定义新运算(含答案)

定义新运算

一、单选题(共8道，每道6分)

1.对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x=( )

A.-9

B.-3

C.0

D.3

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

2.现定义一种新运算：★，对于任意整数a，b，有a★b=a+b-1，则4★[(6★8)★(3★5)]的值为( )

A.21

B.22

C.23

D.26

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

3.对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by+1，其中a，b为常数．已知3*5=15，4*7=28，则5*9的值为( )

A.45

B.-37

C.25

D.41

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

4.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们

规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为( )

A.0

B.1

C.-1

D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

5.对于任意的自然数X和Y，定义新运算&：X&Y＝，其中m是一个确定的自然数．若1&2＝1，则2&8＝( )

A.1

B.2

C.3

D.8

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

6.在实数的原有运算法则中，我们补充定义“新运算”如下：当时，，当

时，则．当时，的最大值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

7.对于任意不相等的两个非负实数a和b，定义一种新的运算a*b＝，则下列关于这

种运算的几个结论：①3*2＝；②a*b+b*a＝0；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④不存在这样的实数a和b，使得a*b＝0.其中正确结论的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

8.定义新运算△为：a△b=ab+2a+2b+2，若x△2△2△2△2△2=5118，则x=( )

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：定义新运算

二、填空题(共7道，每道7分)

9.定义一种新运算：，利用这种算法计算____．

答案：8

解题思路：

根据题意可得

试题难度：知识点：定义新运算

10.定义新运算：A*B=(A-B)÷3，A□B=(A+B)×3，请计算：(39*12)□3=____．

答案：36

解题思路：

试题难度：知识点：定义新运算

11.定义一种新运算“△”，其运算规则是a△b＝．已知-1△x＝，则x的值是____．

答案：2

解题思路：

试题难度：知识点：定义新运算

12.规定一种新的运算：，则4*（3*2）的值为____．

答案：3

解题思路：

试题难度：知识点：定义新运算

13.定义运算“*”的运算法则是a*b=，则（2*6）*8的值为____．

答案：6

解题思路：

试题难度：知识点：定义新运算

14.在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“※”如下：当m≧n时，；当m＜n时，m※n=m，则当x=-2时，(-3x※x)-(1※x)?x的值为____．

答案：12

解题思路：

试题难度：一颗星知识点：定义新运算

15.若一个正整数是3的倍数，将它的各个数字分别立方求和，称为第一次运算；得到一个新数，再将新数的各个数字分别立方求和，称为第二次运算；重复上述运算若干次，你会发现最后这个数将一成不变，称这个数为“魔”数．若现有一个3的倍数是9，则它的第三次运算结果是____，这个“魔”数是____．

答案：513, 153

解题思路：

试题难度：知识点：定义新运算

第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题

定义新运算与找规律（二）整式的加减100％

课程预览 定义新运算与找规律（二） 定义新运算 找规律 趣味课堂

定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A ?B 表示()()3A B A B +?-，则()3 2-?() 23-=________． （2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______． （3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1b a b a ?=--， 那么()()42112??⊕⊕=????__________． （5）定义运算“?”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+， 则()()2211m m ?-??=????________． * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 4 4 3 2 1 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算

第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()111 1121a b a a a a b b ?= ++++++-L ， （1）当4 321 x ?=时，x =___________； （2）当2 105 y ?=时，y =___________； （3）当2015 2016 m n ?= 时，m =___________，n =___________． 例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图， 则式子5436⊕-⊕=___________． （2）对正整数n 定义()!11n n n =?-??L ，如图2是求10!的程序框图， 则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤ D ．10i ≤ 定义程序 开始 输入a 、b ()1S a b =+ ()1S b a =+ ?a b > 输出S 结束 是 否 图1 图2 开始 输入n s s i =? 输出S 结束 否 1i =，1s = 1i i =+ 是

定义新运算简便运算

定义新运算简便运算 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

专题一：定义新运算 专题解析： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、☆、○、◇等。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 例题分析： 1.假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4） 2.设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△（4△6） 3.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333， 4*2=4+44，那么7*4= ；210*2= 4.规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4× 5...，如果 A ×⑥ 1＝⑥1＋⑤1。那么，A 是几 5.设a ⊙b=4a-2b+21 ab,求x ⊙(4⊙1)=34中的未知数x 。 专题二：简便运算 专题解析： 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公示，可以把一些较为复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。 例题分析： 21×79+790×666614 1 ×＋× 53×2552＋×65 2 ＋2314＋3412＋3412＋412 3 7.)9 5＋75(÷)92＋7729( 8.28×＋6.5457.6×＋11.123.4×542 9.1994 ×1993＋993＋－11994×1993 10.有一串数1，4，9，16，25，36...，它们是按一定规律排列的，那么其中第2000个数与第2001个数相差多少

找规律程序运算定义新运算

找规律程序运算定义新运 算 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数 的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310- ，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ， 1612，2521，36 32 ，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数 为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++ ++ 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当 7a =时，b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2 a b += 。 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · ·

找规律及定义新运算.

