第2节微积分基本定理
数学13版学习方略第X 章第X 节第X 课时
第2节 微积分基本定理
【教学方案设计】
一、新课导入 问题的提出
变速直线运动中路程函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度()v v t =是时间间隔
[]12,T T 上t 的一个连续函数，且()0v t ≥，求物体在这段
时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 ,另一方面这段路程可表示为
移s 可以 , 分
那么类似的结论在函数中是否成立
呢?让我们来学习微积分基本定理吧!
二、教学建议
1.关于微积分基本定理探究过程的教学
教学时,建议教师充分利用学生熟悉的变速直线运动物体在某段时间内的路程与每一个小时间段的关系,并通过多媒体手段,让学生直观理解速度的积分等于路程.然后再进一步推广到一般的函数.
2.关于微积分基本定理的教学
教学时,建议教师结合数学史的有关内容,让学生了解微积分基本定理在微积分学科中的地位,再通过一定量的练习,让学生体会用微积分基本定理求定积分时的优越性,掌握微积分基本定理的应用.
21
()T T
v t dt
?
21()()s T s T
-21
21()()().T
T v t dt s T s T ∴=-?()().
s t v t '=其中
【学习目标定位】
目标定位
重点难点
1. 了解微积分基本定理的推导过程
2. 能够利用微积分基本定理求简单的定积分
1. 本节课的难点是微积分基本定理的推导过程
2. 本节课的重点是微积分基本定理求简单的定积
分
【基础预习点拨】
【基础梳理】 1.连续函数
直观的说，连续函数()f
x 的图像时一条不间断的曲线，
在中学阶段，大部分函数都是连续函数. 2.微积分基本定理 内容 符号
如果连续函数()f
x 是函数
()F x 的导函数,即()f x =()F x ',则有
()()()b a
f x dx F b F a =-?
()()b b a
a
f x dx F x =?
()()F b F a =-
【思考运用】 1.被积函数()f
x 的原函数是否是唯一的?
【提示】不唯一.可以写成()F x +C 的形式,其中C 是常数. 因为()(
)()F x c
f x '+=.
2.已知()2
2F x x =,()()f x F x '=,则
()11
__f
x -=
?
【解析】
()11
f x -=?
()
()()1111F x F F -=--
=()2
2
21210?-?-=
3.函数cos ,cos 1x x -的导函数分别是__________ 【解析】因为
()()sin cos ,sin cos 1x x x x x ''=-=-
故函数cos ,cos 1x x -的导函数分别是
cos ,cos 1x x -
【答案】cos ,cos 1x x -
4.
1
1____e
dx x
=?
【解析】
1
1
1ln ln ln 11e
e dx x
e x
==-=?
【知识点拨】
1.微积分基本原理的作用
微积分基本原理建立了积分与导数间的密切联系,它使求积分的问题变得十分简捷,提供了计算微积分的一种有效方法.
2.对微积分基本定理的认识 利用微积分基本定理求定积分
()b a
f x dx ?
的关键是找到
使()()F
x f
x '
=成立的()F x 通常是逆向考虑基本初等
函数的求导法则和四则运算法则,求出()f x ,这个过程与求
导运算时互逆的运算.
【要点探究归纳】
【技法点拨】
求简单函数的定积分的方法
（1）熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再求定积分.
(2)精确定积分的积分区间，弄清积分上限、下限后代人计算.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.（2011福建高考）
10
(2)+?
x
e x dx 等于（ ）
（A ）1 （B ）e-1 （C ）e （D ）e+1 2.求下列函数的定积分 (1) (1)?2
1?
???
2x 2
－
1x d x ；
(2) ??0
a (3x 2
－x ＋1)d x
【解析】 1. 选
C.
被积函数
2
2,x
x
e x e x ++的原函数为 1
12
1
2
(2)()1)(0).
x x e x dx e x e e ∴
+=++-+=?
｜＝(e
2.(1)?2
1????2x 2
－
1x d x ＝????23x 3－ln x |21
＝163－ln 2－23＝14
3
－ln 2. (2) ??0
a (3x 2－x ＋1)d x ＝(x 3
－1
2
x 2
＋x )??
?
a
＝a 3
－12
a 2
＋a .
【变式训练】
1. ??241x
d x 等于( )
(A)－2ln2 (B)2ln2 (C)－ln2 (D)ln2
2.若a ＝
sin x d x ，b ＝??0
1cos x d x ，则a 与b 的
关系( )
(A)a b (C)a ＝b (D)a ＋b ＝0 【解析】1.选D. ??2
41x
d x ＝ln x ???
4
2＝ln2.
2.选A. ∵(－cos x )′＝sin x ，(sin x )′＝cos x ，
∴a ＝
sin x d x ＝－cos2＋cos π
2
＝－cos2，
b ＝??0
1cos x d x ＝sin1.
