文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 10 第十编 计数原理(共22页)

10 第十编 计数原理(共22页)

10 第十编  计数原理(共22页)
10 第十编  计数原理(共22页)

两个基本计数原理

例1在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:

(1)P可表示平面上多少个不同的点?

(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?

(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?

例3.有一项活动需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加,(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?

(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?

(3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法?

1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有种.

2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有种.

3.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有种.

4.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有种.

5.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡,则这组号码中“优惠卡”共有个.

6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有个.

7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.

8.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有种.

9.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,

则不同的填写方法共有种.

10.在2008年奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、

5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.

8.若一个m,n均为非负整数的有序数对(m,n),在做m+n的加法时各位均不会进位,则称(m,n)为“简单的”

有序数对,m+n称为有序数对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .

二、解答题

9.(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?

(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?

10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?

11.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.

12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?

排列与组合

1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有个.

2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案共有种.

3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有3个空车位连在一起的排法有种.(用式子表示)

4.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法种数是(用式子表示).

5.如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的

两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种(用数字作答).

6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有个.

7.将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子里,每个盒子内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同投放方法共有种.

8.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排

法共有种.

9.在图中,“构建和谐社会,创美好未来”,从上往下读(不能跳读),共有种不同的读法.

10.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有种.

11. 12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是(用式子表示).

12.平面α内有四个点,平面β内有五个点,从这九个点中任取三个,最多可确定个平面,任取四点,最多可确定个四面体.(用数字作答)

13.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻.这样的六位数的个数是 .(用数字作答)

14六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?

(1)甲不站两端;

(2)甲、乙必须相邻;

(3)甲、乙不相邻;

(4)甲、乙之间间隔两人;

(5)甲、乙站在两端;

(6)甲不站左端,乙不站右端.

15(16分)男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?

(1)男运动员3名,女运动员2名;

(2)至少有1名女运动员;

(3)队长中至少有1人参加;

(4)既要有队长,又要有女运动员.

16 4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?

(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?

(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

17用0、1、2、3、4、5这六个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数:(1)奇数;

(2)偶数;(3)大于3 125的数.

18.某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中

(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?

(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?

(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?

(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?

19.有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?

(1)分成1本、2本、3本三组;

(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本;

(3)分成每组都是2本的三组;

(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.

20.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种?

21.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?

(1)只有一名女生;

(2)两队长当选;

(3)至少有一名队长当选;

(4)至多有两名女生当选.

22.已知平面α∥β,在α内有4个点,在β内有6个点.

(1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同平面?

(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?

(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?

23.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,共有多少种不同排法?

§10.3 二项式定理

1.在(1+x )n

(n ∈N *

)的二项展开式中,若只有x 5

的系数最大,则n = . 答案 10

2.在(a 2

-2a 3

1

)n

的展开式中,则下列说法错误的有 个. ①没有常数项

②当且仅当n =2时,展开式中有常数项 ③当且仅当n =5时,展开式中有常数项 ④当n =5k (k ∈N *

)时,展开式中有常数项 答案 3

3.若多项式0C n (x +1)n

-C 1

n (x +1)n -1

+…+(-1)r

C

r n

(x +1)n -r +…+(-1)n

C

n n

=a 0x n

+a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,则a 0+a 1+…

+a n -1+a n = . 答案 1

4.(2008·山东理)(x -3

1

x

)12

展开式中的常数项为 .

答案 -220

5.(2008·福建理,13)若(x -2)5

=a 5x 5

+a 4x 4

+a 3x 3

+a 2x 2

+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .(用数字作答) 答案

31

例1 在二项式(x +421x

)n

的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系数最

大的项.

解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1,

2n ,8

1

n (n -1),

基础自测

∴2·

2n =1+8

1

n (n -1), 解得n =8或n =1(不合题意,舍去), ∴T k +1=C k

8x 28k

-k ???

?

?

?421x =C k 82-k x 4-43k , 当4-

4

3

k ∈Z 时,T k +1为有理项, ∵0≤k ≤8且k ∈Z ,∴k =0,4,8符合要求. 故有理项有3项,分别是 T 1=x 4

,T 5=

8

35x ,T 9=2561x -2

.

∵n =8,∴展开式中共9项,

中间一项即第5项的二项式系数最大.T 5=8

35

x . 例2 已知(1-2x )7

=a 0+a 1x +a 2x 2

+…+a 7x 7

. 求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;

(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.

解 令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1 ① 令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37

(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a 1+a 3+a 5+a 7=

2

317

--=-1 094. (3)(①+②)÷2,

得a 0+a 2+a 4+a 6=2

317

+-=1 093.

(4)∵(1-2x )7

展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6都大于零, 而a 1,a 3,a 5,a 7都小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7| =(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7), ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.

例3 (14分)(1)已知n ∈N *

,求证:1+2+22

+23

+…+25n -1

能被31整除;

(2)求0.9986

的近似值,使误差小于0.001. (1)证明 ∵1+2+22

+23

+…+25n -1

=

2

1215--n =25n -1=32n

-1 3分

=(31+1)n

-1

=31n

+C 1n ·31n -1

+C 2n ·31n -2

+…+C 1

-n n ·31+1-1

=31(31n -1

+C 1n ·31n -2

+…+C 1-n n )

6分

显然括号内的数为正整数, 故原式能被31整除.

