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高中数学类比推理提纲

高中数学类比推理提纲
高中数学类比推理提纲

推理与证明

引课:推理实例:

1.大夫给病人诊断病症,就是根据该病症的有限特征和以往的经验来诊断

病症的。

2. 公安人员就是根据罪犯的某些有限特征来确定犯罪嫌疑人的。

3. 传说鲁班发明锯子,乃是受到齿形草割破人之腿一事的启发。

4. 李四光通过比较我国东北松辽地区的地质结构与前苏联西伯利亚某地区

的地质结构有类似的地方,而后者有石油,由此推断前者也有石油,由此发

现了大庆油田。

5. 科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;

1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;

2)有大气层,在一年中也有季节变更;

3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.

由此推断,火星上可能有生物。

6.上世纪90年代,济南商河县领导到潍坊寿光考察发现,寿光地区许多村

民靠种植大棚蔬菜发家致富。于是也决定在商河推广大棚蔬菜的种植。为了

统一、美观,领导决定让村民统一种植“菠菜”。最后由于菠菜产量过剩,

市场的菠菜降低到每公斤几分钱。有许多村民不得不把辛勤种植的菠菜倒掉,从而给农民兄弟造成了很大的损失。

7. 1775年,美国爆发举世闻名的独立战争。战争中,英军凭借着优良的军舰大炮,赖在海上不走,企图卷土重来,并常使美国海防遭受重创。怎样才能把侵略者彻底赶走呢?一个名叫布什内尔的士兵思虑重重。一天,布什内尔在海边散步,看到一条大鱼从水底偷偷游过来,猛地向一群小鱼发动突袭。这使他茅塞顿开:为什么不造一条大鱼那样的船,从水下发动攻击!不久布什内尔负责造出了第一艘潜艇。布什内尔所造的潜水艇,外形并不像鱼,但它应用了鱼在水下潜游的原理,即潜水艇底部有一个类似鱼鳔的水舱,当船要下沉时,就往水舱里灌水,当船要浮出水面时,就把水舱里的水排出,这样潜水艇就可以自由浮沉了。虽然,人类利用仿生学原理已经发明了无数的生活用品、生产工具、科学仪器,但生物界的生物种类如此浩繁,它们永远吸引人们去研究、去模仿,从中进行新的创造。

8. 科学家们经过研究发现,蝙蝠是利用超声波来辨别物体位置的。它的喉内能发出十几万赫兹的超声波脉冲,每秒钟可以发出50多次;这些超声波碰到障碍物和小昆虫会立即反射回来,蝙蝠就是根据回波到达左右耳的微小时间来确定障碍物和昆虫的方位。蝙蝠的这种超声波探测本领,使科学家深受启发,根据这一现象发明了超声波探测仪。这种仪器用在海上可以测量海洋、寻找潜艇;用在工业上,可以用来检查金属内部有无裂纹和空腔。

8. 据历史记载,西拉克斯的国王为庆功谢神,命金匠打造了一顶纯金皇冠,要献给不朽的神。完工后,国王怀疑皇冠不纯,但在不毁坏皇冠的情况下找不到解决的方法,便请教好友阿基米德。这就是著名的皇冠问题。阿基米德

苦思一段时间,也无所得。一日,他到澡堂洗澡,当他的身体进入浴池时,他敏锐地察觉到水位上升,由此受到启迪,产生联想,于是把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠质量进行类比,发现了浮力原理这一共同规律,并解决了“皇冠问题”。在这之后,浮力原理被广泛应用于科学研究与生产生活之中。

9. 19世纪中叶,奥地利首都维也纳有一位医生,名叫奥恩布鲁格。有一次,他给一位病人看病,没有检查出什么严重疾病,但病人很快就死了。经过解剖尸体查看,发现胸膛积满脓水。医生想,以后再碰到这样的病人怎么诊断?忽然想起他父亲在经营酒店时,常用手指关节敲木质酒桶,听到卜卜的叩击声,就能估量出木桶中还有多少酒。他思考:人们的胸膛不是很像酒桶吗?他通过反复探索胸部疾病和叩击声音之间变化的关系,终于写出《用叩诊人体胸部发现胸膛内部疾病的新方法》的医学论文,发明了“叩诊”这一医疗方法。

10. 加拿大外交官切斯特·朗宁曾在竞选省议员时,由于他幼儿时期吃过中国奶妈的奶水一事,受到政敌的攻击,说他身上一定有中国血统。朗宁反驳说:“你们是喝牛奶长大的,你们身上一定有牛的血统了。”

11. 数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边;根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形。这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域。他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构。如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与

另一个弱者联合起来。结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏。只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束。这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果。

例1 彭平是一个计算机编程专家,姚欣是一位数学家。其实,所有的计算机编程专家都是数学家。我们知道,今天国内大多数综合性大学都在培养着计算机编程专家。据此,我们可以认为:

A.彭平由综合性大学所培养的

B.大多数计算机编程专家是由综合性大学所培养的

C.姚欣并不是毕业于综合性大学

D.有些数学家是计算机编程专家

例2鲁讯的著作不是一天能读完的,《狂人日记》是鲁迅的著作,所以《狂人日记》不是一天可以读完的。这句话:

A.正确; B.错误; C.《狂人日记》可以一天读完

D.《狂人日记》一天渎不完

例3 有一段时间,满街的女人都穿着一种高跟的皮鞋,但这种鞋不美是男人们的共识,不久这种皮鞋越来越少见。如今,在男士的衣柜里,双排

扣西装可能已落满了灰尘。这种西装气派、庄重,但有拒女人千里之外的感觉。可见:

