实数竞赛辅导题

实数提升

1

的算术平方根是 。

2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。

3

2

(1)0,b -== 。 4

、已知x y y +=则= 。 5、已知实数a

满足21999,1999a a a --=则 。

6

、若101,6,a a a +=且的值为 。 7

、若3,b a b +a ，则的值为（ ）

A 、0

B 、1

C 、-1

D 、2

8、

已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab

+-+=满足则的算术平方根是 。 9

、已知4,1

x y y x +=+则= 。

10、由下列等式：

===…… 所揭示的规律，可得出一般的结论是 。 11、已知x 为实数，且

x= 。当x=

时，大值是 .

12、若0≤a ≤4

的取值范围是 . 若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围

是 ； 13、若实数a 满足 =-1，则a 是 . 当10≤≤x 时，化简__________

12=-+x x 14

的所有可能的值有（ ） A 、2个

、无数个

15、若表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简2)(||b a b a ++-的结果为（ ）

A 、2a

B 、2b

C 、－2a

D 、－2b

||a

a

+

计算

（1

）11) （2）

()()163737--+

（3）()4010

22+- （4）

△ABC 的三边长为a 、b

、c ，a 和b 2

440b b -+=，求c 的取值范围。

已知方程｜x+3｜+｜x-2｜=a 无实数解，求实数a 的取值范围。

已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值。

已知：x 、y 是正数m 的两个平方根，且4x+3y=6，求m 的值。

已知：5a ，5b ，求a+b 的值。

a 、

b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(b a b a ---++．

已知0)2(12=-+-ab a ，求

221(2)()2--

1111(1)(1)(2)(2)(2004)(2004)ab a b a b a b ++++++++++

平行线经典练习题(整理版)

平行线经典练习题（整理版）2．如图⑧，判定AB ∥CE 的理由是（） A ．∠B=∠ACE B．∠A= ∠ECD C．∠B=∠AC B D．∠A= ∠ACE 一．判断题： 1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。（）3．如图⑨，下列推理错误的是（） 2．如图①，如果直线l1 ⊥OB，直线l2 ⊥OA ，那么l1与l2 一定相交。（） A ．∵∠1=∠3，∴a ∥b B．∵∠1=∠2，∴a ∥ b 3．如图②，∵∠GMB= ∠HND （已知）∴AB ∥CD（同位角相等，两直线平行）（）C．∵∠1=∠2，∴c ∥d D．∵∠1=∠2，∴c ∥d 4.如图，直线a、b 被直线 c 所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6， ③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b 的是（） A．①③B．②④C．①③④D．①②③④ 四．完成推理，填写推理依据： 1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB ∥CD（） 二．填空题： 1．如图③∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。 ∵∠2=∠3，∴_______∥________（）。∵∠BGC= ∠_______，∴CD∥EF（）∵AB ∥CD ，CD∥EF， ∴AB ∥_______（） 2．如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。 ∵∠3=∠4，∴_______∥________（）。2．如图⑾填空： （1）∵∠2=∠B（已知） ∴AB__________ （） （2）∵∠1=∠A（已知） ∴__________（） （3）∵∠1=∠D（已知） ∴__________（） 3．如图⑤∠B=∠D=∠E，那么图形中的平行线有________________________________ 。 4．如图⑥∵AB ⊥BD，CD⊥BD （已知） （4）∵_______ =∠F（已知） ∴AB ∥CD ( ) ∴AC ∥DF（）又∵∠1+∠2 = 180 （已知） ∴AB ∥EF ( ) 3.填空。如图，∵AC ⊥AB ，BD⊥AB （已知） ∴CD∥EF ( ) ∴∠CAB ＝90°，∠______＝90°（） ∴∠CAB ＝∠______（）三．选 择题： ∵∠CAE ＝∠DBF （已知） 1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（） A．AD ∥BC B．AB ∥CD ∴∠BAE ＝∠______ C．EF∥BC D．AD ∥EF ∴_____∥_____（）