7分

(2)解 ∵0.9986

=(1-0.002)6

=1-C 16(0.002)+C 26(0.002)2

-C 3

6(0.002)3

+…

10分 第三项T 3=15×(0.002)2

=0.000 06<0.001,以后各项更小,∴0.9986

≈1-0.012=0.988.

14分

1.在(3x -2y )20

的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.

解 (1)二项式系数最大的项是第11项,

T 11=C 1020310

(-2)10x 10y 10

=C 1020610x 10y 10

.

(2)设系数绝对值最大的项是第r +1项,

于是???????≥????≥??----+-+-1211202020

119120202023C 23C 23C 23C r r r r r r r r r r r r ,

化简得???≥--≥+r r r r 3)21(2)20(2)1(3,解得752≤r ≤852.

所以r =8,

即T 9=C 820312

·28

·x 12

y 8

是系数绝对值最大的项.

(3)由于系数为正的项为奇数项,故可设第2r -1项系数最大,于是

???????≥????≥??----------r

r r r r r r r r r r r 22202202

2222222042224422022222222023C 23

C 23

C 23C , 化简得??

???≥-+≤-+0924163100

0771*******r r r r .

解之得r =5,即2×5-1=9项系数最大. T 9=C 820·312

·28

·x 12y 8

.

2.求x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7

展开式中各项系数的和. 解 设x (1-x )4

+x 2

(1+2x )5

+x 3

(1-3x )7

=a 0+a 1x +a 2x 2

+…+a n x n

在原式中,令x =1,

则1×(1-1)4

+12

×(1+2)5

+13

×(1-3)7

=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 3.求证:3n

>(n +2)·2n -1

(n ∈N *

,n >2). 证明 利用二项式定理3n

=(2+1)n

展开证明.

因为n ∈N *,且n >2,所以3n =(2+1)n

展开后至少有4项.

(2+1)n

=2n

+C 1n ·2n -1

+…+C 1

-n n ·2+1≥2n

+n ·2n -1

+2n +1>2n

+n ·2n -1

=(n +2)·2n -1

,

故3n >(n +2)·2n -1

.

一、填空题

1.(1-2x )6

=a 0+a 1x +a 2x 2

+…+a 6x 6

,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值为 . 答案 729

2.(2008·安徽理)设(1+x )8

=a 0+a 1x +…+a 8x 8

,则a 0,a 1,…,a 8中奇数的个数为 . 答案 2

3.(2008·全国Ⅱ理)(1-x )6(1+x )4

的展开式中x 的系数是 .

答案 -3 4.已知(x -x

a )8

展开式中常数项为1 120,其中实数a 为常数,则展开式中各项系数的和为 . 答案 1或38

5.若(1+5x 2)n

的展开式中各项系数之和是a n ,(2x 3

+5)n

的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则n

n n b a 13+的值

为 . 答案

3

1 6.设m ∈N *

,n ∈N *

,若f (x )=(1+2x )m

+(1+3x )n

的展开式中x 的系数为13,则x 2

的系数为 . 答案 31或40

7.(1+x )6

(1-x )4

展开式中x 3

的系数是 . 答案 -8

8.(2008·天津理,11)5

2???

? ??-x x 的二项展开式中x 2的系数是 .(用数字作答) 答案 40 二、解答题 9.已知(x +2

2x )n (n ∈N *

)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开式中系数最大的是

第几项?

解 依题意,第5项的系数为C 4n ·24

第三项的系数为C 2n ·22

,则有

2244C 2C 2n

n ??=

1

10

,解得n =8. 设展开式中第r +1项的系数最大,则

??????≥??≥?++--1

18811882

C 2C ,

2C 2C r r r

r r r r r 解得5≤r ≤6. ∴第6项和第7项的系数相等且最大, 即最大为56×25

=7×28

=1 792.

10.已知(3

2x +3x 2

)n

展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.

解 令x =1,得各项的系数和为(1+3)n =4n

而各项的二项式系数和为:C 0n +C 1n +…+C n n =2n

∴4n =2n

+992. ∴(2n

-32)(2n

+31)=0

∴2n

=32或2n

=-31(舍去),∴n =5 设第r +1项的系数最大,则

?????≥≥++--;3C 3C ,3C 3C 1155115

5r r r

r r r r r 即???????+≥--≥;

1351,613

r r r r ∴

27≤r ≤2

9

,又r ∈Z ,∴r =4, ∴系数最大的项是T 5=C 4

5x

3

2

(3x 2)4

=405x

3

26

.

11.(1)求(x 2

-

x

21)9

的展开式中的常数项; (2)已知(

x a -2

x )9的展开式中x 3

的系数为49,求常数a 的值;

(3)求(x 2

+3x +2)5

的展开式中含x 的项. 解 (1)设第r +1项为常数项,则

T r +1=C r

9(x 2

)9-r

·(-x 21)r =(-2

1)r C r 9x r

318- 令18-3r =0,得r =6,即第7项为常数项. T 7=6

21??

? ??-C 69=1621

.

∴常数项为

16

21. (2)设第r +1项是含x 3

的项,则有

C r 9(x a )9-r r

x

????

