第二章__Z变换
第二章 序列的Z 变换与傅里叶变换 2.1 引言
信号与系统的分析方法:
时域分析；变换域分析 信号与系统的分析方法有多种
连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t 的函数表示；系统用微分方程描述。
离散时间信号与系统：z 变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。 z 变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。 2.2 Z 变换的定义与收敛域 一、z 变换的定义
序列x(n)的Z 变换定义：
双边Z 变换
单边Z 变换
因果序列的Z 变换: 单边Z 变换可以看成因果序列情况下的双边Z 变换
z 是一个复变量， 它所在的复平面称为z 平面。z 是一个连续复变量，具有实部和虚部。 变量z 的极坐标形式 单位圆:
在Z 平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为
例2.1 求序列 的Z 变换。 解：序列x (n )是因果序列，根据Z 变换的定义
分析收敛性：X (z )是无穷项幂级数。
当|z|≤a 时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。 X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
二、z 变换的收敛域
收敛域: 对于给定的任意序列x (n )，使其Z 变换收敛的所有z 值的集合组成的区域。 Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即
使上式成立的Z 变量取值的域称为收敛域。 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx -可以小到0，Rx +可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx -和Rx +为半径的环域
()()n
n X z x n z ∞
-=-∞
=∑
∞
<=∑
∞
-∞
=-M z n x n n )(110
()[()]()(2.2)
n n X z x n x n z +∞
-==Z =∑
j ||e z z ω=j e z ω
=()()n x n a u n =
10011213()()()1()()n n n n
n n n X z x n z a z az az az az +∞+∞+∞---=-∞==---====++++???∑∑∑
110
1()(),||||1n n z
X z az z a az z a +∞
--====--∑
＞
不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。 1. 有限长序列 其Z 变换为
收敛域：
n1<0，n2≤0时(-n=0~c ）， 0≤z ＜∞ n1<0，n2>0时(n=-a~b)， 0 例2.2 求序列 的Z 变换。 解：根据Z 变换的定义 讨论： 假设|a|是有限值，且|a|＜1。 X(z)有一个z= a 的极点，但也有一个z= a 的零点，将零极点对消。 收敛域为0＜|z|≤+∞。 2. 右边序列 Z 变换： 第一项收敛域：0≤|z|＜∞ 第二项收敛域：Rx-<|z|≤∞ 收敛域：Rx-<|z|<∞ 如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞ 3. 左边序列 Z 变换： 第二项收敛域：0＜|z|≤∞ 第一项收敛域：0≤|z| 如果n2<0， 收敛域定为0≤|z|< Rx+ ???≤≤=其它0 ) ()(21n n n n x n x ∑ =-=21)()(n n n n z n x z X ???≥=其它0 ) ()(1n n n x n x ∑ ∑∑∞ =--=-∞ =-+==01)()()()(11n n n n n n n n z n x z n x z n x z X ()()n N x n a R n =11111001()()()1N N N n n n n n az X z a z az az ------==-===-∑∑ ???≤=其它0 ) ()(2n n n x n x ∑ ∑∑=--∞=--∞=-+==2210 )()()()(n n n n n n n n z n x z n x z n x z X 4. 双边序列 Z 变换： 右边序列：n1≤-1，Rx- <|z|<∞； 如果n1>-1 ， Rx- <|z|≤∞。 左边序列：n2>0，0<|z|< Rx+； 如果n2<0， 0≤|z|< Rx+ 。 ∴双边序列：Rx-<|z|< Rx+ 。 例2.3求x(n)=δ(n)的z 变换及其收敛域。 解： 这是一个有限长序列。 所以收敛域为整个z 的闭平面。 分析2.1例x(n)=a n u(n)的z 变换及其收敛域。 解： 这是一个右边序列，并且是一个因果序列。 