平行线与相交线培优训练

D B C A F E 平行线与相交线培优训练（已经修改，很好） 平行线的判定：⑴___________________（2）（3） 平行线的性质：⑴___________________（2）（3） 例题精讲 例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2， 求证：∠C=90° 练习1．思考：两直线a，b被直线AB所截(如图1－18所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？” 练习2．如图所示，AA1∥BA2时，则 图1-24 规律：同一方向的所有角的和等于另 规律：所有角的和=（角的个数—1）× 练习3．如图已知，AB∥CD., AF CF分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证： 1 2 F AEC ∠=∠. 例2：求证：三角形内角之和等于180°

A 练习1． 求证：四边形内角和等于360° 2．证明：五边形内角和等于540° 例3： 如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 练习1．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 练习2．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 练习3.已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD . 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？ 练习1.甲驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° E D C B A

IMO竞赛试题1-44

第一届 1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数n都是最简分数。 2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3. a、b、c都是实数，已知cos x的二次方程a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c 作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cos x和cos 2x的方程式。 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断PQ 的中点的轨迹。 6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第二届 1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9 3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令a 为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan a = 4nh/(an2 - a). 4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC 上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a. 求XY中点的轨迹； b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V1 不等于V2 ；(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X 到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第三届 1. 设a、b是常数，解方程组x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并

平行线培优训练题

A A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 图1 平行线与相交线培优题型 1 已知：如图1，∠B 1＋∠B 2=∠A 1＋∠A 2＋∠A 3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA 1∥BA 3 （想一想：如果把例1的折线变成几条，且∠B ＋∠B 1＋∠B 2＋…＋∠B n =∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n ，那么AA 1∥BA n 成立吗？若成立，试加以证明；若不成立，请说明理由。） 2, 如图2，已知AB ∥CD ，∠AFE=α，∠ECB=β，求证：∠E=α＋β－180°。 3, 已知，如图3，AB ∥CD ，BC ∥DE ，BF 平分∠ABC ，DG 平分∠EDC ， 求证：DG ⊥BF 。 4, 如图5，正方形ABCD 对角线AC 分成几段，以每一段为对角线作正方形，设这几个小正方形的周长之和为P ，正方形ABCD 的周长为L ，求证：P=L 。 A F B E D α β C 图2 A B G C D E 图3 A C D

5, 如图6，AB ∥ED ，α=∠A ＋∠E ，β=∠B ＋∠C ＋∠D ，求证：β=2α。 6,平面上有10条直线，且无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，试问：怎样安排才能办到？ 7,如图8，已知AB ∥CD ，被直线EF 所截交AB 、CD 于M 、N ，MP 平分∠EMB ，NQ 平分∠MND ，求证：MP ∥NQ 。 8,如图9，已知∠AB E ＋∠DEB=180°，∠1=∠2。求证：∠F=∠G 。 9,如图10 ，已知∠ADE=∠B ，∠1=∠2，GF ⊥AB ，求证：CD ⊥AB 。 图6 2 1 A B C F G D E 图9 B 图10

平行线分线段成比例专题培优提高训练

平行线分线段成比例专题训练 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == 3. 平行的判定定理：如上图，如果有BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求 证：111 c a b =+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，， 过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥， AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求 l 3 l 2l 1F E D C B A A B C D E E D C B A E D C B A F E D C B A F E D C B A

韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求 的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。

附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式 的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。

(完整版)平行线练习题【精华版】

平行线练习 一、填空题 1.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=28°,则∠2＝_______． 2.已知直线AB CD ∥，60 ABE=o ∠，20 CDE=o ∠，则BED= ∠度． 3.如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝60°，则∠2＝______度. 4.如图，直线MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝＿＿＿＿＿. 5.设a、b、c为平面上三条不同直线， （1）若//,// a b b c，则a与c的位置关系是_________； （2）若, a b b c ⊥⊥，则a与c的位置关系是_________； （3）若// a b， b c ⊥，则a与c的位置关系是________． 6.如图，填空： ⑴∵1A ∠=∠（已知） ∴_____________（） ⑵∵2B ∠=∠（已知） ∴_____________（） ⑶∵1D ∠=∠（已知） ∴______________（） 二、解答题 7.如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD、OE分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由． 第2题 P B M A N 第1题 第3题第4题 第6题

