高等数学下 复旦大学出版 习题十一
261
习题十一
1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L
P x y x =?其中P (x ,y )在L 上连续．
证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，
则 L ：12x a
b t b y t =?≤≤?=?
，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故
()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ??=?=?= ???
???
2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b
L
a
P x y x P x,x =??，
其中P (x ,y )在L 上连续．
证：L ：0x x
a x
b y =?≤≤?=?
，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．
故()(),d ,0d b
L
a
P x y x P x x =??
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)()
22d -?L
x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
(2)d L
xy x ?
其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2
(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；
(3)d d L y x x y +?，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π
2
的一段弧；
(4)()()22
d d L
x y x x y y x y +--+?
，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；
(5)2d d d x x z y y z Γ
+-?，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；
(6)()
322d 3d ++-?x x zy x y z Γ
，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；
(7)d d d L
x y y z -+? ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0）
，(0,1,0)，(0,0,1)；
(8)()()
222d 2d L
x xy x y xy y -+-?，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．
解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，
262
()()2
2
2
2
2
4
3500
1156d d 3515L x y x x x x x x ??
-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为
图11-1
cos 0πsin x a a t
t y a t =+?≤≤?
=?
L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故
()()()()()
1
2
π20
π
320
π
π
3
220
3
d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2
L
L L a
xy x xy x xy x
a a t a a t t x a t t t
a t t t t
a =+'=?++=-+=-+=-??
?????
?
(3)()π20
π
2
20
π2
20
d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220
L
y x x y R t R t R tR t t R
t t
R t +=-+????=??=??
??=???
(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故
()()()()()()22
2π
202π
220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2π
L
x y x x y y
x y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=
+---????=-=-?
??
263
(5)
()()()2π
22
0π3220
π
3320332d d d sin sin cos cos d d 131
ππ3
x x z y y z
k k a a a a k a k a k a Γ
θ
θθθθθ
θθθθ+-=?+?--=-??=-????=-???
(6)直线Γ的参数方程是32=??
=??=?
x t y t z t t 从1→0．
故
()()3
2
2
3
2
2
10
3
1
4
1d 3d d 27334292d 87d 1
874874
x x zy y x y z t t t t t t
t t
t Γ++-??=?+??+-???==?=-???
(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示
)
图11-2
1:0y x AB z =-??=?
，x 从0→1
()0
1d d d 112AB x y y z dx -+=--=-??????． 0:1x BC y z =??=-?
，z 从0→1
264
()()()1
01
01
20d d d 112d 12232
BC x y y z z dz z z
z z -+=--+-?
???=-?
?=-??
??=???
:1y CA z x =??
=-?
，x 从0→1 []1
d d d 1001CA
x y y z dx -+=-+=?
?．
故
()()d d d d d d 312122
L
AB
BC
CA
x y y z
x y y z
-+=++-+=-+
+=???? (8)
()()()()()22
1
2
2
4
2
11
2
3541
2d 2d 222d 224d 14
15
L x xy x y xy y
x x x x x x x x
x
x x x x
---+-??=-?+-????=-+-=-
???
4．计算()()d d L
x y x y x y ++-?，其中L 是
(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 解：(1)L ：2
x y y y ?=?=?
，y ：1→2，故
()()()()()2
2
2
1
2
321
2
4321d d 21d 2d 1
112
32343
L x y x y x y
y y y y y y
y y y y
y y y ++-??=+?+-???=++??=++??
??=???
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2
265
故
()()()()()2121
22
1
d d 32332d 104d 5411
L x y x y x y
y y y y y y y
y y ++-=-+?+-+????=-??=-??
=??? (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y =??=?
，y ：1→2；L 2：2x x y =??=?，x ：1→4；
故
()()()()()1
2
12
221
1
d d 101d 1d 21
2
L x y x y x y
y y y y y y y ++-=+?+-??????
=-=-??
??=
???
()()()()()()2
4
14
4
21
1
d d 220d 1
2d 22272L x y x y x y
x x x x x x ++-=++-????
???=+=+????=???
从而
()()()()()1
2
d d d d 1271422
L
L L x y x y x y
x y x y x y
++-=+++-=
+=???
(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故
()()()()()()1
2
2
1
320
1
4320
d d 32412d 10592d 10592432323
L x y x y x y t t t t
t t t
t t t t
t t t t ++-??=++++--???=+++??=+++??
??=???