板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1 1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……， 依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）． A ．2008、2009- B ．2008-、2009 C ．1004、1005- D ．1004、1004- ⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）． A ．b a - B ． 1b a - C ．11 a b - D ．2()a b - 【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11 4b a ，…(0≠ab )，其中第7个式 子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)． ⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管 . ① ② ③ 【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ， ，，。请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。 ⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） 找规律及定义新运算

找规律程序运算定义新运算

找规律程序运算定义新 运算 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么 这一组数的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数 为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12 -，25 ，310 -，417 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正

整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6， 12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项 是 。 【例 5】一组按规律排列的式子：2 b a - ，52 b a ，8 3 b a -，114 b a ，…（0ab ≠），其中第7个 式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，3632 ，…中得到巴尔末 公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；

五年级奥数专题三：定义新运算

五年级奥数专题三:定义新运算（1） 关键词：运算四则四则运算定义奥数符号意义这些表示年级 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2，

x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。

分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， …… 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0 所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。

〖数学专题提升〗2018新人教版七年级上专题提升(三)含答案：定义新运算

思维特训(三)定义新运算 方法点津· 定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是： (1)理解新定义的算式含义； (2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果． 典题精练· 类型一定义新运算——运算类 1．定义一种新运算※，观察下列式子： 1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8； 3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18. (1)填一填：2※4＝________，a※b＝________； (2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值． 2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子： 1⊙3＝1×4＋3＝7； 3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11； 5⊙4＝5×4＋4＝24； 4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.

(1)填空：5⊙(－6)＝________； (2)请你判断：当a ≠b 时，a ⊙b______b ⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由． 3．用[x]表示不超过x 的整数中的最大整数，例如： [2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式： (1)[3.5]＋[－3]； (2)[－7.25]＋[－13 ]． 类型二 定义新运算——探究类 4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c ＝|a －b －c|＋a ＋b ＋c 2 . 如：(－1)#2#3＝|－1－2－3|＋（－1）＋2＋32 ＝5. (1)计算：4#(－2)#(－5)＝________． (2)计算：3#(－7)#113 ＝________．

小升初专项复习一 定义新运算

专题一定义新运算 一、课前热身 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧： 1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1 2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2) 二、归纳总结 按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。 1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。 2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。但它没转化前，是不适合于各种运算定律。 3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。

三、拓展演练 第一组：直接计算型 1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。 2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b 求6◎3和（6◎3）◎2。 3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。计算（6☆8）★（3☆5）的值。

例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？ 例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。按此规律计算：8☆5。 练一练： 1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？ 2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13 求：（1）5☆10= （2）10☆5=

学而思小升初培优三：规律,程序,新运算(原版)

小升初培优（三） 找规律、定义新运算和程序运算 一、课堂要求 二、知识结构 l.找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型： (1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系． (2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律： 12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)． n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)． n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)． 1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)． 1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)． )1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)． x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)． x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：?+2 )1(,,21,15,10,6,3,1n n

第3节 找规律、定义新运算和程序运算

第三节找规律、定义新运算和程序运算 1．找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型： (1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系． (2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论， 常见的数列规律： (1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）． (2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）． (3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）． (4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）． (5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）． (6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）． (7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）． (8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和． ②三角形数：1，3，6，10，15，21，…， []1 2 n n+ ． 2．定义新运算 (1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算， (2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 3．程序计算 解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．

北师大版七年级专题训练—定义新运算 (无答案)

七年级专题—定义新运算 在平时练习题及测验中经常出现定义新运算题型。此类题型并不难，但由于 2*(-3)=22+3)3(-=4-27=-23 ∴（4*8)*[2*(-3)]=528*（-23） =32)23(528-+ =278784-12167 =266617 例3：用符号“十”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有 220032004||a b a b a a +⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值。 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003 x x x x ?+?++====?-?⊕ 解得 x =±2003