8. 如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为O ，若∠DOE ＝3∠COE ，求∠BOC 的度数． 9. 如图，直线//a b ，求证：12∠=∠． 10. 如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系． 解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ， 则B ∠=∠____（ ） 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ， ∴____________（ ） ∴∠E ＝∠____（ ） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ． 11. 如第10题图，当∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系时，有AB ∥DE ． 12. 如图，AB ∥DE ，那么∠B 、∠BCD 、∠D 有什么关系？

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

(完整版)精编一元二次方程竞赛训练题一

一元二次方程竞赛训练题 1．方程k k k x k x (02)13(722 =--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2， 那么k 的取值范围是（ ） （A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。 2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ） （A ） 251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， =+a c b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42 -=?与平方式20)2(b ax M +=的关系是 ( ) (A)?>M (B)?=M (C)?

平行线性质竞赛题

平行线性质竞赛题

【例5】平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能得到？ 平移变换 【例6】平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36。，请说明理由。

学力训练B-P141 1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则 ∠1+ ∠2 = 。 2.如图，直线a∥b，则∠A = 。 3.如图，已知AB∥CD, ∠1 = 100。，∠2 = 120。，则∠a = 。 （第1题）（第2题） （第3题） 4.如图，已知AB∥DE，∠ABC=80。，∠CDE =140。，则∠BCD = 。 5.如图，已知l∥m，∠1=115。，∠2 = 95。，则∠3 = （） A. 120。 B. 130。 C. 140。 D. 150。 6.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115。，∠A = 25。，则∠3 = （）. A. 70。 B. 80。 C. 90。 D. 100。 7.如图，∠AOB的两边OA,OB均为平面反光镜， ∠AOB = 35。，在OB上有一点E，从E点射出一束 光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB 平行，则∠DEB的度数是（） A. 35。 B. 70。 C. 110。 D. 120。 8.如图，AB∥CD∥EF∥GH, AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上，设与∠α相等的角的个数为m （不包括∠α本身），与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m+ n 的值是（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9.如图，已知∠1+∠2 = 180。，∠3=∠B,是判断∠AED 与∠ACB的大小关系，并对结论进行论证。

平行线的证明 培优专题过关测试题二

八年级数学上册第七章平行线的证明培优专题训练二 1.我们知道：“在三角形的每个顶角处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角 和”。 （1）猜想三角形的外角和是多少度？证明你的结论。 （2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的结论证明你的猜想。 解：（1）360° 证明：∵∠AMN+∠NMS=180°，∠DNS+∠MNS=180°，∠ESM+∠MSN=180°，∠NMS+∠MNS+∠MSN=180° ∴∠AMN+∠DNS+∠ESM = （180°-∠NMS）+（180°-∠MNS）+（180°-∠MSN） =180°×3-（∠NMS+∠MNS+∠MSN）=180°×3-180°=360° （2）360° 证明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AMN+∠DNS+∠ESM=360° （1） (2) 2.如图所示，∠xOy=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，

BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C 。试问：∠ACB 的大小是否随A 、B 的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随A 、B 的移动发生变化，请给出变化范围。 解：∠C 的大小保持不变．理由： ∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ， ∴∠ABE=12∠ABY=12（90°+∠OAB ）=45°+12∠OAB ， 即∠ABE=45°+∠CAB ， 又∵∠ABE=∠C+∠CAB ， ∴∠C=45°， 故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°． 3.如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，其中∠OMN=30°。 （1）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，求∠CON 的度数；150° （2）将图1中的三角尺绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 9秒，27秒 秒时，边MN 恰好与射线OC 平行；在第 12秒，30秒 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC 。（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．∠AOM-∠NOC=30° 解：（1）∵∠AOC=60° ∴∠BOC=120° 又∵OM 平分∠BOC, ∠COM=∠BOC=60°