5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．
266
解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t
=??=?，t ：0→π
2
()()()()π
20
22π20
π
222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2
cos 2222
L
W kx x ky y
ka t t kb t b t t k b a t t
k b a t k b a =+=-+?????-=
--??=????-=
???
(其中k 为比例系数)
6．计算对坐标的曲线积分：
(1)d L
xyz z ?，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；
(2)()()()
222222d d d L
y z x z x y x y z -+-+-?，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，
方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ?++=?=? 即2221x z y z
?+=?=?
其参数方程为：cos x t
y t
z t =??
??=??
?=?? t ：0→2π 故：
2π
2π2
20
2π20
2π0d cos d sin cos d sin 2d 1cos 4d 2xyz z t t t t t t t t t t t t Γ==
=-==??
(2)如图11-3所示．
267
图11-3
Γ=Γ1+Γ2+Γ3．
Γ1：cos sin 0
x t
y t z =??
=??=?
t ：0→π2，
故
()()()()()1
2
22222π22
20π3
320
π320
d d d sin sin cos cos d sin
cos d 2sin d 24
233
y
z x z x y x y z
t t t t t
t t t
t t Γ-+-+-??=--???=-+=-=-?
=-???
?
又根据轮换对称性知
()()()()()()1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d d d 3d d d 4334
y z x z x y x y z y z x z x y x y z
ΓΓ
-+-+-=-+-+-??=?- ?
??=-?? 7．应用格林公式计算下列积分：
(1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ
， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正
向边界；
(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L
x y x y x xy x y x x y ++--? ，其中L 为正向星形线
()222333
0x y a a +=>；
(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+?L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π
2
,1)
的一段弧；
(4)()()22d d sin L
x y x y x y --+?，L
是圆周y (0,0)到(1,1)的一段弧； (5)()()d d e sin e cos x x L x y y my y m +--?，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax
上半部分的路线（a 为正数）．
268
图11-4
解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，
Q =3x +5y -6，3Q
x
?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1
432
212
L
D D
D
x y
x y x y Q P x y x y x y
x y
+-++-????
-= ?????===???=???????
(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P
x x x x y y ?=+-?，
2cos 2sin 2e x Q
x x x x y x
?=+-?． 从而P Q y x
??=??，由格林公式得． ()()2
22d d cos 2sin e sin 2e d d 0
++--????
-= ?????=??? x x L
D x y
x
y x xy x y x x y Q P x y x y
(3)如图11-5所示，记OA ，AB ， BO 围成的区域为D ．（其中 BO
=-L ）
图11-5
P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2
262cos P xy y x y ?=-?，262cos Q xy y x x ?=-? 由格林公式有：
269
d d d d 0L OA AB D Q P P x Q y x y x y -++????
-+== ?????
??? 故π
2
1220
01220
2d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4
++=+=+++??=+-+?? ???
??=-+ ???=??
?????L
OA AB OA AB
P x Q y P x Q y
P x Q y P x Q y
O x y
y y y y y
(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．
图11-6
由格林公式有
d d d d ++????
-+=- ?????
???L AB BO D Q P P x Q y x y x y 而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．
1?=-?P y ，1?=-?Q
x
，即，
0??-=??Q P x y 于是()d d d d 0+++++=
+=??
?
?L
AB
BO
L AB BO
P x Q y P x Q y
从而
()()()()()()()222
2221
1
22001
1
300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471
sin 2
64
L L
BA OB P x Q y x y
x y x y x y x y x y x y x y x y y x x
y x y y +=--+=-+--+-+=-++????=+-+????????=-+?
??
???
(5)L ，OA 如图11-7所示．
图11-7
270
P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ?=-?，e cos x Q y x ?=? 由格林公式得：
2
2d d d d d d d d 1π22π8
L OA D D
D
Q P P x Q y x y x y m x y
m x y
a m m a +????
-+= ?????
==??
=?? ?
??=
??????? 于是：()()[]2
2
02
02πd d d d 8
πd 0e sin 00e cos08
π0d 8
π8
+=-+=-+??-??-=-=
????L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a x
m m m a x
m a
8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ； (2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1)
()()()()()2π
32
02π
2π24222
20
02π
20
2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4
3d 1cos 41cos 2163
d 1cos 2cos 4cos 2cos 416
312π+d cos 2cos61623π8L
A y x a t a t t
t a t t t a t t t a t t t a t
t t t t a t t t a =-=-?-==
?=
--=--+??=+????
=???????
(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得
cos x a =
，sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：
271
[]π24π4
π
2
4π
4
2
1
2d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθ
θ--=?
-===??