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z 变换的收敛域一定在 模最大的有限极点所在圆之外，对因果序列，包含z=∞。 例2.4 求x(n)=-b n u(-n-1)的z 变换及其收敛域。 解： 这是一个左边序列。 收敛域为极点所在圆|z|=|b|的内部。 一般说来，左边序列的z 变换的收敛域一定在 模最小的有限极点所在圆之内，但原点不一定。 例2.5 求x(n)= a n u(n) -b n u(-n-1)的z 变换及其收敛域。 解： 这是一个双边序列。 收敛域为为一个圆环。 一般说来，双边序列的z 变换的收敛域 一定在其左边序列模最小的有限极点所在圆之内， 在其右边序列模最大的有限极点所在圆之外。 ?? ?≤≤=其它)(0)(21n x n n n n x ∑ ∑∑--∞ =-∞=-∞ -∞=-+==1 0)()()()(n n n n n n z n x z n x z n x z X []1)()()(===∑ ∞ -∞ =-n n z n n ZT z X δδ∞≤≤z 0() 111 1 1()(1),1n n n n n n n n X z b u n z b z b z z b bz ∞-∞----=-∞=-∞==---=-=-=<-∑∑∑ ()()()b z a b z a z b a z z z b z a z n x z X n n n n n n n n <<----=-==∑ ∑∑--∞ =-∞=-∞-∞=-,2)()(1 x(n)=δ x(n)=a n u(n) x(n)=-b n u(-n-1) x(n)= a n u(n) -b n 常见序列Z 变换 P49表2.1 z 变换的特点 1. 同一个z 变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 常用序列的z 变换是一个有理分式，可表示为： 其中，P(z)、Q(z)分别是z 的实数系数多项式； 3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)； 4. 在极点处z 变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域一般为同心圆环，用极点限定其边界。 – 右边序列的z 变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 – 左边序列的z 变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内 例2.6： 1)(=z X a z az z X >-=-,11 )(1 b z bz z X <-=-,11 )(1 ()()()b z a b z a z b a z z z X <<----=,2)() ()()(z Q z P z X = 1()()z N x n R n =例：求的变换及其收敛域 ] z X(z)=()=()n n N n n x n z R n z ∞∞--=-∞=-∞ ∑∑解：10=N n n z --=∑2 1,...,r j N z e r N π==-零点：01z N =-极点： （）阶 : 0Roc z <≤∞ 2121 11n n n n n n q q q q +=-=-∑111N z z ---= -2 1 n q →∞<时须满足11(1) N N z z z --= - 例2.7： 作业：p84 2.1、2.3 4()z n x n a a =例：求 ，为实数，求其变换及其收敛域10 X(z)=()==n n n n n n n n n n n x n z a z a z a z ∞∞-∞ -----=-∞=-∞=-∞=+∑∑∑∑ 解：10=n n n n n n a z a z ∞∞ -==+∑∑ 1 1n n n az a z az ∞ ==-∑ 11/az z a 01 1n n n a z az ∞ --==-∑ 11az z a -1X()a z ∴≥当时，无公共收敛域，不存在]z 211(1) 1()11(1)() az z a a X z az az az z a --<=+=----当时，0,z =∞零点：1,z a a -=极点：: <1/Roc a z a < 2.3 逆Z 变换 已知序列的Z 变换及其收敛域， 求序列称为逆Z 变换。 序列的Z 变换及其逆Z 变换表示 如下： z 反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)；实质：求X(z)幂级数展开式 一、围线积分法(留数法) 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区R x-<|z|< R x+ (Rx-≥0，R x+≤∞)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：p57图2.4 与z 变换的定义比较，x(n)就是罗朗级数的系数C n 留数定理求逆Z 变换：如果函数F(z)=X(z)z n-1在围线c 上连续，在c 以内有K 个极点用z k ，在c 以外有M 个极点用z m ，则有， 或 使用条件：F(z)在z=∞有二阶或二阶以上零点，即要分母多项式z 的阶次比分子多项式z 的阶次高二阶或二阶以上。 