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(完整版)鲁教版初三数学知识点(汇总),推荐文档

一、分式

鲁教版初三数学知识点编辑人:鲁东大学08 级经济系李建鹏

第一章分式

1.分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成A 的形式,且除式B 中含有字母，那

么称式子A 为分式。其中, A 叫分式的分子, B 叫分式的分母。

注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2／x 是分式,虽然

约分之后等于x 是整式,但约分前是分式。

②π 是常数,所以a/π 不是分式而是整式。

2.有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母)

3.关于分式的几点说明:

(1) 分式的分母中必须含有未知数；

(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；

a +b

(3)分数线有除号和括号的作用,如：表示（a＋b）÷(c－d)；

c -d

(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不

要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。

4.一般的，对分式A／B 都有：①分式有意义B≠0；

②分式无意义B=0；

③分式的值为0 A=0 且B≠0；

④分式的值大于0 分子分母同号；

⑤分式的值小于0 分子分母异号。

5.基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0 的整式，分式值不

变。

二、分式的乘除法

1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1 的数）约去，这种变形称为约分。

注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分；

②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。

3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，

一般要将一个分式化为最简分式。

三、分式的加减法

1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。

通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。

通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。

最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。

四、分式方程

1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程若

遇到互为相反数时，不要忘了改变符号)；

②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根。

3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母

的值为０的根，叫做原方程的增根。

x 例题：m 取时，方程

x -3- 2 =

x -3

会产生增根(或说无解)。

(思路)在这里增根就是x=3,但不能直接带入方程求m,所以要先去分母再将x=3 带入求m 一、线段的比

第二章相似图形

1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在 a:b 或b中,a 叫

比

例的前项,b 叫比例的后项。

2.注意:①若 a:b=k,说明 a 是b 的k 倍；

②两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致；

③两条线段的比值是一个没有单位的正数；

④除 a=b 外,a:b≠b:a,a/b 与b/a 互为倒数。

二、比例线段

1.概念:四条线段a,b,c,d 中,如果 a 与b 的比等于c 与d 的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那

么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段。a、b、c、d 叫比例的项,其

中,a、d 叫外项,b、c 叫内项。

2.比例中项:当 a:b=b:c 时,称 b 为a 与c 的比例中项。(b2=ac)

3.性质:

①内项之积等于外项之积若a/b=c/d 则ad=bc

②合比性质若a/b=c/d 则(a+b)/b=(c+d)/d

③分比性质若a/b=c/d 则(a-b)/b=(c-d)/d

④等比性质若a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，则(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a/b

⑤合分比性质若a/b=c/d 则(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)

⑥更比性质若a/b=c/d 则c/a=d/b(当然也就有a/c=b/d)

⑦反比性质若a/b=c/d 则b/a=d/c

三、形状相同的图形

D E O 例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。

一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形

形状相同。

四、相似三角形

1. 概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“∽”)。

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角

形相似。

D E

C B C 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。 2. 全等一定相似,相似不一定全等(全等△是相似△中相似比为 1 时的特殊情况 )

五、探索三角形相似的条件

1. 定义判定：对应角相等、对应边成比例

2. 判定 1：两个角对应相等判定 2：两边对应成比例且夹角相等

判定 3：三边对应成比例

Rt △相似的判定:(除上述三个外)斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推

论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推

论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比

例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，

那么这两个三角形相似。

4.(补充)射影定理 : 在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边 AB 上的高,则

AC 2=AD ·AB

BC 2=BD ·AB CD 2

=AD ·BD 5.(补充)三角形的重心

①概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心； ②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

六、相似三角形的性质

1.相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；

2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，

3. 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。

七、测量旗杆的高度(略)

八、相似多边形

1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

2.性质:性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

性质2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。

九、位似图形

1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似

图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。

2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.探索:①利用位似可以把一个图形放大或缩小；

②对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；

③在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图

形对应点的坐标的比等于k 或-k.。

第三章证明(一)

一、定义与命题

1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。

2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断)。

3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知

事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“如果……，那么……”的形

式

其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。

4.真假命题:如果条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成

立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立(错误的命题)，这样的

命题叫做假命题。

二、证明的必要性

三、公理与定理

1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据。

本教科书选用如下命题作为公理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。

②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

也可以简单说成：两直线平行，同位角相等。

③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

⑤三边对应相等的两个三角形全等。

⑥全等三角形的对应边相等，对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。

4、平行线的判定定理

五、平行线的性质定理

把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题。如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题。

