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都是阶梯形矩阵,而

求逆矩阵的方法与矩阵的秩

一、矩阵的初等行变换

（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）

定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ；

(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用

A →B

表示，并称矩阵B 与A 是等价的.

（下面我们把）第i 行和第j

，

”；把第

i 行遍乘k 倍的倍

k ”；第j 行的k 倍加至第i + k ”. 例如，矩阵 A = ????

?????321321

321

c c c b b b a a a ??????????321

1321

c c c a a a b b b ????

??????32

321

c c c b b b a a a ??????????32

321321

kc kc kc b b b a a a ?????

?????32

1321

c c c b b b a a a ?????

?????+++32

332211

c c c ka b ka b ka

b a a a

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵

由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行

③k

①，②

②+①k

变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即

( A , I )初等行变换

?→???( I , A -1 )

例1 设矩阵 A = ????

?????--232311111

求逆矩阵A -1 . 解因为

[A , I ] =????

??????--100232010311001111 ????

?????----102010011220001111 ??????

????

-12

12510002121

11000

1111 ?????

??????

---

-12

125100102010121

27011 ?????

????

?----12

125100102010221211001 所以 A -1= ?????

???????----

5102

2212

所求逆矩阵A -1是否正确，可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证.如果A A -1=I 成立，则

②+

①(-1) ③+①

(-2) ②(1/2)

③+② ①+③(-1) ②+③(-1)

①+②

A -1正确，否则不正确.

对给定的n 阶矩阵A ，用上述方法也可以判断A 是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0=A ，可以判定A 不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ，说明A 是非奇异的，可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的.

例2 设矩阵 A = ????

?????----116504612，问A 是否可逆？解因为

[ A , I ] =????

?????----100116010504001612→??

????????-----10317200121720001612 →??

?????----1110000121720001612

[ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的，A 不可逆.

（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）

例3 解矩阵方程AX = B ，其中 A =??????????---423532211，B =????

?????---453211

解 [思路] 如果矩阵A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1，可得

A -1AX = A -1

B ， X = A -1B

因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A -1，然后计算A -1B ，求出X .

因为 [ A , I ] = ??????????---100423010532001211→??????????-----1032100121100012

→??????????-----115100012110013101→??????????-----11510012701010200

→??????????-----11510012701010

2001

所以 A 可逆，且 A -1=????

??????-----11512710

X = A -1B = ??????????-----11512710

2??????????---453211=????

??????---429623

三、矩阵的秩

前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.

定义2.15 在矩阵A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k 个元素，按原来次序组成的k 阶子阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.

例4 设矩阵 A =????

?????--324423211123

取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式

212=

称为A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式.

定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A ()或秩(A ) . 规定：零矩阵O 的秩为零，即r O ()= 0.

例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r A ()= 2 .

例5 设A 为n 阶非奇异矩阵，求r A ().

解由于A 为非奇异矩阵，即A 对应的行列式0≠A ，所以A 有n 阶非零子式，故 r A ()= n .

例5的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵A ，若r A ()= n ，则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r A ()= n . 称r A ()= n 的n 阶方阵为满秩矩阵.

用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.

定理2.10 设A 为n m ?矩阵，则r A ()= k 的充分必要条件为：通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵.

例如，阶梯阵

A =??????????-000001040053162，

B =????

??????--200140531

因为A 的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A 的秩等于2，B 的秩等于3，即r A ()= 2，r B ()= 3.

那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中

的定理2.9已经说明这一点.

定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）

定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵，然后算出矩阵A 的秩.

例6 设矩阵

A =??

????-01422502， B =?

???

????????----2110

46023523041

1 求r A ()，r B ()，r AB ().

解因为 A = ??????-01422502②①

+?→????

???26402502 所以 r A ()= 2

因为 B =?

???????????----211046023523041

1②①③①++?→

??3

???????--21104220317100411

④②+-?→???()

1???????

?---5160010320031710④③+-?→???()2?

?--0000103200

31710

所以 r B ()= 3

因为 AB = ??????-01422502????????????----21104602

3523041

1=??????---861016242048

AB =??????---861016242048

②①+-?→???()2??????---5646180242048 所以 r AB ()= 2

由例6可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即 r AB ()≤

min{(),()}r A r B .

例7 设矩阵 A =?????

???----01

211024221160

31003

0 求r A ()和)(A r '.

解因为 A =???????

???----01

1024221160

310030(,)①④?→???????

??????----10030024221160301211

③①+-?→???()

2?????