∴b －a ＝sin1＋cos2＝－2sin 21＋sin1＋1＝9
8
－
2(sin1－1
4
)2，
∵0 类型二 求较复杂的函数的定积分 【技法点拨】 1.分段函数的定积分 若被积函数是分段函数,可先将积分区间分为两部分, 根据定积分的性质,分段求出定积分的值后相加. 2.复合函数的定积分 若被积函数是复合函数,则需要准确求成原函数,若不能确定,则可以用求导的方法加以验证.求出原函数后应用微积分基本定理求值. 类型一 求简单函数的定积分 数学试题的解答离不开方法的指导，而解答的技巧又来源于解题后的反思总结。因此，对同学们来说，积累掌握一些常见的解题方法和技巧至关重要。本栏目根据每节课的知识特点划分不同类型，每个类型中又通过理论方法的归纳、题组的跟踪、解题后的反思感悟等，帮助同学们掌握：1、每节课的基本类型及每个类型中常见的考查角度；2、每节课的重点、难点及解决问题的方法和技巧。请仔细揣摩，认真学习吧！ 【特别提醒】（对应学生用书的“思考”） 求简单函数的定积分是应注意的问题时什么? 提示：一是要注意函数式的的符号处理,二是要注意积分上下限的符号处理,求原函数和代人求值是要特别注意. 【典例训练】(建议教师以第二题为例重点讲解) 1.设(]???∈-∈=, 2,1,2], 1,0[,)(2x x x x x f 则,?20 )(x f d x 等于 ( ) (A) 4 3 (B) 5 4 (C) 6 5 (D)不存在, 2.求下列函数的定积分 (1) ?3π (sin x －sin 2x )d x (2)? ?1 2(e 2x ＋1 x )d x 【解析】1.选C.本题应画图求解，更为清晰，如图， . 6 5)21224(3 1|)2 12(|31dx )2(dx dx )(2 121 032 1 1 2 2 = + --+= - +=-+=??? x x x x x x f 2. (1) ? 3 π0 (sin x －sin 2x )d x ＝??? ?－cos x ＋1 2cos 2x |3π ＝????－12－14－????－1＋12＝－14. (2)∵(ln x )′＝1x ，(1 2e 2x )′＝e 2x ， ∴??1 2(e 2x ＋1x )d x ＝??1 2e 2x d x ＋??1 21 x d x ＝12e 2x ??? 2 1＋ln x ??? 2 1＝12e 4－12e 2＋ln2－ln1 ＝12e 4－1 2 e 2＋ln2. 【互动探究】求本题1中的函数变为 ()[) ()[] 2 ,2,02,0,1x x f x x x ?∈-?=? -∈??在区间[-2,1]上的定积分。 【解析】 ()()101 2 2 2 2f x dx x dx x dx --= + -? ? ? = 3 021 2 1123 2x x x -? ?+- ? ?? =()3 3 2 1 110221133 2 ?- ?-+?- ? =133 【变式训练】 设（其中为自然对数的底 数）, 则的值为（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选C. 2 12 1 1e x dx dx x = + ? ? =2 31 1 117ln 23 3 3 e x x += += 类型三 微积分基本定理的简单应用 【技法点拨】关于微积分基本定理的简单应用 微积分基本定理经常与函数的最值、奇偶性、函数的解析式等结合,考察微积分基本定理与函数性质的综合应用,此类题目定积分的计算是“表”,而函数的性质是“里”,定积分的准确计算往往是解题的前提条件. 【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解） 1.若y ＝0 x ?(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）－7 2 （D ）0 2.若f (x )是一次函数，且 10 ? f (x )d x ＝5， 10 ? xf (x )d x ＝176，求21 ?f (x ) x d x 的值 【特别提醒】（对应学生用书的“思考”） 解答本题1的关键点及解答本题2的易错点是什么？ 提示：解答本题1的关键点是将积分区间分段，并准确确定每一段上的被积函数;解答本题2的易错点是求错被积函数,主要原因是忽略了对内层函数求导. 【解析】1.选 B. y ＝ x ? (sin t ＋cos t sin t )d t ＝ x ? (sin t ＋1 2 sin2t )d t ＝(－cos t －14cos2t )0 x ＝－cos x －14cos2x ＋5 4 ＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋3 2 ＝－1 2 (cos x ＋1)2＋2≤2. 2. ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由10 ?(ax ＋b )d x ＝5得(1 2ax 2＋bx )10＝12 a ＋ b ＝5， ① 由10 ? xf (x )d x ＝176得10 ?(ax 2＋bx )d x ＝17 6， 即(13ax 3＋12bx 2) 10 ＝176，∴13a ＋12b ＝17 6，② 解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是21 ? f (x )x d x ＝21?4x ＋3x d x ＝21 ?(4＋3 x )d x ＝(4x ＋3ln x ) 21 ＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 【变式训练】 （ 2011 陕 西 高 考 ） 设 2 0lg 0()30 a x x f x x t dt x >?? =?+?? ?…， 若 ((1))1f f =，则a = ． 【解题指导】分段函数问题通常需要分步进行计算或判 断，从1x =算起是解答本题的突破口. 