A.女人都爱赶潮流

B.市场上已经没有高跟皮鞋和双排扣西装销售了

C.穿高跟皮鞋没有女人味,穿双排扣西装男人味又太浓。

D.男人和女人流行哪种服饰,很大程度上取决于异性是否认同。

例4 我国现行的法律、法规已有1200多个,每年中共中央和国务院还要下发100多个新的政策文件。这些法律、法规和文件,已经覆盖了中国社会经济发展的各个方面,如果它们都真正得到了切实的贯彻执行,就会有力地推动中国社会经济健康地发展。因此:

A.应该继续制定更多的法律、政策

B.应该采取措施切实地贯彻执行现有的法律、法规和政策

C.应该减少新法律的制定

D.应该加强法律工作

例5 小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。

小王说:“我肯定考上重点大学。”

小刘说:“重点大学我是考不上了。”

小张说:“要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。”

发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并且他们三个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见:

A.小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重点大学

B.小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学

C.小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学

D.小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上

例6 某厂产品的合格率为95%,今抽查其中的100件产品,发现只有两件不合格,因此:

A.该厂的产品合格率大于95%

B.该厂产品的合格率为98%

C.再做一次实验,可能没有不合格产品

D.如果抽查200件产品,必定有10件不合格

一.合情推理与演绎推理

1.推理:;

2.合情推理:;

3.归纳推理:

;它是从

的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ;(2) . 4.类比推理

;它是从

的过程.类比推理的一般步骤是(1) ;(2) .

5.三段论推理是有 、 、 三部分构成.

(一)归纳推理的典型例题与练习: 1.等差、等比数列的通项公式; 2.哥德巴赫猜想;

3.135(21)n ++++-= .

4.欧拉定理;

5.

2

()41f n n n =++是否为质数.

6.设12cos x x

θ

+

=,则2

2

1x

x

+

= ;3

3

1x

x +=

;…1n

n

x

x

+= .

7.观察式子

2

2

2

131151;1;

2

22

3

3

+

<

+

+

<2

2

2

11171;

2

3

4

4+

+

+

<

可归纳

出 . 8.在数列{n a }中,1121,2n n n

a a a a +==+,*n N ∈,试猜想这个数列的通项公

式 . 9.设

*

()0()f n n N >∈,且(2)4

f =,对任意*

1

2

,n n

N

∈,有1212()

()()

f n n f n f n +=,试

猜想()f n 的一个表达式.

10.有n 行,n+1列的士兵分阵(*,2n N n ∈≥)写出一个数列,用它表示当n 分别为2,3,4,…时分阵中士兵人数;若把这个数列记为{n a },归纳出该数列的通项公式.

11.已知数列{n a }的前n 项和为n S ,2*

1

1,()

n n a S n a n N ==∈,试归纳猜想出n S 的

表达式. A

21

n n + B

211

n n -+ C

211

n n ++ D

22

n n +

12.如图,它满足①第n 行首尾两数均为n ,②表中的递推关系类似于杨辉三角,则第n 行(2n ≥)第二个数是 .

13.如图,杨辉三角形中的斜线L 的上方,从箭头所示的数组成一个锯齿形数列,1,3,3,4,6,5,10,…,记前n 项和为S n ,则S 19=( ) A 129 B 172 C 228 D 283

14.由此表第n 行的最后一个数是多少? 此表第n 行的各个数之和是多少? 2008是第几行的第几个数.

15.数列 ,,,,,,,,,,1

4

23324113223112211,则9

8

是该数列的第 项。

16. 已知}{,n n

a n a 把数列 的各项排列成如

下的三角形状: 记n m n m A 行的第表示第

),(个数,

则A (21,

12)= 。

(二)类比推理:

1.平面向量与空间向量的类比:

2.平面图形与立体图形的类比:三角形与四面体的类比;直角三角形与墙角四面体的有关性质的类比;圆与球的有关性质的类比;

3.等差数列与等比数列的有关性质的类比;

1.

在三角形中有下面的性质:

①三角形的两边之和大于第三边;

②三角形的中位线等于第三边的一半,并且平行于第三边; ③三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心; ④三角形三条边的垂直平分线交于一点,这一点叫三角形的外心; ⑤三角形的面积21

=S 底×高;三角形的面积1()2

S

a b c r =++(r

为内切圆的半

径).

⑦三角形中的余弦定理;请类比出四面体的有关性质.

⑧如图三角形ABC 中有结论;

⑨正三角形内切圆的半径是三角形高的1

3,外接圆半径呢?

⑩直角三角形中(C 是直角)

2

22c

b a =+ ;1cos

cos

2

2

=+B A 三角形ABC 外接圆半径2

2

2b a r

+=

2。圆与球类比

①垂径定理:圆心与弦(非直径)中点的连线垂直与弦; ②与圆心距离相等的两弦相等; ③圆的周长:d

C π=

④圆的面积:2

d

S π=

3.根据平面向量的性质类比出空间向量的性质:

①不共线的向量,a b

可作为基底;

②向量共线的条件:向量a

与非零向量b

共线的充要条件是存在唯一实数λ,

使a =λb

③证明三点共线的方法; ④平面向量的数量积.

