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【冲刺实验班】北京景山学校2019中考提前自主招生数学模拟试卷(5)附解析

绝密★启用前

重点高中提前招生模拟考试数学试卷(5)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷(选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

一.选择题(共10小题,每题4分)

1.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点,Q(n,

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)是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点,且AQ⊥BQ,则a的值为()

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A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.﹣2

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动,则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有()

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

3.已知函数y=x+1的图象为直线l,点P(2,1),则点P到直线l的距离为()

A.2 B.1 C.D.

4.方程组的解的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

5.对于一个正整数n,若能找到正整数a,b使得n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如:3=1+1+1×1,则3就是一个“好数”,那么从1到20这20个正整数中“好数”有()

A.8个 B.10个C.12个D.13个

6.如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是()

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A.B.C.D.

7.一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时.已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米,则甲、丙两港间的距离为()A.44千米B.48千米C.30千米D.36千米

8.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A与BC边的中点F重合,下列结论中:①EF∥AB且EF=AB;②∠BAF=∠CAF;③S四边形ADFE=AF?DE;④∠BDF+∠FEC=2∠BAC,正确的个数是()

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A.1 B.2 C.3 D.4

9.如图,△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是()

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A.B.C.D.

10.若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β,则α2+2β2+β的值为()

A.1 B.4 C.2 D.0.5

第Ⅱ卷(非选择题)

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

二.填空题(共10小题)

11.如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管,两两相切地堆放在一起,则其最高点到地面的距离是.

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12.如图,A,B是直线l上的两点,且AB=2,两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B点,C是这两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB所围成图形面积S的最大值是.

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13.a、b为实数,且满足ab+a+b﹣8=0,a2b+ab2﹣15=0,则(a﹣b)2=.14.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上整点个数有个.

15.三个(不一定各不相同)正整数的和等于100,将它们两两相减(大的减去小的)可得三个差数,则这三个差数的和的最大可能值为.

16.一次函数y=x+m和y=nx﹣4都过点A(,),且与y轴分别交于B、C两点,则△ABC面积S=.

17.如图,把一个转盘分成四等份,依次标上数字1、2、3、4.若连续自由转动转盘两次,指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标,则点A(a,b)在函数y=2x的图象上的概率为.

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18.关于x的方程|x2﹣2x﹣3|=a有且仅有两个实数根,则实数a的取值范围是.

19.若关于x的方程(1﹣m2)x2+2mx﹣1=0的所有根都是比1小的正实数,则实数m的取值范围是.

20.王老师家准备用边长相等的正四边形和正八边形的地面砖铺客厅,铺设图案如图所示.购买这两种正多边形地砖的数量之比约为.

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三.解答题(共15小题)

21.按照某学者的理论,假设一个生产某产品单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为n元,则

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他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1,则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A、B两种产品

和h

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的单件成本分别为12元和8元,设产品A、B的单价分别为m A元和m B元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h.

(1)求h关于m A、m B的表达式;

(2)设m A=3m B,求甲的综合满意度h的最大值(当a、b均为正数时,可以使用公式a+b≥2).

22.如图,已知圆O的圆心为O,半径为3,点M为圆O内的一个定点,OM=,AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M.

(1)当AB=4时,求四边形ADBC的面积;

(2)当AB变化时,求四边形ADBC的面积的最大值.

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23.如图,正方形BCEF的中心为O,△CBO的外接圆上有一点A(A、O在BC

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同侧,A、C在BO异侧),且AB=2,AO=4.

(1)求∠CAO的值;

(2)求tan∠ACB的值;

(3)求正方形BCEF的面积.

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24.已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点.以点A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B 相切.

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25.某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题,时发现了三个重要结论.已知:A是反比例函数(k为非零常数)的图象上的一动点.(1)如图1过动点A作AM⊥x轴,AN⊥y轴,垂足分别为M、N,求证:矩形OMAN的面积是定值;

(2)如图2,过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C,y 轴交于点D,求证:△OCD的面积是定值;

(3)如图3,若过动点A的直线与双曲线交于另一点B,与x轴交于点C,与y 轴交于点D.求证:AD=BC.(任选一种证明)

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26.已知,关于x的一元二次方程x2﹣(a﹣4)x﹣a+3=0(a<0).

(1)求证:方程一定有两个不相等的实数根;

(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2),若y是关于a的函数,

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且y=,求这个函数的解析式;

(3)在(2)的条件下,利用函数图象,求关于a的方程y+a+1=0的解.

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重点高中提前招生模拟考试数学试卷(5)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点,Q(n,

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)是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点,且AQ⊥BQ,则a的值为()

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A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.﹣2

【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】由勾股定理,及根与系数的关系可得.

【解答】解:过点Q作QC⊥AB于点C,

∵AQ⊥BQ

∴AC2+QC2+CB2+QC2=AB2,

设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2,

依题意有(x1﹣n)2++(x2﹣n)2+=(x1﹣x2)2,

化简得:n2﹣n(x1+x2)++x1x2=0.

有n2+n++=0,

∴an2+bn+c=﹣a.

∵(n,)是图象上的一点,

∴an2+bn+c=,

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∴﹣a=,

∴a=﹣2.

