2013年清华金秋营数学试题及解答

2013年清华金秋营试题及解答

2015年清华大学金秋营数学进阶试题及解答

2015年清华大学金秋营数学进阶试题 在清华大学金秋营比赛中，来自全国众多竞赛优秀学子获得了一等奖降至一本线、二等奖降60分、三等奖降40分的2016年自主招生降分优惠。下面为清华大学数学金秋营数学进阶试题。 本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分． 1、给定正整数n，设实数a1,a2,?,a n；x1,x2,?,x n；y1,y2,?,y n满足 a?a i?b, i=1,2,?,n, 且 证明： 2、设凸五边形A1A2A3A4A5的面积为S，三角形△A5A1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，△A3A4A5，△A4A5A1的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，证明：S1+S2+S3+S4+S5>S． 3、给定正整数n．设实数x1,x2,?,x n满足 ,?i≠j,|xi?xj|?1, 证明：所有n3个表达式x i x j+x k（其中1?i,j,k?n）至少能取到n(n?1)/2个不同的值． 4、设a,b,n与n!/a!b! 都是正整数，证明 a+b

所能取到的最大值． 6．设p>5是素数且p≡1(mod4)．对于整数a，如果存在整数x使得 x2≡a(mod p), 则称a是“模p二次剩余的”．证明：对每个整数a，存在整数b, c，使得a=b+c且b, c都不是“模p二次剩余的”． 2015年清华大学金秋营数学进阶试题参考解答 【第1题】

2016年北大金秋营试题-10份,正反

2016年北大金秋营试题 1、在ABC ?内部有一点P 满足4 C A PCB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ?的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠. 2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=1 1112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中， ),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值. 3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立. 4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(mod 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价： （1）p 为模q 的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解. 5、记函数∑== 40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值. 6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值. 7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方. 8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.

2016年清华大学物理金秋营考试试题(WORD版无答案)

2016年清华大学全国优秀中学生物理体验营笔试题 题一 水平地面上有一门固定大炮，可向任意方向发射初速度大小为v的炮弹，求炮弹可能打到的区域的边界（可以建立坐标系后用函数表达）。已知重力加速度g。 题二 水平地面上放有一高为h、半顶角为α、密度为ρ的均匀刚性圆锥体。其顶点静止不动（无外力限制），整体做定点转动，锥体与地面间无相对滑动。底面圆心绕过圆锥顶点的竖直轴（假想）做匀速圆周运动的速度大小为v。 1．求此锥体的角速度； 2．求此锥体的角动量； 3．求支持力的力矩。 题三 无限长一维弹簧链，所有弹簧均为原长时相邻质点间距为a，弹簧劲度系数均为k，质点质量均为m，所有质点的振动频率相同，激发纵波的波长记为λ。 ?时该纵波为介质中的普通纵波并求出波速与波长的关系； 1．证明当a 2．求该纵波的最小波长。 题四 竖直平面内有一半径为r＝1 cm、带电量为Q＝10－8 C的无限长导体圆柱放置在盐水上方，球心到盐水表面的高度为h＝2 cm。会发现盐水会隆起一小坨，求导体圆柱正下方水面隆起的高度。设盐水密度近似为纯水密度。 题五 平面直角坐标架下，有一圆心位于坐标原点、半径为r的固定绝缘大圆环。圆心处有一固定的电偶极子，电偶极矩的方向沿y轴正方向、大小为p。大圆环上穿有一个带电量为Q的小环，在坐标（r，0）处由静止释放小环，求之后大圆环对小环的弹力与小环位置（用坐标原点到小环的连线矢量与x轴正方向的夹角θ表达）的关系。 题六 真空中有两个非常大的平行平面电极相距d，电势分别为0和＋U0。低电势的电极上有一薄层电子源，在外电场作用下，电子源中的电子从中逸出，以垂直于极板方向的几乎为0的初速度持续地朝两电极之间发射电子。若忽略电子之间的库仑排斥力，则电子应在两极板间匀加速直线运动，直至撞上另一极板而进入极板内部。极板、电源和导线形成一个闭合直流电路，两极板与之间的真空可一同视为一个非欧姆元件：真空管。 当真空管中的电流随着外电场的增强而逐渐增加时，两电极间电子自身产生的电场不可忽略。电子群自身产生的电场对电流的影响称为空间电荷效应。试求外电场极强、且考虑了电子自身产生的电场后，当电子流达到稳定时，流过两极板之间电流密度的大小。忽略相对论效应、电流磁效应以及电磁辐射，忽略电子之间的碰撞，忽略边缘效应（认为板的尺寸远

