2017高考数学压轴题大集合
2017备战高考数学压轴题集合
1 .(本小题满分14分)
如图，设抛物线c : y = X 2的焦点为F ,动点P 在直线丨：x - y - 2二0上运动，过P 作抛 物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1 )求厶APB 的重心 G 的轨 迹方程. (2)证明/ PFA= / PFB.
2 2
解: ( 1 )设切点 A 、B 坐标分别为(x, X 0 )和(x 1 , X-I )((x ^^ x 0),
???切线AP 的方程为:
2x °x - y - x ： =0；
切线BP 的方程为:
解得P 点的坐标为:
x 。 X 1
,y^X 0X 1
所以△ APB 的重心
的坐标为
X 0 X 1 X p
X p ,
3
y G 二
X ； X ； X 0X 1 (X 0
X 1)2
-X °X 1
3
_
4X P 2 - y p
2
所以y p 二-3y G ' 4&，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心
G 的轨迹方程为:
2
1 x-(-3y 4x )-2=0，即卩y
(4x 3
-x 2).
2
(2 )方法1 ：因为FA =化，x 0
,X °X 1
由于P 点在抛物线外，则
| FP F 0.
? cos AFP 二旦竺
|FP||FA|
X 0 X 1
2
1 2
X 0 (X 0X 1
)(X 0 4
(x 。2
-：)
4
| FP h X o
-1) 4
X 0X 1 1 一 4 |FP |
FP 同理
有cos ?BFP =
| FP || FB |
一
X 0 +X 1
FB _ ~2~ 1 2 1
X 1 (X 0X 1 )(X 1 ) 4 4
1、2 4，
|FP|： X 12
(X 1^ J
1 4
|FP|
X 0X 1
???/ AFP= / PFB.
即(x 2 —」)x —my 亠=0.
4 4
2.(本小题满分12分)
D 两点? 并求直线 AB ‘使得A 、B 、C 、D 四点在同
一个圆上？并说明理由
(此题不要求在答题卡上画图)
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问 题的能力?
(I)解法1：依题意，可设直线
AB 的方程为y =k(x T )，3,代入3X 2 y 2
整理得(k 2 3)x 2 -2k(k-3)x (k-3)2 - ■ =0.①
设A(X 1, yj, B (X 2 ,y 2),则
X 1 x 是方程①的两个不同的根,
方法2 :①当x/o = 0时，由于X 1 -X o ,
不妨设X 。=0,则y
X 1
2所以P
点坐标为(-,
0)
,
则P 点到直线AF 的距离为：d 1
凶;而直线BF 的方程
1 ：
八4
2
1
二
X 1
X,
所以 P 点到直线BF 的距离为:
(X 12
4 2 4
1 2 2
)(x 1)
4
4 2 2 1 x 1 -
4
|X i |
所以 d 1=d 2，即得/ AFP= / PFB.
②当 X 1X 0 =0时，直线AF 的方程:
1
A
A
4(x —0),即(X ； ——)x — X 0y — X 0 =0, x 0
— 0 4 4
2 X o
直线 2 X
1
所以 BF 的方程：y -
1
4
(x - 0),即(xf - ^)x - x 1 y 1 x^ 0,
4 人 -0 4 4
P 点到直线AF 的距离为：
d i
2
1 X 0 X 1 2
1
I(X0
「4)(丁)「X0 X1 4X0「
X
0—
X 1、“ 2 1、 h )(X ° ? |X°-X 1|
---- ---------------- 4 0
-，同理可得到P
2
2
1
X0
4
点到直线 BF 的距离d 2二 I % - x 0 |
1 1 0
I 因此由
d i =d 2，可得到/
AFP= / PFB.