4.在等差数列{n a }中,公差为d ,前n 项和为n S ,有如下性质: ①通项()n

m a a n m d

=-;

②若m n p q +=+,*

,,,m n p q N ∈,则m

n p q a a a a +=+;

③若2m n p +=,则2m

n p

a

a a +=;

④232,,n n n n n S S S S S --成等差数列.请类比出等比数列的有关性质. ⑤数列{

12n

a a a n

+++ }仍为等差数列;

⑥若*

,(,,)

m

n a

a a

b m n m n N ==≠∈,则m n

bn am a

n m

+-=

-;

⑦012,,a a a 成等差,则01220a a a -+=;若0123

,,,a a a a 成等差,则0123330a a a a -+-=;

若01234,,,,a a a a a 成等差,则012344640a a a a a -+-+=;由此可归纳出什么结论?

并类比等比数列的情况.

5.若从点O 所做的两条射线OM ,ON 上分别有点M 1,M 2,与点N 1,N 2,则面积之比

1122

1122

OM N OM N S O M O N S O M O N ???=

?,若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线OP ,OQ ,

OR 上分别有点P 1,P 2,Q 1,Q 2,R 1,R 2,则能推导出什么结论?

6.用三段论的形式写出下列演绎命题.

(1).

0.332是有理数;(2)sin ()y x x R =∈是周期函数.

(3)菱形对角线互相平分;(4)三角形内角和为1800,R t A B C ?的内角和为1800.

二、直接证明与间接证明

1.直接证法是从命题的 出发,根据已知定义、公理、定理直接推证结论的.常用的直接证法有 和分析法.

2.综合法是从 推导到 的思维方法,而分析法是一种从 追溯到 的思维方法.

3.反证法不是直接去证明结论,而是先 在 的基础上,运用 推导出矛盾,从而肯定结论的真实性. 反证法:

1.求证:若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程 f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个实根.

2.

10,10<<<

与(1-a)(1-b)不能都大于4

1

3.已知0,0,0a b c abc ab bc ca ++>>++>,求证:0,0,0a b c >>>

4.已知下列三个方程:24430x ax a +-+=,22(1)0,220x a x a x ax a +-+=+-=至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围.

5.已知2()f x x px q

=+

+

(1)求证:(1)(3)2(2)2

f f f +-=;(2)求证:|

(1)|,|(2)|,|(3)|f f f 中至少有一个

不小于1

2.

6.实数)1,0(,,∈c b a ,求证:a c c b b a )1(,)1(,)1(---不能都大于41

7.已知233=+q p ,求证:2≤+q p

数学归纳法:

1.2

222

(1)(21)

1236

n n n n ++++++=

2.2

3

333

((1))

1234

n n n +++++=

3.2

3

123222

2

2

2

2

n

n

n n +++

++

=-

4.2

2

222222

(21)

123(1)21

3

n n n n ++++++-+++=

5.22221

1

(1)1234(1)

(1)

2

n n n n n --+-+-++-=-

6.1111111112

3

4

21

21

2

2n n

n n n

-+

-

++

-

=

+

++

-++

7.

11111

2

31

n n n +

++

≥+++

8.*

1111(,2)

2

3

21

n

n n N n ++

++

<∈≥-

9.*

1111(,2)1

2n N n n n n

+

++

<∈≥+

10.(31)71n n +- 能被9整除.

11.(1)(2)

12(1)3(2)(1)216

n n n n n n n n ++?+?-+?-++-?+?=

高中数学类比推理 同步练习北师大版选修2-2

类比推理 同步练习 1. 将下列平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立。 (1) 如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交。 (2) 如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线相互平行。 2. 根据三角形的性质,推测空间四面体的性质, (3) 三角形的两边之和大于第三边; (4) 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。 3. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是____________________。 (1)各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; (2)各面都是全等的正三角形,相邻两个面所成二面角都相等; (3)各面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 4. 在ABC ?中,射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=,其中c b a ,,依次为角 C B A ,,的对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想。 5. 在等差数列{}n a 中,若010=a ,则有等式 ),19(*192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立,类比上述性质,在等比数列{}n b 中,若19=b ,则有等式__________________________成立。

6. 若+ ∈R a a 21,,则有不等式2 212 22122?? ? ??+≥+a a a a 成立,请你类比推广此性质。 参考答案 1. (1)如果一个平面和两个平面中的一个相交,则必和另一个相交。结论是正确 的。 (2)如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行。结论错误。 2. (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且该点是四面体内切球的球心。 3 (1)(2)(3)。 4. 四面体ABC P -中,S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ????,,,的面积,γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小,则空间中的射影定理可表示为:γβαcos cos cos 321S S S S ++=。 5. ),17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<=- 。

类比推理题库汇总

1.肇事逃逸∶法律严惩 A. 欺人太甚∶义气相投 B. 兢兢业业∶得到好评 C. 态度粗鲁∶脾气不好 D. 志得意满∶志气大长 2.《水浒传》∶林冲 A. 《西厢记》∶李生 B. 《琵琶行》∶白居易 C. 《世说新语》∶周处 D. 《蜀道难》∶李白 3.犬∶忠诚 A. 猪∶屠宰 B. 鸡∶鸡汤 C. 牛∶勤劳 D. 羊∶羊奶 4.社会∶和谐 A. 关系∶冷淡 B. 剥削∶反抗 C. 反感∶同情 D. 银行∶贷款 5.教室∶自习 A. 商场∶保洁 B. 学校∶宣传 C. 公路∶驾车 D. 邮局∶邮票 6.改革∶开放 A. 进口∶出口 B. 上楼∶出门 C. 苗头∶倾向 D. 江西∶湖南 7.历史∶明智 A. 新闻∶广播 B. 法律∶约束 C. 制度∶学问 D. 政策∶援藏 8.枕戈待旦∶刘琨 A. 望梅止渴∶杨修 B. 黄粱一梦∶尾生 C. 洛阳纸贵∶左思 D. 结草衔环∶吴起 9.但丁∶米开朗琪罗 A. 薄伽丘∶拉伯雷 B. 莎士比亚∶狄更斯 C. 雨果∶乔托 D. 司汤达∶达•芬奇 10. 岳飞∶戚继光 A. 文天祥∶郑成功 B. 杨业∶祖逖 C. 邓世昌∶林则徐 D. 杨靖宇∶袁崇焕 11. 氏族∶部落 A. 氯化氢∶盐酸 B. 短篇小说∶小说 C. 市场经济∶商品经济 D. 导弹∶直升机 12. 菡萏∶荷花 A. 土豆∶马铃薯 B. 西红柿∶番茄 C. 香瓜∶甜瓜 D. 蚍蜉∶大蚂蚁 13. 面条∶食物

