高中立体几何公理和公式

1 / 1 一、 几何体的表面积 1、 圆柱表面积：S=)(2222l r r rl r +=+πππ; P 24 2、 圆锥表面积：)(2l r r rl r S +=+=πππ; P 24 3、 圆台表面积：)(22rl l r r r S +'++'=π; P 25 4、 球的表面积：24r S π=; P 27 二、 几何体的体积 1、 柱体的体积：V=Sh; P 25 2、 锥体的体积：Sh V 3

1=; P 26; 3、 台体的体积：h S S S S V )(3

1+'+'=; P 26; 4、 球的体积：23

4r V π=; P 27 三、 公理1（现在面内的判定）如果一条直线上 的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 四、 公理2（确定平面的判定）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 五、 公理3（共点线证明）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 六、 定理（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 七、 线线平行的判定定理 1、 平行于同一条直线的两条直线互相平行 （空间平行线的传递性）；P 45 2、 一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行；P 59 3、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的绞线平行；P 60 4、 垂直于同一个平面的两条直线平行；P 70 5、 平行四边形的对边平行； 6、 三角形的中位线； 7、 同位角、内错角相等；同旁内角互补，两直

线平行（两直线共面）； 8、 相似三角形（有公共边和角时，也就是共面）；

9、 两个平面平行，一个平面内的直线平行另一

个平面 八、 线面平行的判定定理

1、 定义：直线与平面没有公共点；P 48

2、 平面外一条直线与此平面内的一条直线平

行，则该直线与此平面平行；P 55 3、 两个平面平行，一个平面内的直线平行于另

一个平面

九、 面面平行的判定定理

1、 定义：两个平面没有公共点；P 50

2、 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；P 57 十、 线线垂直的判定定理 1、 平面内夹角为900; 2、 两条异面直线为900;

3、 线面垂直，线垂直面内的所有直线

十一、 线面垂直的判定定理

1、 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都

垂直，我们就说直线与平面互相垂直；P 64

2、 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂

直，则该直线与此平面垂直；P 65

3、 两个平面垂直，则一个平面内垂直于绞线的直线与另一个平面垂直；P 71

4、 两条平行直线中的一条垂直这个平面，另一

条也垂直这个平面（例题）P 65

十二、 面面垂直的判定定理

1、 两个平面相交，如果他们所成的二面角是直

角，我们就说这两个平面互相垂直；P 68

2、 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平

面垂直；P 69

十三、 性质定理

1、 如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个

平面内

2、 如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，

那么他们的交线必垂直于第三个平面

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题.doc

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题 班级姓名学号得分 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分。请把选择答案填在答题卡上。）1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原 三棱锥表面积的 A. 1 B. 3 1 C. 1 D. 1 4 9 16 2．正六棱锥底面边长为a，体积为 3 a 3，则侧棱与底面所成的角等 2 于 A. B. C. D. 5 12 6 4 3 3．有棱长为 6 的正四面体 S-ABC，A , B ,C分别在棱 SA，SB，SC上，且S A =2，S B =3，S C =4，则截面A B C将此正四面体分成的两部分 体积之比为 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 9 8 4 3 4.长方体的全面积是 11，十二条棱长的和是 24，则它的一条对角线长是 A．2 3 . B.14 C. 5 5. 圆锥的全面积是侧面积的 2 倍，侧面展开图的圆心角为，则角的取值范围是

A．0 ,90B180 ,270C90 ,180 D 6.正四棱台的上、下底面边长分别是方程x 29x 180 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A． 5 2 与 2 与 3 与 4 与 3 2 7.已知正四面体 A-BCD的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、 G、H，设四面体 E-FGH的表面积为 T，则T 等于 A ． 1 B. 4 S 9 9 C. 1 D. 1 4 3 8.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点 P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2 14，则 P 到这三个平面的距离分别是 A．1， 2，3 B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，9 9.把直径分别为 6cm,8cm,10cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁 球的半径是 A ．3cm B. 6cm C.8cm D.12cm 9.如图，在多面体ABCDEF中，已知 ABCD是边 长为 1 的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 A. 2 / 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2

高中数学空间几何专题练习(供参考)

一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ） 2 3 + 为 （ ） C 、120； 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是 （ ） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； 图（1） 1 A

D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．． 和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //； （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α?//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M

高中数学《立体几何》重要公式、定理

高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

最新人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：

高中数学立体几何知识点归纳总结60996

高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 侧面 母线

高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。 求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识 点归纳总结 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正 棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱

底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

高中数学立体几何专题证明题训练

A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。 （1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)

高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

高中数学立体几何体积的求解方法

立体几何体积的求解方法 重要知识 立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。 求椎体体积通常有四种方法： （1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。（2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。 （3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。 （4）向量法：利用空间向量的方法（理科）。 典型例题 方法一：直接法 例1、（2014?南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积． 例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．

变式1、（2014?漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积． 变式2、（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。求三棱锥P﹣ABC的体积； 方法二：转移法 例3、（2015?重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D 为PB中点，且△PMB为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积． 例4、（2014?宜春模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积．

高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为

高中数学立体几何判定方法汇总

立体几何有关概念与公式 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

高中数学立体几何表面积与体积复习

空间几何体的表面积与体积 考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝ 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积体积 几何体 柱体(棱柱和圆 S表面积＝S侧＋2S底 V＝ 柱) 锥体(棱锥和圆 S表面积＝ V＝ 锥) 台体(棱台和圆 S表面积＝V＝ 台) 球 S＝ V＝ 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2题型一求空间几何体的表面积 1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________． 3.各棱长均为2的正三棱锥的表面积是________． 4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为________cm2. 5.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm. 题型二求空间几何体的体积 1. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________． 2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________． 3. 已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________． 4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，求该圆柱的体积． 题型三简单的等积变换

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图

最新高中数学常用公式及结论(立体几何总结)

最新高中数学常用公式及结论（立体 几何总结） 一、线线平行的判断： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 直线和交线平行图 ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

交线平行图 ③垂直于同一平面的两条直线平行。 直线平行图 二、线线垂直的判断： ①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 ②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 线线垂直图

③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 三、线面平行的判断： ①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 四、面面平行的判断： ①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。 ②垂直于同一条直线的两个平面平行。 五、线面垂直的判断： ①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 六、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 七、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） ①异面直线所成的角： 通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。 异面直线所成角的范围：0°< α≤90°； 注意： 若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形， 如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 ②线面所成的角：