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热力学基础

习题10

10-1．如图所示，AB 、DC 是绝热过程，CEA 是等温过程，

BED 是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE 所包围的面积为70J ，EABE 所包围的面积为30J ，CEA 过程中系统放热100J ，求BED 过程中系统吸热为多少？

解：由题意可知在整个循环过程中内能不变，图中EDCE 为正循环，所包围的面积为70J ，则意味着这个过程对外作功为70J ；EABE 为逆循环，所包围的面积为30J ，则意味着

这个过程外界对它作功为30J ，所以整个循环中，系统对外作功是703040J J J -=。

而在这个循环中，AB 、DC 是绝热过程，没有热量的交换，所以如果CEA 过程中系统放热100J ，由热力学第一定律，则BED 过程中系统吸热为：10040140J J J +=。

10-2．如图所示，已知图中画不同斜线的两部分的面积分别为

1S 和2S 。

（1）如果气体的膨胀过程为a ─1─b ，则气体对外做功多少？

（2）如果气体进行a ─2─b ─1─a 的循环过程，则它对外做功又为多少？

解：根据作功的定义，在P —V 图形中曲线围成的面积就是气体在这一过程所作的功。则：

（1）如果气体的膨胀过程为a ─1─b ，则气体对外做功为S 1+S 2 。（2）如果气体进行a ─2─b ─1─a 的循环过程，此循环是逆循环，则它对外做功为：－S 1 。

10-3．一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达b 状态，有334J 热量传入系统，系统做功126J 。

（1）经adb 过程，系统做功42J ，问有多少热量传入系统?

（2）当系统由b 状态沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为84J ，试问系统是吸热还是放热？热量传递了多少? 解：（1）由acb 过程可求出b 态和a 态的内能之差： 334126208E Q A J ?=-=-=，

adb 过程，系统作功：J A 42=，则：20842250Q E A J =?+=+=，系统吸收热量；

（2）曲线ba 过程，外界对系统作功：J A 84-=，

则：20884292Q E A J =?+=--=-，系统放热。

10-4 某单原子分子理想气体在等压过程中吸热Q P =200J 。求在此过程中气体对外做的功W 。

解：气体在等压过程中吸热：p Q 21212

()()2

P mol mol M M i C T T R T T M M +=

-=?- 内能变化为：E ?2121()()2

V mol mol M M i

C T T R T T M M =

-=?- 由热力学第一定律：p Q E W =?+ 那么，W 21()mol

R T T M =

?- ∴2/2p W Q i =

+，对于单原子理想气体，3i =，有22

2008055

p W Q J J ==?=。

10-5 一定量的理想气体在从体积V 1膨胀到V 2的过程中，体积随压强的变化为V =p a

，其中a 为已知常数。求：(1) 气体对外所做的功；(2) 始末状态气体内

能之比。

解：（1）气体所做的功为：2

222

11d d ()V V V V a W p V V a V V V =

==-?

；（2）考虑到V

=，变形有2a pV V =，上式用2

a pV V

=代入得：

211221211(

)()W a p V p V V V =-=-，再利用理想气体状态方程mol

pV RT M =，有：

12()mol

W R T T M =

- 而21()2V mol mol M M i

E C T R T T M M ?=

?=?- ∴221221

1111()()222i i i E W a a V V V V ?=-

?=--=- 由于21E E E ?=-，∴2112i a E V =?，2

2i a E V =?，

始末状态气体内能之比为：1221//E E V V = 。

10-6．温度为25℃、压强为1atm 的1mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。

（1）计算该过程中气体对外的功；

（2）假设气体经绝热过程体积膨胀至原来的3倍，那么气体对外的功又是多少？解：（1）在等温过程气体对外作功：

8.31(27325)ln 38.31298 1.1 2.7210()V A RT J V ==?+=??=?；（2）在绝热过程中气体对外做功为：

21215

()(22

V i A E C T R T T R T T =-?=-?=--=--)

由绝热过程中温度和体积的关系C T V

=-1

γ，考虑到7

1.45

γ==，可得温度2T ：

111212

T V T V γ--=?121

3T T γ-=?0.4

21130.6444T T T -=?= 代入上式：3

21558.31(0.3556)298 2.201022

A R T T =--=-??-?=?()()J

10-7．汽缸内有2mol 氦气，初始温度为27℃，体积为20L 。先将氦气定压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨胀，直至回复初温为止。若把氦气视为理想气体，求：

（1）在该过程中氦气吸热多少？（2）氦气的内能变化是多少？（3）氦气所做的总功是多少？解：（1）在定压膨胀过程中，随着体积加倍，则温度也加倍，所以该过程吸收的热量为：45

28.31300 1.25102

p p Q C T J ν=?=?