?--100300400014030???→?-+)1(②④????

???-00

00400

010030 所以 r A ()=3 同理可得 )(A r '=3

由例7可知，矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.

定理2.11 设A 为m ?n 矩阵，则 (1) 0≤≤r A m n ()min{,}； (2) r A () = r A T ()

矩阵的标准阶梯型的唯一性s

矩阵的标准阶梯型的唯一性对矩阵的列数n 进行归纳. 首先, n=1时 A 的最简型T 是 ????????????0...01或者???? ? ???????0...00. 由于初等行变换非退化, 所以 T 是唯一的. 其次, 对于自然数n>1, 设具有少于n 列的矩阵A, 最简型惟一. 则当A 具有n 列时, 记T 、T ′是A 的任意两个最简型. 仅观察A 、T 、T ′前n-1列, 仍然得到相应的最简型, 根据归纳法假设, T 、T ′的前n-1列相等, 记其非0行数为r. T 、T ′前n-1列的角点所在列构成 r 阶单位阵, 第n 列 r+1行以后的元素为0. 故有初等行变换矩阵R, 使得 R ??????αa 0E =?? ????'α'a 0E 其中a 、a ′分别是 T 、T ′ 的 (r+1,n)元素, α、α′分别是 T 、T ′ 的第n 列前r 行构成的列向量. 对R 进行相应分块, R=?? ????σb 0p , 则 ??????σb 0p ??????αa 0E =?? ????'α'a 0E , 即 ??????σ+αba 0a p p =?? ????'α'a 0E , 故 p=E, p α+σa=α′, ba=a ′. 即 p=E, α+σa=α′, ba=a ′. 若a=0, 则 α =α′, a=a ′=0. 此时 T ′ =T. 若 a ≠0, 则 a=1, α=0. 由于 ba=a ′, 而R 非退化, 故 b ≠0, 因此 a ′ ≠0, 于是 a ′ =1. 进而α′=0. 故 α′=α=0, a ′ =a=1. 故 T 、T ′ 的第 n 列也相等, 所以T ′ =T 也成立. 综上所述, 矩阵的标准阶梯型唯一. *最简型, 即标准阶梯型

数学复习(矩阵)

数学复习：一、矩阵定义当一个矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为一个n 阶方阵square matrix 。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线main diagonal 。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵identity matrix ，记为E n 或I n ，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。二、矩阵运算 1、矩阵的加法addition matrix 设有两个m ?n 的矩阵A=(aij)，B=(bij)，则矩阵A 和B 的和记作A+B 。即：矩阵的加法满足下列运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）存在零元：；（4）存在负元：。 2、数与矩阵相乘 scalar multiplication 11111212112121 2222 2211 22 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++????+++?? +=???? +++????

数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ，规定为数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 为m ?n 矩阵，λ、μ为数）： (i) (μλ)A=λ(μA)； (ii) (λ+μ)A=λA+μA ； (iii) λ(A+B)=λA+λB ； 3、矩阵与矩阵相乘matrix multiplication 1）只有当乘号左边的矩阵（称为左矩阵）的列数和乘号右边的矩阵（右矩阵）的行数相同时，两个矩阵才能相乘；这条可记为左列=右行才能相乘。 2）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。这条可记为：积的行=左矩阵的行，积的列=右矩阵的列 3）乘积矩阵的元素（i,j ）等于左矩阵的第i 行和右矩阵的第j 列的对应元素的乘积之和。这条可记为i ：积=（左矩阵行×右矩阵列）之和。乘法满足下列运算律（ 1）结合律：；（ 2）左分配律：；（ 3）右分配律：；（ 4）数与矩阵乘法的结合律：； ( 5 ) AI n =I n A=A 若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，。注意：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等，即AB 未必一定等于BA 111212122212n n m m mn a a a a a a A A a a a ??????==???????? λλλλλλλλλλλ

计算行简化阶梯形矩阵

#include #define N 4 int main() {void print(float ar[][N]); float a[N][N],fir,t; int i,j,x,k; for(i=0;i

行阶梯形矩阵方法总结

行阶梯形矩阵方法总结在线性代数的学习中，利用矩阵的初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵，是一种很重要的运算。以下是整理ID 行阶梯形矩阵方法总结，欢迎阅读！行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。阶梯形矩阵如果：所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。非零行的首项系数（leading coefficient ），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。这个矩阵是行阶梯形矩阵：化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form ），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵：