如果z k 是F(z)=X(z)z n-1的单阶极点， 则 如果z k 是F(z)=X(z)z n-1的l 阶极点， 则 如果c 内有多阶极点， 而c 外没有多阶极点， 可以根据留数辅助定理改求c 外的所有极点留数之和， 使问题简单化。 例2.8：已知 求z 反变换。 解： 极点：z=1/4 ；4； 0 (n<-1时，-(n+1)阶) ； ∞(n>1时，n-1阶) [][])()()()()(12 1z X ZT n x z n x n x ZT z X n n n n -=-===∑ +-∞ -∞=-<<=∑ x x n n n R z R z C z X ,)( ,2,1,0,)(211±±==? -n dz z z X j C c n n π+-∞ -∞ =-<<=∑ x x n n R z R z n x z X ,)()( ,2,1,0,)(21)(1±±==? -n dz z z X j n x c n π()[] ∑ ? =--==k z z n c n k z z X s dz z z X j n x 11Re )(21)(π()[] ∑ ? =---==m z z n c n m z z X s dz z z X j n x 11Re )(21)(π()[]()()[] r r r z z n z z n z z X z z z z X s =-=--=11Re ()[] ()( ) ()[] r r r z z n l l l z z n z z X z z dz d l z z X s =---=---=1111 !11Re ] ()44 1 ,414)(2< ?--= z z z z z X ()?? ? ?? --==+-414)()(11 z z z z z X z F n n 零点： ∞ (n<1时，1-n 阶) 当n ≥-1时，围线c 内有一个一阶极点：z=1/4 ； 当n ≤-2时，围线c 外有一个一阶极点：z=4，且分母多项式z 的阶次比分子多项式z 的阶次 高二阶；而在围线c 内部则有一个一阶极点z=1/4及一个-(n+1)阶极点z=0；因此采用外围极点较方便。 ()[] ()()()1544144414Re Re )(21 )(2 4 14111+=+=+=--=?? ????????????? ??----=????????? ?????? ??---=-== ∑?n z n z n m z z n c n z z z z z z z s z z X s dz z z X j n x k π 因此x(n)为： 若上题收敛域改为4≥z 则当n ≥0时，围线c 内有两个极点：z=4, 1/4 ； 当n ≤0时，围线c 外没有极点。0)(=n x 因此x(n)为： 1. 同一个z 变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 在求函数的极点时要全面，如无穷大点和零点； 二、部分分式法 1. 同一个z 变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 常用序列的z 变换是一个有理分式，可表示为： ()[] ()()15441441414Re Re )(21 )(4 1 14 1111n z n z n k z z n c n z z z z z z z s z z X s dz z z X j n x k -=+=+=--=??????????????? ??--??? ?? -=??????????????? ??--=== ∑?π() )2(4)1(415 1)(2--++= +-n u n u n x n n ()??? ? ? --==+-414)()(11 z z z z z X z F n n ()[] ()()[] 24 1 1411144151414Re 414Re Re )(21)(+-=+=+=---=?? ????????????? ??--+????????? ?????? ??--===∑ ? n n z n z n k z z n c n z z z s z z z s z z X s dz z z X j n x k π[ ] )( 4415 1 )(2 n u n x n n +--= ) ()()(z Q z P z X = 其中，P(z)、Q(z)分别是z 的实数系数多项式； 3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)； 设x(n)的Z 变换X(z)是有理分式，分母多项式是N 阶，分子多项式是M 阶，可将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和。 1. 有理函数X(z) 可展成一些简单的常用的部分分式之和。 整式部分系数 单阶极点 多阶极点 例2.9 用部分分式法求逆Z 变换。 解：收敛域为圆外，右边序列。z →∞时，X (z )趋近于有限值1，确定是因果序列。