??=? 而接下来的绝热过程不吸收热量，所以本题结果如上；

（2）理想气体内能为温度的单值函数。由于经过刚才的一系列变化，温度回到原来的值，所以内能变化为零。

（3）根据热力学第一定律Q A E =+?，那么氦气所做的总功就等于所吸收的热量为：4

1.2510A J =?。

10-8．0.02kg 的氦气（视为理想气体），温度由17℃升为27℃，若在升温过程中：

（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；

（3）不与外界交换能量。分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体做功。

解：∵氦气是单原子气体分子，自由度3i =，其摩尔质量为：3410He M kg -=?，∴0.02kg 的氦气摩尔数为5ν=。

（1）等体过程，0A =，由热力学第一定律得：Q E =?，吸热：21213

()()58.3110623.2522

V i Q E C T T R T T J νν=?=-=?-=???=；（2）等压过程，吸热：

Q 21212()()2P i C T T R T T νν+=-=?

-5

58.31101038.752

J =???=；而E ?21()V C T T ν=-623.25J =；∴内能E ?增加623.25J ，气体对外界作功：1038.75623.25415.5A Q E J =-?=-=；（3）绝热过程，0Q =，由热力学第一定律得：A E =-?，

而E ?21()V C T T ν=-623.25J =；即内能E ?增加与上相同，为623.25J ，气体对外界作功：623.5A E J =-?=-。

10-9．一定量的刚性双原子分子气体，开始时处于压强为p 0=1.0×105Pa ，体积为V 0=4×10-3m 3，温度为T 0=300K 的初态，后经等压膨胀过程温度上升到T 1=450K ，再经绝热过程温度回到T 2=300K ，求整个过程中对外做的功。

解：由于整个过程后温度不变，气体的内能不变，整个过程中对外做的功即为等

压膨胀过程做功和绝热过程做功之和，刚性双原子分子气体的自由度5i =。（1）等压过程末态的体积：0

0V V T T =

，等压过程气体对外做功：1

1010000

()(

1)200T A p V V p V J T =-=-=；（2）根据热力学第一定律，绝热过程气体对外做的功为：

221()mol m A E C T T M ν=-?=-

-，考虑到理想气体满足：mol

pV RT M =，且5

C R ν=，有：530022105510410()(150)50022300p V A T T J T -??=--=-?-=。

∴气体在整个过程中对外所做的功：12700A A A J =+=。

10-10．ν摩尔的某种理想气体，状态按p a V /=的规律变化(式中a 为正常量)，当气体体积从1V 膨胀到2V 时，求气体所作的功及气体温度的变化21T T -各为多

少？

解：可将状态规律p a V /=改写成：2

2a p V

=。

（1）在这过程中，气体作功2

V V A p dV =

∴2

2212

11()V V V V a a A dV a V V

V V =

=-=-?

；

（2）由理想气体状态方程：pV RT ν=，可知：2

a RT V

ν=，

∴2a T RV ν=，那么温度的变化为：22112

a T T R V V ν-=--()。

（∵210T T -<，即21T T <，可见理想气体温度是降低的）

10-11．一侧面绝热的气缸内盛有1mol 的单原子分子理想气体，气体的温度1273T K =，活塞外气压50 1.0110p Pa =?，活塞面积2

m 02.0=S ，活塞质量kg 102=m (活塞绝热、不漏气且与气缸壁的摩擦可忽略)。由于气缸内小突起物的阻碍，活塞起初停在距气缸底部为m 11=l 处．今从底部极缓慢地加热气缸中的气体，使活塞上升了m 5.02=l 的一段距