A. 苹果∶水果 B. 手指∶身体 C. 蔬菜∶萝卜 D. 食品∶巧克力 14. 瓷器∶黏土 A. 空气∶氧气B桌子∶木头 C. 水杯∶玻璃 D. 布∶棉花 15. 剪刀∶布料 A. 弓箭∶战争 B. 水缸∶盛水 C. 秤砣∶钉子 D. 鸬鹚∶鱼 16. 阿波罗∶太阳 A. 维纳斯∶文学 B. 狄安娜∶月亮 C. 马尔斯∶侵略 D. 该隐∶大地 17. 航空母舰∶大海 A. 轮船∶长江 B. 飞机∶机场 C. 卫星∶月亮 D. 雄鹰∶高空 18. 检察院∶检察官 A. 公安局∶小偷 B. 政府机关∶公务员 C. 工人∶工地 D. 研究所∶建筑师 19. 封面∶书本 A. 政治∶统治 B. 宗教∶上层建筑 C. 雇员∶工厂 D. 毛笔∶宣纸 20. 强盗∶抢劫 A. 电脑∶聊天 B. 学生∶实践 C. 考生∶作答 D. 司机∶送货 参考答案及解析 1. 【答案】B 【解析】题干两个词语之间是因果关系,B对应正确。 2. 【答案】C 【解析】题干中两个词语是作品与作品中人物的关系,C对应正确。 3. 【答案】C 【解析】题干中两个词语是象征关系,C对应正确。 4. 【答案】A 【解析】题干中两个词语是修饰关系,后者修饰前者,A对应正确。 5. 【答案】C 【解析】题干中两个词语前者是后者对应的环境,故选C。 6. 【答案】A 【解析】题干中两个词语是并列关系,且一个对内,一个对外,A对应正确。 7. 【答案】B 【解析】“读史可以明智”,题干中两个词语是事物与其作用之间的关系;法律具有约束作用,所以选B。 8. 【答案】C 【解析】题干中成语的来源与后面的人物有关,望梅止渴对应的是曹操,黄粱一梦对应的是卢生,结草衔环对应的是魏颗。C 项对应正确。

高中生在数学解题中运用的类比与归纳法

高中生在数学解题中运用的类比与归纳法 作为高中生,合理运用所学知识解答数学难题是我们必须掌握的能力。因此,我们有必要合理运用类比与归纳法,提高自身知识运用及解题水平。 标签:高中生数学解题类比法归纳法 为了在考试中获得良好的成绩、发挥所学知识的用处,掌握类比、归纳法解题要点,是我们学生额必须掌握的学习技能之一。 一、高中生在数学解题中类比法的运用 (一)类比法的概念 所谓类比法,含义为运用以前类似的项目规律,借助类比、推理、估算的方式,分析正在处理的项目。其本质就是通过某种事物属性对相似的事物属性进行推理的方法。所得的结论,要接受实验检验才能够使用。若参与类比的两者属性共同点较多,则结论越可靠。同时,类比法也适用于运用在数学解题中。做好类比法的运用,有助于身为学生的我们提高解题效率。[1] (二)类比法在高中数学解析几何题中的运用 高中数学几何知识是我们学生学习的重难点知识之一,其中与圆锥曲线相关的曲线公式、定义、性质、推导结论等具有共性特点,在遇到此类问题时,运用类比法解题,可以改善解题准确性。 因此,合理运用归纳法结合题中已知条件以及我们掌握的知识,将提高解题速度、降低解题难度。 三、结语 总之,身为学生,在扎实记忆所学数学知识的同时,合理的运用类比与归纳法,才能提高所学知识在解题中的运用价值、改善自身的数学综合素质能力。 参考文献: [1]刘天炀.数学归纳法在高中數学中的应用[J].低碳世界,2017(35):352~353. [2]邹丽萍.类比法在中学数学教学中的应用[J].大连教育学院学报,2015(04):27~28. [3]张博宇.数学归纳法在高中数学中的应用[J].科技风,2016(24):28.

高中数学选修2-2 北师大版 1.1归纳与类比类比推理 教案

类比推理 一、教学目标 1、知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 3、情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 ①归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子方法归纳。 (二)、引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 (三)、例题探析 例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

高二数学类比推理综合测试题 (1)

类比推理 一、填空题 1.下列说法正确的是______ A .由合情推理得出的结论一定是正确的 B .合情推理必须有前提有结论 C .合情推理不能猜想 D .合情推理得出的结论无法判定正误 2.下面几种推理是合情推理的是______ ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n -2)·180° 3.三角形的面积为S =12(a +b +c )·r ,a 、b 、c 为三角形的边长,r 为 三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到四面体的体积为______ A .V =13abc B .V =13Sh C .V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r ,(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积,r 为四面体内切球的半径) D .V =13(ab +bc +ac )h (h 为四面体的高)

4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是____ ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A .① B .①② C .①②③ D .③ 5.类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第 四个面面积的14 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有______ A .(1) B .(1)(2) C .(1)(2)(3) D .都不对 6.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;

学年高中数学 推理与证明 类比推理学案含解析北师大版选修

类比推理 1.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点) 2.会用类比推理对具体问题作出判断.(难点) [基础·初探]教材整理1 类比推理 阅读教材P 5“类比推理”至P 6 前16行,完成下列问题. 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.

