安徽农业大学线代作业本第一章习题答案
线代习题1-4解答
习题1-4解答 1. 求行列式1 22 305 4 03 --中元素2和2-的代数余子式。 解：元素2的代数余子式为03 04 0)1(1 3=-+， 元素2-的代数余子式为293 54 3)1(2 3=---+。 2. 已知四阶行列式D 中第3列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，7-，4，求D 。 解：利用行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（n i ,,2,1 =），或 nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（n j ,,2,1 =） ，所以 1541)7(0325)1(-=?--?+?-?-=D 。 3. 按第3列展开下列行列式，并计算其值： ⑴ 11111110101d c b a ------； 解：原式0 111111 1 )1(0111111 10 ) 1(323 1-----+-------=++b a 1 111101 1 )1(0111101 1 )1(3433------+----+++d c ()()()()d b a d c b a ++=---+-++---++-=11111111111。 ⑵ 000 00000052 51 4241 3231 25 24232221 1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a 。 解：原式00 000 0)1(0 0000) 1(52 51 4241323115 141211 233252 51 42413231 25 242221 13 3 1=-+-=++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式 一．单项选择题 1. A 2. B 3．A 4． A 5. D 6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B 20．B 21．A 22．B 23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A 29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D 35．C 36． D 37．C 38．C 39．A 40．C 41．A 42． D 43．A 44．A 45． B 46．D 47．B 48．Ｂ 49．A 50．C 51．B 52．D 53．C 54．B 55．D 56．C 57．A 58．D 59．D 60．D 61．B 62．B 63．D 64．C 65．B 66．A 67．C 68．A 69．C 70．A 二．填空题 1．653010422-?? ? - ? ?--?? 2．0 3．0 4．125 5．4 6．9 7． ()()()y x z x z y --- 8．17 9．0 10．1 11． 1002011032?? ? ?- ? - ??? 12．()0,1,2T 13．3 14．2 15．0 16．3λ=- 17．-2 18．120220003?? ? ? ?-?? 19． 40 三、简答题 1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 2．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+.,0022 121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即2121 2αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 4．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+. , 0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 四．计算题 习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1 习 题 1-1 1．计算下列二阶行列式： （1） x x 1 1； （2）α α ααsin cos cos sin -． 解 （1） () 111 12 -=-= x x x x ． （2） 1)cos (sin sin cos cos sin 2 2=--=-ααα α αα． 2．计算下列三阶行列式： （1）121223 112 --； （2）00000d c b a ； （3）2 2 2 1 11 c b a c b a ； （4）c b a b a a c b a b a a c b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-??-??--??-??-+-??+??=． （2）原式00000000000=??-??-??-??+??+??=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++= 3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-． 3．证明下列等式： =333231 23222113 1211a a a a a a a a a 33 32 232211a a a a a 33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 证明 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= )()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---= 33 32 232211 a a a a a =33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 4．用行列式解下列方程组： （1）???=+=+643534y x y x ； （2）?????-=-+=++-=+-1 2361 32321 321321x x x x x x x x x ． 解 （1）74 3 34== D ，24 6 351== D ，96 3 542== D ， 苏州大学《线性代数》课程（第八卷）答案 共3页 院系 专业 一、填空题：（30%） 1、 3 )(a b - 2、 AB C =-1 3、 0=A 4、 ()()A r b A r =, 5、 )()(B r A r ≤ 6、 ??? ? ? ??=101020001X 7、 1=t 8、8-=A 9、 ()T A 4,4, 2--=β 10、 ()0,21=αα 二、（8%）解：=+++++++++33333322222 211111 1232323a c c b b a a c c b b a a c c b b a 3 3333322222 2111111262626a c c b c a a c c b c a a c c b c a ++-++-++- ==++-++-++-3 33 33 22222 11111 272727a c c b c a c c b c a c c b c m a b c a b c a b c 773 3 3 2221 11=- (8%) 三、（10%）解：I BA BA A 82-=* 1 1)2(8)]2([8--*-=-=I A A A I A B （5%） ???? ? ? ??-=--4121 41 ) 2(1 I A A （3%） ??? ? ? ??-=242B （2%） 四、（6%）解：令()321,, βββ=B 则())3,2,1( 00, , 321==?