(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为
cos 02πsin x a a y a θθθ
=+?≤≤?
=?
故()()[]()2π
022π
02
1
d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y x a a a a a θθθθθθθ=
-=-=+=?-???
9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()
()1,10,0d d x y x y --?
；
(2)()()()
()
3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--?
；
(3)()
()
1,22
1,1d d x y x x y
-?沿在右半平面的路径；
(4)()
()
6,81,0?
沿不通过原点的路径；
证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且
1P Q y x
??==-??，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是
()()()()1
1,100,00d 0d d x x y x y ==--??
(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123P
xy y y
?=-?，2123Q
xy y x
?=-?，有
P Q y x ??=??，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则
()()()()
()()[]3,42
3221,24
3
221
4
3
2321
2d d 663d d 63966434864236
x y xy
y x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+??--??=???
272
(3)2y P x =
，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ?=?，2
1Q x x ?=?，在右半平面内恒有P Q y x
??=??，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则
(
)
()
()21,22
11,1d d d 11x y x x y y -==--??
(4) P =
，Q =
P Q
y x
??==??分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)
的折线，则
()
(
)686,8101,080
1529
x y =+?=+?=???
10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：
(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；
(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ． 2P Q y x ??==??，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()
()
(),0,00
22022d d ,22d d 2222222
x y x
y y
u x y x y x y x y x x y
x y x y xy x y xy =+++=++??=++????=++?
??
(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q
x y x
??==??，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()
()
,20,020
22d d ,0d d x y x
y u xy x x y x y x x y
x y
=+=+=?
??
(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，
2316??=+=??P Q
x xy y x
，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y
273
是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()
()
(),22320,0320
0322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12
x y y x
y
y y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+?
??
(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ?=-+?，2cos 2sin Q
y x x y x
?=-?， 有
P Q
y x
??=??，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()
(),2
20,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y x
y
u x y x y x y y x y x x y x x y
y x x y y x x y
=++-=+-=+?
?? 11．证明：
22
d d x x y y
x y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函
数的全微分，并求出这样的一个二元函数．
证：22
x P x y =+，22y
Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．
()2
222??-==
??+P Q xy
y x x y ，(x ,y )∈G 因此
22
d d x x y y
x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．
由()()22
222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++??
知()()221
ln ,2
u x y x y =+．
12．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r
=-
+构成力场，其中k
为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．
证：场力沿路径L 所作的功为． 33d d L
k k W x x y y r r =-
-? 其中3kx P r =-，3ky
Q r
=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且
53(0)P kxy Q x y r x
??==>?? 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．
13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑
??与二重积分有什么关系？
274
解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ
故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑
∑
=±????
当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分：
(1)22d d x y z x y ∑
??，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；
(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++??，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限
内的部分的前侧；
(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++??????????????，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；
(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑
++?? ，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整
个边界曲面的外侧； (5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑
++---??
，其中Σ
为曲面z =与平面z =h (h >0)所
围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；
(6)()()22d d d d d d +++-?? y y z x z x x y y xz x z ∑
，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表
面，取外侧为正向；
解：(1)Σ
：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．
(
((
)()(
)
()()()2
2222π
42200
2π22
22222002π
220
0354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 8
1d d 1cos421612422π1635xy
D R
R R x
y z x y x y x y
r r r
R R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-
??+--???=---?=-?-+--????
??????()72220772π105
R
R r R ??-????=(2)Σ如图11-
8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，
图11-8
275
故d d 0z x y ∑
=??，Σ在yOz 面上的投影
D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：
x =(y ,z )∈D yz ，
故3
0d d d d 3yz
D x y z y z z y y
∑
===????
???
Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：
y =(x ,z )∈D xz ，
故3
d d d d 3xz
D y z x z x z x x
∑
===????
???
因此：
d d d d d d 236π64
3π2
z x y x y z y z x x x
∑++??=????
==?=????
(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为
cos α=
，cos β=
cos γ=，
图11-9
由两类曲面积分之间的联系可得：
276
()()()()()
()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xy
D f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x y
f x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x y
x y z x y
x y x y ∑∑∑
∑∑
αβαβ
γγ
+++++?
???????????=+++++=+++++=-+++??+??=-+=+-??--????????
????d d 1
11212
xy
D x y
==
??=??
??
(4)如图11-10所示：
图11-10
Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故
()()1
2
3
4
4
110
d d 000d d d d 11d d 124xy
D x
xz x y
xz x y
x x y
x y x x y x y ∑∑∑∑∑∑
-=+++=+++=--==
--????????????????
