2011年江苏省高考文科数学试题解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
参考公式：
（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2
2
1
1
()n
i
i s x x n
==
-∑,其中1
1
n
i
i x x n
==
∑
（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A 答案：{}1－，2
解析：考察简单的集合运算，容易题。
2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________
答案：+∞1
（－，）2
解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 答案：1
解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ 答案：3
解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。https://www.wendangku.net/doc/a02216262.html,
9第题图
答案：
13
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 答案：
165
解析：考察方差的计算，可以先把这组数都减去6再求方差，165
，容易题。
7、已知,2)4
tan(=+π
x 则
x
x 2tan tan 的值为__________
答案：
49
解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
2
2
tan()1
1tan tan 1tan 44
tan tan(),2tan 443tan 229
tan()141tan x x x
x x x x x x x
π
ππ
π+
-+-===++（－）＝＝＝－
8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q
两点，则线段PQ 长的最小值是________
答案：4
解析：考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设交点为2
(,)x x
，
2(,)x x
--，则2
24(2)()4PQ x x
=
+≥
9、函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则
____)0(=f
答案：62
±
解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图
可知：
72,
,2,4
12
3
4
T A π
π
πω==
-
=
=22,,3
3
k k π
?π?ππ?
+==-
26(0)2sin()3
2
f k ππ=-
=±
由图知：6(0)2
f =
10、已知→
→
21,e e 是夹角为π3
2的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=?→
→b a ，则
k 的值为 。 答案：
54
解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。由0=?→
→b a 得：54
k =
11、已知实数0≠a ，函数???≥--<+=1
,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为
________ 答案：34
a =-
解析：考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。30,2212,2
a a a a a a >-+=---=-，
不符合；30,1222,4
a a a a a a <-+-=++=-
12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 答案：m ax 11()2t e e =
+
解析：综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，难题。 设0
0(,),x P x e 则0
0000:(),(0,(1))x x x
l y e
e x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线
00(),(0,)x x x x y e
e
x x N e
x e
---=--+，
000011[(1)]()22
x x x x x x
t x e e
x e
e x e
e --=-++=+
-
'
01
()(1)2
x x t e
e
x -=
+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，m ax 11()2t e e =
+
。
13、设1271a a a =≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 答案：3
min 3q ∴=
解析：考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。 由
题
意
：
23
1212121112a a a q a a q a a q
=≤≤≤+≤≤+≤，
2
22221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+
3
223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++ 的最小值分别为1，2，3；3
min 3q ∴=
。 14
、
设
集
合
}
,,)2(2
|
),{(2
2
2
R y x m y
x m y x A ∈≤+-≤=,
},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,
若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是______________ 答案：
1212m ≤≤
+
解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为
半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，221
2(12)02
2
m m m --+=-+> ，因为
,φ≠?B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0）为圆心，以
2
m 和m 为半径的圆
环，集合B 是在两条平行线之间，必有 2212
222
m m
m
m
--≥-≤???
??
21212
m -∴
≤≤+.又因为
2
m 1,212
2
m m ≤∴
≤≤+
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6
sin(A A =+π
求A 的值； （2）若c b A 3,3
1cos ==
，求C sin 的值.
解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。
（1）sin()2cos ,sin 3cos ,63
A A A A A ππ
+=∴=∴= （2）2
2
2
2
1cos ,3,2cos 8,223
A b c a b c bc A c a c =
=∴=+-==
由正弦定理得：
22sin sin c c A
C
=
，而2
22sin 1cos ,3
A A =-=
1sin 3
C ∴=
。（也可以先
x
x
E
F A
B
D C
N
M
P A
x
y
B
C (18)
第题图推出直角三角形）
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD
解析：简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题。 （1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，
,EF PD ∴ 又,,P D PCD E PCD ∈? 面面
∴直线E F ‖平面PCD
（2）AB=AD ,BAD =60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,?面面＝,BF PAD ∴⊥面
所以，平面BEF ⊥平面PAD 。
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直
角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
解析：考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中档题。
（1）2
2
2
2
604(602)2408S x x x x =---=-（0 （2）2 22(2) (602)42(30)(030)2 V x x x x x =-=-<<，所以，' 122(20),V x x =- 当020,x <<时，2030V x V <<递增，当时，递减，所以，当x=20时，V 最大。 此时，包装盒的高与底面边长的比值为2 x 122x =（60－2） 2 18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N (16) 第题图 分别是椭圆 12 4 2 2 =+ y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象 限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、 解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、 直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。 （1）M(-2,0),N(0,2-),M 、N 的中点坐标为(-1,22 - ),所以22 k = （2）由 { 2 2 224 y x x y =+=得2424(,),(,)33 3 3 P A - - ，2( ,0)3 C ，AC 方程： 2 34223 33 x y - = - --即：23y x =- 所以点P 到直线AB 的距离2 42223 333 2 d - - = = （3）法一：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则， A 、C 、 B 三点共线，010110 10 ,2y y y y x x x x x +∴ ==-+又因为点P 、B 在椭圆上， 2 2 2 2 001 11, 14 2 4 2 x y x y ∴ + =+ =，两式相减得：01012() PB x x k y y +=- + 00110010 011001()()[]12() ()() PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴= - =- =-+++ PA PB ∴⊥ 法二：设112200111(,),(,),A,B N (x ,y ),P(-,),C (-,0)A x y B x y x y x -中点则, A 、C 、 B 三点共线，221121 21 1,2AB y y y y k x x x x x -∴ ===+-又因为点A 、B 在椭圆上, 2 2 2 2 221 11, 14 2 4 2 x y x y ∴ + =+ =,两式相减得：00 12AB y x k =- , 0101 1212O N PA AB AB y y k k k x x k ∴= =- ?=-,,ON PB PA PB ∴⊥ 19、（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和 )(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在 区间I 上单调性一致
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