离，如图所示。试通过计算指出：

（1）气缸中的气体经历的是什么过程？

（2）气缸中的气体在整个过程中吸了多少热量？解：（1）可分析出起初气缸中的气体的压强由于小于P 2（P 2=外界压强+活塞重力产生的压强），所以体积不会变，是一个等容升温的过程，当压强达到P 2时，它将继续做一个等压膨胀的过程，则气缸中的气体的过程为：等容升温+等压膨胀；

（2）5118.31273

1.13100.021RT

p Pa V ν??=

=??，

552010210

1.0110 1.52100.02mg p p Pa s ?=+=?+=?，

等容升温：21213

()()22V i Q R T T p V p V ν=-=-

533

(1.52 1.13)100.021 1.17102J =-???=?，等压膨胀：3222255

()()22p Q R T T p V p V ν=-=-

535

1.5210(1.51)0.02 3.8102

J =??-?=?， ∴3

4.9710V p Q Q Q J =+=?。

10-12．一定量的理想气体，从A 态出发，经V p -图中所示的过程到达B 态，试求在这过程中，该气体吸收的热量。解：分析A 、B 两点的状态函数，很容易发现A 、B 两点的温度相同，所以A 、B 两点的内能相同，那么，在该过程中，该气体吸收的热量就等于这一过程对外界所做的功，也就是ACDB 曲线所围成的面积。

则：56(3431)10 1.510Q A J =

=?+??=?。

10-13．设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺制冷机组合而成。热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动制冷机。制冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热。假定热机锅炉的温度为

1210C t = ，天然蓄水池中水的温度为215C t = ，暖气系统的温度为

360C t = ，热机从燃料燃烧时获得热量71 2.110Q J =?，计算暖气系统所得热

量。

解：由题中知已知条件：1483T K =，2288T K =，3333T K =，71 2.110Q J =?。那么，由卡诺效率：2211

11T Q

T Q η=-=-卡，有：2733311483 2.110Q -=-?，得：72 1.4510Q J =?；

而制冷机的制冷系数：2221212Q Q T A Q Q T T ω'''===''''--，有：2212

Q T A T T ''

=''-

考虑到77712 2.110 1.45100.6510A Q Q J =-=?-?=?

则：272880.651045

Q '=?，得：72

4.1610Q J '=?，有制冷机向暖气系统放热为：77

1(4.160.65)10 4.8110Q J J '=+?=?

∴暖气系统所得热量：

7721

(1.45 4.81)10 6.2610Q Q Q J J '=+=+?=? 。

10-14．单原子理想气体作题图所示的abcda 的循环，并已求得如表中所填的三个数据，试根据热力学定律和循环过程的特点完成下表。

a-b 等压过程：已知：55

()(25022

p b a b a Q R T T p V V J ν

=-=-=），则：()100p b a A p V V =-=，150a b E J →?=；

b-c 绝热过程：0Q =，已知75bc A J =，∴75b c bc E A J →?=-=-；

c-d 等容过程：0cd A =，∵a d →过程中内能之和为零，所以75c d E J →?=-； d-a 等温过程：0d a E →?=，已知125d a A J =-，∴125da da Q A J ==-。

循环是正循环，热机效率为1

Q η=

，有：100751250.220%250η+-=

== 。完

10-15．如图，abcda 为1mol 单原子分子理想气体的循环过程，求：（1）气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量；（2）气体循环一次做的净功；（3）证明T a T c =T b T d 。

解：（1）过程ab 与bc 为吸热过程，

吸热总和为：

1()()V b a p c b Q C T T C T T =-+-

35()()22b b a a c c b b p V p V p V p V =

-+-

3335

(2212)10(23280002)1022

J =?-??+?-??=；（2）循环过程对外所作总功为图中矩形面积：

532(21)10(32)1010A J -=-??-?=；

（3）由理想气体状态方程：pV RT =，有：

a a a p V T R =，c c c p V T R =，

b b b p V T R =

，d d d p V T R =，

∴336

2222106101210a a c c a c p V p V T T R R R ????===，

336

222

4103101210b b d d b d p V p V T T R R R

????===，有：a c b d T T T T = ；

10-16 如图10-39所示，一摩尔单原子理想气体经等压、绝热、等容和等温过程组成的循环abcda ，图中a 、b 、c 、d 各状态的温度a T 、b T 、c T 、d T 均为已知，