由积分变元的轮换对称性可知．
1
d d dzd 24
xy y z yz x ∑∑
==
????
因此．
d d dyd d d 11
3248
xz x y xy z yz z x ∑++=?
=??
(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：
277
()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0
y z z x x y
y z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ
++---????--?-=++ ??????==????????
(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有
()()()()()2
2
20020
4d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a a
a
a
a
a
a
a
y y z x z x x y
y
xz x z P Q R x y z x y z x y z
x y x y z x y x a y
x y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ
+++-?????
++= ??????=+=+=+??=+??????=+????
=????????
???????
15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量
3d d d d d d d 432
d d d π2π
33
k y z y z x
P Q x y z x y x y z ∑
ΩΩΦ=+????
+= ?????
==?=???????? （由高斯公式）
16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：
(1)222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++?? ，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立
体的表面的外侧；
(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??
，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧； (3)
()()2232d d d d d d 2xz y z z x x y x y z xy y z ∑
++-+?? ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2
，
0z ≤≤
(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++?? ，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2
=9的整个表面的
外侧；
278
解：(1)由高斯公式
()()222
4
d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3a
a
a
x y z y z x z x y v
x y z v
x y z x v
x x y z
a ∑Ω
Ω
Ω
++=++=++==?????????????? 对称性
(2)由高斯公式：
()333
222
2ππ
40
5d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5
a
x y z y z x z x y
P Q R v x y z v x y z r r
a ∑ΩΩ
θ??++?????
++= ??????=++==
????????
???
(3)由高斯公式得
()()()2
2
32222π2π2220
240
5d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5
a a
xz y z z x x y
x
y z xy y z P Q R v x y z v
z x y r r r r r
a ∑ΩΩ
θ????++-+?????
++= ??????=++=?==
????????
?????
(4)由高斯公式得：
2d d d d d d d 3d 3π33
81π
x y z y z x z x y
P Q R v x y z v
∑ΩΩ
++?????
++= ??????==???=????????
17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)
d d d y x z y x z Γ++? ，其中Γ为圆周x 2
+y 2
+z 2
=a 2
，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆
周是取逆时针的方向； (2)
()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ
++---? ，其中Γ是用平面32
x y z ++=截立方体：
279
0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)
23d d d y x xz y yz z Γ
++? ，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取
逆时针方向； (4)
2
2d 3d d +-? y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2
=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是
取逆时针方向．
解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为
{
}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式
2
2
d d d cos cos cos d d πy x z y x z
R Q Q P P R s y z x y z x s
s a a Γ∑∑
∑
αβγ++??????????????--=++- ??? ? ???????????????
====??????? (2)记为Σ为平面32x y z ++=
被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ
的面积为4
长为
2
的正六边形）； Σ的单位法向量为
{
}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式
()()()
(
(
(
(
)
2222
22
d d d
2222d
22
d
3
d
2
3
2
9
2
x y z
y z x y
z x
y z x y s
z x
s
x y z
s
Γ
∑
∑
∑
++
--
-
?
+
----
=--
?
?
=++
=
=
=-
?
??
??
(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：
()()
()
2
2
2
3d d d
d d0d d d d
3
d d
3
5d d
5π2
20π
-+
=++--
+
=-+
=-
=-??
=-
?
??
??
??
xy
D
y x xz y yz z
y z z x x y
z
z x
x y
z
x y
Γ
∑
∑
(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：
()()()
2
2
2d3d d
d d d d d d
000032
d d
d d
π3
9π
+-
=++
---
=
=
=?
=
?
??
??
??
xy
D
y x x y z z
y z z x x y
x y
x y
Γ
∑
∑
18．把对坐标的曲线积分()()
d d
,,
L
P x Q y
x y x y
+
?化成对弧长的曲线积分，其中L为：
(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；
(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；
(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．
解：(1)L
的方向余弦
π
cos cos cos
4
αβ
===，
280
高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤
207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
高等数学习题11答案(复旦大学出版社)
261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； 解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为 图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．
262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； 解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ； 解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；
高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学复旦大学出版社习题答案七
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=
即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----
大学高等数学上考试题库及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
复旦高等数学B期终试卷Word版
复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷 课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 (以下为试卷正文) （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。
6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
二、 设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分） 三、 计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的 有界闭区域。（6分）
高等数学(下册)期末复习试题及答案演示教学
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)
高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为
f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地 看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在 闭区域D 上的二重积分 记作 σ d y x f D ??),( 即
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??
284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；
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