2018年高考数学分类汇编统计概率篇

2018年高考数学分类汇编统计概率篇

（2018年北京卷，理科）17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，

总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，

第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部，

∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：

P（A）==0.025．

（Ⅱ）设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，

第四类获得好评的有：200×0.25=50部，

第五类获得好评的有：800×0.2=160部，

则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P（B）==0.35．

（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：

ξk=，

则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：

E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，

D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．

第二类电影：

E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，

D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．

第三类电影：

E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，

D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．第四类电影：

E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，

D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．第五类电影：

E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，

D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．

第六类电影：

E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，

D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．

∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为：

Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．

（2018年北京卷，文科）17．（13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

【解答】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，

获得好评的第四类电影200×0.25=50，

故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率=；

（Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372，

估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣=0.814，

（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使

得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．

（2018年浙江高考数学理科）7．（4分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

则当p在（0，1）内增大时，（）

A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小

【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

E（ξ）=0×+1×+2×=p+；

方差是D（ξ）=×+×+×

=﹣p2+p+

=﹣+，

∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；

p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；

∴D（ξ）先增大后减小．

故选：D．

（2018年江苏高考数学理科）6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．

【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，

共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（2018年高考数学全国卷1理科）3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．

A项，种植收入37×2a﹣60%a=14%a＞0，

故建设后，种植收入增加，故A项错误．

B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，

建设前，其他收入为4%a，

故10%a÷4%a=2.5＞2，

故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，

建设前，养殖收入为30%a，

故60%a÷30%a=2，

故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×2a=58%×2a，

经济收入为2a，

故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，

故D项正确．

因为是选择不正确的一项，

故选：A．

（2018年高考数学全国卷1文科）3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半（2018年高考数学全国卷1理科）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3

【解答】解：如图：设BC=a，AB=c，AC=b，

∴a2=b2+c2，

∴SⅠ=×4bc=2bc，SⅢ=×πa2﹣2bc，

SⅡ=×πc2+×πb2﹣SⅢ=×πc2+×πb2﹣×πa2+2bc=2bc，

∴SⅠ=SⅡ，

∴P1=P2，

故选：A．

（2018年高考数学全国卷1文科）19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，

同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，

作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：

（2）根据频率分布直方图得：

该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：

p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．

（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：

（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，

使用节水龙头50天的日均用水量为：

（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，

∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．（2018年高考数学全国卷1理科）20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），

则f（p）=，

∴=，

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f （p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

（2018年高考数学全国卷2理科）8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，

从中选2个不同的数有=45种，

和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，

则对应的概率P==，

故选：C．

（2018年高考数学全国卷2理科）18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，

计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿

元；

根据模型②：=99+17.5t，

计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些．

（2018年高考数学全国卷2文科）5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【解答】解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（2018年高考数学全国卷2文科）18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，

计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；

利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；

根据模型②：=99+17.5t，

计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．

利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；

因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，

而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，

从2010年到2016年间递增的幅度较大些，

所以，利用模型②的预测值更可靠些．

（2018年高考数学全国卷3理科）8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），

P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即

p．

因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．

故选：B．

（2018年高考数学全国卷3理科）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，

【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，

第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，

所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，

排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；

由此填写列联表如下；

（3）根据（2）中的列联表，计算

K2===10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

（2018年高考数学全国卷3文科）5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，

所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．

故选：B．

（2018年高考数学全国卷3文科）14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样．

【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，

可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

则最合适的抽样方法是分层抽样．

故答案为：分层抽样．

（2018年高考数学全国卷3文科）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，

【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在70～92之间，

第二种生产方式的工作时间主要集中在65～90之间，

所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，

排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；

由此填写列联表如下；

（3）根据（2）中的列联表，计算

K2===10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．