垂径定理练习题及答案
`
垂径定理
一.选择题
★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
答案：D
★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
》
答案：B
★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）
A ．9cm
B ．6cm
C ．3cm
D ．cm 41
答案：C
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A ．12个单位
B ．10个单位
C ．1个单位
D ．15个单位
)
答案：B
★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）
A ．23cm
B ．32cm
C ．42cm
D ．3cm
答案：D
★★6．下列命题中，正确的是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
$
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案：D
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．53米
答案：B
★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB8cm6cm1 cm7cm3 cm4 cm1cm7cm8 C空题
,
★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm
答案：5 cm
★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm
答案：3 cm
★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于
答案：6
★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm
；
★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米
O
图
4
E D
C
B
A
答案：63 cm
★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.
答案：63 cm
★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5
★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
、
答案：217
★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是
答案：6
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则
中间柱CD的高度为 m
答案：4
—
★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)
和A(2，0)，则点B的坐标是
答案：(6，0)
★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm
答案：3
:
★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=
答案：3
★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB= cm P
B
A
O
答案：6
★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是*
Cm
答案：7cm 或17cm
★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
答案：5
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米B
A
P
O
y
x
答案：
52
★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米
| 答案：7或1
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米
答案：5 ★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm
答案：3
★★★21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为
答案：8或2
★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为
,
答案：23★★★23．如图，⊙O 的的半径为5，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，CD=6，那么
∠B 的余切值 为_________ Ｏ
Ａ Ｂ
O
D A B $
C
;
答案：3
三.解答题
★★1．已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长 答案：26★★2．已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm.
求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小
答案：（1）3（2）060
★★3．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB " D
O
A 答案：40
★★4．如图，已知⊙O 的半径长为R=5，弦AB 与弦CD 平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD 的长．
答案：8
★★5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点E ，如果BE=OE ，AB=12m ，求△ACD 的周长 O
C
A ； B
答案：★★6．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长
★★7．已知：如图，AD 是⊙
O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC=8，AD=10． 求：（1）OE 的长；（2）∠B 的正弦值
答案：（1）3 （2—
★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。已知：AB=24cm ，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
~
B C E
O ．
`
A B
★★★9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12．求⊙O的半径
】
答案：
25
4
★★★25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
|
答案：30
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
?
答案：
★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.
·
A B
O
答案：
25
3
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A 到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
答案：
★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形
弧上取了A,B两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量
4
5
=
BC米，
[
87
.
36
=
∠ABC°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（87
.
36
sin°60
.0
≈，87
.
36
cos°80
.0
≈，87
.
36
tan°75
.0
≈）
答案：
25
12
…
★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
C
A B
答案：（1） （2）或
—
★★★16．已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是
AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.
（1）求AO 的长；
（2）求sin C 的值.
答案：（1）5 （2）45
★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF ，求正方形CDEF 面积。
'
答案：23
四.证明题
★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。求证：OC=OD A
B C D
O
E A B
O
答案：略
★★2．如图，AB 是⊙O 的弦，点D 是弧AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ． ）
求证：AD ＝DC
答案：略
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于CD
，求证：AC=BD
答案：略
★★★4．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别是点M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点P ．
:
求证：
PA=PC
答案：略
★★★5．已知：如图，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD ．
求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）PA=PC
O
B
A
C
D B A
D
C O ·
答案：略
★★★6． 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD .求证：（1）PA=PC ；（2）AE EC
答案：略
五.作图题
★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．
O D
C
P
A B
A
B