==j A A A A AB j ββββ 因0≠B ，所以存在一个j β是0=x A T 的一个非零解 （3%） 0=?A ?30217-=?=+t t （3%） 五、（10%）解： 线性代数习题及答案(复旦版)[] 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659；(2) 987654321； (3) n(n?1)…321；(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=; (4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式的展开式中包含和的项. 解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有 展开式中含项有 . 5. 用定义计算下列各行列式. (1)；(2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12. 6. 计算下列各行列式. (1)；(2) ； (3)；(4) . 【解】(1) ; (2) ; 7. 证明下列各式. (1) ； (2) ； (3) (4) ； (5) . 【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为 但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故 (4) 对D2n按第一行展开，得 据此递推下去，可得 (5) 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加： 但由归纳假设 从而有 8. 计算下列n阶行列式. (1) (2) ； (3). (4)其中； (5). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得 将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得 (2) 按第二行展开 (3) 行列式按第一列展开后，得 (4)由题意，知 . (5) . 即有 由得 . 9. 计算n阶行列式. 【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得 将第一行乘（?1）后加到其余各行，得 代数第一、二章复习 2005-10-31 6 A 2 B = 54 、填空题 1、设 ，则 A 中元素a i2的代数余子式等于-11; Q A 12 1) 1 2、设 3A 3、设 3n A 33 3阶方阵A t ，且 AB 0， 3 -7 a 1 4 ?设 A = a ? a 3 b 1 b 2 b s C 1 a 1 C 2 C 3 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 d 1 d 2 d 3 ，且 A =4， B =1，则 3a 1 3D C 1 2d 1 a 1 bi C 1 2d 1 3a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d 2 3a 3 3b 3 C 3 2d 3 a 3 b 3 C 3 2d 3 A 2 B = a 1 b 2d 1 a ? b 2 C 2 9 a 2 b 2 2d 2 a 3 b a 3 b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ； a 1 b 1 a 1b 2 ab _ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n , 6.设A ，其中a i anb a n b 2 a n b n 则 r(A) = 1 5已知A 是秩为2的4阶矩阵，则 A j 7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式 r(A )= o B D 1 ! 27 (-A) 2C 3 Q 由于(1)9| B|( -A) 1 ; 3 B 3A 1 B ( 3)- A 1 27 8、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2 E 8 ,则 A A 1 = __2__ ； o 阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a 、选择题 *11 *12 *13 4 *11 2 *11 3*12 *13 1、如果D *21 *22 *23 1 ,则 D 1 4 *21 2*21 3*22 *23 *31 *32 *33 4 *31 2 *31 3*32 *33 1 1 1 1 1 1 0 3 9、设 A ，则第 1 1 1 0 1 2 1 1 10、设A 为n 阶可逆矩阵 5 B 是 将 矩阵，则 AB 1 Pii 。 11 ?设A 为5阶方阵， 且 A < =-4 4行各元素的代数余子式之和为 A 中的第i 行与第j 行元素对调后的 则行列式|AA 46 a 11 a 12 a 13 5*11 3*12 *13 12如果D 821 *22 *23 3，则 D 1 5*21 3*22 *23 *31 *32 *33 5*31 3*32 *33 a 21 a 22 14 .已知行列式 A 12 元素（2, 321X 1 *22 X 2 b 1 b 2 的解必 素(1, 2)的 代数余子式 1）的代数余子式A 21的值 15 .已知A 为5 =-45 a 12 811X 1 a 12X 2 13.如果 线性方程组 a 11 习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n -- 北大版-线性代数第一章部分课后答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n -- - - 1 线代习题 一， 填空题（每小题3分，共30分） 1，在五阶行列式中，符号为正的项共有 项。 2，行列式D 中，元素67a 的余子式67M =8，则67a 的代数余子式67A = 。 3，已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则=-1B 。 4，A 是n 阶方阵， a A =，则，kA =___。 5，),,(321A A A A =是三阶矩阵（其中i A 代表A 的第i 列），2=A ，则=-3113,3,2A A A A 。 6，三阶方阵?? ?? ? ?????=b 00e c 0f d a A ，其中0≠abc ，则与A 等价的标准形矩阵是 。 7，3)(=?n m B r ，2=n A ，则=)(BA r 。 8，向量组1234(1,2,3),(1,5,3),(0,1,1),(2,1,2)αααα==-=-=线性 （填相关或无关）。 9，已知单位矩阵4E 的列向量组是4R 的一个基，则T a )4,7,0,2(=在这组基下的坐标是 。 10，),,(321a a a 是一个三阶正交矩阵，则=--321744a a a 。 二， 单选题（每小题2分，共10分） 1，非齐次线性方程组的系数行列式为0，则此方程组（ ） A ,有唯一解 B, 无解 C, 有无穷解 D , B 和 C 都有可能 2，A,B,C 是三个n 阶方阵，则下列等式不一定成立的是（ ） A , AC A B C B A +=+)( B, C AB BC A )()(= C, ACB ABC = D, ABC C AB 2)2(= 3，V 是一个3维向量空间，则（ ） A, V 中元素的维数一定大于等于3 B, V 中元素的维数一定等于3 C, V 中元素的维数一定小于等于3 D, A,B,C 都错 4，都由n 维向量组成的两个向量组A 和B 的向量个数相同，且秩都是4，则（ ） A ，A 和 B 一定等价 B ，分别以A 和B 的向量为列向量组成矩阵，则这两个矩阵一定等价 C ，A 和B 的向量个数一定大于4 D ，n 一定大于4 5，A 是一个不可逆的四阶矩阵，已知它的三个特征值分别是1，2，3，则第四个特征值是（ ） A ，0 B ，1 C ，2 D ，3 三， 计算题（每小题9分，共36分） 苏州大学《线性代数》课程（第十九卷）答案 共3页 院系 专业 一、选择题：（15%） （1）a (2) a (3) b (4) d (5) b 二、填空题：（15%） （1） 53 (2) 0 (3) ????? ? ??