类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是________(填序号). ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对. 【答案】①②③ 教材整理2 合情推理 的最后4个自然段,完成下列问题. 阅读教材P 6 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 合情推理的结果不一定正确. 下列说法正确的是( ) A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误 【解析】根据合情推理可知,合情推理必须有前提有结论.【答案】B [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]

高中数学中的类比推理问题

类比推理问题一咼考命题新亮点 类比是常见而重要的一种数学思想方法,它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的 比较,把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中,从而解决新问题。类比不仅是一种富有创 造性的方法,而且更能体现数学的美感。 (一)不同知识点之间的类比 数学中的不同知识点在教材中是相对分散的,知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计 展示给学生,从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用,也可 以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理 【例1】若从点0所作的两条射线 0M 、ON 上分别有点Ml 、M2与点Ni 、N 2,则三角形面积之 别有点Pi 、P2与点Qi 、Q2和Ri 、R2,则类似的结论为: ______________________________________ 【分析】在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,故猜想 OP. OQ. OR. - J J (证明略) 「,」(明略) 评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空 间三棱锥体积比的相应结论。 【例2】在 丄二町 中有余弦定理: 丄N :::__/_.拓展到空间,类 比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱亠"-」的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间 的关系式,并予以证明。 【分析】根据类比猜想得出 瞌如=认 +孔的鸟—23_^斗 ■'?「.’ '其中T 为侧面为 -与“〔丁 I 所成的二面角的平面角。 证明:作斜三棱柱-甘- 的直截面DEF,则一-二匕 为面与面"I' 所成角, 比为: _二:若从点0所作的不在同一个平面内的三条射线 Q 舗 了 OP 、0Q 和OR 上分

浅谈类比推理在高中数学中的应用

浅谈类比推理在高中数学中的应用 发表时间:2015-06-16T15:22:24.450Z 来源:《中小学教育》2015年6月总第208期供稿作者:孟祥功[导读] 伟大的数学家开普勒将类比比作自己最信赖的老师,认为通过类比就能更好地探究自然的奥妙。孟祥功山东省郯城第一中学276100 摘要:随着学习的深入,在高中数学中会运用到越来越多的推理方法,类比法作为一种重要的推理方法,在高中数学中发挥着重要的作用,类比推理方法的使用对学生简洁高效解决数学难题,形成知识迁移以及培养学的数学思维能力都有重要的影响。本文首先阐述了类比推理的具体内涵,并对对类比推理方法的意义及其在高中数学课堂中的应用作了详细描述,最后笔者结合教学实践和高中学生的特点提出了可行性建议,以期对高中数学课堂的有效性研究具有借鉴意义。关键词:类比推理方法高中数学课堂应用 随着新课程改革的推进,高中数学课堂中引入了更多的推理方法,然而教学中时常会有学生面对复杂的数学难题手足无措、一筹莫展,如何帮助高中学生有效地解决数学问题呢?我在教学中按照课程标准的要求,从高中阶段的教学实践中钻研实例,努力探索有利于高中数学课堂效率的提高的教学推理方式和方法。我发现通过习题的积累,针对错题进行反复地练习,对学生认知体系的构建有很好的帮助。经过长时间的锻炼,学生能够举一反三,从大脑中提取解题的方法。这样的方法在数学上叫做类比法,类比推理很好地体现了数学知识的迁移。 纵观近几年的高考试题,类比推理在代数和解析几何中占据了很大比重,必须加以重视。 一、类比推理的内涵 关于类比推理的概念,国际上有不同的解释,一般认为类比推理,即熟知某些类似对象中的一个对象某些特征之后,根据这一对象的特征,对其他对象举一反三,推知出其他对象具有同样的特征。简单而言,就是根据具有相似特征的甲乙两种事物,根据已知的甲的特征而推知乙有同样的特征,在多种事物中类比推理也同样适用。 数学中的类比推理是一种为了更快地解决问题而进行推测得到结论的方法,是从特殊到特殊的过程。通常我们所说的大前提、小前提、结论三步走其实也是一种类比推理,它应用广泛,是高中数学中的一种重要的解题方法,在高中数学课堂中,有着重要的意义。 二、类比推理的意义 1.学生的学习兴趣 伟大的数学家开普勒将类比比作自己最信赖的老师,认为通过类比就能更好地探究自然的奥妙。作为一种灵活有效的推理方法,类比法被同学们认可,很多人就是在轻松高效的解题过程中,找到了数学学习的乐趣,从而爱上数学。 2.培养学生的思维能力 高中数学课程的学习中,学生在解决数学问题的过程中,大脑高度参与其中,各种思维活动集聚,或者通过直观发现、或者通过抽象概括,亦或是通过反思建构,是一种综合的思维过程。是学生思维灵感地迸发,对学生数学思维能力的培养具有特殊的影响。 3.培养学生的探究精神 自主、合作、探究是新课程倡导的新型学习方式,高中数学中探究能力的培养尤为重要。高中数学课程中,会遇到很多相似的题目,如果掌握了解题的系统方法和解题策略,就能够有效地帮助学生举一反三,形成有效的迁移,对学生探究意识和探究能力的培养,意义重大。 三、类比推理在高中数学中的应用 伟大的数学家波利亚曾经说过:“类比推理好比一个伟大的领路人,譬如立体几何的数学问题推导过程,离不开平面几何的数学问题的推导。”课件数学中类比推理的应用。类比推理在高中数学中应用同样广泛,包括函数、比例、排列组合、解析几何、立体几何在内,都用到了类比推理这一方法。在日常教学中,数学教师要形成意识自觉地将类比推理的思想渗透到整个教学中。具体应该怎么做呢?笔者结合实践和学生特点进行了探索。 四、针对类比推理应用的几点建议 1.根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得出新的知识,逐步学会类比推理的方法。 2.在进行知识复习时,经常对相关的知识进行类比,培养学生对相关知识进行类比的习惯。 3.在解题教学中,通过类比,引导学生推广数学命题,或通过类比,探求解题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握。 4.通过类比,拓展学生的数学能力,提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生的实践能力和创新精神。总之,作为高中数学阶段的一项重要的推理方法,类比推理具有非常重要的意义,在数学中的应用非常广泛,对类比推理进行研究,并能针对教学实际形成有效地策略,显得极为必要。这也是我们培养学生的探究能力和创新精神,促进学生综合素质的形成,构建和谐高效的数学课堂的需要。 参考文献 [1]顾国章高考对类比推理的考查.中学数学,2005,2。 [2]张巧凤从平面到空间的类比思维.高中数学教与学,2004,11。 [3]邓益阳探究一类新型题的解题策略.高中数学教与学,2004,2。