523/(10)

m -?1223

abo 包围的面积和ocd 包围的面积大小均为A 。在等温过程中系统吸热还是放热？其数值为多少？

解：如图，循环过程abcda 可看成两个循环， abo 为正循环，ocd 为逆循环，由于abo 包围的面积和 ocd 包围的面积大小均为A ，∴循环过程abcda 对外做功为零，则系统完成一个循环过程后，热量的代数和亦为零，即：0a b b c c d d a Q Q Q Q Q →→→→∑=+++=

（1）a →b 等压过程：由图可见，b a T T >，温度升高，吸热：a b Q →()p b a C T T =- （2）b →c 绝热过程：0b c Q →=

（3）c →d 等容过程：由图可见，d c T T >，温度升高，吸热：()c d v d c Q C T T →=- （4）d →a 等温过程： d a Q →

∴()d a a b b c c d Q Q Q Q →→→→=-++[()()]p b a v d c C T T C T T =--+-，负号表明放热。

答：在等温过程d →a 中系统是放热，数值为()()p b a v d c C T T C T T -+-。答案：放热，b a d c ()()p V C T T C T T -+-。

10-17．一可逆卡诺机的高温热源温度为127℃，低温热源温度为27℃，其每次循环对外做的净功为8000J 。今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其每次循环对外做的净功为10000J ，若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间。求：

（1）第二个热循环机的效率；（2）第二个循环高温热源的温度。解：根据卡诺循环效率公式：21300110.25400

T T η=-=-=，而：1

Q η=

，有：180********.25A Q J η==

=，

由于在同样的绝热线之间，他们的总热量相等，都是32000J ，所以第二个热机的

效率为：1'10000

'31.25%32000

A Q η=

==，

再考虑到它是通过提高高温热源的温度达到目的的，可利用21'1'

T T η=-，有：213003004361'10.31250.6875T T K η'====--

10-18．如图所示，一圆柱形绝热容器，其上方活塞由侧壁突

出物支持着，其下方容积共L 10，被隔板C 分成体积相等的

A 、

B 两部分。下部A 装有mol 1氧气，温度为

C 270；上部B 为真空。抽开隔板C ，使气体充满整个容器，且平衡后

气体对活塞的压力正好与活塞自身重量平衡。（1）求抽开C 板后，气体的终态温度以及熵变；

（2）若随后通过电阻丝对气体缓慢加热使气体膨胀到L 20，求该过程的熵变。解：（1）抽开C 板后，气体处于在真空中的绝热变化，由于在真空中，气体体积的变化不做功，所以A=0，又是绝热变化，所以Q=0，这样ΔE=0，也就是说温度不变，T=300K ；

那么要计算这一过程的熵变，我们设计一个可逆过程为：等温膨胀。所以： 2

2221111ln ln 2V Q P S S S dV R R T T V ??=-=

===?? （2）第二过程中压强不变，所以可设计为等压膨胀过程。

2222111177

ln ln ln 222

T p p p T C dT T T V S S S C C R R T

T T V ?=-=====?

。思考题

10-1．一定量的理想气体，开始时处于压强，体积，温度分别为1p ，1V ，1T 的平衡态，后来变到压强，体积，温度分别为2p ，2V ，2T 的终态。若已知2V >1V ，且2T =1T ，则以下各种说法中正确的是：

(A)不论经历的是什么过程，气体对外净作的功一定为正值； (B)不论经历的是什么过程，气体从外界净吸的热一定为正值；

(C)若气体从始态变到终态经历的是等温过程，则气体吸收的热量最少； (D)如果不给定气体所经历的是什么过程，则气体在过程中对外净作功和从外界净吸热的正负皆无法判断。

