，即可构造等差数列. 例1 （2009年全国II 卷）设数列前n 项和为n s ，已知11=a ，241+=+n n a s . （1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. （1）证明略. （2）解：由（1）知等比数列{}n b 中31=b ，公比2=q ， 故 11232-+?=-n n n a a ， 所以 43 2 21 1=-++n n n n a a ， 且 2 121=a 因此，数列? ?? ???n n a 2是首项为21，公差为43的等差数列. 故 ()41 434312 12-=?-+=n n a n n ， 所以 ()2213-?-=n n n a . # 其次， 由递推关系 ()q a a a a p n n n n =---1 1（q p ,为常数，且0≠p ） ，转化为p q a a n n -=--111（q p ,为常数，且0≠p ） ，从而构造出等差数列? ?????n a 1. 例2 （2008年山东卷）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a …… 记表中的第一列数 ,,,,7421a a a a 构成的数列为{}n b ，111==a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足 )2(122 ≥=-n S S b b n n n n . （1）证明：数列? ?? ???n S 1成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式： （2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当91 4 81- =a 时，求上表中第)3(≥k k 行所有项的和. （1）证明：依题意，当2≥n 时，有 122 =-n n n n S S b b ，且1--=n n n S S b ， 所以 1)() (22 11=-----n n n n n n S S S S S S ， 即 2 1 11=----n n n n S S S S ， 故 21111=--n n S S ,且1111===a b S ，则111 =S ， 因此，数列??????n S 1是以1为首项，21 为公差的等差数列. 求n b 略. (2)解略. 3.2.3 其他 有时无论怎样变化递推公式，都不能构造出等比或等差数列，比如构造出形如 ()() ()n g n f a n f a n n =-++11（*N n ∈）的式子，此时有 ()()()()()()()()1122111 12211f a f a f a n f a n f a n f a n f a n f a n n n n n +???? ??-++???? ??---+???? ??--=--- ()()()()() 112211 f a g g n g n g + +++-+-= 因此，()()()()()()() ,3,2112211=??? ???++++-+-=n n f f a g g n g n g a n 再检验当1=n 时1a 是否符合上式，若1a 符合上式，则其通项公式为 ()()()()()()() *111221N n n f f a g g n g n g a n ∈??? ?? ?++++-+-= 例 （2010年重庆卷）在数列{}n a 中，11=a ，()1211++=++n c ca a n n n （ *N n ∈）， 其中实数0≠c . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若对一切*N k ∈，有122->k k a a ，求c 的取值范围. 解：（1）由 ()1211++=++n c ca a n n n 得 ()1211++=++n c a c a n n n n ， 令 n n n b c a =，则 c b 1 1=，()121++=+n b b n n ， 因此，对2≥n ，有 ()()()112211b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- ()()c n n 1 33212+++-+-= c n 1 12+-= 故() 2,112≥+-=-n c c n a n n n 又当1=n 时上式成立， 所以() *12,1N n c c n a n n n ∈+-=-. （2） 略. # 3 总结 综上所述，在全国数学高考中，构造法的主要应用在于：一是构造函数，然后对函数求导，利用导数的相关性质来证明不等式恒成立问题；二是构造特殊数列（等比数列或等差数列）来求解数列通项公式。历年来，不等式恒成立的证明和数列通项公式的求解是数学高考的命题热点，对学生来说同时也是难点。构造法的运用突破了这一难点，让学生看到了希望的曙光，运用构造法解此类题会有意想不到的效果。当然，有些问题采用其他方法也可以得到解决，不过步骤显得繁琐，若对此问题进行适当的变形，构造出适当的数学式子或数学模型，问题就得意简化。灵活掌握构造法解题，可以起到事半功倍的效果，而且可以培养学生的逻辑思维能力，提高学生的解题能力。运用构造思想方法解题，尤其是解决高考题时，为了构造出适当的数学式子或数学模型，需要仔细观察问题自身的数学 结构、数学式子，联系已有知识，确定最佳构造方案。解决数学问题时，仔细审题，能构造时则构造，把握构造法的实质和精髓，就会有“柳暗花明又一村”的感觉。 参考文献 [1]全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第一册（上）．人民教育出版社，2007. 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