设A 、B 是椭圆3X 2 点N ( 1 , 3)是线段AB 的中点，线段
AB 的
垂直平分线与椭圆相交于
(I )确定■的取值范围, (n)试判断是否存在这样的
的方程;
??? ?? =4[ (k23) —3(k -3)2] 0, ②
2k(k —3)
且x1 x2 2,由N (1 , 3)是线段AB的中点，得
k +3
x1x2 2
1 2=1, . k(k 一3) = k23.
解得k= —1,代入②得，’12，即’的取值范围是(12 , +8) 于是，直线AB的方程为y - 3 - -(x -1),即x ? y - 4 = 0.
解法2:设A(X1,yJ,B(X2, y2),则有
厂 2 2
3x1+ y1= h
22二(治—X2X X1 +X2) +(力—y2)(% +y2)=°.
3x? + y2 =九
依题意，X「X2,. k AB「3(X1 X2)
、宀2
??? N (1, 3)是AB 的中点，? x1x2= 2,比? y2二6,从而k AB二-1.
又由N (1, 3)在椭圆内，? ■ 3 12 32 =12,
?-的取值范围是(12, + ^).
直线AB的方程为y—3= —( x—1),即x+y —4=0.
(H)解法1 ：T CD垂直平分AB ,?直线CD的方程为y—3=x —1，即x —y+2=0 ,代入椭圆方程，整理得4x2? 4x 4-彊-0.
又设C(X3, y3), D(X4, y4),CD的中点为C(x0,y。),则X3, X4是方程③的两根，
1 1 3 13
? X3 X4 二T,且X。= —(X3 X4)= -— ,y。= X。2 =—,即M (-—,—)?
2 2 2 2 2
于是由弦长公式可得|CD 1 ? (-：)24x3- x4|「2(二3).④
将直线AB的方程x+y —4=0,代入椭圆方程得4x2 -8x * 16 - ■ = 0 ⑤
同理可得| AB|“1 - k2 |x^x2,2^ -12).⑥
???当’12时，「2(=3) 、2(二12), |AB|：：|CD|
假设存在’>12，使得A、B、C、D四点共圆，贝U CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M 到直线AB 的距离为 d =
1
今一
4 1
J2
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
2
2
2
AB 2 9
■ -12
■ - 3 CD 2
| MA | =| MB | d | I \ I
2 2 2 2 2
故当■ >12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，LCD-1为半径的圆上.
2
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： ）
2
A 、
B 、
C 、
D 共圆二 △ ACD 为直角三角形，A 为直角二|AN| =|CN| ? |DN| ,
3?、，3?.，12
2
计算可得CA DA = 0 ,? A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，? A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明 AC 丄AD ） 3.（本小题满分14分）
不妨设 A(1
1
「-12,3-1 揺二 12) ,C(
即（型）2 =（竺. 2 2 d)(— 由⑥式知，⑧式左边
■ -12
2 由④和⑦知，⑧式右边 / 2厂3) 3、2” 2厂3) 3、2、 ■ -3
9
珂 2 厂)(2 / 二丁二
■ -12 2
???⑧式成立，即 A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2 :由（H ）解法1及入>12, ?/ CD 垂直平分AB ,
?直线CD 方程为y - 3 = x -1,代入椭圆方程，整理得 4x 2
4x 4 - ' - 0.③ 将直线AB 的方程x+y — 4=0 ,代入椭圆方程，整理得 4x 2 -8x 16 - = 0.⑤ 解③和⑤式可得
x 12
2 _ ，-12 ,x
3,4
1 匚 3
3_Jh —3) D (_1+J —3 3+ 血-3)
1-41 2
12
DA =(
1 1 已知不等式 ---?…
2 3
1
■ -[log 2 n],其中n为大于2的整数,
2
[log2 n]表示不超过
log2 n 的最设数列｛a n｝的各项且满足
a1 二b(b 0), a n
n a. 1
,n = 2,3,4,
(I)证明a n：r^q23,4,5,
(n)猜测数列｛a.｝是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)
(川)试确定一个正整数N，使得当n ? N时，对任意b>0，都有a
n 1 :::-. 5
本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想
(I)证法1: v当n _2时,0 ::: a n
n a.」
一n a n」a n
n a n」
-na n」
1
= ------- +-
a n」n
即——a n a n 1
1
于是有一
a? a〔
1 1 1
畠一，—-一
2 & a2
1
> --
■ 3,a n a n A
所有不等式两边相加可得
a n a1 > —+ 2
由已知不等式知，当n>3时有,
a n a1 丄[log 2 n]. 2
1 1 1
印=b, [log 2 n]
a n 2 b[log 2 n]
2b
2b
a n 2 b[log
2 n]
证法2 :设f (n) =丄? 1宀一丄，首先利用数学归纳法证不等式n
an _1 f(n)b n =3,4,5,.