一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。

六、三角形内角和定理

三角形三个内角之和为1800 ；直角三角形的两个锐角互余。

关于辅助线：

①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线(辅助线通常画成虚线)；

②它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；

③添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。

第四章数据的收集与处理

一、普查和抽样调查

1.普查:为了一定的目的而考察对象进行的全面调查,称为普查。其中,所要考察的对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。

普查的优点及缺陷:可以直接获得总体情况,但总体中个体数目很多时,工作量大,无法一一考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考查；有时调查具有破

坏性,不允许对个体一一考查。

2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取

的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中的个体的数目称为样本容量。二、数据的收集

议一议: 抽样调查时应注意什么?

[

]

s 2 s 2 1 2 1 1 答:抽样调查时要注意样本的代表性、广泛性和真实性:即被调查的对象不得太少，被调查

对象应是随意抽取的，调查数据应是真实的。

抽样调查的可行性：

1. 抽样调查只考查总体的一部分，因此其优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财

力；

2. 但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。

三、数据的整理

对数据进行分组整理,就是将收集到的所有数据按照一定的标准划分为若干组。通过分组整

理,可比较清晰地掌握数据的整体分布情况。

四、频数和频率

我们称每个考查对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

公式:频率=频数／总次数→频数=总次数×频率；总次数=频数／频率

频数之和=总次数；频率之和=1

频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图都反映了一组数据的分布情

况。

五、数据的波动

1. 极差的概念:刻画数据离散程度(即相对于“平均水平”的偏离情况)的一个统计量,是指

一组数据中最大数据与最小数据的差(极差=最大值-最小值)。

极差的意义:极差是最简单的一种度量数据波动情况的量(一般而言,极差小,各个数据的波

动也就小,它们的平均数对这组数据一般水平的代表性也就大；极差大,平均

数的代表性也就小),但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情

况,而且受极端值的影响较大(当个别极端值远离其它数据时,极差往往不能充

分反映全体数据的实际离散程度)。

2. 方差的概念:各个数据与平均数的差的平方的平均数。

方差越小，波动越小；方差越大，波动越大。

公式 : s 2 = 1 (x - x )2 + (x - x )2 + ... + (x - x )2 n 1 2 n 标准差：就是方差的算术平方根

规律：有两组数据，设其平均数分别为 x 1 、 x 2

方差分别为 s 1 、s 2

(1) 当第二组每个数据比第一组每个数据增加 m 个单位时,则有

x 2 = x 1 +m ， 2 = 2

(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有 2 2

2 x 2 =n x 1 ，s 2

= n s 1 (3) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加 m 时，则有 x =n x +m ，s 2

= n 2 s 2 2

a 2

ab a b

a b a

a b ab

一、二次根式

第五章二次根式

1.概念:形如 a (a ≥0)这样的式子叫做二次根式(a 也是二次根式)。其中a 可以是数, 也可是单项式和多项式。

2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：

①被开方数不小于零；

②分母中有字母时，要保证分母不为零。

二、二次根式的性质

基本性质一：( a )2 = a ( a ≥0)

基本性质二： a

积的性质：= ·( a ≥0,b≥0)

商的性质：= ( a ≥0,b＞0)

注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1 以外的自然数的平方数，

②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。

三、二次根式的加减法

1.最简二次根式的两个条件：

（1）被开方数不含分母(即因数是整数，因式是整式) ；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

2.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根

式就叫做同类二次根式(与二次根式的系数无关)。

3.二次根式的加减:(在二次根式加减或其它运算时，把根号前的乘数看作它的系数)

合并同类二次根式→化为最简二次根式；系数相加减；二次根式不变。

与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变

四、二次根式的乘除法

1.算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根·= ( a ≥0,b≥0)

2.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数＝( a ≥0,b＞0)注意:如果被开方数是带分数，应先化成假分数。

第6 章证明(二)

一、全等三角形(具体性质和判定见初一知识点)

1.根据书写规范,按照对应顶点找对应边或对角。

2.公共角、对顶角必为对应角；公共边必为对边。

3.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角。

4.在两个全等三角形中,最长边对最长边；最小边对最小边；最大角对最大角；最小角对最小角。

二、等腰三角形

等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

推论 1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

由推论得:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一)

推论 2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

3、直角三角形

1.性质:直角三角形的两个锐角互余。反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.等腰直角三角形:两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形(具有等腰三角形和直角三角形的所有性质)。等腰直角三角形的两个锐角都是45°

