勒洛三角形

勒洛三角形

和圆一样的三角形

你相信么，有一种“三角形”能够像圆一样，当做轮子用。这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形。这种三角形常出现在制造业中，无数奇怪或者常用的东西，按照它的样子被造出来。

以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形（reuleaux triangle ），也称鲁洛三角形。

勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现的，并以他的名字命名的。

定宽曲线和定宽性

定宽曲线的概念：具有（类似圆的）定宽性的曲线称为定宽曲线。

定宽性，几何上的理解是：将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切。则可以做到：无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切。

勒洛三角形就是典型的定宽曲线。

把三个等半径的圆重合起来，两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，或者其发现者所称的“曲边三角形”。

勒洛三角形的应用

勒洛三角形和它的一干定宽曲线兄弟们都具有很多有趣的特性，其中最重要的就是他们的定宽性。使用截面是定宽曲线的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动。实际上，这样的装置在很多科技馆都能看到。另外定宽曲线还有一个有趣的性质，就是宽度相等的定宽曲线有相同的周长，所以等半径的圆形滚木转过一周的时候，勒洛三角形的滚木也恰好转过一周。

应用上面滚木的原理，可以制造出许多有趣的小玩意。例如，我国劳动人民就充分发挥聪明智慧制造了一辆利用等宽曲线的角轮自行车，据说已经成功申请专利了。

在汽车工业上，汽车制造商把等宽曲线应用到了汽车核心的部分----发动机里。例如马自达公司的转子发动机。其实，早在20世纪50年代，德国工程师汪克尔就制造出了第一台转子发动机的样机，因此这种发动机又叫做汪克尔发动机。

在美国旧金山，有一些市政检修井井盖的形状就是勒洛三角形，其最大优点是这种形状的井盖绝不会掉到井里去。

此外，一种基于鲁洛三角形的变体的设备，它能钻出方孔来，其“方度”非常之好。

大约就是下图的三角形三边上的三段圆弧构成的就是勒洛三角形。

几何初步与三角形知识点与对应习题

初三数学寒假课程（6） 教案编写日期:2012.01.11 课程教授日期:2011.01.29 应到人数: 18 实到人数: 授课课题: 几何初步与三角形授课人： 教学目标:掌握几何基本概念以及三角形的相关内容 教学重难点: 重点：三角形的性质 难点：特殊三角形的综合运用 教学过程： 一、知识点例题讲解 一、相交线与平行线 1.线段，射线，直线，延长线 （1）两点之间，线段最短. （2）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线. （3）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线. 提示：直线、射线、线段的区别主要看端点个数，直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点. （4）过N个点可以最多画几条直线 （5）无图线段长度的两边两种情况，例，线段AB长5，AC=2,则CB=多少，两种情况2.角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角；大于00小于直角的角叫做锐 角. 提示： 1周角=2平角=4直角=360°； 1平角=2直角=180°；1直角=90°； 1度=60分=3600秒（即：1°=60ˊ=3600"）； 1分=60秒（即：1ˊ=60"）. 1．时钟的分针从3点整的位置起，经过多长时间时针与分针第一次重合？ 3.角的特殊关系 互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角. 互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角. 互为邻补角：两条直线相交得到的四个角中，有一条公共边的两个角，叫做互为邻补角. 提示：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 4.角平分线 5.对顶角 6.平行线概念，平行的判定，性质 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： （1）同位角相等，两直线平行。

《三角形的认识》精品教案

《三角形的认识》精品教案 一．教学内容 苏教版四年级数学下册三角形的特点。 二．教学目标 1. 通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特点及三角形高和底 的含义，会在三角形内画高。 2. 培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 3. 体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。 三．教学重点 1.认识三角形，知道三角形的特点 2.掌握三角形高和底的含义，会在三角形内画高 四．教学难点 会在三角形内三条边上画高。 五．教学过程(1) 三角形的特点 1. 联系生活情境导入 生活中有哪些物体，哪些现象是三角形形状的呢？ 2. 导入新课 为什么生活中这些物体要制成三角形形状的呢？究竟它有什么特点?这节课我们将对它进行深入的研究。 3. 操作感知，理解概念 (1) 画出一个自己喜爱的三角形。说一说三角形有几个顶点、几条边、几个角，让学生 在自己画的三角形上尝试标出边、角、顶点。 (2) 观察三角形特点，概括三角形的定义 (3)老师总结：三角形是由三条线段围成的封闭图形。 (4)练习：判断下面这些图形是不是三角形？ (5)试一试：方格纸上有4个点。从这4个点中任选3个作为顶点，都能画一个三角形吗？ 对比观察：在同一条直线上的三个点不能画一个三角形。