答：如果不给定过程，我们只能根据2T =1T ，得知这一过程中内能不变，但是作功情况无法由2V >1V 得出，因为作功的计算与过程的选择有关，本题选择D 。

10-2．一定量理想气体，从同一状态开始把其体积由0V 压缩到0

V ，分别经历以下三种过程：

（1）等压过程；（2）等温过程；（3）绝热过程。其中：

什么过程外界对气体作功最多；

什么过程气体内能减小最多；什么过程气体放热最多？答：由画图可以直接看出：

（3）绝热过程中，外界对气体作功最多；（3）绝热过程中，气体内能减小最多；（2）等温过程中，气体放热最多。

10-3．一定量的理想气体，从V p -图上初态a 经历（1）

或（2）过程到达末态b ，已知a 、b 两态处于同一条绝热线上（图中虚线是绝热线），则气体在（A ）（1）过程中吸热，（2）过程中放热；（B ）（1）过程中放热，（2）过程中吸热；（C ）两种过程中都吸热；（D ）两种过程中都放热。

答：从题意可以知道，a 、b 两态处于同一条绝热线上，图中虚线是绝热线，所以这条虚线围成的面积0ab A E +=。

对应（1）过程，11Q E A =?+，从图上可以看出：1A A <，所以0ab A E +<，也就是10Q <，这就是放热过程。

对应（2）过程，22Q E A =?+，从图上可以看出：2A A >，所以0ab A E +>，也就是20Q >，这就是吸热过程。

所以本题选择B 。

10-4．试说明为什么气体热容的数值可以有无穷多个？什么情况下气体的热容为零?什么情况下气体的热容是无穷大?什么情况下是正值?什么情况下是负值?

答：根据气体热容的定义：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ 与温度变化dT 的比值称为系统在该过程的热容量。而从T 1的温度变化到T 2可以经历无穷多个过程，每个过程的吸收热量都可能不同。所以Q

C T

?就不一样。 0p 02V

当气体温度变化而不吸收热量时，气体的热容为零，比如绝热膨胀。当气体的温度不变而吸收热量时，气体的热容无穷大，比如等温变化。当气体温度升高，但为放热过程时，热容为负值。

10-5．某理想气体按=2pV 恒量的规律膨胀，问此理想气体的温度是升高了，还是降低了？

答：可见习题10-8。根据题意，C pV =2，而

恒量=T

，将两个式子相除，可得：恒量=VT ，所以如果该理想气体膨胀，此气体的温度降低。

10-6．一卡诺机，将它作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对做功就愈有利；如将它当作制冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于制冷机是否也愈有利？为什么？答：卡诺热机：211T T η=-

卡所以温差越大，21

T 就越小，η卡就越大；但是对于制冷机：卡诺逆循环的致冷系数：2

T T T ω=-卡，温差越大，则

1T T ω=-卡越小，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

10-7．卡诺循环1、2，如图所示.若包围面积相同，功、效率是否相同？

答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．若包围面积相同，则两次循环所做的功相同。但由于1

A Q η=净

，A 净面积相同，效率不一定相同，因为η还与吸热1Q 有关。

10-8．一条等温线和一条绝热线有可能相交两次吗?为什么？答：不可能。

（1）由热力学第一定律有：A E Q +?=，若有两个交点a 和b ，则：经等温a→b 过程有：

0111=-=?A Q E ，经绝热a→b 过程：022=+?A E ，

022<-=?A E ，从上得出12E E ?≠?，这与a ，b 两点的内能变化应该相同矛

盾。

（2）若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100％，违背了热力学第二定律。

10-9．两条绝热线和一条等温线是否可能构成一个循环？为什么？

答：不能，用反证法证明说明：假设两条绝热A 、B 先相交于点1，与另一条等温线C 分别相交于点3、2，那么1231构成一个正循环，如图所示，则该正循环对外做正功，只有在等温过程放热。这样既不吸热又对外做有

用功，显然是违反热力学第一定律；

另如图b 所示，该正循环对外做正功，

只有在等温过程吸热。这样成为从单一热源吸热对外做有用功的热机，显然是违反热力学第二定律。

10-10．所谓第二类永动机是指什么？它不可能制成是因为违背了什么关系？答：第二类永动机：从一个热源吸热并全部变为功。违背热力学第二定律，所以无法造成。