??

-2

=4

9x 3,得:x r -9x 2r =x 3, 故

2

3

r -9=3,即r =8. ∴C 89a (-2

1)8=49

,∴a =4.

(3)∵(x 2

+3x +2)5

=(x +1)5

(x +2)5

(x 2+3x +2)5的展开式中含x 的项是(x +1)5展开式中的一次项与(x +2)5

展开式中的常数项之积,(x +1)

5

展开式中的常数项与(x +2)5

展开式中的一次项之积的代数和.

∴含x 的项为C 45·x ·C 55·25

+C 55·1·C 45·x ·24

=240x .

12.在(2x -3y )10

的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和;

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 解 设(2x -3y )10

=a 0x 10

+a 1x 9

y +a 2x 8

y 2

+…+a 10y

10

(*)

各项系数和即为a 0+a 1+…+a 10,奇数项系数和为a 0+a 2+…+a 10,偶数项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+…+a 10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(1)二项式系数和为C 010+C 110+…+C 1010=210

.

(2)令x =y =1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10

=1.

(3)奇数项的二项式系数和为C 010+C 210+…+C 1010=29

,

偶数项的二项式系数和为C 110+C 310+…+C 910=29

.

(4)设(2x -3y )10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+…+a 10y 10

令x =y =1,得到a 0+a 1+a 2+…+a 10=1 ① 令x =1,y =-1(或x =-1,y =1) 得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510

①+②得2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510

,

∴奇数项的系数和为25110+;

①-②得2(a 1+a 3+…+a 9)=1-510

,

∴偶数项的系数和为2

5110

-.

(5)x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9=

2

5110

-; x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+…+a 10=25110

+.

单元检测十

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能排在一起,则不同的排法共有 种. 答案 24

2.直角坐标xOy 平面上,平行直线x =n (n =0,1,2,…,5)与平行直线y =n (n =0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形

共有 个. 答案 225

3.二项式(a +2b )n

中的第二项系数是8,则它的第三项的二项式系数为 . 答案 6

4.已知(x +1)15

=a 0+a 1x +a 2x 2

+…+a 15x 15

,则a 0+a 1+a 2+…+a 7= . 答案 214

5.(2008·四川理)从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有 种. 答案 140

6.(2009·常州模拟)在(1-x 3

)(1+x )10

的展开式中,x 5

的系数为 . 答案 207 7.(1+3x )6

(1+

4

1

x

)10

的展开式中的常数项为 .

答案 4 246

8.(2008·辽宁理)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有 种. 答案 36

9.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作,每天一人值班,每人值班两天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有 种. 答案 42

10.若(1+x )n +1

的展开式中含x n -1

的系数为a n ,则

11a +2

1a +…+n a 1的值为 .

答案

1

2+n n

11.在(x -x

21)9的展开式中,x 3

的系数为 (用数字作答). 答案 -

2

21

12.已知(1+x )+(1+x )2

+(1+x )3

+…+(1+x )8

=a 0+a 1x +…+a 8x 8

,则a 1+a 2+a 3+…+a 8= . 答案 502

13.(2008·陕西理,16)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成,如果第一棒

火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答) 答案 96 14.(ax -

x

1)8的展开式中x 2

的系数是70,则实数a 的值为 .

答案 ±1

二、解答题(本大题共6小题,共90分)

15.(14分)二次函数y =ax 2

+bx +c 的系数a 、b 、c ,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?

解 由图形特征分析,a >0,开口向上,坐标原点在内部?f (0)=c <0;a <0,开口向下,原点在内部

?f (0)=c >0,

所以,对于抛物线y =ax 2

+bx +c 来讲,原点在其内部?af (0)=ac <0,则确定抛物线时,可先定一正一负的a

和c ,再确定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 1

6=144(条).

16.(14分)五位老师和五名学生站成一排: (1)五名学生必须排在一起共有多少种排法? (2)五名学生不能相邻共有多少种排法? (3)老师和学生相间隔共有多少种排法?

解 (1)捆绑法共有A 66·A 55=86 400种排法. (2)插空法共有A 55·A 56=86 400种排法.

(3)排列方式只能有两类,如图所示: ○□○□○□○□○□ □○□○□○□○□○

(用□表示老师所在位置,用○表示学生所在位置)

故有2A 55·A 55=28 800种排法.

17.(14分)已知在n

x x ???

?

??-3321

的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;

(2)求含x 2

的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

解 (1)通项公式为T r +1=C r n

x

3

r

n -r

??

? ??-21x 3r

- =C r n

r

??

?

??-21x 3

2r n -,

因为第6项为常数项,所以r =5时, 有

3

2r

n -=0,即n =10. (2)令

32r n -=2,得r =2

1

(n -6)=2, ∴所求的系数为

C 2

10

2

21??

?

??-=445. (3)根据通项公式,由题意得????

?

???∈≤≤∈-Z 100Z 3210r r r

3

210r -=k (k ∈Z ),则10-2r =3k ,即r =5-23

k ,

∵r ∈Z ,∴k 应为偶数.

∴k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8.

所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为 T 3=

2445x ,T 6=8

63,T 9=2

25645-x .

18.(16分)4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出4个球. (1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法?