因为第3列并不包含任何行的首项系数。矩阵变换到行阶梯形通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。行阶梯形的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。

行阶梯形矩阵方法总结

行阶梯形矩阵方法总结导读：行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。阶梯形矩阵如果：所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。这个矩阵是行阶梯形矩阵：化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵：因为第3列并不包含任何行的首项系数。矩阵变换到行阶梯形通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由

于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。行阶梯形的.结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。【行阶梯形矩阵方法总结】 1.数学线性代数之矩阵学习总结 2.线性代数矩阵课件 3.银行工作总结的写作方法 4.矩阵检测试题 5.琵琶行描写音乐的方法 6.学习方法的总结 7.新人银行柜员个人总结 8.银行后勤总结上文是关于行阶梯形矩阵方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢

求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T

求矩阵初等变换化为行最简行形的技巧T.T 用初等行变换化行最简形的技巧 1. 一般是从左到右,一列一列处理 2. 尽量避免分数的运算具体操作: 1. 看本列中非零行的首非零元若有数a是其余数的公因子, 则用这个数把第本列其余的数消成零. 2. 否则, 化出一个公因子给你个例子看看吧. 例: 2 -1 -1 1 2 1 1 - 2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9 --a21=1 是第1列中数的公因子, 用它将其余数化为0 (*) r1-2r2, r3-4r2, r4-3r2 得 0 -3 3 -1 -6 1 1 - 2 1 4 0 -10 10 -6 -12

0 3 -3 4 -3 --第1列处理完毕 --第2列中非零行的首非零元是:a12=-3,a32=10,a42=3 -- 没有公因子, 用r3+3r4w化出一个公因子 -- 但若你不怕分数运算, 哪就可以这样: -- r1*(-1/3),r2-r1,r3+10r1,r4-3r1 -- 这样会很辛苦的^_^ r1+r4,r3+3r4 (**) 0 0 0 3 -9 1 1 - 2 1 4 0 -1 1 6 -21 0 3 -3 4 -3 --用a32把第2列中其余数化成0 --顺便把a14(下次要处理第4列)化成1 r2+r3, r4+3r3, r1*(1/3) 0 0 0 1 -3 1 0 -1 7 -17 0 -1 1 6 -21 0 0 0 22 -66

--用a14=1将第4列其余数化为0 r2-7r1, r3-6r1, r4-22r1 0 0 0 1 -3 1 0 -1 0 4 0 -1 1 0 -3 0 0 0 0 0 --首非零元化为1 r3*(-1), 交换一下行即得 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0 注(*): 也可以用a11=2 化a31=4 为0 关键是要看这样处理有什么好处若能在化a31为0的前提下, a32化成了1, 那就很美妙了. 注(**): r1+r4 就是利用了1,4行数据的特点,先处理了a12. 总之, 要注意观察元素的特殊性灵活处理.

矩阵的--线性方程组

第3章矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9 §1 矩阵的初等变换 1. 定义1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等变换-----矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。例，对三阶单位矩阵??? ?? ??=100010001E 做初等变换。 ?? ? ? ? ??=100010001E 2 1~ r r ???? ? ? ??100001010=E (1,2), ?? ?? ? ??=100010001E 2 3~ r ???? ? ??100030001= E (2(3)), ?? ?? ? ??=100010001E 2 13~ r r +???? ? ??100010031=E (1，2(3)), 初等方阵有三种初等方阵：E( i, j ), E(i(k)), E(i, j(k))

2. 等价矩阵（P59）等价矩阵的定义如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 行等价:B A r ~ 如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 列等价: B A c ~ 如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B 等价：A ~ B 等价矩阵的性质 (1)反身性 A~ A (2)对称性若A~ B, 则 B ~ A (3)传递性若 A ~ B, B ~ C, 则A ~ C 3. 阶梯形矩阵阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加. 下面矩阵是阶梯形：下面矩阵不是阶梯形：

4. 行最简形矩阵在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是1，且所在列其它元素是0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。 ?? ?? ? ? ? ? ?------=347320382 34202 173132A 方法：先化为阶梯形矩阵：方法：用初等变换（行初等变换）目标：上三角形再化非零行第一个非零元素为1，并把所在列的其他元素化为0。。。。。。。

矩阵初等行变换矩阵秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；

2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4

????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解

??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④

()????? ?? ? ?--??→?00000310001120012 011,③② 所以，秩(A)=3 ??? ????? ? ?----=32105327 220021132113A T ??????? ? ??????→?-?++32101101220000002113)2(①④① ②