X (z )有两个一阶极点：z 1= 2和z 2= 0.5 求得系数(留数)为 查表2.1可得 例2.10 已知 ，求逆Z 变换。 解： 212 122122311()555166(2)(3)23 ()() Re [,2](2)1 ()() Re [,3](3)1 ()11 (2)(3) 11 ()1213z z X z z A A z z z z z z z z z X z X z A s z z z X z X z A s z z z X z z z z X z z z ---==---====++-++-+-+==-==-=+=-=--+=- -+[ ] ∑∑ ∑∑ ∑ =--=--=-=-=--+-+=+==r k k i k r M k k k N M n n n M i i i M i i i z z C z z A z B z a z b z Q z P z X 111111 1 111)()()(11 22123252)(--+-+=+++=z z z z z z z X 1 1211311 2116z z 15)(-----+--=++=z z z z X 11 1(),||2(12)(10.5) X z z z z --=--＞1211 ()1210.5A A X z z z --=+ --1 12 111 20.51114(12)|(12)(10.5)311(10.5)|(12)(10.5)3 z z A z z z A z z z -=---=--=?-=--=?-=---41 ()[20.5]()33 n n x n u n =?-?1 12 5(),2 316z X z z z z ---=<<++ 因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表2-1得到： x(n)=2n u(n)+(-3)n u(-n-1) 三、幂级数法(长除法) Z 变换的定义可知: X (z )是复变量z -1的幂级数，其系数是序列x (n )的值 显见: 只要在给定的收敛域内，把X (z )展开成幂级数，则级数的系数就是序列x (n ) X (z )展开成幂级数的方法 : log ，sin ，cos 等函数: 利用幂级数公式 有理分式: 直接用长除法 例2.11 求 ，|a|＜|z | 的逆Z 变换。 解：利用ln(1+ x )，且|x |＜1的幂级数公式 展开X (z )得 由收敛域|a|＜|z|知x (n )为右边序列 注: X (z )的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定x (n )。 2.4 Z 变换的基本性质和定理 １．线性：满足叠加原理 Z[ax (n )+by (n )] = aX (z )+bY (z )， R-＜|z|＜R+ 例2.12 求序列x (n ) = u (n )- u (n -3)的Z 变换。 由于出现零极点抵消，收敛域增大了。 由于x (n )是n ≥0的有限长序列，收敛域是除|z|= 0之外的全部z 平面。 例2.13 求序列 的Z 变换。 解： 1012()()(1)(0)(1)(2)(2.8)n n X z x n z x z x z x z x z +∞ ---=-∞ ==???+-++++???∑ 1()ln(1)X z az -=+11231 11(1)(1)ln(1)(11)23n n n n n x x x x x x x n n +++∞=--+=-+-+=-∑ ＜≤11 1 (1)()ln(1)n n n n X z az a z n ++∞--=-=+=∑ 1 (1)()()n n x n a u n n +-=Z[()],11z u n z z =-＞321 3Z[(3)],111n n z z u n z z z z --+∞ --=-===--∑ ＞222 ()Z[()]Z[(3)]1 11X z x n x n z z z z z z z -=--++=-=--()()()n u n n x 0cos ω=()()[]()()[]() [] ( )() 1 ,cos 21cos 1121 121212 12cos 2 0101110000000>+--=-+-=+=??????+=--------z z z z z e z e n u e ZT n u e ZT n u e e ZT n u n ZT j j n j n j n j n j ωωωωωωωωω 2. 序列的移位 设X(z)=ZT ［x(n)］, Rx-<|z| 证明 m-n=k 1)(=n ZT δ，收敛域为Z 平面； 1)1(-=-z n ZT δ，在z=0处不收敛； 1)1(z n ZT =+δ，在z=∞处不收敛。 3. 乘以指数序列 设 X(z)=ZT ［x(n)］, Rx-<|z| y(n)=a n x(n), a 为常数 则 Y(z)=ZT ［a n x(n)］ =X(a -1 z) |a|Rx-<|z|<|a|Rx+ 证明 ４．序列的线性加权 证明 ５．序列的折叠（倒置） ： 证明 ６．初值定理 ：若x (n )是因果序列，即x (n )= 0，n ＜0，则 证明：x (n )是因果序列，有 显然 若x (n )是逆因果序列，即x (n )= 0，n ＞0，有 ７．