五．教学过程(2) 三角形的高 1. 观察人字梁图 （1）人字梁的高度可以用哪条线段来表示？ （2）这条线段与横梁有什么关系？ 2.认识三角形的高与底 （1）从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线。 组织学生再画一个三角形，并从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线。 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 （2）在三角形上表明高和底。 强调：通常画高时用虚线，还要表明垂直符号。 （3）议一议：三角形会有几条高呢？ 组织学生在小组中议一议，动手画一画，并互相交流。 三角形有三个顶点，所以每个顶点都可以向对边作高，所以任意一个三角形都有三条高。 注意：当对边不够长时，可画虚线延长。 3.活学活用—做出下面三角形每个高 教师课件出示三角形高的集中情况。 组织学生观察，说说有什么发现，在小组中交流： 图（2）三角形的两条直角边就是它的2条高，所以它只需作1条高。

三角形常见的辅助线

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常 是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等 应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 线段AM 与DE 的数量关系是 （2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改 变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图,

动点直角三角形问题的解法

“动点直角三角形问题”的三种解法 李永红 中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”. 一、例题分析 例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1. （1）求点C 的坐标； （2）若抛物线22 12++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C . （2）①将点C 的坐标代入22 12++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为22 1212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）： 如图2，易求得直线AC 的解析式为2 121+-=x y . 由??? ????++-=+-=2212121212x x y x y 解得???=-=11y x 或???-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为 )1,1(-. 设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=2 1，将点

)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为 221--=x y .由??? ????++-=--=221212212x x y x y 解得???-=-=12y x 或???-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-. 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）： 如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ， 易证DA P 1?∽AOB ?，∴OB AD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴22 1212++-=m m n .由??? ????++-=-=2212121212m m n m n 解得???=-=11n m 或???-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-. 过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ?∽AOB ?，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ?∽AOB ?，可求得点3P 的坐标为)4,4(-； 综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22 121,(2++- m m m P ，使ABP ?是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ， ,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42 121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、 +2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解. 例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ?为直角三角形，请求出点Q 的坐标.

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

几何基础图形——三角形的认识

几何基础图形——三角形的认识 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．． 连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．． . 表示法及读法： 三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”． ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示． 顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b （AC ） 顶点C 的对边c （AB ） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ,,A B C ∠∠∠是三 角形的内角 c b a C B A 思路导航 知识互联网 题型一：三角形的边 A B C

三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角. 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 三角形三条边的关系 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边. 即a 、b 、c 三条线段可组成三角形?b c a b c -<<+?两条较小的线段之和大于最大的线段. 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线 段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． a c b +> ||a c b -<, a b c +> ||a b c -<, b c a +> ||b c a -< 【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值 直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 A B C a b c 例题精讲 三角形（按角分类） 直角三角形：三角形中有一个内角是直角 斜三角形 锐角三角形：三角形中三个内角都是锐角 钝角三角形：三角形中有一个内角是钝角 三角形（按边分类） 不等边三角形：三条边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形：有两边相等的三角形 等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形 锐角三角形

三角形的认识

【教学内容】 国标版四年级（下册）第22～25页。 【教学目标】 1．在观察、操作、分析、讨论等活动中，了解三角形的各组成部分，感受并发现三角形的三边关系； 2．在探索活动中提高观察能力、推理能力，并发展空间观念。 【教学重、难点】 理解三边关系。 【教学过程】 一、初步认识三角形。 1．举例：生活中哪些物体的面是三角形的？ 2．认识三角形的各部分名称 （1）回忆：我们已经初步认识了三角形，关于三角形你已经知道了什么？ （2）补充：顶点 3．揭题：三角形还有什么特点呢？今天这节课我们就来深入地研究三角形。二、探索三边关系。 1．理解“围成”的含义。 （1）提问：围一个三角形就要用到几根小棒？ （2）生围 （3）小结：相邻两根小棒的头和头相连了，就说是围成了三角形。 （4）质疑：三根小棒是不是一定能够围成三角形呢？ （5）小组合作研究 （6）交流：有时三根小棒能围成三角形，有时不能围成三角形。 2．探究第一个条件： （1）质疑：为什么有时能够围成三角形，有时却不能围成三角形呢？ （2）讨论：红、黄两边的长度要符合怎样的条件，才能和蓝边围成三角形？ （3）交流并检验 （2）小结：要围成一个三角形，红边和黄边的长度和就必须要大于蓝边。 3．探究第2个条件。 （1）固化条件1：4组判断 （2）质疑：蓝边10厘米，红边3厘米、黄边15厘米能围成三角形吗？ （3）操作并得第2个条件：要围成三角形，红和黄的长度和要比黄边长。 4．探究得第3个条件： （1）设疑：会不会有了这两个条件还不够？还要满足其他的条件？ （2）讨论并验证 （3）小结：还要符合第3个条件，黄边和蓝边的和要大于红边。 5．形成结论。 （1）问题：要围成一个三角形，三条边要同时满足几个条件？