【精讲精析】因为10x =>，所以(1)lg 10f ==， 又因为23 ()3a f x x t dt x a =+ =+? ，所以 3 (0)f a =，所以31a =，1a = 【答案】1 备选类型 用定积分表示曲边梯形的面积 【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面图形区域的面积的步骤 （1） 准确画出各曲线的的图像，并确定要求的平面 区域； （2） 把平面区域分割，以方便求各个小区域的面积 为原则； （3） 解曲线方程组成的方程组，确定积分上、下限； 确定被积函数； （4） 根据积分的性质写出结果. 【备选典例】 利用定积分的性质和定义表示由曲线 sin y x =,2x =,5x =及x 轴围成的平面区域的 面积S. 【解析】平面围成的平面区域如图所示, 则S= 52 sin x d x ? 或S=()5 2 sin sin xdx x dx π π+ -?? 【特别提醒】（对应学生用书的“思考”） 解答本题1的难点及本题2的关键点是什么? 提示：解答本题1的难点是被积函数为复合函数,求其原函数是个难点,另外三角公式的正确应用也是一个难点;解答 本题2的关键点是设出f(x)的方程后的定积分的运算. 示例二： 【答题思维规范】 【典例】若函数()()02s i n f x d x α α =+ ?，则2f f π?? ?? ? ????? 等于( ) 选择题、填空题在数学试卷中，不但题目多，而且占分比例高，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点。不设中间分，一步失误，全题无分，且越来越多的题目趋向于“多考一点想，少考一点算”。因此，对同学们来说，养成严谨的思考习惯至关重要。本栏目通过典型例题，探究解题思路，呈现解析过程，点拨思维误区，意在平时的训练中培养同学们思维的严谨性。请认真体会一下吧！ (A)1 (B)0 (C)2π＋3＋cos 1 (D)1－cos 1 【解题指导】解答本题应关注以下两点： （1）已知条件：被积函数，积分下限已知； （2）条件分析：函数是以积分上限为自变量的函数，可先求 出2f π?? ???后在求2f f π???? ? ????? . 【解析】 ()() 220 2sin 2cos 2f x dx x x πππ??=+=- ??? ?① ()2cos 20cos 0122πππ? ?=?--?-=+ ?? ? ()12f f f ππ?? ??=+ ? ????? ()()1 100 2sin 2cos x dx x x π+= +=-? ()()()21cos 120cos 0ππ=+-+-?-????② 2cos13π=++ 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误 及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程） 常 见 错 误 选 A 或 B 未能理解函数式的意义,在求解①处 ()() 220 2sin 2cos 2f x dx x x πππ??=+=- ??? ? 原函数是出错.实质是对函数概念的理解不深刻,是考试中经常出错的一种情况. 选D 在代入积分上下限求值,应用三角公式时②处 ()()()21cos 120cos 0ππ+-+-?-???? 出错,虽然对函数,定积分的理解正确,但运算能力较差而致错.这是考试中出错最可惜的一 种情况. 解 题 启 示 1. 认真理解数学概念是学好数学的关键,对于一些重要的概念,如函数,定积分等要重点理解. 2. 准确运算是学好数学的基础,对于公式,数据的处理尤为重要. 【即时训练】 设函数f (x )＝ax 2 ＋c (a ≠0)，若 ?10f (x )d x ＝f (x 0),0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 【解析】?10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 2 0， ∵a ≠0，∴x 2 0＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33 答案 33 【知能达标演练】 1. 22 (sin 2)x dx -+=? （ ） (A)8 (B)4 (C)-8 (D)-4 【解析】选A . 22 (sin 2)x dx -+=? () 22 cos 2x x --+ =()()()cos 222cos 222-+?---+?-???? =8 2. 3.?? -a a (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________. 【解析】?? -a a (2x －1)d x ＝(x 2－x )|a -a ＝a 2－a －[(－a )2－(－a )] ＝a 2－a －a 2－a ＝－2a ＝－8， ∴a ＝4. 【答案】4 4. 62 (1)x dx +? = 【解析】3 3 6 6 :()|6783 3 x x =+= +=解析原式 【答案】78 5.设f (x )＝? ???? x －1，x ≤0， x 2＋6，x >0. 求??-1 1 f (x )d x . 【解析】：?? -1 1 f (x )d x ＝??-1 0f (x )d x ＋??0 1 f (x )d x ＝??-1 (x －1)d x ＋??0 1 (x 2 ＋6)d x ＝(12x 2－x )|0-1＋(13x 3＋6x )|1 ＝－(12＋1)＋13＋6＝296. 【课后巩固作业】（30分钟，50分） 【考查索引】 考查知识点 难度及题号 错题记 及角度 基础 中档 稍难 录空间 简单的定积分 计算 1 6 较复杂的定积分计算 2,3 7 定积分的应用 4 5 8,9 一、选择题（每小题4分，共16分） 1.若a ＝??02x 2d x ，b ＝??02x 3d x ，c ＝??0 2 sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )
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