清华大学2018年金秋营试题解答精校版

清华大学2018年金秋营试题精校版 第二天试题 5. 设一个凸多边形和它的内部能被几个半径不相等的圆盘完全覆盖，证明或否定：可以从这些圆盘中选出一些两两不交的圆盘，使得将它们的半径扩大三倍之后，可以覆盖原来的凸多边形. 证明：在这几个圆盘中，必有一个半径最大（若有多个，从中任选一个），设该圆盘为1C ，把圆1C 以及与它有公共点的所有圆盘去掉，同样在剩下的圆盘中必有一个半径最大的圆盘（若有多个，从中任选一个），记该圆盘为2C ，把圆盘2C 以及所有与它有公共点的圆盘去掉，再考虑剩下圆盘中半径最大的圆盘，按照这种方式进行下去，最后一定可以得到K 个两两不交的圆盘K C C C ,...,,21. 将圆盘i C 的半径扩大三倍得到圆盘'i C ),...,2,1(k i =，则圆盘'i C 能覆盖住圆盘i C 以及所有与i C 有公共点的圆盘，故圆盘'i C ),...,2,1(k i =能覆盖住原来的几个圆盘，而这几个圆盘能覆盖住原来的凸多边形. 6. 对前n 个正整数用K 种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设K 的最大值为)(n f ，证明：n n f n 23log 1)(log +≤≤. 证明：若对前若干个正整数分别染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，则称这种染色方式为好染色法. 我们首先证明：对+∈?Z m ，有(2)()1,(21)()1f m f m f m f m ≤++≤+. 设{}1,0∈t ，用)2(t m f +种颜色对前t m +2个正整数染色，可得到一种好染色法，再从中删去数t m m m +++2,...,2,1后，将会得到对前m 个正整数的一种好染色法，且)(1)2(m f a m f ≤-+（否则，至少有两种不同的颜色，他们只对a m m m +++,...,2,1中的某一些数进行染色，分别从这两种颜色的数中取最小的数，设为a m y x y m x m +≤<≤++1,,，考虑数y x m -+2，根据 y x m -+212)(2≥-=+-+≥a a m m ，x m y x m +<-+2 以及y m x m ++,的最小性可知y x m -+2所染的颜色与数y m x m ++,的颜色不同，而y x m -+2，y m x m ++,构成等差数列，矛盾）. 接下来证明：对+∈?Z m 有1)()3(+≥m f m f ，1)1()3(++≥+m f k m f ，其中{ }2,1∈k .

北京大学金秋营数学试题(部分含答案)

2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试 题 学科专业能力测试一 第一天 2019年10月14日下午14:00—17:30 1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC. 2、对于的一个排列{}定义函数 f()=.求所有的排列中，f()的最小值。 3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立. 4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价: （1）p为模q的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解。 学科专业能力测试二 第二天 2019年10月15日上午09:00-12：00

5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。 6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。 7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。 8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？ 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【部分试题参考解答】 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知

北大金秋营数学2015年

2015年北京大学数学金秋营试题 1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。 2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4 3 ]+1组整数解（m,n,r）. 3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。 4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1. 5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥ un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。 6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。 7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px) k =c i mk i=0 x i ， 其中x k =x x?1…(x?k+1) k! 。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk). 8、设k∈Z+, S={(m+1 k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2 k ,n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射 F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.

清华大学历届金秋营试题

两栖动物适应陆地生活的特点 鱼鳔的作用 群落 生态型的概念 各维生素的作用 海洋硬骨鱼肾小囊和肾小管的发达程度糖类与氨基酸间的转化关系 鸟氨酸循环 氨基酸间的转化关系 生酮氨基酸 增加尿液排酮的氨基酸 消化酶对氨基酸序列的相对选择性 谷氨酸等电点处形成螺旋结构 转录因子的作用 限制酶 PCR 圆二色谱仪的作用波长 固氮酶 疟原虫的生活周期及习性 神经干电位 细胞培养 丙酮酸脱羧14C标记 癌细胞的特征 真核基因载体基本组成 载体选择及宿主选择 基因分离定律 基因互作 基因频率 将外源基因导入受体细胞的途径 光反应 southern杂交 酶活力 酶促进反应公式及抑制剂 米氏常数（三道题，两英文一中文）

