文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

第六节双曲线

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.

2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用.

3.理解数形结合的思想.

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

知识点一双曲线的定义

平面内动点P与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c),则点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.

答案

之差的绝对值

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

1.判断正误

(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )

(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )

答案:(1)3(2)3

2.设P是双曲线x2

16-

y2

20

=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,

则|PF2|等于( )

A.1 B.17

C.1或17 D.以上答案均不对

解析:由题意知|PF1|=9

答案:B

知识点二双曲线的标准方程与几何性质

1.双曲线的标准方程和几何性质

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为______,离心率为______.

答案

1.(0,-a ) (0,a ) y =±a b

x (1,+∞) 2a a 2+b 2

2.实轴 虚轴 y =±x e = 2

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

3.双曲线方程:x 2|k |-2+y 2

5-k =1,那么k 的范围是( )

A .k >5

B .2

C .-2

D .-25

解析:由题意知,(|k |-2)(5-k )<0,解得-25. 答案:D

4.(20162新课标全国卷Ⅱ)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2

b

2=1的左、右焦点,点M 在E

上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=1

3

,则E 的离心率为( )

A. 2 B .32 C. 3

D .2

解析:设F 1(-c,0),将x =-c 代入双曲线方程,得c 2a 2-y 2b 2=1,所以y 2b 2=c 2a 2-1=b 2

a 2,所以

y =±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1=13,所以tan ∠MF 2F 1=|MF 1||F 1F 2|=b 2

a 2c =

b 22a

c =c 2-a 22ac =c 2a -a 2c =e 2-12e

24,所以e 2

-22

e -1=0,所以e = 2.故选A. 答案:A

5.(选修1-1P53练习第3题改编)以椭圆x 24+y 2

3=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线

方程为__________.

解析:设要求的双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),由椭圆x 24+y 2

3

=1,得焦点为(±1,0),

顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以a =1,c =2,所以b 2

=c 2

-a 2

=3,所以双曲线标准方程为x 2

-y 2

3

=1.

答案:x 2

-y 2

3

=1

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

热点一 双曲线的定义及应用

【例1】 已知F 是双曲线x 24-y 2

12=1的左焦点,A (1,4),P 在双曲线右支上运动,则|PF |

+|PA |的最小值为______.

【解析】 如图所示,设双曲线的右焦点为E ,则E (4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF |-|PE |=4,则|PF |+|PA |=4+|PE |+|PA |.由图可得,当A ,P ,E 三点共线时,(|PE |

+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

【答案】9

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

(1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=( )

A.1

4

B.

3

5

C.3

4

D.

4

5

(2)设椭圆C1的离心率为5

13

,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )

A.x2

42

y2

32

=1 B.

x2

132

y2

52

=1

C.x2

32

y2

42

=1 D.

x2

132

y2

122

=1

解析:(1)由x2-y2=2,知a=b=2,c=2.由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=22,又|PF1|=2|PF2|,

∴|PF1|=42,|PF2|=22,在△PF1F2中,

|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2

=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|2|PF2|

3

4

.

(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8<10=|F1F2|.

由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a=4,b=3.

故曲线C 2的标准方程为x 242-y 2

32=1.

答案:(1)C (2)A

热点二 双曲线的标准方程

【例2】 (20162天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1(a >0,b >0)的焦距为25,且双曲线的一

条渐近线与直线2x +y =0垂直,则双曲线的方程为( )

A.x 2

4-y 2

=1 B .x 2

-y 2

4=1

C.3x 2

20-3y

2

5

=1 D .3x 2

5-3y

2

20

=1

【解析】 由题意得c =5,b a =12,则a =2,b =1,所以双曲线的方程为x 24

-y 2

=1.

【答案】 A

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文

(1)已知双曲线x 2

a

-y 2

b

=1(a >0,b >0)的一个焦点与圆x 2

+y 2

-10x =0的圆心重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的标准方程为( )

A.x 25-y 2

20=1 B.x 225-y 220=1 C.

x 220-y 2

5

=1 D.

x 2

20-y 2

25

=1 (2)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±1

2x ,则该双曲线的标准方程为

__________.

解析:(1)由题意知圆心坐标为(5,0),即c =5,又e =c a

=5,所以a 2=5,b 2

=20,所