2018年高考数学分类汇编统计概率篇
(2018年北京卷,理科)17.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部,
第四类电影中获得好评的电影有:200×0.25=50部,
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为:
P(A)==0.025.
(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,
第四类获得好评的有:200×0.25=50部,
第五类获得好评的有:800×0.2=160部,
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率:P(B)==0.35.
(Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下:
ξk=,
则ξk服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:
E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4,
D(ξ1)=(1﹣0.4)2×0.4+(0﹣0.4)2×0.6=0.24.
第二类电影:
E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2,
D(ξ2)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16.
第三类电影:
E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15,
D(ξ3)=(1﹣0.15)2×0.15+(0﹣0.85)2×0.85=0.1275.第四类电影:
E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15,
D(ξ4)=(1﹣0.25)2×0.25+(0﹣0.75)2×0.75=0.1875.第五类电影:
E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2,
D(ξ5)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16.
第六类电影:
E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1,
D(ξ5)=(1﹣0.1)2×0.1+(0﹣0.1)2×0.9=0.09.
∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系为:
Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1.
(2018年北京卷,文科)17.(13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(Ⅱ)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(Ⅲ)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
【解答】解:(Ⅰ)总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部,
获得好评的第四类电影200×0.25=50,
故从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率=;
(Ⅱ)获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372,
估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣=0.814,
(Ⅲ)故只要第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,则使
得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
(2018年浙江高考数学理科)7.(4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
则当p在(0,1)内增大时,()
A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小
【解答】解:设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
E(ξ)=0×+1×+2×=p+;
方差是D(ξ)=×+×+×
=﹣p2+p+
=﹣+,
∴p∈(0,)时,D(ξ)单调递增;
p∈(,1)时,D(ξ)单调递减;
∴D(ξ)先增大后减小.
故选:D.
(2018年江苏高考数学理科)6.(5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为0.3.
【解答】解:(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,
共有C52=10种,其中全是女生的有C32=3种,
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3,
(2018年高考数学全国卷1理科)3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解:设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项,种植收入37×2a﹣60%a=14%a>0,
故建设后,种植收入增加,故A项错误.
B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,
建设前,其他收入为4%a,
故10%a÷4%a=2.5>2,
故B项正确.
C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,
建设前,养殖收入为30%a,
故60%a÷30%a=2,
故C项正确.
D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为
(30%+28%)×2a=58%×2a,
经济收入为2a,
故(58%×2a)÷2a=58%>50%,
故D项正确.
因为是选择不正确的一项,
故选:A.
(2018年高考数学全国卷1文科)3.(5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是()
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半(2018年高考数学全国卷1理科)10.(5分)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()
A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3
【解答】解:如图:设BC=a,AB=c,AC=b,
∴a2=b2+c2,
∴SⅠ=×4bc=2bc,SⅢ=×πa2﹣2bc,
SⅡ=×πc2+×πb2﹣SⅢ=×πc2+×πb2﹣×πa2+2bc=2bc,
∴SⅠ=SⅡ,
∴P1=P2,
故选:A.
(2018年高考数学全国卷1文科)19.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
【解答】解:(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图,如下图:
(2)根据频率分布直方图得:
该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率为:
p=(0.2+1.0+2.6+1)×0.1=0.48.
(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为:
(1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65)=0.48,
使用节水龙头50天的日均用水量为:
(1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55)=0.35,
∴估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省:365×(0.48﹣0.35)=47.45m3.(2018年高考数学全国卷1理科)20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f (p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
【解答】解:(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),
则f(p)=,
∴=,
令f′(p)=0,得p=0.1,
当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0,
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0,
∴f (p)的最大值点p0=0.1.
(2)(i)由(1)知p=0.1,
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知Y~B(180,0.1),
X=20×2+25Y,即X=40+25Y,
∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为400元,
∵E(X)=490>400,
∴应该对余下的产品进行检验.
(2018年高考数学全国卷2理科)8.(5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
A.B.C.D.
【解答】解:在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,
从中选2个不同的数有=45种,
和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,
则对应的概率P==,
故选:C.
(2018年高考数学全国卷2理科)18.(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解答】解:(1)根据模型①:=﹣30.4+13.5t,
计算t=19时,=﹣30.4+13.5×19=226.1;
利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿
元;
根据模型②:=99+17.5t,
计算t=9时,=99+17.5×9=256.5;.
利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元;(2)模型②得到的预测值更可靠;
因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,
从2010年到2016年间递增的幅度较大些,
所以,利用模型②的预测值更可靠些.
(2018年高考数学全国卷2文科)5.(5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
【解答】解:从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,共有C52=10种,其中全是女生的有C32=3种,
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3,
(2018年高考数学全国卷2文科)18.(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解答】解:(1)根据模型①:=﹣30.4+13.5t,
计算t=19时,=﹣30.4+13.5×19=226.1;
利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元;
根据模型②:=99+17.5t,
计算t=9时,=99+17.5×9=256.5;.
利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元;(2)模型②得到的预测值更可靠;
因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,
从2010年到2016年间递增的幅度较大些,
所以,利用模型②的预测值更可靠些.
(2018年高考数学全国卷3理科)8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=()
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
【解答】解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足X~B(10,p),
P(x=4)<P(X=6),可得,可得1﹣2p<0.即
p.
因为DX=2.4,可得10p(1﹣p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).
故选:B.
(2018年高考数学全国卷3理科)18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,
【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在70~92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在65~90之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m==80;
由此填写列联表如下;
(3)根据(2)中的列联表,计算
K2===10>6.635,
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
(2018年高考数学全国卷3文科)5.(5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【解答】解:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,
所以不用现金支付的概率为:1﹣0.45﹣0.15=0.4.
故选:B.
(2018年高考数学全国卷3文科)14.(5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是分层抽样.
【解答】解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,
则最合适的抽样方法是分层抽样.
故答案为:分层抽样.
(2018年高考数学全国卷3文科)18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=,
【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在70~92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在65~90之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m==80;
由此填写列联表如下;
(3)根据(2)中的列联表,计算
K2===10>6.635,
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.