终值定理 ：若x (n )是因果序列，且X (z )的全部极点，除在z = 1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则 Z[()]()()()n m k m n k x n m x n m z z x k z z X z +∞+∞ ----=-∞=-∞-=-==∑∑ 11Z[()]()()()()n n n n n n a x n a x n z x n a z X a z +∞+∞ ----=-∞=-∞===∑∑ ()d Z[]() d nx n z X z z =-1d d ()()()()d d ()[()] n n n n n n z X z z x n z z n x n z z z nx n z Z nx n +∞+∞ ---=-∞=-∞+∞ -=-∞ -=-=--==∑∑ ∑ 111 Z[()](),x x x n X z R z R ---+- -=＜＜11Z[()]()()()() n n n n x n x n z x n z X z +∞+∞ ----=-∞=-∞ -=-==∑∑ (0)lim () z x X z →∞ =120()()(0)(1)(2)()n n n X z x n z x x z x z x n z +∞ ----===+++++∑ (0)lim () z x X z →∞=0 (0)lim () z x X z →=1lim ()lim[(1)()]n z x n z X z →+∞→=- 证明：由移位性质可得 x (n )是因果序列，则 8. 复序列的共轭 证明： 9．序列的卷积 ： W (z )= Z[x (n )*y (n )]= X (z )·Y (z )， R-＜|z|＜R+ 证明 交换求和次序，并代入m = n -k 得 例2.１4 求 解：查表得 X (z )和H (z )收敛域分别为|z |＞a 和|z |＞b ，所以 由收敛域知y (n )是因果序列，其z 反变换为： 讨论：在z= a 处，X (z )的极点被H (z )的零点所抵消， 如果|b |＜|a |，则Y (z )的收敛域比X (z )与H (z )收敛域的重叠部分要大，如图所示。 [](1)()()()(1)()[(1)()]n n z X z zX z X z Z x n x n x n x n z +∞-=-∞ -=-=+-=+-∑ 1(1)()lim [(1)()]n k n k z X z x k x k z -→+∞ =--=+-∑ 11 lim[(1)()]lim [(1)()]lim{[(0)0][(1)(0)][(1)()]} lim{(1)}lim ()n z n k n n n z X z x k x k x x x x n x n x n x n →→+∞ =-→+∞ →+∞→+∞ -=+-=-+-+++-=+=∑ ()[]() +-<<=x x R z R z X n x ZT ,***()[ ]()()() [] ()() () + -∞-∞=-∞ -∞=-∞-∞=-<<=??? ???===∑ ∑∑ x x n n n n n n R z R z X z n x z n x z n x n x ZT ,*** *** **()Z[()*()][()()]n n k W z x n y n x k y n k z ∞∞ -=-∞=-∞==-∑∑ ()()()()()()()n k n k m k m W z x k y n k z x k z y m z X z Y z ∞∞ -=-∞=-∞ ∞∞--=-∞=-∞ =-==?∑∑ ∑∑ 1()(),()()(1)n n n x n a u n h n b u n ab u n -==--11 111 1 111(),()1111az az X z H z az bz bz bz -------==-=----()()(),||z Y z X z H z z b z b =?=-＞-1()(n)*(n) = Z [()] = () n y n x h Y z b u n =()(n)*(n) = Z [()] = () n y n x h Y z b u n = 2.5 序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 傅里叶变换 傅里叶逆变换 序列x(n)的Z 变换 逆Z 变换 抽样信号的拉普拉斯变换 抽样序列的z 变换为 抽样序列的z 变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。 