集合竞赛试题

竞赛试题选讲之：集合与函数 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．（2006陕西赛区预赛）a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a ==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ） A ． -1 B ．0 C ．1 D ．1± 2．（2006天津）已知函数22)(2+-=ax x x f ，当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．12<<-a B ．12≤≤-a C ．23-≤≤-a D ．13≤≤-a 3．（2006陕西赛区预赛）若关于x 的方程3 23()2 5x a a +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．2(,) (5,)3 -∞-+∞ B ．3 (,) (5,)4 -∞-+∞ C ．2(,5)3- D ．23 (,)34 - 4．（2006陕西赛区预赛）若函数()f x 满足22 ( )log || f x x =+()f x 的解析式是 （ ） A ．2log x B ．2log x - C ．2x - D ．2 x - 5．（2006年江苏）函数3log 3 x y =的图象是 （ ） A B C D 6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且 1201,1x x <<>则b a 的取值范围是 （ ） A ．1(1,]2-- B ．1(1,)2-- C ．1(2,]2-- D ．1 (2,)2 -- 7．（2006年江苏）设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>则 （ ） A ．()()()1230f x f x f x ++> B ．()()()1230f x f x f x ++< C ．()()()1230f x f x f x ++= D ．()()()123f x f x f x +> 8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x 2+1，x ∈R +}，B={y|y=－x+1，x ∈R}，则A 与B 的交集是 （ ） A ． (0，1)或(1，1) B ．{(0，1)，(1，1)} C ． {0，1} D ． (－∞，1) 9．（2006安徽初赛）已知lg x 的小数部分为a ，则21 lg x 的小数部分为 （ ） A ．2a -的小数部分 B ．12a -的小数部分 C ．22a -的小数部分 D ．以上都不正确

(完整word版)平行线练习题提高

平行线判定与性质提高题 姓名 1、如图1，AB∥CD，且∠BAP=60°－α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°－α，则α=( ) A、10° B、15° C、20° D、30° 2、如图2，CD AB//，且ο 25 = ∠A，ο 45 = ∠C，则E ∠的度数是（） A、ο 60 B、ο 70 C、ο 110 D、ο 80 3、如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（） （A）α+β+γ=1800（B）α—β+γ=1800（C）α+β—γ=1800（D）α+β+γ=3600 4、如图4，已知AB//DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD= 5、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线） 6、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。 7、如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。 8、如图，∠ABC＋∠ACB＝110°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,EF 过点O与BC平行，求∠BOC。 9、如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。 E D C B A F E D A B C F E A O B C α2 1 F E D C B A A B P C D 图1 E D C B A 图2 A B C D E α β γ 图3 图4 E D C B A

10、已知AB ∥CD ，∠B=65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN=90°，求∠DCN 的度数. 11、.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°， 问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？ 12、如图，DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上的一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°， AP 平分∠BAC ，求∠PAG 的度数。 13、如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD 的度数。 14、如右图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间 来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。 若已知∠1=55°，∠3=75°，求∠2的度数。 15、已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ；试求∠P 的大小. N M E D C B A F E D C B A _G _F _E _P _D _C _B _A 123456a A B A B E P F C D

平行线的判定与性质培优经典题(1)

（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;

（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .

C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S

最新平行线经典练习题(整理版)

精品文档平行线经典练习题（整理版） 一．判断题： 1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。（）2．如图①，如果直线1l⊥OB，直线2l⊥OA，那么1l与2l一定相交。（）3．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（） 二．填空题： 1．如图③∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。 ∵∠2=∠3，∴_______∥________（）。 2．如图④∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。 ∵∠3=∠4，∴_______∥________（）。 3．如图⑤∠B=∠D=∠E，那么图形中的平行线有________________________________。4．如图⑥∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知） ∴AB∥CD ( ) 又∵∠1+∠2 = 180（已知） ∴AB∥EF ( ) ∴CD∥EF ( ) 三．选择题： 1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（） A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF 2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（） A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE 3．如图⑨，下列推理错误的是（） A．∵∠1=∠3，∴a∥b B．∵∠1=∠2，∴a∥b C．∵∠1=∠2，∴c∥d D．∵∠1=∠2，∴c∥d 4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6， ③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（） A．①③B．②④C．①③④D．①②③④ 四．完成推理，填写推理依据： 1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB∥CD（）∵∠BGC=∠_______，∴CD∥EF（） ∵AB∥CD ，CD∥EF， ∴AB∥_______（） 2．如图⑾填空： （1）∵∠2=∠B（已知） ∴AB__________（） （2）∵∠1=∠A（已知） ∴__________（） （3）∵∠1=∠D（已知） ∴__________（） （4）∵_______=∠F（已知） ∴AC∥DF（） 3.填空。如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知） ∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（） ∴∠CAB＝∠______（） ∵∠CAE＝∠DBF（已知） ∴∠BAE＝∠______ ∴_____∥_____（）

