高中文科数学直线和圆部分知识整理
高中文科数学直线和圆部分知识整理
一．直线的倾斜角：
1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
2．倾斜角的范围[)π,0。
【例题】过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3
2,3[π
πα∈值的范围是
______ （答：42≥-≤m m 或）
二．直线的斜率：
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222
(,)P x y 的直线的斜率为()212
12
1x x x x y y k ≠--=； 【例题】实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x
y
的最大值、最小值分别为______
（答：2
,13
-）
三．直线的方程：
1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222
(,)P x y 两点，则直线方程为121
121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为
1=+b
y
a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5．一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
【例题】（1）经过点（2，1）且方向向量为v
=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________
（答：12)y x -=-）；
（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______
（答：(1,2)--）；
（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______
（答：1a >）
四．设直线方程的一些常用技巧：
1．知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；
2．知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；
3．知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；
4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.
五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =
；
（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=
间的距离为d =
六．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：
1．平行?12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）；
2．相交?12210A B A B -≠；
3．重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=。
*直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直?12120A A B B +=。
【例题】（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合
（答：－1；1
2
；31且m m ≠≠-；3）；
（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______ （答：3490x y +-=）；
（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____ （答：12a -<<）；
（4）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________ （答：43401x y x +-==和）
七．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如
（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（答：(,)b a ）
（2）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________
（答：3y=3x ＋）；
（3）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________
（答：18x 510y -=＋）；
十．圆的方程：
1．圆的标准方程：()()2
2
2x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，
特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为
(,)22D E --，二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->。
3．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 【例题】（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________
（答：22(1)1x y ++=）；
（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；
（3）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____
（答：2
1
十一．点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()22 2C 0：x-a y b r r +-=>， （1）点M 在圆C 外()()2 2 200CM r x a y b r ?>?-+->； （2）点M 在圆C 内?()()2 2 200CM r x a y b r 0CM r x a ?=?-()2 20y b r +-=。 十二。直线与圆的位置关系： 直线:0l Ax By C ++=和圆()()2 22C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0?>?相交；0? （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r ?相离；d r =?相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 【例题】（1）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____ （答：2）； （2）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于 （答：； （3）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； 十三．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分 别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则 （1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离； （2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切； （3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交； （4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切； （5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含。 人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式 高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题 第一部分：椭圆 1．椭圆的概念 在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 典型例题 例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 1622≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在 例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点, 若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) 例5 P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为 2 3 ，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ． 高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程 一、 选择题（每题3分，共54分） 1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2 =++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2 =++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ） A ．0,0<>bc ab B ．0,0<>bc ab C ．0,0>>bc ab D ．0,0< 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角:tan k θ=,[0,)θπ∈ (１)[0, )2 π θ∈时,0k ≥;(2）2 πθ= 时,k 不存在；(3）( ,)2 π θπ∈时,0k < （4)当倾斜角从0? 增加到90? 时,斜率从0增加到+∞; 当倾斜角从90? 增加到180? 时,斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式:)(00x x k y y -=- （2)斜截式:y kx b =+ （3）两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (４)截距式： 1x y a b += (5)一般式:0C =++By Ax 3.距离公式 （1)点111(,)P x y ,222(,)P x y 之间的距离:12PP = (2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = (３）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离:d = 4．位置关系 (1）截距式：y kx b =+形式 重合:1212 k k b b == 相交:12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式:0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直:12120A A B B += 相交:1221A B A B ≠ ５.