第六节双曲线

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．

3．理解数形结合的思想．

知识点一双曲线的定义

平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

答案

之差的绝对值

1．判断正误

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )

(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )

答案：(1)3(2)3

2．设P是双曲线x2

16－

y2

20

＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，

则|PF2|等于( )

A．1 B．17

C．1或17 D．以上答案均不对

解析：由题意知|PF1|＝9

答案：B

知识点二双曲线的标准方程与几何性质

1．双曲线的标准方程和几何性质

______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．

答案

1．(0，－a ) (0，a ) y ＝±a b

x (1，＋∞) 2a a 2＋b 2

2．实轴 虚轴 y ＝±x e ＝ 2

3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 2

5－k ＝1，那么k 的范围是( )

A ．k >5

B ．2

C ．－2

D ．－25

解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－25. 答案：D

4．(20162新课标全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的左、右焦点，点M 在E

上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1

3

，则E 的离心率为( )

A. 2 B ．32 C. 3

D ．2

解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2

a 2，所以

y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2

a 2c ＝

b 22a

c ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e

＝

24，所以e 2

－22

e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 答案：A

5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆x 24＋y 2

3＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线

方程为__________．

解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 2

3

＝1，得焦点为(±1,0)，

顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2

＝c 2

－a 2

＝3，所以双曲线标准方程为x 2

－y 2

3

＝1.

答案：x 2

－y 2

3

＝1

热点一 双曲线的定义及应用

【例1】 已知F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，A (1,4)，P 在双曲线右支上运动，则|PF |

＋|PA |的最小值为______．

【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |

＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.

【答案】9

(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )

A.1

4

B.

3

5

C.3

4

D.

4

5

(2)设椭圆C1的离心率为5

13

，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )

A.x2

42

－

y2

32

＝1 B.

x2

132

－

y2

52

＝1

C.x2

32

－

y2

42

＝1 D.

x2

132

－

y2

122

＝1

解析：(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，

∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，

|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2

＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

2|PF1|2|PF2|

＝

3

4

.

(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.

由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.

故曲线C 2的标准方程为x 242－y 2

32＝1.

答案：(1)C (2)A

热点二 双曲线的标准方程

【例2】 (20162天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一

条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )

A.x 2

4－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

4＝1

C.3x 2

20－3y

2

5

＝1 D ．3x 2

5－3y

2

20

＝1

【解析】 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24

－y 2

＝1.

【答案】 A

(1)已知双曲线x 2

a

－y 2

b

＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2

＋y 2

－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )

A.x 25－y 2

20＝1 B.x 225－y 220＝1 C.

x 220－y 2

5

＝1 D.

x 2

20－y 2

25

＝1 (2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1

2x ，则该双曲线的标准方程为

__________．

解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a

＝5，所以a 2＝5，b 2

＝20，所