初二奥数题实数练习

三、练习 1． 分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 4 2. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30 ③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －70 3. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ②x 3－3x 2+3x+7 ③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3 ④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+2 4. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21 ③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+1 5. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8 ③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91 6．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3 ③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4 ⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3） 7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数 8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式 求：当x=1时，f(x)的值 练习题参考答案 1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例1 3. 拆项，配成两数和的立方 ①原式=(x+y)3+y 3……③原式=(x-3a)3+a 3 ⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3 4. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6 ④x=2 1时，原式=0，有因式2x －1 5. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7 ④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)=…… 6. 分组配方 ③原式=(x 2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解 ⑤以a=－b 代入原式＝0，故有因式a+b 7. 可分解为两个非1的正整数的积 8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式， 3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4

平行线性质竞赛题

【新方法】平行线的判断与性质 B-P138 平行线的综合运用方法—— 1.由角定角 已知角的关系 两直线平行 确定其他角的关系 2.由线定线 已知两直线平行 角的关系 确定其他两直线平行 【例1】（1）O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1 ，l 2，l 3 ,…l 2005, 则可形成 以O 为顶点的对顶角。 （2）若平面上4条直线两两相交，且无三点共线，则一共有 对同旁内角。 【例2】如图，已知AD ∥EG ∥BC ，AC ∥EF ， 则图中与∠1相等的角有（ ）对。 【例3】如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ， DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的 平分线，求证：∠EDF = ∠BDF. 【例4】探究： （1）如图a ，若AB ∥CD ，则∠B+∠D=∠E ， 您能说明为什么呢？ （2）反之，若∠B+∠D=∠E ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明。 (3) 若将点E 移至图b 所示位置，此时∠B 、∠D 、∠E 之间有什么关系？请证明。 (4) 若将E 点移至图c 所示位置，情况又如何？ (5) 在图d 中，AB ∥CD ，∠E+∠G 与∠B+∠D+∠F 又有何关系？ (6) 在图e 中，若AB ∥CD ，又得到什么结论？ 判 定 性质 判 定 性质

【例5】平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能得到？ 平移变换 【例6】平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36。，请说明理由。

学力训练 B-P141 1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则 ∠1+ ∠2 = 。 2.如图，直线a ∥b ，则∠A = 。 3.如图，已知AB ∥CD, ∠1 = 100。，∠2 = 120。，则 ∠a = 。 （第1题） （第2题） （第3题） 4.如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80。，∠CDE =140。，则∠BCD = 。 5.如图，已知l ∥m ，∠1=115。，∠2 = 95。，则∠3 = （ ） A. 120。 B. 130。 C. 140。 D. 150。 6.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=115。，∠A = 25。，则∠3 = （ ）. A. 70。 B. 80。 C. 90。 D. 100 。 7.如图，∠AOB 的两边OA,OB 均为平面反光镜， ∠AOB = 35。，在OB 上有一点E ，从E 点射出一束 光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ） A. 35。 B. 70。 C. 110。 D. 120。 8.如图，AB ∥CD ∥EF ∥GH, AE ∥DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与∠α相等的角的 个数为m （不包括∠α本身），与∠β互补的角的个数为n ，若α≠β，则m+ n 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9.如图，已知∠1+∠2 = 180。，∠3=∠B,是判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并对结论进行论证。