(2)取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,若取出4个球总分不少于5分,则有多少种不同的取法? 解 (1)依题意可知,取出的4个球中至少有2个红球,可分为三类:

①全取出红球,有C 44种不同的取法;②取出的4个球中有3个红球1个白球,有C 34×C 16种取法; ③取出的4个球中有2个红球2个白球,有C 24×C 26种不同的取法. 由分类计数原理知,共有C 44+C 34×C 16+ C 24×C 26=115种不同的取法.

(2)依题意知,取出的4个球中至少要有1个红球,从红白10个球中取出4个球,有C 410种不同的取法,而全是白球的取法有C 46种,从而满足题意的取法有:C 410-C 46=195(种).

19.(16分)已知(a 2

+1)n

展开式中的各项系数之和等于(516x 2+x

1)5的展开式的常数项,而(a 2+1)n

的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值(a ∈R ). 解 (

516x 2+x

1)5

的通项公式为 T r +1=C r 5r

x -?

?

? ??52516·r

x ???

? ??1=C r 5·r

-??? ??5516·x 2

520r

-

令20-5r =0,则r =4,∴常数项为T 5=C 4

5

16

=16. 又(a 2

+1)n

展开式的各项系数之和为2n

,依题意得2n

=16,

n =4,由二项式系数的性质知(a 2

+1)4

展开式中系数最大的项是中间项T 3,所以C 24(a 2

)2

=54,即a 4

=9,

所以a =±3.

20.(16分)设(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100

,求下列各式的值:

(1)a 0; (2)a 1+a 2+…+a 100; (3)a 1+a 3+a 5+…+a 99;

(4)(a 0+a 2+…+a 100)2

-(a 1+a 3+…+a 99)2

.

解 (1)由(2-3x )100展开式中的常数项为C 0

100·2100,

即a 0=2100

,或令x =0,则展开式可化为a 0=2100

. (2)令x =1,可得

a 0+a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100

.

∴a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100-2100

.

(3)令x =-1可得

a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=(2+3)100

.

与x =1所得到的①联立相减可得,

a 1+a 3+…+a 99=2

)32()32(100

100+--.

(4)原式=[(a 0+a 2+…+a 100)+(a 1+a 3+…+a 99)]×[(a 0+a 2+…+a 100)-(a 1+a 3+…+a 99)] =(a 0+a 1+a 2+…+a 100)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100)

=(2-3)100·(2+3)100=1.

人教版高中数学选修2-3第一章计数原理单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年选修2-3第一章训练卷 计数原理(一) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 2.已知() 7781C C C n n n n +-=∈* N ,则n 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.15 3.某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是( ) A.8 B.12 C.16 D.24 4.()7 1x +的展开式中x 2的系数是( ) A.42 B.35 C.28 D.21 5.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!) 3 C.(3!)4 D.9! 6.某校园有一椭圆型花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有( ) A.48种 B.36种 C.30种 D.24种 7.若多项式x 2+x 10=a 0+a 1(x +1)++a 9(x +1)9+a 10(x +1)10,则a 9=( ) A.9 B.10 C.-9 D.-10 8.从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A.48种 B.36种 C.18种 D.12种 9.已知()1n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 10.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( ) A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 11.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的 偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 12.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有 ( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选法有________种(用数值表示) 14.()()4 1a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =________. 15.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有________种(用数字作答). 16.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,能被3整除的数有________个. 三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

计数原理基本知识点

计数原理基本知识点 1.分类计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法 2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =??? 种不同的方法 3.排列的概念:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序.....排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列....4.排列数的定义:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫 做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示 5.排列数公式:(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(,,m n N m n *∈≤) 6 阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘规定0!1=. 7.排列数的另一个计算公式:m n A =!()!n n m - 8 组合的概念:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数... .用符号m n C 表示. 10.组合数公式:(1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或)! (!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1:m n n m n C C -=.规定:10=n C ; 12.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C

两个基本计数原理教案

第一章计数原理 第1节两个基本计数原理 教材分析 本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书(选修2-3)第一章第一节的内容,是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器,是人们思考问题的最根本方法. 学情分析 高二学生已具备一定的数学知识和方法,能很容易的接受两个原理的内容,并应用原理解决一些简单的实际问题,这些形成了学生思维的“最近发展区”.虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力,但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.另外,学生的求知欲强,参与意识,自主探索意识明显增强,对能够引起认知冲突,表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺,有待加强. 目标分析 ⑴知识与技能 ①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容 ②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题. ⑵过程与方法 ①通过具体问题情境总结出两个计数原理,并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用 ②通过“学生自主探究、合作探究,师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理,并应用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观 树立学生积极合作的意识,增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重难点分析 教学重点:分类计数原理与分步计数原理的掌握 教学难点:根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题. 教法、学法分析 教法分析: ①启发探究法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性。 ②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性。 学法分析:本节课要求学生自主探究,学会用类比的思想解决问题,树立学生的合作交流意识. 教学过程 一、创设情境:对于分类计数原理设计如下情境(看多媒体): 该情境是原教材上情境经过加工设计的,比原教材情境更加贴近学生生活,能够增强学生的有意注意,激发学生的兴趣,调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理:在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律,我处理情境的办法是: 第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答,教师及时给出评价,并由老师给出解题过程,在这里由老师按分类计数原理给出解题过程,为学生顺利总结概括出原理做好铺垫. 第二步对原问题加以引申:若当天有4次航班,则有多少种不同方法? 设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和. 第三步提出问题:你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律? 接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律,这样由学生总结归纳,并通过讨论准确叙述出分类计数原理,可以提高学生的数学表达意识,激发合作意识和竞争意识,体验获得成功的喜悦,也就完成了情感目标.