3.性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

四、线段的垂直平分线

1.定义:垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线(中垂线)

结论 1:如果两点 A 、B 关于直线 CD 对称,则直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线；

结论 2:如果 CD 是线段 AB 的垂直平分线,则点 A 、B 关于直线 CD 对称。

2.线段垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

3.线段垂直平分线的判定(性质定理逆定理):到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

4.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这点到三顶点的距离相等

5、角平分线

1.角平分线性质定理:角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

2.逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上

第七章一元二次方程

一、一元二次方程

1.定义:方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 次,我们把这样的方程叫做一元二次方程。(条件:①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是 2 次)

2.一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)。一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式。其中 ax2，bx,c 分别称为二次项，一次项，常数项,a、b 分别称为二次项系数,一次项系数。(b 和c 可以为 0,但a 不能为0,因为一元二次方程必须有二次项,一次项和常数项没有的时候就是 b 和c 为0 的情况)

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3.一元二次方程的解:使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。

2、判别式:Δ=b2-4ac

1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：

(1)当Δ＞0 时,方程有两个不相等的实数根；

(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根； (3)

当Δ＜0 时,方程无实数根。

2.根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这方面的知识主要用来求取值范围等问题。

三、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程的求根公式:

一元二次方程根与系数的关系:

若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2,则x1＋x2=－b/a,x1x2=c/a

补充规律:

两根均为负的条件:x1＋x2＜0,x1x2＞0

两根均为正的条件:x1＋x2＞0,x1x2＞0

两根一正负的条件:x1x2＜0

当然,以上还必须满足一元二次方程有根的条件:b2-4ac≥0

三、一元二次方程的解法

1.直接开平方法

2.配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法,即转化成(x+b)2=a(a≥0)的形式,再利用开平方

步骤:

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

(2)把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数)；

(3)把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知数的项放在方程的右边；

(4)方程的两边同加上一次项系数一半的平方(这是关键)； (5)

方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化成非负数； (6)

利用直接开平方的方法去解。

如果整理后左边是完全平方式,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。

3.公式法

步骤:

(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；

(2)写出方程各项的系数；

(3)计算出 b2-4ac 的值，看 b2-4ac 的值与 0 的关系,若 b2-4ac<0,则此方程没有实数根；

(4)当b2-4ac≥0时,代入求根公式计算出方程的值。

注意:用公式法解一元二次方程的前提是:

①必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)；

②b2-4ac≥0。

4.因式分解法

当一元二次方程的一边为 0,而另一边易于分解成两个一次因式时,可用分解因式法来解AB=0〈=〉A=0 或 B=0(A、B 表示两个因式)

步骤:

(1)移项,使方程的右边为 0(用该方法方程右边一定要为 0)；

(2)利用提取公因式法,平方差公式,完全平方公式,十字相乘法对左边进行因式分解；

(3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

简记歌诀:右化零,左分解；两因式,各求解

四、一元一次方程的应用

1.能利用一元二次方程解决有关实际问题,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；

2.求增长率,利润最大化问题。

第 8 章证明(三)

1、平行四边形(具体见初二知识点)

1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2.平行四边形的性质：对边平行、对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分

二、特殊的平行四边形

1.矩形:四个角相等；对边平行且相等；对角线互相平分且相等

2.菱形:对角相等；对边平行,四条边都相等；对角线互相垂直平分

3.正方形:四个角都相等；对边平行,四条边都相等；对角线互相垂直平分且相等

三、等腰梯形

1.定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形是轴对称图形,经过两底中点的直线是它

的对称轴

2.梯形的性质定理

(1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

(2)等腰梯形的两条对角线相等

3.梯形的判定定理

(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形

四、中位线定理

1.平行线等分线段定理及其推论

(1)定理:若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

(2)推论 1:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线,必平分另一腰

(3)推论 2:经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边

2.三角形中位线定理

(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线

(2)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半

规律:

①顺次连接三角形各边中点所得的三角形周长是原三角形周长的一半,即如果三边的长分别

为 a、b、c,那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是 1/2(a+b+c)

②顺次连接三角形各边中点所得的三角形面积是原三角形面积的 1/4

3.梯形中位线定理

(1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半

(3)梯形面积公式:S=1/2(a+b)h=m·h(a、b 为上、下底,m 为中位线,h 为高)