三角形常见的辅助线Word版

D C B A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. A

应用：1、（09崇文二模）以 ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图①当 ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC，AD平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC C D B A

1.1 认识三角形

1.1 认识三角形 教学目标 (一)进一步认识三角形的概念. (二)会用符号、字母表示三角形. (三)了解三角形的按角分类 (四)理解“三角形任何两边之和大于第三边”的性质. 学情分析 三角形是最简单、最基本的几何图形,是我们在小学就已经熟悉的图形,在生活中随处可见,是构造较为复杂图形的基础。学生在学习了图形的初步认识后安排了本教材的内容,它既是对以前知识的进一步应用和深化,同时也为学生以后观察几何图形,初步建立空间观念做了很好的铺垫。教材安排了让学生动手做三角形,使学生在动手中体验发现问题,提出问题,并解决问题的过程,体会到学习数学的乐趣。 重点难点 重点:三角形任何两边的和大于第三边的性质. 难点:判断三条线段能否组成三角形,过程较复杂. 情境创设，引入新课 请学生带着一个谜语(三个头,尖尖角,我们学习少不了)欣赏一组图片,引出课题。 三角形的概念提出 1.教师给每组学生准备3条白纸带,让学生动手拼一个三角形,并展示在黑板上,并说说是怎么拼出来的?概括出“三角形”的概念(可由学生完成,教师加以完善)“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。” 2.在拼三角形的同时,有2组同学的纸带因为长度不符合组成三角形的条件,所以没办法拼出三角形的,就让他们把不完整的三角形也展示在黑板上,引导学生发现问题“为什么这样的三条纸带不能拼出三角形?” 设计意图:让学生在动手拼三角形的过程中体验三角形的概念的得出,安排2组学生不能拼出三角形,为后面“三条线段满足任何两边之和才能组成三角形”做铺垫。

三角形的表示． 1.为了区分黑板上的四个已经拼出的三角形,我们可以给每个三角形取个名字,怎么表示?选择第一组的三角形为例,示范三角形的表示方法,符号表示“△ABC”,记作△ABC,读作“三角形ABC”。 2.请另外三组的学生为自己的三角形取上名字,并表示在黑板上。 设计意图:让学生明白三角形命名的意义,并让他们为自己拼出的三角形命名,体验到从中的快乐。 三角形的三要素 顶点,内角,和边(边的两种表示方法),说清楚对边和对角之间的关系。 应用结论，拓展提高 帮小慧解决一个实际问题:小慧要做一个三角形,现有5cm和8cm的木棒, (1)她用长度为2cm的木棒与它们能做成三角形吗?为什么?(2)用长度为13cm的木棒呢?(3)你认为小慧需要准备多长的木棒才可以呢?(4)如果要求第三根米棒的长度是奇数,那么小慧有几种选择?由学生回答完成。 设计意图:让学生体验到能用所学的知识来解决实际问题的快乐感和满足感。 归纳小结，充实结构。 这节课我学到了什么? 我的收获是……多个学生补充回答 我还有……的疑惑,写在学习稿的后面部分

小学数学《三角形的认识》教学案例

小学数学《三角形的认识》教学案例 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 《新课程标准》强调发展学生的推理能力，主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。这也就是要求学生具有一定的辨析能力。 所谓辨析，就是辨别与分析。在对知识概念辨别、对比，对正反例进行论证的基础上进行分析、归纳，得出结论、获取新知。 在《三角形的认识》这一课中，我注重为学生创设情境，提供多个正反事例，让学生在辨析的过程中不断修正，得出三角形的概念。在学习三角的种类时，我又创设一个游戏情境，采用游戏的形式，让学生对刚学的知识进行辨析，从而达到巩固新知的效果。 下面摘录了我在上《三角形的认识》这一课中最能体现培养学生辨析能力的三个片断，并进行简单的分析。 [片断一] 导入新课后…… 师：我们平时常常见到三角形，谁能用自己的话