故选:D.

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【点评】本题是一道二次函数的综合试题,考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是注意数形结合思想.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动,则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有()

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【考点】MB:直线与圆的位置关系.

【分析】根据已知画出正确图形,进而得出圆与△ABC的三条边的公共点的个数.【解答】解:如图所示:

以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动,则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有4个,

故选:C.

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【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系,能够根据已知画出正确图形是解题关键.

3.已知函数y=x+1的图象为直线l,点P(2,1),则点P到直线l的距离为()

A.2 B.1 C.D.

【考点】FI:一次函数综合题.

【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.

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【解答】解:y=x+1即x﹣y+1=0

则点P到直线的距离是:=.

【点评】本题考查了点到直线的距离公式,正确记忆公式是关键.

4.方程组的解的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】15:绝对值;98:解二元一次方程组.

【分析】由于x、y的符号不确定,因此本题要分情况讨论.

【解答】解:当x≥0,y≤0时,原方程组可化为:,解得;

由于y≤0,所以此种情况不成立.

当x≤0,y≥0时,原方程组可化为:,解得.

当x≥0,y≥0时,,无解;

当x≤0,y≤0时,,无解;

因此原方程组的解为:.

故选:A.

【点评】在解含有绝对值的二元一次方程组时,要分类讨论,不可漏解.

5.对于一个正整数n,若能找到正整数a,b使得n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如:3=1+1+1×1,则3就是一个“好数”,那么从1到20这20个正整数中“好数”有()

A.8个 B.10个C.12个D.13个

【考点】#B:整数问题的综合运用.

【分析】由n=a+b+ab,可变形为n+1=(a+1)(b+1),所以,只要n+1是合数,n就是好数.

【解答】解:由n=a+b+ab,得,

n+1=(a+1)(b+1),

所以,只要n+1是合数,n就是好数,

20以内的好数有:3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20;

【点评】本题考查了整数问题,由原式变形,可得出n+1数的性质,利用n与n+1的关系,可解答本题.

6.如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是()

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A.B.C.D.

【考点】PB:翻折变换(折叠问题).

【分析】结合空间思维,分析折叠的过程及打孔的位置,易知展开的形状.【解答】解:当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时,在平行于斜边的位置上打3个洞,则直角顶点处完好,即原正方形中间无损,且有12个洞.故选:D.

【点评】本题主要考查学生抽象思维能力,错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强,缺乏逻辑推理能力,需要在平时生活中多加培养.

7.一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时.已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米,则甲、丙两港间的距离为()A.44千米B.48千米C.30千米D.36千米

【考点】8A:一元一次方程的应用.

【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时,则可得出x+2=2(x﹣2)从而得出船在静水中的速度,然后设甲乙两地相距y千米,根据来回公用12小时可得出方程,解出即可.

【解答】解:设船在静水中的速度为x千米/小时,

由题意得:x+2=2(x﹣2),

解得:x=6千米/小时;则可得顺流时的速度为8千米/小时,逆流时的速度为4

设乙两地相距y千米,

则+=12,

解得:y=26,y+18=44,即甲、丙两港间的距离为44千米.

故选:A.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用,属于航行问题,根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键,另外要掌握船航行时间的表示方法.

8.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A与BC边的中点F重合,下列结论中:①EF∥AB且EF=AB;②∠BAF=∠CAF;③S四边形ADFE=AF?DE;④∠BDF+∠FEC=2∠BAC,正确的个数是()

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A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】PB:翻折变换(折叠问题).

【分析】根据对折的性质可得AE=EF,∠DAF=∠DFA,∠EAF=∠AFE,∠BAC=∠DFE,据此和已知条件判断图中的相等关系.

【解答】解:①由题意得AE=EF,BF=FC,但并不能说明AE=EC,∴不能说明EF 是△ABC的中位线,故①错;

②题中没有说AB=AC,那么中线AF也就不可能是顶角的平分线,故②错;

③易知A,F关于D,E对称.那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形,那么面积等于对角线积的一半,故③对;

④∠BDF=∠BAF+∠DFA,∠FEC=∠EAF+∠AFE,∴∠BDF+∠FEC=∠BAC+∠DFE=2∠BAC,故④对.

正确的有两个,故选B.

【点评】翻折前后对应线段相等,对应角相等.

9.如图,△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径,半圆O2过C点且与半圆O1相切,则图中阴影部分的面积是()

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A.B.C.D.

【考点】@2:面积及等积变换.

【分析】首先作出图形,由等腰直角三角形性质可知S2=S6,S1=S5,所以S阴=S ,设PA=x,CO2=y,利用勾股定理求出y的值,进而求出阴影的面积.直角梯形DEAP

【解答】解:如图,

由等腰直角三角形性质可知S2=S6,S1=S5,

所以S阴=S直角梯形DEAP,设PA=x,CO2=y,

x+2y=2,x=2﹣2y,

连接O1O2,(x+y)2+1=(y+1)2,

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解得y=,

S阴=×2×2﹣×﹣2×1×=.

故选:D.

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【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点,解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,此题难度不大.

10.若方程x2+x﹣1=0的二根为α、β,则α2+2β2+β的值为()