第九章反比例函数

一、反比例函数

1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k 为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中 x 是自变量，

y 是x 的函数,k 是比例系数。若 y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如 y=2/3x 的比例系数为 2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？

(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数；

(2)自变量 x 次数不是 1,x 与 y 的积是非零常数；

(3)除 k、x 、y 三项以外,不含其他项。

反比例函数自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。

2.反比例函数的三种表现形式:(k 为常数,k≠0) (1)

y＝k／x

(2)xy=k

(3)y=kx-1(即:y 等于 x 的负一次方,此处 x 必须为一次方)

3.K 的几何含义:

反比例函数 y＝k／x (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y＝k／x (k≠0)上任意

一点 P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积为|k|

二、反比例函数的图象和性质

1.图像:

反比例函数的图像是双曲线,双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为

在y=k/x(k≠0)中,x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也

不可能与 y 轴相交。

2.性质:

当 k>0 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y 的值随 x 值的增大而减小；

当 k<0 时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y 的值随 x 值的增大而增大。3、反比例函数的应用

第 10 章频率和概率

1、用频率估计概率

1.概率:一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事件发

生的概率,一般用 P（事件）表示。事件 A 发生的概率也记为 P(A),事件 B 发生的概率记为P(B),依此类推

2.三种事件的概率:

必然事件发生的概率为 1(或 100%),记作 P(必然事件)=1;

不可能事件发生的概率为 0,记作 P(不可能事件)=0

随机事件(不确定事件)发生的概率介于 0 到 1 之间,即 0

如果 A 为随机事件(不确定事件),那么 0

3.用频率估计概率

当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近。因此,我们可以通过多次

试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

二、用列举法计算概率

用列举法求概率的条件:

(1)实验的所有结果是有限个(n)；(2)各种结果的可能性相等。

一般地,如果在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 A 包含

其中的 m 种结果,那么事件 A 发生的概率为 P(A)=m/n。

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

鲁教版初三数学下相似图形知识点归纳(全)

初三数学相似图形知识点归纳(全) 一、相似的基本性质（一）线段的比 1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比例：(1)线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2, 对吗？（）若，且，则。 3532 8a b c a b c a ==-+== 解：（）若：：，则。 423432x y z x y z y ::=-+= 解： (二)比例尺=图上距离／实际距离 . 例1. 已知：A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。相距50千米的C 、D 两地在该地图上的距离为__________。解：比例尺千米= = 1801 8000000cm （三）比例的基本性质：如果，那么ad=bc （）若，则。 157a b a b == （）若，则，。 2850x y x y x y x y -==+-=

（）已知，求。 3118x y x x y +== （）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4a mn b = A. a:b=m:n B. a:m=b:n C. a:m=n:b D. a:n=b:m （四）合比性质、等比性质：合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 等比：若……（若……） a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== . （）若，则1572323a b c d e f a c e b d f ===+-+-= （）和中，，且的周长33 5 111111111111???ABC A B C AB A B BC B C AC A C A B C ===为，求的周长。50cm ABC ? （）若，则4a b c b a c c a b k k +=+=+== A B C D .... 12112132或-- 例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c 的值

初三下册数学知识点归纳

初三下册数学知识点归纳九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同学们和中考考生的必备资料! 第二十六章二次函数 26.1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a); 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x- x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)(如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点

【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳

【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算中心角：内角的一半：(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦感谢您的阅读！

鲁教版初三数学知识点(汇总)

鲁教版初三数学知识点编辑人:鲁东大学08级经济系李建鹏第一章分式一、分式 1．分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成B A 的形式,且除式 B 中含有字母，那么称式子B A 为分式。其中, A 叫分式的分子, B 叫分式的分母。注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x 2／x 是分式,虽然约分之后等于x 是整式,但约分前是分式。 ②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。 2．有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母) 3．关于分式的几点说明: (1)分式的分母中必须含有未知数； (2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零； (3)分数线有除号和括号的作用,如：d c b a -+表示（a ＋b ）÷(c － d )； (4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。 4．一般的，对分式A ／B 都有：①分式有意义 B ≠0； ②分式无意义 B=0； ③分式的值为0A=0且B ≠0； ④分式的值大于0分子分母同号； ⑤分式的值小于0分子分母异号。 5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。二、分式的乘除法 1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。 2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； ②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。 3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般要将一个分式化为最简分式。三、分式的加减法 1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及