巩固练习题 1.定义新运算如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+，当a b <时，a b ab a ⊕=-， 则()22-⊕= ，若20x ⊕=，则x = 。 2.符号f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：（1）()10f =，()21f =， ()32f =，()43f =，???（2）122f ??= ???，133f ??= ???，144f ??= ??? ，155f ??= ??? ，??? 利用以上规律计算()120122013f f ??-= ??? 。 3.“*”是规定的一种运算法则：b a b a -=*2，则()15-*的值是 。 4.如果对于任意非零的有理数a ，b 定义运算如下：a a b ab b ⊕=+ 。已知x ⊕2⊕3=5，则x 的值为 。 5.对于任意两个正数y x ,定义一个运算“?”，其规则为 ).2(2y x xy y x --=? 若正整数b a ,满足,188=?b a 则这样的有序对（b a ,) 一共有 对。 6.对实数a,b 规定运算＊的意义是a*b=233b a +,则方程3*|x |=5的解是 。 7.对于定义F(m) =-1-2-3-···-2m-(2m+1)＋2+4+···+2m, 则F(100) = 。 8.定义a*b=a ×b+a+b,例如9*2=9×2+9+2=29, 试计算1*2*3*4的值为 。 9.定义运算＊，使得a*b=a2+b2, 试计算6*5的值为 。 10.对正有理数a,b 定义运算“★”，a ★b=b a a b +,试求4★（4★4）= 。 11.对于两数a 和b, 给定一种运算＃：a#b=a+b-ab, 则下列等式：①a#0=a;②a#b=b#a;③(a#b)#c=a#(b#c),其中正确的是 （填序号） 12.定义运算：a ?b=a （1-b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2?（-2）=6，②a ?b=b ?a ，③若a+b=0，则（a ?a ）+（b ?b ）=2ab ，④若a ?b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ） A.①④ B.①③ C.②③④ D.①③④ 13.对有理数a b 、，规定运算☆的意义是：a b a b a b =?++☆，则方程1352 x =☆的解是（ ）。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 14.定义运算，比如2?3=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2?(-3)=；②此运算中的字母均不能取零；③a ?b=b ?a ；④a ?(b+c)=a ?c+b ?c ，其中正确是（ ）

初中数学专题复习16.规律探索与定义新运算

规律探索与定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 2.数字的变化 3.与代数知识相结合 4.与几何知识相结合 5.综合问题 二、定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此 规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（） 【答案】B 2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请 仔细观察，按此规律第2010个图案是（） A．B．C．D． 【答案】B 3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的 方式进行排列： 按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）． A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．

【答案】C 4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆． 【答案】46 5. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9 个图形中共有________个★ 【答案】20 6. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式 摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星 个． 【答案】150 7. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律 的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗． 【答案】24 8. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形， 称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10 个 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 …

第三讲：化简绝对值-找规律-定义新运算

第三讲:化简值绝对、定义新运算、找规律 一、【化简绝对值】 Ⅰ、根据题设条件 例1 设化简的结果是（ )。 （A）（B） (C)（D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(Ｂ）. 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路． Ⅱ、借助教轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ). (Ａ）（B）（C) (D) 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清： １.原点的左边都是负数，右边都是正数．

2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． Ⅲ、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定,由于ｘ是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解 令得零点:；令得零点:，把数轴上的数分为三个 部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时,， ∴原式 ③当时，， ∴原式 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）. ∴

2.分段:根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定. ３.在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案. 二、【定义新运算】 1.在有理数集上定义运算“*”,其规则为ａ＊b= b a b a 22+-,求(3＊1）*(2*2) 2．在有理数上定义运算“?”,其规则为a ?b=2a+b,若ｘ ? (3?2)=4，求ｘ的值 ３．“*”是一种新运算，定义为：a*b=2 2b a + 。解方程3*|x|=４ 4．设a ，ｂ是两个整数，定义运算“*”,其规则为:当a ≥b 时,a*b= b 2-1；当ａ

找规律 程序运算 定义新运算

第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12，34，56，7 8 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数的第k 个数是 _______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：3579 24816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310-，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个 式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612 ，2521，36 32，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱 奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=L _________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=L ____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++L 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时， b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的 一部分，则a = ， 2 a b += 。 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · · a b · · · · · · ·