说说什么是三角形呢？ 生：有三条边的图形是三角形。 师随手画了一个图形问：这个是三角形吗？ 生：不是 师：为什么不是呢？ 生：因为它的边都出头了，三角形的三条边是不能出头的。 师：那到底什么是三角形呢？ 生：有三个角的图形叫做三角形。 师：是不是所有有三个角的图形都是三角形呢？谁能举出一个反例？ 学生思考了一会，有一名学生举起了手，教师请他到黑板上将图形画出来。 生画： 师：这个图形也有三个角，那它是三角形吗？为什么？ 生：不是三角形，因为它有一条边是弯的，而三角形的三条边都是直的。 师：所以这种说法也不完整，到底什么是三角形呢？ 生：有三个顶点的图形是三角形。 这时不用老师问，学生中已经有人又有不同意见

常见三角形辅助线口诀

初二几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。 由线段和差想到的辅助线 五、截长补短法 AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。 由中点想到的辅助线 一、中线把三角形面积等分 如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 分析：利用中线分等底和同高得面积关系。 二、中点联中点得中位线 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。 三、倍长中线 如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

三角形常见辅助线练习题

三角形常见辅助线作法练习题 １如图:D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD ＋DE+CE 、 2如图:已知D 为△ABC 内得任一点,求证:∠ＢDC>∠ＢA Ｃ。 3如图:已知AD 为△ABC 得中线,且∠1＝∠2,∠３＝∠４,求证:B Ｅ＋CF>EF 4如图:ＡD 为 △ABC 得中线,求证:AB+AC>2AD 5已知△ＡBC,A Ｄ就是B Ｃ边上得中线,分别以AB 边、A Ｃ边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证ＥＦ=2AD 。 6如图:在△ＡB Ｃ中,AB>AC,∠1=∠２,P 为A Ｄ上任一点、求证:ＡB －ＡC ＞ＰＢ-PC 。 7如图:在Ｒｔ△A ＢC 中,A Ｂ=AC,∠B ＡC=9０°,∠1＝∠２,CE ⊥B Ｄ得延长于E 。求证:ＢＤ＝2ＣE

A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E ８已知:AB=４,AC ＝2,D 就是BC 中点,A Ｄ就是整数,求AD 9已知:B Ｃ＝DE,∠Ｂ=∠E,∠C ＝∠Ｄ,F 就是CD 中点,求证:∠1＝∠２ 10已知:∠１=∠2,CD=ＤＥ,ＥF/／AB,求证:EF=AC 11已知:AD 平分∠ＢAC,AC=ＡB+B Ｄ,求证:∠B=2∠Ｃ 12已知:ＡC 平分∠BA Ｄ,ＣE ⊥AB,∠B ＋∠D=１80°,求 证:AE=A Ｄ+ＢＥ 13、 如图,四边形A ＢＣD 中,ＡB ∥D Ｃ,ＢＥ、CE 分别平分∠ＡBC 、∠BCD,且点E 在AD 上。求证:B Ｃ＝AB+DC 、 1４。如图,已知∠Ａ=∠D,ＡB ＝D Ｅ,AF ＝ＣD,ＢＣ=EF 、求证:BC ∥EF 15:如图,ΔABC 中,AB=AC,E 就是AB 上一点,F 就是AC 延长线上一点,连ＥF 交BC 于Ｄ,若ＥB=C Ｆ。 求证:D Ｅ＝D Ｆ。 16:△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠ＢAC 交ＢC 于P,BQ 平分∠AB Ｃ交AC 于Q,求证:AB+BP ＝BQ+AQ 。 1７.如图5,在四边形ＡBCD 中,已知BD 平分∠ABC,∠A+∠C=180°.证明:AD=ＣD. A D B C C D B A D A C B