直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 １.圆的方程 （1)标准形式:2 2 2 ()()x a y b R -+-=(0R >） （2)一般式:2 2 0x y Dx Ey F ++++=(22 40D E F +->） （3)参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2.位置关系 （１）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时,点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 (2)直线0Ax By C ++=和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系: 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时,直线和圆相交(有两个交点)； 当d R =时,直线和圆相切(有且仅有一个交点）; 当d R <时,直线和圆相离（无交点)； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． （2）代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断. （3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交． 高一数学必修知识点：圆的方程精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学必修知识点：圆的方程，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 圆心 ，半径为r; (2)一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点;当 时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需 要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： (1)设直线 ，圆 ，圆心 到l的距离为 ，则有 (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线四条; 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 5π D ． 3 2π 2 若圆C 与圆1)1()2(2 2 =-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(2 2=++-y x B ．1)1()2(2 2=-+-y x C ．1)2()1(2 2=++-y x D ．1)2()1(2 2 =-++y x 4 已知直线22 1 :1+= x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5 3 31+= x y C ．73+-=x y D ．73+=x y 5 不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ） A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方 D ．左下方 6 直线0943=--y x 与圆42 2 =+y x 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心 7 已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12 2 =+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ） A ．是锐角三角形 B ．是直角三角形 C ．是钝角三角形 D ．不存在 8 过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是( ) A ．2 3- B ．3 2- C ． 5 2 D ．2 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) A ． 2 5 B ．5 C ． 2 3 D ． 2 5 10 下列命题中，正确的是( ) A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内 B ．点)0,0(在区域01<++y x 内 C ．点)0,1(在区域x y 2>内 D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内 11 由点)3,1(P 引圆92 2 =+y x 的切线的长是 ( ) A ．2 B ．19 C ．1 D ．4 12 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( ) 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 1. 已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。 （Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围； （Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。 解：（Ⅰ），D=-2，E=-4，F=m， =20-4m＞0，解得：m＜5。 （Ⅱ）， 将x=4-2y代入得，∴，， ∵OM⊥ON，得出：， ∴， ∴。 （Ⅲ）设圆心为（a，b），， 半径， ∴圆的方程为。 法 2. 2. 已知圆C方程为x2+y2-2x-4y-20=0，直线l的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0. 证明：无论m取何 圆C恒有两个公共点。 2、求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时m的值 1、将直线方程化为：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0，不论m取何值，直线总过定点，令2x+y-7=0，x+y-4=0 解得x=3，y=1，所以直线过定点(3，1），将点(3,1)代入圆方程左边可知<0，所以点(3,1)在圆内 所以直线与圆相交，直线与圆恒有两个公共点 2、当直线与过A(3,1)点的直径垂直时，直线l被圆C截得的线段的最短，圆心C(1,2)， AC的斜率= -1/2，所以L的斜率=2，所以- (2m+1)/(m+1)=2，所以m= - 3/4 3、已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0． （Ⅰ）证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点； （Ⅱ）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度． 高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程 【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+?? 圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 高中数学必修二直线与 圆方面的知识点范文 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 高中数学必修2知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 高二数学第 3 讲直线与圆综合 22 1. 已知圆C：x +y +2x-3=0 ． （1）求圆的圆心 C 的坐标和半径长； （2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆 C 相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 1 1 x1 x2为定值； （3）斜率为 1 的直线m 与圆C相交于D、E两点，求直线m 的方程，使△CDE的面积最大． 2. 已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C1相交于E、F 两点，线段EF 的中点为C． （1）求点C的轨迹C2 的方程； （2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0 的交点为N，求证|AM|?|AN| 为定值． 3. 已知点C(1，0)，点A，B 是⊙ O：x2+y2=9 上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设M为弦AB的 中点．求点M的轨迹T 的方程； 4.已知平面直角坐标系上一动点P(x, y)到点A( 2,0) 的距离是点P 到点B(1,0) 的距离的2倍。 (1)求点P 的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点(2,1) 对称，点C(3,0) ，求|QA|2 |QC |2的最大值和最小值； (3)过点A的直线l 与点P的轨迹C 相交于E,F 两点，点M (2,0) ，则是否存在直线l ，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。 22 5.已知圆O: x2 y2 4和点M （1,a）． （1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a的值，并求出切线方程； （2）若a 2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直． ①求四边形ABCD 面积的最大值；②求| AC | | BD |的最大值． 22 6. 已知过原点的动直线l 与圆C1：x +y -6x+5=0 相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1 的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出不 k 的取值范围；若存在，说明理由． 1．直线的斜率 倾斜角：0180≤α?注意讲授每一种直线方程的使用条件，截距可正可负可为零． 3．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=； ⑴相交：12210A B A B -≠ ⑵平行：12210A B A B -=且12120B C C B -≠ ⑶重合：12A A λ=，12B B λ=，12(0)C C λλ=≠ ⑷垂直：12120A A B B += 4．点到直线的距离公式 ⑴点00()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离：002 2 Ax By C d A B ++= +， ⑵两条平行线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离：122 2 C C d A B -=+． 知识点睛 11.1直线 直线与圆 高中数学必修２知识点——直线与圆 整理 徐福扬 一、直线与方程 （1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<18０° (2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套
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