(i)当n=3时，由a3乞
3a2
3 a2
-3L
「3.71 1 f(3)b
a2 2a1
知不等式成立.
(ii )假设当n=k (k > 3)时，不等式成立，即
b ak _
V f(k)b ，
2
a MA
a, Ah =a -c c
厂 2 a
一 _a =2(a _c )
由题意,得2a =4
a 2 =
b 2 +
c 2
二 a =2,b = ^3,c =1
则a k i
...(k 1)a k ,k 1) a k
k 1 a k
(k 1)
1 f (k)b b
(k +1)b (k 1) (k 1)f(k)b b
1
1 (f(k)
E
1 f (k 1)b
由(i )、(ii )知，
an _
, n _ 3,4,5,.
1 + f(n)b
又由已知不等式得
b
2b Q /匚
a n
, n = 3,4,5,.
1
2 b[ logn]
1 [log n]b
2
(n)有极限，且lim a n = 0. n —
Jpc
(出)
2b 2 b[log 2 n]
-^,令一^
[log 2 n] [log 2 n]
则有 log 2n - [log 2 n] 10, = n 210 = 1024, 故取N=1024，可使当n>N 时，都有a n ：：：1 ?
4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F 1, F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准 线I 与x 轴的交点为 M , |MA_J ：
2 : 1 .
(I )求椭圆的方程；
(n )若点P 为I 上的动点，求/ F 1PF 2最大值.
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知 识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
?满分14分?
2 2
解: (I )设椭圆方程为^7 ^2
a b 0，半焦距为c ，则
a b
即当n=k+1时，不等式也成立
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
2017届高考数学理-必做36道压轴题
给力2017届高考数学理 必做36道压轴题 近几年的高考数学试题收集起来进行分析，发现近三年高考数学压轴题最常见的考点是解析几何题或函数与导数题，只要找到了解压轴题 的窍门，几乎所有高考压轴题都都 有一个突破口，可以 依照固定的思路来解决，因此我们精心挑选了“36道必做的压轴题” 进行了深刻剖析，深层次解密压轴题精髓，高效培养自主解题能力。 做太多压轴题会严重占用对基 础知识、基本技能的掌握时间，做少了又会缺乏对压轴题的自信和驾驭能力，做偏了更是一种灾难。为了很好地巩固，本书教给你如何将复杂的问题简单化，如何做到不会也能得三分。压轴题虽然变 化多端，但万变不离其宗，都可以从这36道题中找到影子。让你切身体会到一切压轴题都是纸老虎。轻松搞定高考压轴题！ 第一部分 2017年高考数学理科真题压轴题精选 解析几何 1、（2017新课标卷1） 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的 斜率为 23 3 ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设() ,0F c ，由条件知 223 3 c =，得3c = 又 3 2 c a =， 所以a=2，2 2 2 1b a c =-= ,故E 的方程2 214 x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y 将2y kx =-代入2 214 x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当2 16(43)0k ?=->，即2 3 4 k >时，21,28243k k x ±-= 从而222 124143 1k k PQ k x x +-=+-=
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i
2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题
2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)
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