初一几何三角形练习题及答案

初一几何---三角形 一.选择题 (本大题共 24 分) 1.以下列各组数为三角形的三条边，其中能构成直角三角形的是（） （A）17，15，8 （B）1/3，1/4，1/5 （C) 4，5，6 (D) 3，7，11 2.如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（） (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形 3.下列给出的各组线段中，能构成三角形的是（） (A)5，12，13 (B)5，12，7 (C)8，18，7 (D)3，4，8 4.如图已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AE=AC，连接DE，则下列结论中，不正确的是（） (A) DC=DE (B) ∠ADC=∠ADE (C) ∠DEB=90°(D) ∠BDE=∠DAE 5.一个三角形的三边长分别是15，20和25，则它的最大边上的高为（） （A）12 （B）10 （C) 8 (D) 5 6.下列说法不正确的是（） （A）全等三角形的对应角相等 （B）全等三角形的对应角的平分线相等 （C）角平分线相等的三角形一定全等 （D）角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 7.两条边长分别为2和8，第三边长是整数的三角形一共有（） (A)3个(B)4个(C)5个(D)无数个 8.下列图形中，不是轴对称图形的是（） （A）线段MN （B）等边三角形（C) 直角三角形(D) 钝角∠AOB 9.如图已知：△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D，此图中全等的三角形共有（） (A)2对(B)3对(C)4对(D)5对 10.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（） (A)125°(B)135°(C)145°(D)150°

数学教案-三角形的认识_教案教学设计

数学教案－三角形的认识 教学目标1．使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特征和特性，能按角的不同给三角形分类．2．培养学生观察能力和动手操作能力．教学重点正确认识三角形及其分类．教学难点正确掌握画三角形高的方法．教学过程一、联系生活，课前调查．课前调查：找一找，生活中有哪些物体的外形或表面是三角形？请收集和拍摄这类的图片．二、创设情境，导入新课．1．让学生说说生活中见到的三角形．投影展示：学生展示收集到的有关三角形的图片．2．出示下图： 3．导入新课．教师导入：看来生活中的三角形无处不在．关于三角形你还想了解它什么？整理学生发言，并提出以下学习目标：（1）什么叫三角形？（2）三角形有哪些特征？（3）三角形具有什么特性？（4）三角形怎样分类？今天我们就一起来认识三角形．（板书课题：三角形）三、师生互动，引导探索．1．教学三角形的意义．（1）教师：请同学们拿出三根小棒，如果把每根小棒看做是三角形的一条边，你们分组摆一摆，并互相交流一下，知道了什么？（2）继续演示课件“三角形”．教师：看一看哪组和你摆的一样，它们是三角形吗？（3）分组讨论：如果我们摆三角形用的三根小棒看作三条线段，那么什么样的图形叫做三角形呢？（4）教师演示三根小棒是怎样摆的，从而使学生知道一根接着一根连在一起的，随后明确这是围成的．（板

书：围成）（5）揭示概念．教师启发同学互相补充，口述三角形的含义．（教师板书）（6）练一练：继续演示课件“三角形”．2．教学三角形的特征：（1）自学：①三角形各部分名称叫什么？②三角形有几条边、几个角、几个顶点？（2）继续演示课件“三角形”出示三角形各部分名称．教师提问：什么叫三角形的边？三角形有几条边？同桌讨论：这些三角形都有哪此共同的特征？引导学生用一句话概括三角形的特征．（3）结合手里三角形学具、边摸边说出它的特征．3．三角形的特性．（1）用三角形木框实验．学生尝试：让学生用手拉一拉这个三角形，感觉怎么样？你发现了什么？同桌互相拉一拉．引导学生得出结论：三角形的木框不易变形．提问：为什么这些部位要制成三角形呢？（2）实验：出示三角形、平行四边形（用木条钉成的）教具，让学生试拉一拉它们．感觉如何？你发现了什么？提问：要使平行四边形不变形，应怎么办？（加一条边构成一个三角形）（3）揭示特性．（4）师小结：房架、自行车架等之所以制成三角形的其中很重要的一个原因是利用了三角形的稳定性，使其结实耐用．（5）你还能举例子说明吗？4．三角形的分类．（1）让学生任意画一个三角形（或剪一个三角形）（2）对三角形进行分类．①学生猜测：三角形按角的特点可以分为哪几类？②教师揭示：通常我们根据三角形角的特点分成三类．分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．③小组讨论：你画或剪的三角形属于哪一类？找同学代表把三角形贴在

解直角三角形的基本类型及其解法公式

解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结） 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边（如a ，b ） 由tan A ＝a b ，求∠A ；∠B ＝90°－A ， c ＝ 2 2b a + 斜边，一直角边（如c ，a ） 由Sin A ＝a c ，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝b cosA cosA 锐角，对边 （如∠A ，a ） ∠B ＝90°－A ，b ＝a tanA ，c ＝a sinA 斜边，锐角（如c ，∠A ） ∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1）利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α＝1 x ι ，tan β＝2x ι ι＝a ·tan α·tan βtan α＋tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α＝ x a +ι tan β＝ x ι ι＝a ·tan α·tan β tan β－tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h ＝2 1a a ，h ＝231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h