两个变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射： 令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT []? ∞ ∞ --==dt e t x t x LT s X st a )()()([]? ∞ +∞ --= j j st a dt e t x s X LT σσ)()(1 Ω+=j s σ[]? ∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x t x j X t j )()(([]? ∞∞ -Ω-Ω Ω=Ω=d e j X j X FT t x t j )()()(1Ω =j ()()n n X z x n z ∞ -=-∞ =∑ ,2,1,0,)(21 )(1±±== ? -n dz z z X j n x c n π()()()()()∑ ∑ ??∑? ∞-∞ =-∞ -∞=∞ ∞ --∞∞ --∞ -∞ =∞∞--∧∧∧ =-= -==??????=n nsT a n st a st n a st a a a e nT x dt e nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(sT e z =()[ ]()∑ ∞ -∞ =-==n n z n x n x ZT z X )( 2. ω= ΩT Ω=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系 s 平面到z 平面的 映射是多值映射。 （傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换 得 取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。 ） 3. 抽样序列x(n)的z 变换X(z)和连续信号x a (t)的拉普拉斯变换X a (s)的关系。 采样定理 序列的傅里叶变换 ()e ?()(e )(2.89)sT sT a z X z X X s ===j j e ?()(e )(j )(2.94)T T a z X z X X ΩΩΩ===()[]()()∑ -∞ =-==n n j j e n x e X n x DTFT ωω 2.6 序列的傅里叶变换 1. 序列的傅里叶变换的定义 序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的值 正变换 反变换 说明： (1) 傅里叶变换收敛条件 (2) ω= ΩT ，X(e j ω)为连续周期函数，x(n)是离散时间序列。 (3) 对连续信号，傅里叶变换定义为 频谱用实部和虚部表示 频谱用幅度和相位表示 幅度特性 相位特性 () ()()∑ ∞ -∞ =-===n n j e z j e n x z X e X j ωω ω( )()() 111122n j j n z x n X z z dz X e e d j πωωπ ωππ-=-==?? ()[]()()∑ ∞ -∞=-==n n j j e n x e X n x DTFT ωω () ()() 112j j j n DTFT X e x n X e e d πωωωπ ωπ--??==??? ()()∞ <=∑ ∑∞ -∞ =∞-∞=-n n n j n x e n x ω[]? ∞ ∞ -Ω-==Ωdt e t f t f DTFT j F t j )()()(? ∞∞ -Ω-=Ωdt e t x j X t j )()([]? ∞ ∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()(=n j e X ω()[]()∑ ∞ -∞=-=n n z n x n x (j X )s a sT e z =j j j R I (e )(e )j (e )(2.42)X X X ωωω=+j j j jarg[(e )]j ()(e )|(e )|e ()e (2.43)X X X X ωωω?ωω==j ()|(e )|(2.44)X X ωω==j j I j R (e )()arg[(e )]=arg (2.45)(e ) X X X ωω ω ?ω= 例2.15 设x(n)=R N (n)， 求x(n)的FT 。 解： 画出模和相位的曲线 ，如下图（N=5） 频谱是ω的连续周期函数，周期为2π。 x (n )为实序列时，频谱幅度在区间0≤ω≤2π内是偶对称函数，相位是奇对称函数。 序列傅里叶变换的性质 １．线性：满足叠加原理 2．序列的移位 ： 3．序列的调制 ： 4．序列乘以n ： 5．序列的折叠： 6．序列的复共轭 ： 7．序列的卷积 ： 令n-k= m 1 0/2/2/2/2/2/2(1)/2 ()()1()1() sin(/2) sin /2N j j n j n N n n j N j N j N j N j j N j j j N X e R n e e e e e e e e e e N e ωωωωωωωωωωωωωω∞---=-∞=------==--==--=∑∑ )] (arg[)(??j e H j j e e X =j arg[)]=-(1)/2N R N ωω-j(2)j (e )(e ) X X ωπω+=j j 1212F[()()](e )(e )ax n bx n aX bX ωω+=+-j j F[()]e (e )k x n k X ωω-=00j j()F[e ()](e )n x n X ωωω-=j d (e ) F[()]j d X nx n ωω=-j F[()]( e )x n X ω-=**-j F[()](e )x n X ω =**j F[()](e )x n X ω -=j F[()()][()()]e n n x n y n x n y n ω∞ -=-∞ *=*∑ j j j j ()e ()e (e )(e )k n k m x k y m X Y ωωωω∞∞ --=-∞ =-∞ ==∑ ∑ 8．