哪个不是生态型：A. 建群种 B. 优势种 C. 特有种 D. 亚优势种？ 能增加尿液排酮的氨基酸是哪一种？ 维持蛋白质三级结构的键是哪个？ 如果一个人体蛋白在昆虫体内同源表达效果不好，需要截短，截断依据是什么？某同学pcr效果不好，跑出来的片段比预期的小，如何改进？ 送外源基因入酵母方法有哪些？ 圆二色性最常用波长是哪个范围？ 后口、成对附肢、颌、背神经管哪个是最先在鱼类中出现的？ 两栖动物适应陆地环境的特征是什么？ 蛋白聚糖的糖可能是什么糖？ 鳔和肺算不算同源器官？ 两栖动物有没有荐椎？ 英文题： 蛋白质primary structure取决于什么？ CNBr的作用是什么？ L-氨基酸组成的右手螺旋，换成D-氨基酸将是什么螺旋？ 计算题： 最后的计算题，题目中会给出公式，中英文均有。 给出蛋白质a 螺旋的螺距和每圈aa数，问长度一定的 a 螺旋所需aa数。 对米氏方程的全面考察，给出km 值后速度与底物浓度的互推。

那些与北大、清华”营“有关的传说

那些与北大、清华“营“有关的传说 请再普及一下自招、博雅在报名和录取时有啥差别，问题太初级，请赐教。 综合营，自己不能报，学校给按综合成绩推荐 考试题比高考难，比竟赛简单，自招可以自己报，有竞赛成绩要求。 博雅可自荐（博雅和综合营不是一个时间段。 录取：自招一般绑定专业，但加分力度大， 博雅很少绑定专业，加分力度略小，给线下和线上分。 两校自招录取相似， 不过领军没有线上分。 1.单科（理科竞赛）优异-学科夏令营（自己报名）-优秀营员直接参加自招（是否加分看实力）； 2.综合成绩好-体验营（学校推荐）- 优秀营员直接参加博雅领军 （是否加分看实力）； 3.竞赛生（省一为主）-金秋营 -优秀营员直接参加自招（特优秀的签约，其他是否加分看自招实力） 北大的学科营比较多，可以试试看 多个机会 数理化生信息，建议有奖项的参加 补充：1.竞赛生（省一）-金秋营 -清华：部分营员直接获得降分录取的签约，签约的营员直接通过初审、复试（免初试、面试）；部分获得自招资格，可通过自招初审，甚至复试；也有部分不通过。不通过的营员，即便奖项很高如国二，也很难通过自招初审。 北大的签约营员直接进面试，走没有连面试也免的不知道。 2.数学省二有可能通过丘成桐营。但不知与清华的周末班是否有关系？ 其他省二也有可能通过其他营如物理营，不过，认识的、通过的省二不止一个省二。 新高三暑假，各种营 1.综合营--学校推荐--校内排名--取得“通过”以上认定的则有相应博雅/领军的初审通过资格 2.学科营(暑期课堂)--自荐--竞赛+校内排名--取得“优秀营员”认定的则有相应自招的初审通过资格，以及免面试的条件（北大） 3.科学营--自荐--竞赛--待补充 高三下，各种自招 1.纯自招--自荐--符合招生简章要求的，各种学科营，科学营有约的；一般有笔试，和/或面试，加分力度大，绑定专业 2.博雅计划--自荐--符合招生简章要求的（高三上学期期末、一模、区统考或者校排名），综合营的；一般有笔试，和/或面试，加分力度小；初审人数较少；给线下和线上分 3.领军计划--自荐--符合招生简章要求的（高三上学期期末、一模、区统考或者校排名），综合营的；一般有笔试，和/或面试，加分力度小；初审人数较多；给线下分

进入清华北大的捷径——全国高中生竞赛汇总

（竞赛介绍系列1）大学招生改革了，高中还有必要学竞赛么？ 是否学竞赛是很多中学家长和同学纠结的问题。尤其是高考改革之后，自主招生形势变的不再明朗，竞赛在高中还有必要学么？ 对于这些科目学习有兴趣，并且学有余力的同学来说，高一时候很值得学。 高一的主要困难是科目多、数学和物理和初中风格迥异，如果能很快的适应和解决这两个问题，并且学有余力的同学，完全可以在高一阶段，学1门竞赛，锁定在自己最感兴趣的科目。这样才能事半功倍，为将来的自主招生、各种大学招生的夏令营、乃至出国求学，做多一手的准备。如果到了高二，还能保持这种全科成绩还不错，一个科目有优势的情形，就可以继续拼一个比较大的奖。如果到了高二，竞赛学习牵扯精力过多，耽误了其他科目的学习，就得早点收手。毕竟现在影响最大的还是全科的成绩、和最终高考的成绩。 对于初中那些很优秀，进入顶级高中问题不大的同学，完全可以更早的介入高中竞赛的学习。因为这些孩子的目标应该是锁定名校的实验班、竞赛班。很多学校比如RDF、四中等分班考试的内容都往往围绕着高中竞赛的一些内容和方法进行设计。提前学习优势会更大。 而且眼光放的更长远一些。如果孩子将来打算在理科、工科有所建树。高中的竞赛学习，也是一种很好的提前准备。比如物理竞赛的孩子、往往普通物理、高等数学方面优势很大。化学生物竞赛基本就是要提前修习大学的课程。这样孩子进入大学之后，在头两年，就会有很多的时间空余出来，可以进行更深入的学习和研究。 对于希望通过竞赛直接加分保送的同学来说，基本没戏了。 竞赛现在加分保送的影响范围缩小到了国家级一等奖，换句话讲，也就是孩子得考到全国前50名左右才能获得保送的资格。算到北京也一般一科只有个位数。所以绝大多数孩子希望渺茫。 总而言之。竞赛学习，如果目标锁定在保送、获大奖，的确风险很大，学习要谨慎。如果目标是为了学习知识，为了将来的学业有所帮助，那么竞赛的学习完全可以是全科学习的一种有益补充。同学们和家长们，一定要针对自己的情况，酌情处理，切不可跟风而行。