初中几何三角形五心及定理性质

初中几何三角形五心定律及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称 重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 垂心定理 图1 图2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 推论： 1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1） 2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1） 3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2） 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4

几何三角形专题练习

第21课时 线段、角、相交线与平行线 一、选择题 1．( 2008年杭州市) 设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α, 则( ) A ． 900<<α B ． 900≤<α C ． 900<<α或 18090<<α D ． 1800<<α 2．已知：如图，∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB ?上有一点P ，从P 点射出一束光线经OA 上的Q 点反射后，反射光线QR 恰好与OB 平行，则∠QPB ?的度数是（ ） A ．60° B ．80° C ．100° D ．120° 3．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线L 与AC 成60°的角，?在直线L 上取一点P ，使∠APB=30°，则满足条件的点P 共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 4．（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 5．学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 二、填空题 6．一副三角板，如图叠放在一起，∠α的度数是 度． 7．如图，AB ∥CD ，若∠ABE=120?°， ∠DCE=?35?°，?则有∠BEC=_______度． 8．如图，地面上有一个钟，钟面12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指位 图6 第２题图 第３题图 第４题图 第６题图 第７题图 第８题图 1 2 3

三角形的认识及特征

尊敬的评委老师: 您好！ 我是今天（）号考生，我说课的题目是《三角形的认识及特征》（板书课题）。下面我将从教材分析，学情分析，教法学法，教学过程，板书设计五个方面展开说课。 一、首先说教材分析。 《三角形的认识及特征》是青岛版教材四年级下册第四单元信息窗一的内容，属于图形与几何的领域。在此之前，学生们在一年级已经初步认识了三角形，本节课在初步认识三角形的基础上进一步研究了三角形的特征和三角形的各部分名称及三角形的底和高，也为以后学习三角形的面积打下了基础。因此，本节内容在整个教材中起到了承上启下的重要作用，具有不容忽视的重要地位。 教材是知识的载体，学生才是学习的主人，四年级是学生具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，学生注意力的目的性增强，思维活跃，动手能力极强，并且具有了一定探索合作的能力。 基于以上分析，遵循“数学教学要着力于学生全面发展”的重要理念，我制定如下教学目标： 一，知识与技能：通过观察实验的过程认识三角形，体会三角形的稳定性。认识三角形的各部分名称及底和高。 二，过程与方法：能根据三角形的角的特点辨认和区分三角形的类型，初步渗透集合思想。 三，情感态度价值观：能联系生活实际运用所学知识解决问题，使学生体会数学与生活的密切联系。 其中，教学重点是掌握三角形的特征及认识三角形的各部分名称，难点是找出

三角形的底边对应的高。 为了突出重点，突破难点，使学生能够达到本节课的教学目标，接下来我从教法和学法上来谈一谈。 二、接下来说教法学法。 英国教育家瓦尔德说过，平庸的教师只是叙述，好的教师讲解，优异的教师示范，伟大的教师启发。所以我会向伟大的教师学习。本节课重点采用启发式教学方法。四年级的学生也已开始由被动的学习主体向主动的学习主体转变。故此，自主探索与合作交流是其学习数学的重要方式。再者，我会采用多媒体课件进行教学，通过直观演示加深学生对知识的理解，并给学生充足的时间，开展探究性学习，让学生积极主动获得新知，体会到学习的乐趣。。 各位评委老师，课堂是教学的主阵地，为了把自己的目标付诸实践，更好地体现数学课程的理念，突出学生的主体地位，下面我重点说一下教学过程。 三、下面我重点说教学过程。 结合教材和四年级学生的猎奇心强，注意力也增强等特点，我将本节课设计为以下四个教学环节： 第一个环节：创设情境，提出问题。 数学来源于生活，生活化、活动化的情景更容易激发学生的学习兴趣和问题意识。上课开始后，我会大屏幕显示同学们制作自行车车架的情景，请学生仔细观察，我会问：同学们，你可以发现哪些数学信息？又可以提出哪些数学问题呢？学生可能会提出为什么车架做成三角形的问题。由此设疑，引入新知，展开本节课的教学。 教学进入第二个环节：自主探究，合作交流。 布鲁纳曾说过:“探究，是数学的生命线，没有探究，便没有数学的发展。”

初中数学三角形辅助线大全(精简、全面)

三角形作辅助线方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 任一点，求证：∠BDC＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE＋CF ＞EF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E C B A