初一期中定义新运算

定义新运算 【例1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值． 【例2】 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它 们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为： ()21021011202124015=?+?+?=++= ()3210210111202121211=?+?+?+?= 按此方式，将二进制()21001换算成十进制数的结果是________． 【例3】 规定两种新运算：a b a b *=-，#a b a b =+，其中a 、b 为有理数．化简()()2 2235#2ab ab ab ab *--，并求出当2a =，1 2 b =-时的值是多少？ 【例4】 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对 于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+?+?+?的值为________． 【例5】 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对 于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ?+?+?+?+?的值为________．

四年级奥数第23讲 定义新运算

第二十三周定义新运算 专题简析： 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2 和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a △b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。 5△6=5×3－6×2=3 6△5=6×3－5×2=8 显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。 练习一 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。 6⊕2=6×2＋6＋2=20 练习二 1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25 练习三 1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3。 2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。

找规律程序运算定义新运算

找规律程序运算定义新运 算 The following text is amended on 12 November 2020.

第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么 这一组数的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数 为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12 -，25 ，310 -，417 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正

整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6， 12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项 是 。 【例 5】一组按规律排列的式子：2 b a - ，52 b a ，8 3 b a -，114 b a ，…（0ab ≠），其中第7个 式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，3632 ，…中得到巴尔末 公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；

定义新运算+简便运算

专题一：定义新运算 专题解析： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、☆、○、◇等。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 例题分析： 1.假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4） 2.设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△（4△6） 3.如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4= ；210*2= 4.规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4× 5...，如果 A ×⑥ 1 ＝⑥1＋⑤1。那么，A 是几？ 5.设a ⊙b=4a-2b+2 1ab,求x ⊙(4⊙1)=34中的未知数x 。

专题二：简便运算 专题解析： 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公示，可以把一些较为复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。 例题分析： 1.4.75-9.63+（8.25-1.37） 2.33338721 ×79+790×666614 1 3.36×1.09＋1.2×67.3 4.353×2552＋37.9×65 2 5.81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 6.1234＋2314＋3412＋3412＋4123 7.)9 5＋75(÷)92＋7729( 8.28×＋6.5457.6×＋11.123.4×542 9.1994 ×1993＋993＋－1 1994×1993 10.有一串数1，4，9，16，25，36...，它们是按一定规律排列的，那么其中第2000个数与第2001个数相差多少？

第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题

定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％

定义新运算 找规律 定义新运算与找规律（一）课程预览 趣味课堂

第九讲 定义新运算与找规律（一） 定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A B *表示3A B +，则57=*________． （2）定义一种运算：a b b a =，则 2 3= ________， () 5-3=________． （3）定义新运算为()1a b a b ?=+÷，则()634??=_______． （4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+，例如： ()323232615-?=-?--+=-+=-，则()()11m -?-=________． （5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ?=-， 那么()()6835⊕⊕?=__________． 例2． （1）如果()2a b a b ?=-?，例如()34=3244?-?=，那么，当530a ?=时，a =_____． （2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________， 当5x ※比5x ※大5时，x =_________． （3）定义新运算为1 a a b b φ+=， ①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？ 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算

第七讲 定义新运算和找规律解题

第七讲 定义新运算和找规律解题 定义新运算 1. 如果对于任意非零有理数a 、b ，定义 运算如下：a ☉b =1+ab ，那么 （—5）☉（+4）☉（—3）=___________。 2. 已知：A □B 表示A 的3倍减去B 的2倍；求：①10□5；②15□5□10；③10□（4□1） 3. 已知:2*1= 4441 3*4,3312*3,21==。求：（6*3）÷（2*6） 4. 已知：433221321??=?，86756453453???=?。计算：=?+?38 5 452 5. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；…。则 100！÷99！=________。 6. “※”定义新运算：对于有理数a 、b 都有：a ※b =12 +b 。那么5※3=________； 当m 为有理数时，m ※（m ※2）=_________。 7. 已知有理数a 、b ，规定一种新运算符号“＃”，a ＃b = ab b a -，请根据＃的意义计 算：（1）4＃2=_______（2）（2＃3）＃（—2）=_________。 8. 形如 d b c a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是： bc ad d b c a -=， 依此法则计算4 31 2-=_________。 找规律做题 1. 数字解密第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是 17=9+8，…，观察并猜想第六个数是__________________。 2. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母 为正整数的分数） 第一行 1 1 第二行 21 21 第三行 31 61 3 1