序列的乘积 ： 8．帕斯瓦尔定理 ：能量守恒定理，表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量 任何序列x (n )总能表示为一个共轭对称序列x e (n )和共轭反对称序列x o (n )之和 定义x e (n )和x o (n )： 序列x (n )与x e (n )和x o (n )的关系 序列傅里叶变换的对称性 j F[()()][()()]e n n x n y n x n y n ω∞-=-∞ ?=∑ j j j 1(e )e d ()e 2n n n X y n π θθωπ θπ∞ --=-∞=?∑ ? j j()1(e )d ()e 2n n X y n πθ ωθπθπ∞---=-∞ =∑ ? j j()1(e )(e )d 2X Y π θωθπθ π--=? 2j j 1|()|()()()[(e )e d ] 2n n n n x n x n x n x n X πωωπωπ+∞+∞+∞ * *-=-∞=-∞=-∞==∑∑∑ ? j j 1(e )()e d 2n n X x n πωωπωπ+∞ *-=-∞ =∑? j j 1(e )(e )d 2X X πωωπωπ*-= ? j 21|(e )|d 2X πωπ ωπ-=? e o ()()()x n x n x n =+** e e o o ()(),()()x n x n x n x n =-=--e o 11()[()()]()[()()] 22 x n x n x n x n x n x n **=+-=-- 序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。 (j 序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。 它们的傅里叶变换为： 实序列x(n)的傅里叶变换X(e j ω)具有共轭对称性；其实部(幅度)是ω的偶函数，虚部(幅角) 是ω的奇函数。 周期序列的傅里叶级数表示 周期序列定义： 周期序列不是绝对可和的：在任何z 值下，其Z 变换都不收敛 周期序列的傅里叶级数表示 a k : 傅里叶级数的系数 基频序列: e 1(n ) k 次谐波序列: e k (n ) 离散傅里叶级数只有N 个独立谐波分量: 因为复指数序列是k 的周期函数 周期序列: 只取k ＝0到N -1的N 个独立谐波分量足以表示原信号 P45 1.18；1.19 ()(),k x n x n kN =+为任意整数 2j ()e kn N k k x n a π+∞ =-∞=∑ （2.7.4） 2j 1e (n)=e n N π2j e ()e kn N k n π =22j ()j e ()e =e =e () k mN n kn N N k mN k n n ππ ++=21 j 01()()e N kn N k x n X k N π -==∑ （2.7.5） ()[]{}()ω j e e X n x DTFT =Re ()[]{}() ωj o e X n x j DTFT =Im ()[]()[]ωj e e X n x DTFT Re =()[]()[] ω j o e X j n x DTFT Im = X(e j ω) = X*(e -j ω) x er (e j ω)+j x ei (e j ω) = x er (e -j ω)- jx ei (e -j ω) |X(e j ω)| e arg[X(ej ω)] = |X(e -j ω)| {e -arg[X(e-j ω)]} 2.7离散系统的系统函数、系统的频率响应 对线性移不变系统： 线性移不变系统的系统函数 可见，H (z )与h (n )是一对z 变换 例2.16 因果离散时间系统的差分方程y (n )-3y (n -1)+2y (n -2)= x (n )+2x (n -1)，求单位脉冲响应h (n )。 解：设初始状态为零，对差分方程进行z 变换 展开为部分分式 h (n )为因果序列。对H (z )取逆z 变换，得 线性移不变系统的频率响应 一、因果稳定系统 系统稳定的充要条件： 因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0 z 变换 收敛域满足： 系统稳定要求收敛域包含单位圆|z|=1即)(ω j e H 存在且连续； 因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。
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