高中数学类比推理综合测试题有答案

高中数学类比推理综合测试题(有答案)选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的 .合情推理必须有前提有结论B .合情推理不能猜想CD.合情推理得出的结论无法判定正误 ] B[答案[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确,A不正确;B正确;合情推理的结论本身就是一个猜想,C不正确;合情推理结论可以通过证明来判定正误,D也不正确, 故应选B. 2.下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180 ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)180 A.①② 页 1 第 B.①③④ C.①②④.②④D [答案] C[解析] ①是类比推理;②④

都是归纳推理,都是合情推理. 3.三角形的面积为S=12(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到 四面体的体积为() 13abcV=A.=13ShB.VC.V=13(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径) 为四面体的高)+bc+ac)h(h13(abD.V=答案[] C[解析] 边长对应表面积,内切圆半径应对应内切球半径.故应选C. 4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是() ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都 页 2 第 相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 .①A B.①②C.①②③ D.③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹

类比法分析多重复句层次

类比法分析多重复句层次 类比法 多重复句尽管较复杂,但只要理清分句间的逻辑关系,就能比较容易分清它们之间的层次关系。而采用类比法能帮助初学者清理分句间的逻辑关系。 所谓类比法,就是用数学上的四则运算的法则和多重复句的逻辑层次关系的相似之处,分析出多重复句层次关系的方法。 A. 1十2。 例如:他不但学习成绩优异,│而且工作能力强。 递进 B. 1十2十3。 例如:他学习成绩优异,│工作能力强,│思想品德也好。并列并列 C.(1+2)x3。 例如:他不但学习成绩优异,而且工作能力强,│所以大家一致推选他当班长。 递进因果 复句①就像算式①一样,由两个分句组成,只有一种逻辑关系,结构上只有一个层次 复句②就像算式②一样,由三个分句组成,但只有一种逻辑关系,结构上也只有一个层次

复句③就像算式③一样,由三个分句组成,所不同的是它有两种逻辑关系,而这种逻辑关系所处的地位不同,因果关系是全句的总的逻辑关系,递进关系是因”这部分的逻辑关系,所以这个复句结构上有两个层次。 算式②③虽然都是算式①的扩展,但两种扩展不同,算式②是把算式①中的两个数作为两个单位和另一个数加,形成一个递加算式,算式③是把算式①中两个数作为一个单位和另一个单位组合形成一个乘法算式。其被乘数又是一个加法算式,因而形成两个层次。 从B、C的情况可以看出,复句扩展时,如果仅仅是分句数量的增多,层次没有增加,那是一般复句;如果不仅分句增加,而且层次也复杂了,则变成了多重复句。 从以上算式A、B、C可以看出多重复句是一般复句的扩展,以及多重复句的特点。下面的两个算式可以帮助我们分清多重复句的层次。 D.(1十2)x(3十4)。 例一:①镇上的人们仍然叫她祥林嫂,②但音调和先前不同了,③也还有人和她讲话,④但笑容却冷冷的了。 例二:①如果没有氧,②光有氢,③或者没有氢,④光有氧,⑤都不能搞成水。 根据这两个多重复句内部的逻辑关系,给它们加上了括号,使之变成这样形式:

高中数学 类比推理学案 苏教版选修

高中数学类比推理学案苏教版选修 1、通过具体实例理解类比推理的意义、 2、会用类比推理对具体问题作出判断、学习重难点:类比推理学习过程:一、复习回顾(归纳推理) 1、归纳推理:从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理、 2、归纳推理的思维过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论、 3、归纳推理带有一定的猜测性,由其得到的结论不一定正确、 4、简单应用(1)如图,观察图形规律,在其右下角的空格处画上合适的图形,应为________、(2)如图所示四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为________、(3)如图所示,图(a)是棱长为1的小正方体,图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成、按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,…,第n层、第n层的小正方体的个数记为Sn、解答下列问题、(1)按照要求填表:n1234…Sn136…(2)S10=________,Sn=________、(4)将全体正整数排成一个三角形数阵:1234 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________、二、类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理结合具体实例来理解类比推理:

1、工匠鲁班类比带齿的草叶,发明了锯 2、仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇、 3、教材案例 24、试通过圆与球的类比,由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为”,猜测关于球的相应命题: _________________________________________________________、三、简单应用 1、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是________、(填序号)①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交;②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直;③如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行;④如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行、 2、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是________、(填序号)①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等、 3、在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边A B、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”、拓展到空间(如图),类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间

高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理 一、教学目标 1.知识与技能: (1)结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; (2)能利用类比进行简单的推理; (3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作 用。 2.方法与过程:递进的了解、体会类比推理的思维过程;体验类比法在 探究活动中:类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的 关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 3.情感态度与价值观:体会类比法在数学发现中的基本作用:即通过类 比,发现新问题、新结论;通过类比,发现解决问题的新方法。培养分 析问题的能力、学会解决问题的方法;增强探索问题的信心、收获论证 成功的喜悦;体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力!同时培养学 生学数学、用数学,完善数学的正确数学意识。 二、教学重点:了解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)复习:归纳推理的概念:根据一类事物中部分事物具有某 种属性,推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理 方式称为归纳推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 1.归纳推理的要点:由部分到整体、由个别到一般; 2.典型例子方法归纳。 (二)引入新课:据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物 理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发 现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等。又已知 声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推

理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 (三)例题探析 例1:已知:“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”,将空间与平面进行类比,空间中什么样的图形可以对应三角形?在对应图形中有与上述定理相应的结论吗? 解:将空间与平面类比,正三角形对应正四面体,三角形的边对应四面体的面。得到猜测:正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

(完整版)高二数学类比推理综合测试题

选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1.下列说法正确的是() A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B [解析]由合情推理得出的结论不一定正确,A不正确;B正确;合情推理的结论本身就是一个猜想,C不正确;合情推理结论可以通过证明来判定正误,D也不正确,故应选B. 2.下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180° A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ [答案] C

[解析] ①是类比推理;②④都是归纳推理,都是合情推理. 3.三角形的面积为S =12(a +b +c )·r ,a 、b 、c 为三角形的边长, r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到四面体的体积为 ( ) A .V =13abc B .V =13Sh C .V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)r ,(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积,r 为四面体内切球的半径) D .V =13(ab +bc +ac )h (h 为四面体的高) [答案] C [解析] 边长对应表面积,内切圆半径应对应内切球半径.故应选C. 4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A .① B .①② C .①②③ D .③

类比推理在高中数学教学中的应用

学科论文 浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 姓名冯娟 单位阜阳市第二中学 学科数学 2013年5月

浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 阜阳二中数学组:冯娟 摘要:类比是一切理解和思维的基础,作为一种逻辑方法,它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法,可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等,达到正确认识,确定行之有效的解题策略的目的;这样既可以加强“双基”,又有利于培养学生良好的思维品质。 关键词:类比推理猜想证明数学学习 笔者现阶段所教授的是高三文科普通班,学生基础相对比较薄弱。学生对数学这一学科几乎到了“谈数色变”的程度。在平时的教学中,常常有学生抱怨:我怎么想不到这样的方法?笔者认为学生困惑的根源是缺乏知识的迁移能力和未形成系统的知识体系。作为数学教师,笔者认为应该帮助学生构建系统的知识体系,培养学生的知识迁移运用能力,而类比思想是串联新旧知识的纽带。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别,又能从横向找到有关知识的联系和区别,所以,在数学教学中应用类比方法进行教学与复习,就有着不可替代的作用,一下内容是笔者在教学实践中的深刻体会。 一、类比推理思想的重要性 类比是猜想的前提,而猜想又是发现和创造前提,虽然,笔者们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。在人类历史上,类比获得的科技发明不胜枚举:鲁班类比带齿的草叶发明了锯,科学家类比蝙蝠规避障碍物的原理发明了雷达,类比金枪鱼的结构发明了金枪潜艇--- 二、类比推理思想在教学中的应用” 1、类比推理在概念形成过程中的应用 数学概念是整个数学知识结构的基础。在引入新概念的教学中,首先就要使学生“感知”新材料,了解概念事物的形成过程。

高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题(文科)(学生版) -

高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题(文科) 一、填空题 1.下列说法中正确的是( ) A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 由1=12, 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42 ,…,得到1+3+…+(2n -1)=n 2 用的是( ) A .归纳推理 B .演绎推理 C .类比推理 D .特殊推理 3.在证明命题“对于任意角θ,4 4 cos sin cos 2θθθ-=”的过程:“4 4 cos sin θθ- ()()222222cos sin cos sin cos sin cos 2θθθθθθθ=+-=-=”中应用了( ) A .分析法 B .综合法 C .分析法和综合法综合使用 D .间接证法 4.如果数列{}n a 是等差数列,则( ) A.1845a a a a +<+ B. 1845a a a a +=+ C.1845a a a a +>+ D.1845a a a a = 5. 下面使用类比推理正确的是( ) A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ (c≠0)” D.“ n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b ) 6. 下列推理正确的是 ( ) A .把a (b +c )与log a (x +y )类比,则有log a (x +y )=log a x +log a y B .把a (b +c )与sin (x +y )类比,则有sin (x +y )=sin x +sin y C .把a (b +c )与a x +y 类比,则有a x +y =a x +a y D .把a (b +c )与a ·(b +c )类比,则有a ·(b +c )=a ·b +a ·c 7. 下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°, 由此得凸多边形内角和是(n -2)·180°. A .①② B .①③ C .①②④ D .②④ 8.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A .三角形 B .梯形 C .平行四边形 D .矩形 9.下列推理是归纳推理的是( ) A .A , B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆

高中数学_1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计学情分析教材分析课后反思

弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计 一、内容分析: 1、教材的地位与作用 《弧度制和弧度制与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修四第一章第一单元第二节的内容。本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学习过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念,学生已掌握了一些基本单位转换方法,并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便;本节课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识做铺垫。通过本节课的学习,我们很容易找出与角对应的实数并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但是是相互联系、辩证统一的。 2、教学重点和难点 教学重点:角度与弧度的换算,弧长公式、扇形面积公式的应用 教学难点:弧度制的概念的理解 二、目标分析 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征,依据学生学习的心理规律和素质教育的要求,结合学生的实际水平,制定本节课的教学目标如下: 1.知识与技能:理解弧度制的概念,会进行弧度与角度之间的互化。 2.过程与方法:通过控制变量法以及类比法建立对弧度制概念的理解。 3.情感态度与价值观:通过弧度制的学习,体会不同表象下相同事物的本质。 三、教法分析 根据上述教材分析和目标分析,贯彻诱思探究教学原则,体现以教师为主导,学生为主体的教学思想,深化课堂教学改革,确定本课主要的教法为: 1、计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生直观感受当半径不同时,扇形弧长以及弧长和半径的比值,并引导学生进行讨论;利用多媒体向学生展示不同的例题以及课堂练习,使学生能够直观观察。 2、讨论式教学 在引入新课时,通过观察表格让学生分组讨论、交流、总结,说出当半径不同时,扇形弧长以及弧长和半径的比值,并给予一定的指导。在计算特殊角的弧度数时,让学生分组进行,保证每一位学生能够练习到,也保证课堂的进度。 3、引导发现式教学 本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨,启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。

选修22《类比推理》教学设计

选修2-2《类比推理》教学设计 一、教材分析 长久以来,在中小学数学中,不论是教材的呈现方式还是教学的示范与演练,都是以演绎推理和严格的证明为主,归纳推理和类比推理很难觅其踪影。这种状况持续到20XX年才有所改观,在20XX年颁布的《全日制义务教育数学课程标准》在初中阶段对合情推理的能力培养提出了一定层次的要求,20XX年颁布的《普通高中数学课程标准》选修1-2和选修2-2“推理与证明”中明确指出:在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有助于创新思维的培养。实际上,在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识,比如必修2阅读部分增加了“平面几何与立体几何的类比”,必修五中“等差与等比数列的类比”等等。本节选自选修2-2推理与证明中的合情推理,教材将类比推理作为合情推理的一个重要内容,是整个高中阶段对类比推理的高度概括与总结,也是将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前,是点晴之笔。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳的科学,数学不只是现成结论的体系,结论的发现过程也是数学的重要内容,从而形成对数学较为完整的认识,为进一步向高等数学学习作准备。 二、学生分析 类比推理被安排在高二下学期,这个阶段的学生思维趋于成熟,能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面:已经学习过高中阶段大部分的知识板块,具备一定的知识储备;在能力方面:初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节,学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发,唤起学生的经验,找到知识的生长点。 三、教学目标定位 (一)知识与技能: 1.通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对问题的发现中去; 2.通过具体实例中类比推理的过程,初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。 (二)过程与方法: 本节课主要是利用以前学习过的知识,认识一种思维方法—类比推理,在整个过程中,学生已经具备独立研究的知识和能力,因此以学案辅助教学,以问题组的形式展开,采用以学生活动为主,自主探究,合作交流,教师适当启发总结的教学方法,让学生积极参与到教学活动中来,形成积极思考大胆探索的学习氛围

2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题:第三章 类比推理

[A 组 基础巩固] 1.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A .三角形 B .梯形 C .平行四边形 D .矩形 解析:因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相平行,故选C. 答案:C 2.在R 上定义运算:x ?y =x (1-y ).若不等式(x -a )?(x +a )<1对任意实数x 成立,则( ) A .-10对于任意x 恒成立,所以Δ=1+4(a 2-a -1)<0,解得-12

答案:D 5.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r = 2S a + b +c , 类比这个结论可知:四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,内切球半径为r ,四面体S -ABC 的体积为V ,则r 等于( ) A.V S 1+S 2+S 3+S 4 B.2V S 1+S 2+S 3+S 4 C.3V S 1+S 2+S 3+S 4 D.4V S 1+S 2+S 3+S 4 解析:设四面体的内切球的球心为O ,则球心O 到四个面的距离都是R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为V 四面体S -ABC =1 3(S 1+S 2+S 3+S 4)R , ∴R =3V S 1+S 2+S 3+S 4. 答案:C 6.类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ,y )的坐标公式??? x = x 1+x 2+x 33 y =y 1 +y 2 +y 3 3 (其中 A (x 1,y 1)、 B (x 2,y 2)、 C (x 3,y 3),猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、 D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A -BCD 的重点G (x ,y ,z )的公式为________. 答案:????? x = x 1+x 2+x 3+x 44 y = y 1 +y 2 +y 3 +y 4 4 z =z 1 +z 2 +z 3 +z 4 4 7.在平面上,若两个正方形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正方体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________. 解析:V 1V 2=S 1S 2·h 1h 2=14×12=18. 答案:1∶8 8.有如下真命题:“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列,则数列{a n +a n +1+a n +2}是公差为3d 的等差数列.”把上述命题类比到等比数列中,可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可).

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