九年级上下册数学知识点汇总

鲁教版初四知识点第一章反比例函数一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。第二章解直角三角形一、锐角三角函数在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１

九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结（数学） 2017年12月

第二十一章一元二次方程 22.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2）直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；

鲁教版五四制初三数学期末考试题含答案

吴伯箫学校2017-2018学年上学期八年级数学第三次月月清作业一、选择题（每小题3分，共36分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ． 2.下列从左到右变形是因式分解的是（） A. x 2－3x +1＝x (x －3)+1 B. x 2 +2x －3＝x (x +2－x 3) C. (x －y )2－(y －x )3＝(x －y )2(x －y +1) D. (x +2y )(x －2y )＝x 2－4y 2 3.已知a +b ＝3，ab ＝2，则代数式－ a 2 b －ab 2的值为（） A.2 B.3 C.－6 D.6 4．若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式值保持不变的是（） A ． y x 23 B ．2 23y x C ．y x 232 D ．23 23y x 5、若已知分式 9 61 |2|2 +---x x x 的值为0，则x －2 的值为（） A.91或－1 B. 91 或1 C.－1 D.1 6、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶2v km ，那么可以提前到达的时间为（小时）（）（A ） 212v t v v + （B ） 112 v t v v + （C ） 12 12 v v v v + （D ）1221v t v t v v - 7．吴伯箫学校初三级部校合唱团共有40名学生，他们的年龄如下表所示：年龄/ 岁 11 12 13 14 人数/ 人 8 12 17 3 则合唱团成员年龄的众数和中位

九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)

第二十六章反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

初三上学期数学复习知识点

初三上学期数学复习知识点真正决定一个人成就的，不是天分，也不是运气，而是严格的自律和高强度的付出。下面为您推荐初三上学期数学复习知识点。知识点一第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法，并运用这种方程解决一些实际问题。

本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， 22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。（1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了公式法以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。（3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 22.3实际问题与一元二次方程一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2018年鲁教版初三数学中考总复习专题分类练习汇编

2018年鲁教版初三数学中考总复习练习题汇编目录一、实数 (1) 二、代数式 (4) 三、方程与方程组 (7) 四、不等式与不等式组 (11) 五、图形与坐标 (14) 六、一次函数 (18) 七、比例函数 (25) 八、二次函数 (30) 九、图形的认识 (36) 十、图形与证明1 (40) 十一、图形与证明2 (48) 十二、图形与变换 (55) 十三、统计 (61) 十四、概率 (73)

一、实数命题方向：实数这部分在初中数学中属于基础知识，课程标准对这部分知识点的要求都比较低，在各地中考中多以选择题、填空题的形式出现，也有少量计算题。备考攻略：这部分的主要任务是:了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式，呈现试题，也可以建立在应用知识解决实际问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。巩固练习： 1．2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D． 2．﹣9的相反数是（）A．﹣B．C．﹣9 D．9 3．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D． 4．﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣ 5．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105 6．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（） A．14×104B．1.4×105C．1.4×106D．14×106

初三下册数学知识点

初三下册数学知识点 1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式) y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a

初三数学上下册的学习知识点总结计划与重点难点总结计划.docx

----- 初三数学知识整理与重点难点总结第21 章二次根式知识框图理解并掌握下列结论：（1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0 时，√ a 表示 a 的算数平方根 ,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥ 0）是一个非负数。 II.二次根式√ā 的简单性质和几何意义 1）a≥0; √ā≥0[双重非负性] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2) 表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

IV. 二次根式的乘法和除法 1运算法则 √a·√ b= √ab（ a≥ 0，b≥0） -1- ----

√a/b= √a/√ b（a≥ 0，b>0 ）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化分母有理化有两种方法 I.分母是单项式如:√a/ √b= √a×√ b/√b×√ b=√ ab/b

初三数学知识点大全

初三数学知识点大全 ? ?所属栏目：九年级数学 ?试卷版本：人教版 ?适用学期：上学期 ? 试卷介绍相关试卷第21章二次根式 1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式. 注意：（1）若这个条件不成立，则不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即；≥0. 2．重要公式：（1）,（2）； 3．积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则：. 5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1）；（2）；（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， ①被开方数的因数是整数，因式是整式，

②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 = 第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 第28章解直角三角形