第一章 计数原理单元测试题

第一章 计数原理单元测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( ) A .10种 B .20种 C .25种 D .32种 2.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有 A .36种 B .48种 C .96种 D .192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( ) A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( ) A.() 2 1 4 2610C A 个 B.24 2610A A 个 C.()2 14 26 10 C 个 D.2 4 2610A 个 5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种 6. 由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) B.60 7.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第( )个数. B.9 和CD 为平面内两条相交直线,AB 上有m 个点,CD 上有n 个点,且两直线上各有一个与交点重合,则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A. 2121m n n m C C C C + B. 2 1121m n n m C C C C -+ C. 2 1211m n n m C C C C +- D. 2 1 11211---+m n n m C C C C 9.设 () 1010221010 2x a x a x a a x +???+++=-,则 ()()292121020a a a a a a +???++-+???++的值为( ) B.-1 D.

北师大高三数学一轮复习练习:第十一章 计数原理概率随机变量及其分布 第讲 含解析

基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.某射手射击所得环数X 的分布列为 A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 解析 P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案 C 2.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为: 则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32-336 D.32+336 解析 由分布列的性质知?????2-3q ≥0,q 2 ≥0, 13+2-3q +q 2 =1, 解得q =32-33 6. 答案 C 3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( ) A.0 B.12 C.13 D.23

解析由已知得X的所有可能取值为0,1, 且P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1, 得P(X=0)=1 3. 答案 C 4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是() A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 答案 C 5.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是() A.4 35 B. 6 35 C. 12 35 D. 36 343 解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问 题,故所求概率为P=C23C14 C37=12 35. 答案 C 二、填空题 6.设离散型随机变量X的分布列为 若随机变量Y=|X 解析由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,∴P(Y=2)=P(X=4或X=0)

计数原理单元测精彩试题

文档 《计数原理》单元测试题一、选择题位同学报名参加两个课外活动 小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同51.)报名方法共有( .32种 C.25种 D A.10种 B.20种3门课程中,甲选 修2门,乙、丙各选修2.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4 门,则不同的选 修方案共有().192种 C.96种 D BA.36种.48种位老人相2位老人拍照,要求排成一排,23. 记者要为5名志愿者和 他们帮助的)邻但不排在两端,不同的排法共有( 480种 D..种 B960 种 C.720种A.1440个数字互不个数字组成,其中44. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4 )相同的牌照号码共有( ????2242244411AAA10.个 A.个个 B. C个. D10CCA26261010262641062( ) 的展开式中.(xx-项的系数是y)y5210 840 C. 210 D.-A. 840 B. -可以组成无重复数字且奇偶数字相间 的六位数的个,53,4由数字0,1,2,6. ( ) 数有 D.52 C.48 B.60 A.72 组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排4,3,,7.用01,2. )个数应是第(列,则数字12340D.8 C.10 A.6 B.9 个点,且两直线上nCD上有个点,CD为平面内两条相交直线,AB上有m8.AB和( ) 个点为顶点的三角形的个数是各有一个与交点重合,则以这 m+n-12212121111212212CCCC?CC?CCCC?CCCCCC? A.D. B. C.1mnnnnmmm?nmnn1n??m1m?1m?1??10????22102xax?????a?2?x??aax a?a?????a?a?a?????a,则的9.设 102109101220值为( ) D. C.1 B.-1 A.0 文档 BA地,则路地前往10.某城市的街道如图,某人要从 ( ) 程最短的走法有 D.32种 B.10种 C.12种 A.8种10题)(第个顶点 作为一组,其中可以构中任取3个顶点(如图)11.从6个正方形拼成的12 成三 角形的196 ..204 C.200 D组数为 ( )A.208 B

2021年高考数学大一轮总复习 第十一章 计数原理同步训练 理

2021年高考数学大一轮总复习第十一章计数原理同步训练理 A级训练 (完成时间:10分钟) 1.某城市的电话号码,由六位升为七位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是( ) A.9×8×7×6×5×4×3 B.8×96 C.9×106 D.81×105 2.从a、b、c、d、e五人中选1名班长,1名副班长,1名学习委员,1名纪律委员,1名文娱委员,但a不能当班长,b不能当副班长.则不同选法总数为( ) A.78 B.54 C.24 D.20 3.某生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种

4.五名旅客在三家旅店投宿的方法有243 种. 5.72的正约数(包括1和72)共有12 个. 6.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数? B级训练 (完成时间:20分钟) 1.[限时2分钟,达标是( )否( )] 已知复数a+b i,其中a,b为0,1,2,…,9这10个数字中的两个不同的数,则不同的虚数的个数为( ) A.36 B.72 C.81 D.90 2.[限时2分钟,达标是( )否( )] 已知集合M∈{1,-2,3},N∈{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A.18 B.10