---121113A A A (4) 0或 -1 (5) 6，3，2 三、（8%）解：))((bc ad fg eh D --= （根据行列式的定义计算） 四、（10%）解： ()????? ??----→→121101*********Λb A ???? ? ??---→000001211043301 （4%） 基础解系：()T 0, 1,1,31-=ξ，()T 1,0,2,32-=ξ， （3%） 特解；()T 0,0,1,40-=μ （2%） 全部解：322110ξξμk k X ++= （21,k k 为任意常数） （1%） 五、（12%）解：()???? ? ??--→→=02001010111321a a a A Λβααα （1） 当2,0≠≠a a 时，向量组321,,ααα线性无关； （3%） （2） 当2,0≠≠a a 时， β可由向量组321,,ααα唯一地线性表示； （2%） （3） 当0=a 时，2),,(321=αααr ，3),,,(321=βαααr ，β不能由向量组321,,ααα线 性表示； （3%） （4） 当2=a 时，==2),,(321αααr ),,,(321βαααr ，β可由向量组321,,ααα线性表示，且表达式为；k k k ( 2 1321αααβ++-=为任意常数） （4%） 六（12%）解：因为3阶矩阵A 是实对称矩阵，所以可以对角化，且属于不同的特征值的特 征向量两两正交，设()T x x x 3213,,=ξ，得???=+=+0 03121x x x x 1. 设B A ,均为三阶矩阵，2,3A B =-=，则*2T A B = . 2. 设A 是4阶矩阵，伴随矩阵*A 的特征值是1,2,4,8--，则矩阵A 的全部特征值是 . 3. 若向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)T a α=--的秩为2，则a = . 4. 若矩阵 111111t A t t ?? ?=- ? ?-??为正定的，则t 满足的条件为 .. .5 若???? ? ??-==301020201,2)(B A R ，则=)(AB R 6 设A 是n 阶方阵,21,x x 均为方程组b AX =的解,且21x x ≠,则=A ___________ 7 已知(1,1)T x =是 ???? ??=a A 011的一个特征向量，则=a . 8 设 ???? ??=521a A 是正定矩阵,则a 的取值为_____________. 1写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 2求 排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 逆序数； 2试计算行列式 31 1251 3420 111533------. 3 设 γβααα,,,,321都是4维列向量，且4阶行列式a =βααα,,,321， b =321,, ,αααγ，求4阶行列式γβααα+,,,321。 4.设矩阵A=423110123-?? ?? ???，求矩阵B 使其满足矩阵方程 1、AB=A+2B. 2、BA=A+2B. 5设向量 ??????? ??-=42111α，??????? ??=23102α，??????? ??+-=1410233a α，??????? ??+-=52114a α，??????? ??+-=10612b β，问：b a ,取何值时，向量β可由向量组 4321,,,αααα线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表 示式 - 7 求下列矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶非零子式 ??????? ??------11011111100222021110 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 线 性 代 数 12级物联网班 李沛华 一、填空 1. ??? ? ??-=???? ??-=0112,1101B A ，则=AB . 2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6， 24，则D = _______. 3. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 _____，设A *为A 的伴随矩阵，则1A -= ______. 4. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则1A -= __________. 5. ()121,2,3,4_______,34?? ? ?= ? ???()12 1,2,3,4_______34?? ? ?= ? ???. 6. 已知,A B 为n 阶矩阵, 2A =, 3B =-, 则1T A B -= . 7. 设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 . 8. 8. 设A 三阶矩阵，若A =3，则1A -= , A * = . 9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα ，则{}12,,,n r ααα= . 10.行列式 4 10003100021 0001的值为 . 11.设,a b 为实数，则当a = 且b = 时，10100 --a b b a =0. 12.10111111 )(-=x x f 中，x 的一次项系数是 . 13.已知向量组()T 13,2,1=α,()()T 3T 25,4,3,4,3,2==αα,则该向量组的秩 ()123,,r ααα= . 14.A 为n 阶方阵，且d A =，则k A ?= . 15.设A 是三阶可逆矩阵，且1121021003A --?? ? = ? ??? ，则*__________A =. 16.已知向量T T ??? ??-=??? ??=0,31,31,0,21,21βα，则βα,的夹角是 . 17. 已知()1,0,2,2T α=，则α的模||||_______α=. 18.行列式 2 106415324 730 8021的值为 . 19.已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2-,3, 则=-1A . 20.二次型222(,,)222f x y z x y z xy yz =+-+-对应的矩阵为________. 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
线性代数习题1参考答案
线性代数第二章习题答案
《线性代数》习题集(含答案)
线性代数习题集(带答案)
考研线性代数习题集(带答案)
线性代数第一章习题答案
线代08答案 线性代数试题库
线性代数习题及答案复旦版
上海交通大学线性代数第一、二章复习题附答案
北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解
期末复习资料线代习题
线代19答案 线性代数试题库
线代习题及答案
《线性代数》同济大学版课后习题答案详解
线性代数题库
线性代数试题和答案(精选版)