鲁教版初中数学知识梳理_几何

初中数学---（几何部分）几何基础概念（8册上）定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”， “证明”的顺序和格式书写。一、直线直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。 1、两条相交直线（1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。同样∠3和∠4是对顶角。定理：对顶角相等。 ∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180o （2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90o，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90o。 ∠1+∠2=∠BOF=90o，称∠1和∠2是互为余角。定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。（3）作图 ①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。 ②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线 ③作已知∠AOB 的平分线 ⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。作法：略（六册下，P53） 2、两条直线平行（1）有关概念：同位角、错角、同旁角。如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6， B

九年级数学下册重要知识点总结

初三数学下册重要知识点总结第25章概率 1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别 2、概率注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. （2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 3、求概率的方法（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）（2）用频率估计概率：一方面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 第26章二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0) 4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k. 6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 8. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 9. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过； (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴； (4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点（即相切）； b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.

人教版八年级数学上学期数学知识点归纳

八年级数学上册知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识清单： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”加顶点字母表示，如“△ABC ”（读作“三角形ABC ”）. 2.三角形（按边）分类 ?? ??????等边三角形三角形腰与底边不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 3. 三角形三边关系（定理）：三角形任意两边的和大于第三边；（推论）三角形任意两边的差小于第三边. 4.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的连线段叫做三角形的高.（三角形三条高或高所在直线相交于一点，交点称为三角形的垂心）（锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角三角形的直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外） 5.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三角形的三条中线交于一点，交点叫三角形的重心） 6.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的连线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心） 7.三角形的稳定性：三边长度固定的三角形的形状、大小固定不变，这个性质叫三角形的稳定性. （在所有的多边形中，只有三角形具有稳定性） 8. 三角形的内角：三角形中，相邻两边组成的角称为三角形的内角，也称为三角形的角. 三角形内角和（定理）：三角形的三个内角和为180°.

（推论）：直角三角形的两个锐角互余. 9. 三角形的外角：由三角形的一条边和相邻边的延长线组成的角称为三角形的外角. 三角形外角和（定理）：三角形三个外角的和为360°. 三角形外角性质（定理）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和. （推论）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 10. 多边形：在平面内，由不在同一条直线上的n 条线段首尾顺次连接组成的图形叫做n 边形. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 11.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为 .1802n ??-）（ 12.多边形的外角：由多边形的一条边和它的相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形外角和定理：n 边形的n 个外角的和为360°. 13. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 多边形对角线的条数：①.从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形. ②.n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 14..平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面.也称为平面的密铺. 第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识清单： 1.全等图形与全等三角形： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

数学鲁教版九年级上学期教学计划

九年级数学上册教学计划一、指导思想以《初中数学新课程标准》为指导，贯彻党的教育方针，开展新课程教学改革，对学生实施素质教育，切实激发学生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法和技巧，建立数学思维模式，培养学生探究思维的能力，提高学习数学、应用数学的能力。同时通过本期教学，完成九年级上册数学教学任务。二、学情分析九年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。有少数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。在学生所学知识的掌握程度上，整个班级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。三、教材分析：本学期内容有四部分：第一章反比例函数：本章的主要内容有反比例函数的概念、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．第二章直角三角形的边角关系：本章的主要内容有锐角三角函数、特殊角度的三角函数值、解直角三角线、三角函数的应用等。本章将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决一些简单的实际问题。第三章二次函数：本章的主要内容有二次函数、二次函数的图像与性质、二次函数的应用等。本章将探索和研究刻画变量之间关系的一种新模型二次函数，借助图像发现二次函数的性质，并利用二次函数解决一些实际问题。第四章投影与视图：本章的内容包括投影与视图。本章将探究灯光下影子的特点、太阳光下影子的特点，学习如何画一个物体的视图。四、教材特点： 1、为学生的数学学习构筑起点，使学生能够在教材提供的学习环境中，通过探索与交流等活动，获得必要的发展。 2、向学生提供现实、有趣、富有挑战性的学习素材，所有数学知识的学习都力求从学生的实际出发，问题情景引入学习主题，提供众多有趣而富有数学含义的问题，展开探究。 3、为学生提供探索、交流的时间与空间，数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流也是重要的数学学习方式。 4、展现数学知识的形成与应用过程，经历知识的形成与应用过程有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心，教材采用“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，使学生经历真正的“做数学，用数学”的过程，并在此过程中逐步建立数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力等。 5、满足不同学生的发展需求，教材在保证基本要求的同时，还提供了有关的数学史料或背景知识、数学在现实世界和科学技术中的应用实例、有趣的或富有挑