C.16 D.14 3.[限时2分钟,达标是( )否( )] 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A,B,C,D 四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A,B,C,D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 4.[限时3分钟,达标是( )否( )] 如图,正五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有30 种. 5.[限时3分钟,达标是( )否( )] 用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色. (1)若n=6,则为甲图着色的不同方法共有480 种; (2)若为乙图着色时共有120种不同方法,则n= 5 . 6.[限时4分钟,达标是( )否( )]

(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题

1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读,不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人,女队员4人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门,商场内有2个楼梯,顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1,2,3,…,9九张数字的卡片中,抽出两张数字和为奇数的卡片,共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人,4个法国人和5个中国人组成,(1)从中选出1人担任组长,有多少种不同选法? (2)从中选出两位不同国家的人作为成果发布人,有多少种不同选法? 6、(1)3名同学报名参加4个不同学科的比赛,每名学生只能参赛一项,问有多少种不同的报名方案? (2)若有4项冠军在3个人中产生,每项冠军只能有一人获得,问有多少种不同的夺冠方案? 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色, (1)共有多少种不同的涂色方法? (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法? 8、从甲地到乙地有两种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为,若后面的五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0,1,2,…,9这十个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法有_________________种。

2021版高中数学第一章计数原理课时训练01分类加法计数原理与分步乘法计数原理新人教B版选修2

课时训练01 分类加法计数原理与分步乘 法计数原理 (限时:10分钟) 1.如果x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( ) A.15 B.12 C.5 D.4 解析:利用分类加法计数原理. 当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6种情况. 当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5种情况. 当x=3时,y=0,1,2,3,有4种情况. 据分类加法计数原理可得,共有6+5+4=15种情况. 答案:A 2.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 解析:0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),∴有重复数字的三位数有900-648=252(个). 答案:B 3.某体育馆有8个门供球迷出入,某球迷从其中一门进入,另一门走出,则不同的进出方法有( ) A.16种 B.56种 C.64种 D.72种 解析:分两步进行:第一步,选一门进入有8种方法;第二步,从剩下的门中选择一门走出有7种方法,共8×7=56种方法.答案:B 4.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A,或x∈B},则当集合C中有且只有一个元素时,C的情况有__________种. 解析:分两类进行,第一类,当元素属于集合A时,有3种.第二类,当元素属于集合B时,有4种. ∴共3+4=7种.

答案:7 5.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有多少种不同的推选方法. 解析:分为三类: 第一类,甲班选一名,乙班选一名,根据分步乘法计数原理有3×5=15种选法; 第二类,甲班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有3×2=6种选法; 第三类,乙班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有5×2=10种选法. 综合以上三类,根据分类加法计数原理,共有15+6+10=31种不同选法. (限时:30分钟) 一、选择题 1.某乒乓球队里有男队员6人,女队员5人,从中选取男、女队员各一人组成混合双打队,不同的组队总数有( ) A.11 B.30 C.56 D.65 解析:先选1男有6种方法,再选1女有5种方法,故共有6×5=30种不同的组队方法. 答案:B 2.某小组有8名男生,4名女生,要从中选出一名当组长,不同的选法有( ) A.32种 B.9种 C.12种 D.20种 解析:由分类加法计数原理知,不同的选法有N=8+4=12种.答案:C 3.由0,1,2三个数字组成的三位数的个数为( ) A.27 B.18 C.12 D.6 解析:分三步,分别取百位、十位、个位上的数字,分别有2种、3种、3种取法,故共可得2×3×3=18个不同的三位数.答案:B 4.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有

数学一轮复习(文科)人教B配套多媒体实用课件第十一章计数原理第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理(乞夯基释疑〕

I.判断正误(在括号内打“厂或“ X ”) ⑴归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确? (X) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推 理.(°) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适?(X) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(X) 丿

考点突破考点一归纳推理 【例1J (2014-海口调研)如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为2°+2x=3,第二个等式为2°+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为2°+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为() ,依此类推, 2°+21=3 2°+22 = 5 21+22 =6 2°+23=9 2】+23=10 22+23=12 2°+24=17 2】+24=18 22+24=20 23+24=24 A.27+213=8 320 B. 27+214=16 512 C. 2+14=16 640 D. 2+13=8 448

2°+21=3 2°+22=5 2°+23=9 2°+24=17 解需麻题意,用(/, [鎗一行为3(0, |第二行为5(0, 第三行为9(0, I 第四行为 17(0, 4), 18(1, 4), 20(2, 4), 24(3, 4); 又因为 99=(1+2+3+…+ 13)+8, 因 此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置, 即是27 +214=16 512,故选B ? 规律:1、第〃行就有〃个等式,n 行共有l+2+3+...+n 个 2、第"行第一个等式2°+2" = 1+2" 第加个等式2曲+2〃 = 考点突破 考点一归纳推理 21+22 =6 21+23 = 10 22+23=12 2X +24 = 18 22+24=20 23+24 =24 巧表示2『+2〃,题中的等式的规律为: 1); 2), 6(1, 2); 3), 10(1, 3), 12(2, 3);