2016年清华大学数学金秋营试题

2016年清华大学数学金秋营试题 考试时间：2016年10月13-14日，共6道题 1、给定△A 1A 2A 3及其内部一点P ，设△A 1A 2A 3，△PA 2A 3，△PA 3A 1，△PA 1A 2的外接 圆的圆心分别为O, O 1，O 2，O 3，设直线OO 1与O 2O 3相交于点M ，试比较23MO MO 与 12 31 PA A PA A S S ??的大小，其中，12 31 ，PA A PA A S S ??分别表示△PA 1A 2，△PA 3A 1的面积。 2、给定正整数n ，求最大的正整数k ，使得如下命题成立：对每个i =1,2,….,2n,设Ai 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个Ai 都是形如 {}1,2,... a a a r +++的集合，其中a 是整数，r 是正整数），如果对任何 1i n ≤≤，()n+12j n ≤≤都有i j A A ≠?，则存在整数x ，使得集合 {} 12i i n x A ≤≤?包含至少k 个不同的元素。 3、对由有限个实数构成的集合Y ，定义（Y ） σ为Y 中所有元素之和 y Y （Y ）=y σ∈∑ 给定正整数m, n 与正实数12...m x x x <<<，设A 1，A 2，…A n 是集合 {}1 2 ,,...m x x x 的非空子集，求如下表达式 11() ()()n n i j i j i j A A A A σσσ==?∑∑ 所能取到的最小值。 4、设G 是连通的简单图，所有顶点构成的集合为V ，所有边构成的集合为E ，称E 的子集H 为G 的“偶度子图”，如果对任何x V ∈,H 中一共有偶数条边以x 为顶点。设,V v =,E e =请问G 一共有多少个“偶度子图”？，注意：E 的空子集?也被视为一个“偶度子图”。

2011年清华金秋营答案

2011年清华金秋营数学试题及解答 1.求n n n n π ππ )1(sin 2sin sin -??? 的值. 解：设n i n π π εsin cos +=(i 为虚数单位),则1,) 1(22,,-n ε εε 为012=-n x 的根. k k k k i i n k εεεεπ21 2sin 2-=-=-，sin n πsin n π2sin n n π)1(-=)1(2 1 11)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεε =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεε =1 )1(2422)1()1)(1(-----n n εεε , 而)())(() 1(22 4 2 2 2 ----n x x x ε εε =12)2(2)1(2+++--x x x n n , n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεε ，12 )1(sin 2sin sin -=-∴n n n n n n πππ . 2.定义符号)(n ord p (其中n 为整数,p 为素数)满足:若m n ord p =)(,则表示n p m |,并且1 +m p 不能整除 n ,定义)(n S p 表示n 在p 进制表示下各位数字之和. (1)求证:1 )()!(--= p n S n n ord p p . (2)利用(1)的结论证明: )! 1(!)! 2(+?n n n 为整数. (3)利用(1)的结论证明: )! 1()!())! 1((++n mn m n 为整数. 证明：(1)设n=a k p k +1 1--k k p a + +a 0,a i ∈{0, ,p-1} 则Ord p (n!)= ?? ????∑ ∞ +=i p n i 1 =a k p 1-k +21--k k p a + +a 2p+a 1+a k p 2 -k +31--k k p a + +a 2+ +a k =11--p p a k k +1111----p p a k k + +1122--p p a +1 1 11--p p a =1)()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k =1 ) (--P n S n P (2)设p α ||(n+1) (P 为n+1的任一素因子)，即n+1=a k p k + a 1-k p 1 -k + a αp α (0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1)