基本计数原理

基本计数原理 一、主要内容 一般计数原理部分的考试,分为两种,一是排列组合二项式定理单独出题,二是在概率中需要用到排列组合二项式定理。 1、基本计数原理 2、排列和组合 3、常用方法 二、知识梳理 1、基本计数原理 (1)分类加法计数原理 从甲地到乙地,可乘坐三类交通工具:可以乘火车,可以坐汽车,还可以乘轮船,假定火车每日1班,汽车每日3班,轮船每日2班,那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法?(1+3+2=6种) 做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中,有1m 种不同的方法,在第二类办法中,有2m 种不同的方法,以此类推,在第n 类办法中,有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。 (2)分步乘法计数原理。 某中学的阅览室有50本不同的科技书,80本不同的文艺书,现在张三同学想借1本科技书和1本文艺书,共有多少种借法?(50*80=4000) 做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一个步骤有 1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同的方法,以此类推,做第n 个步骤有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法。 以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据。他们分别给出了两种不同方式完成一件事的方法总数的不同计算方法。 注意:分类要“不重不漏”,每类的每一种方法都能独立完成事件; 分步要“步骤完整”,每一步不能完成事件,只有各步依次都完成,才能完成事件。

2、排列与组合 (1)排列 有红球、白球、黄球各一个,现从这三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里,有多少种不同的方法?(3*2=6) 我们把被取的对象叫做元素。取出的元素按照已知的顺序排成一列,我们称它为该问题的一个排列。 一般地,从n 个不同元素中任取出)(n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 两个排列相同,则组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同。 从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号m n A 表示。 根据分步乘法计数原理,得到公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 这里+∈N m n ,,并且n m ≤,这个公式叫做排列数公式。 一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列,这时n m =,则有123)2()1(????-?-?= n n n A m n ,这个公式是由1到n 。我们把正整数1到n 的连 乘积,叫做n 的阶乘,用!n 表示。所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成!n A n n = 排列数的公式还有下面的另一种形式:)! (!m n n A m n -=,我们规定1!0=。 (2)组合 有红球、黄球、白球各一个,从这三个小球中,任意取出两个小球,共有多少种不同的取法?(与顺序无关,共3种) 一般地,从n 个不同元素中,任意取出)(n m m ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合。 从n 个不同元素中,任意取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示。 一般地,从n 个不同元素中,任取m 个元素的排列,可以分两步完成:

计数原理(最全面的方法汇总)

计数原理(排列组合)插空法,挡板法,捆绑法,优选法,平均分配问题等例题精选+练习 一、挡板法(插板法、隔板法、插刀法) 将n个相同的元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把n个元素隔成有序的m份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….),这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法,这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。 (1)例题解读 【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里,每个盒至少要分到一个球,问有几种不同分法? 解析:我们可以将10个相同的球排成一行,10个球之间出现了9个空隙,现在我们用4个档板”插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序的5份,每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个、5个),这样,借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。 【基本题型的变形(一)】 题型:有n个相同的元素,要求分到m组中,问有多少种不同的分法? 解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要元素总数就m个,问题也就是转变成将(n+m)个元素分到m组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。 【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里,共有()种不同方法. A.35 B.28 C.21 D.45 解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加1个,则球的总数为8+3×1=11,此题就有C (10,2)=45(种)分法了,选项D为正确答案。 【基本题型的变形(二)】 题型:有n个相同的元素,要求分到m组,要求各组中分到的元素至少某个确定值S(s>1,且每组的s值可以不同),问有多少种不同的分法? 解题思路:这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s,各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应的确定值s那么多个,这样就满足了题目中要求的最起码的条件,之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面我们提到的变形(一)的问题了,我们也就可以用插板法来解决。 【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法? 解析: 编号1:至少1个,符合要求。

第一章计数原理(复习教案)(学生)

第一章 计数原理复习导学案 一. 学习目标 1.掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题. 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数性质,并能用它们解决一些简单的应 用问题. 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 二. 知识网络 项式系数性质 第一课 两个原理 一.知识梳理 1. 分类计数原理(也称加法原理) :做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法 中有 m 1种不同的方法,在第二类办法中有 m 2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = 种不同的方法. 2.分步计数原理(也称乘法原理) :做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m 1种不同的方法,做第二步有 m 2种不同的方法,??,做 n 步有 m n 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N = 种不同 的方法. 3.解题方法:枚举法、插空法、隔板法. 二.基础自测 1. 有一项活动需在 3名老师, 8 名男同学和 5名女同学中选人参加, (1)若只需一人参加, 有多少种不 同的选法? ( 2 )若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法? 3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法? 2. ( 09重庆卷)将 4名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分 配方案有 种(用数 字作答) . 3. 如图所示,用五种不同的颜色分别给 A 、B 、 C 、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同 排列组合 二项式定理 二项式定 通项公式 应用 应用 两个计数原理

计数原理(公开课)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 熊向前208班 【教材分析】“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容,教学需要安排4个课时,本节课为第1课时.两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据,更是处理计数问题的两种基本思想方法,在本章中是奠基性的知识.两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身.从数学本质的角度看,以退为进,以简驭繁,是理解和掌握两个计数原理的关键,运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂. 【学情分析】在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时,已学会了用列举法解决最简单的计数问题;同时在学习和生活中,学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题,这些都是学生学习两个计数原理的认知基础.两个计数原理虽简单朴素,易学好懂,但如何让学生借助已有的数学活动经验,抽象概括出两个计数原理,并领悟其中重要的数学思想方法,则是本课必须要突破的难点.为此,抓住以下两个要点尤为重要:一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程,加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机;二是要在解决问题的过程中,始终突出两个计数原理的核心要素,即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键. 【教学目标】知识与技能:理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.过程与方法:通过诱导,探索得出结论,培养学生的理解能力和抽象概括能力;通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力.情感、态度与价值观:通过实例引入体会数学来源生活,并为生活服务,激发学生学习本章的兴趣;通过探索与发现的过程,使学生体会数学研究的成功与快乐,学会提出问题、分析问题、解决问题,激发学生勇于探索,敢于创新的精神,优化学生的思维品质. 【教学重点】归纳出两个计数原理,并能初步用其解决一些简单的实际问题. 【教学难点】准确区分“分类”和“分步”. 【教学方法】本节课是概念原理课的教学典范.采用问题式教学为主,辅以启发式、探究式、自助式、讨论式的教学方式. 【教学用具】粉笔、多媒体等. 【教学过程】 1.创设情境,提出问题 “日”字加一笔能够组成多少个常见的汉字?(田、申、甲、由、电、旧、旦、白、目共9个.)我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题.生活中还有很多计数问题,如:(1)座子上有多少本书?(2)教室里面坐了多少个人?(3)从甲、乙、丙中选一个人当班

2021-2022年高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.1排列组合专用题组理新人教B版

2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.1排列组合专用题 组理新人教B版 考点排列、组合 18.(xx安徽,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ) A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4 答案 D 由题意及=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D. 评析本题考查了计数原理等知识,考查学生应用数学知识,分类讨论思想,利用符号标记具体分析是顺利解题的关键. 19.(xx陕西,8,5分)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 答案 C 按比赛局数分类:3局时有2种,4局时有2种,5局时有2种,故共有2+2+2=20种,选C. 评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了分类讨论的思想方法.

20.(xx北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种. 答案36 解析记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,共有=2×6×3=36种不同的摆法. 21.(xx浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答). 答案480 解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排在C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种. 22.(xx北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是. 答案96 解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4=96. 评析本题主要考查排列组合问题,“5张参观券分成4份,且2张参观券连号的分法有4种”是解题的关键,审题不清楚是学生失分的主要原因. 23.(xx北京,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位

选修2-3第一章计数原理教材分析

选修2-3第一章:“计数原理”教材分析与教学建议 一、地位与作用 计数问题是数学中的重要研究象之一,分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活,有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。 二、本章重点、难点 1.重点:(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理;(2)排列与组合的意义;(3)排列数公式与组合数公式;(4)二项式定理。 2.难点:(1)如何利用原理和有关公式解决应用问题。 三、课程标准 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 2.排列与组合 通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题。 3.二项式定理 能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。四、教学安排与课时分配 这部分的内容与《大纲》没有太大的区别,在处理方式上,相对于排列、组合来说,《标准》更强调基本的计数原理,而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。就计数原理本身而言,《标准》强调对计数思想的理解, 两个版本相比,A版更加注重体现课标的精神,比如:从内容编排上看,非常强调基本计数原理的思想及其应用,第一节安排了有梯度的9个例题,计划用4课时,让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用,而同样内容B版为3个例题,2课时;注重学生对新概念、新公式的探究。 避免抽象的讨论计数原理,而且强调计数原理在实际中的应用。教学用时比《大纲》少了4课时。 六、教材分析 (一)计数原理 1.分类加法计数原理 (1)原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法.

计数原理教材分析

选修2-3第一章《计数原理》教材分析 计数原理是数学的重要研究对象,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合,属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识,它不仅有着许多直接应用,是学习概率理论的准备知识,而且由于其思维方法的新颖性与独特性,它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材.作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理,不仅使前面组合等知识的学习得到强化,而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 一、内容分析 1.本章从学习加法原理和乘法原理开始,应该说,这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位;其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式,实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终:当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时,用的是加法原理;当将它通过分步进行分解时,用的是乘法原理在此基础上,研究排列与组合,运用归纳法导出排列数公式与组合数公式,并提出组合数的两个性质,以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫随后研究的二项式定理,在本章中起着承上启下的作用:它不仅将前面的组合的学习深化一步,而且为学习后面的独立重复试验,二项分布作了准备 2.排列、组合是两类特殊而重要的计数原理,而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.教材从简化运算的角度提出排列和组合的学习任务,通过具体的实例得出排列和组合的概念、排列数公式、组合数公式及其在解决问题中的应用. 3.二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程,教材主要是运用组合数两个性质推导出二项式定理,同时通过对二项式系数的性质的学习,深化对组合数的认识. 二、教学要求 1.掌握加法原理与乘法原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数计算公式,并能用它们解决一些简单的应用问题

基本计数原理的综合应用

基本计数原理的综合应用 1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.又称加法原理. ⑵乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法.又称乘法原理. ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示. 排列数公式:A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘: 正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=. ⑵组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合. 知识内容

相关文档
相关文档 最新文档