试根法

综合除法与因式分解

综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一

多项式的一个因式。

用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x^2+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)

有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．例分解因式3x^3-4x^2-13x-6

∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).

说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．

(2)因式可能重复．

综合除法的办法

另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助

比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）将x-1的常数项-1做除数

将被除式的每一项的系数列下来由高幂到低幂排列缺项的系数用零代替将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减-3写在横线下（补：若是用x-1=0的解即取x=1作为除数则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...

直到最后一项得0

所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1 0

横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式

这里商式是3x^2-3x+1，余式是0

-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1

（-）┃-3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1

┗━━━━━ ┗━━━━━

3 -3 1 |0 -3 1 |0

又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）

1┃4 -3 -4 -1

┃ 4 -7 3

┗━━━━━

4 -7 3|-4

所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4

商式是4x^2-7x+3，余式是-4

注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法

试根法

即猜根法，是用来试探性地求解一元三次方程的方法

一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决(试根法适用于整系数多项式的因式分解) 。

方法：

若有整系数多项式anx^n+……+a1x+a0

则记f(x)=anx^n+……+a1x+a0

分别列出最高次项系数an的约数和常数项a0的约数，把这些数分别相除，就能得到f(x)=0可能的根，代入f(x)检验，若f(a)=0，则最后多项式必含有因式(x-a)，再用综合除法得到剩下的因式

如：4x^3-12x^2+6x+4

设f(x)=4x^3-12x^2+6x+4

最高次项系数的约数为±1、±2、±4

常数项的约数为±1、±2、±4

则可能的根为±1、±2、±4、±1/2、±1/4

检验得f(2)=0

综合除法：(4x^3-12x^2+6x+4)/(x-2)=4x^2-4x-2

若只分解到有理数则4x^3-12x^2+6x+4=(x-2)(4x^2-4x-2)

试根法原理

整系数多项式anx^n+……+a1x+a0，若r/s是它的有理根（r,s互质），那么s整除an,r整除a0

(完整版)因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+

题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--

因式分解公式法、十字相乘法教师版

2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

《因式分解-公式法》教学设计1

14.3.2 公式法因式分解 班级： 姓名： 学号： 学习目标： 1、熟练掌握公式法，并能灵活选择平方差公式进行因式分解。 2、通过独立思考、小组讨论,进一步体验“整体的 思想”。 3、培养主动参与学习、认真严谨的学习态度。 学习重点:用公式法进行因式分解 学习难点:对平方差公式结构的理解以及灵活运用公式。 学习过程： 一、复习反馈 1、什么叫因式分解？ 。 2、计算：①(x+2)(x-2)=_________。把等号左右两边互换得 。 ②(y+5)(y-5)=_________。把等号左右两边互换得 。 思考:你能将多项式2x - 4与多项式2y -25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗? 二、引导探究 平方差公式 22b -a b -a )(b a =+） （ 把等号两边互换位置变形平方差公式得 语言描述：即两个数的 ,等于这两个数的 与这两个数的 的积。 平方差公式进行因式分解：2a - 2b =(a+b)(a-b) 1、因式分解。 ① 2x -1=________ 。 ② 9 - 2t =________。

2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①2x+2y②2x-2y ③-2x+2y④-2x-2y 思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ 三、巩固精炼 例3 分解因式: (1) 42x–9 (2) 2 （+ x q） x–2 p） （+ 你能仿照例3完成下面的题目吗？ 练习：比一比，看谁做得快！ 2、把下列各式分解因式。 (1)2m-4 (2) 2 4x-25 (3) -2y4+ 2x(4) 22） x-9 （+

3、课堂升华 例4 分解因式: (1)4x -4y (2) b a 3 – ab 练习：我能行！（小组合作比赛） 4、分解因式。 （1）2a - 2b 25 1 ; (2) 29a -24b ; (3)4y -y x 2; (4) 4a - +16. 四、课外拓展 1、用平方差公式进行简便计算: （1）1022-22 （ 2） 992-12

因式分解 公式法(一)

因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？

练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2

因式分解公式法(1)练习卷

公式法（1）练习卷 一、选择题 1.因式分解x2-4的结果是（） A．x（x-4）B．x（x-2）2C．（x-2）（x+2）D．x（x+2）2 2.将x2-16分解因式正确的是（） A．（x-4）2B．（x-4）（x+4）C．（x+8）（x-8）D．（x-4）2+8x 3.下列各式中可用平方差公式分解因式的是（） A．-a2b2+16 B．-a2b2-16 C．a2b2+16 D．（ab+16）2 4.因式分解x2-9y2的正确结果是（） A．（x+9y）（x-9y）B．（x+3y）（x-3y）C．（x-3y）2D．（x-9y）2 5.若x2-y2=30，且x-y=-5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．-6 D．-5 6.下列各式能用平方差公式分解因式的有（） ①x2+y2；②x2-y2；③-x2-y2；④-x2+y2；⑤-x2+2xy-y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 7. 下列各式中，能用平方差公因式分解的是（） A．x2+x B．x2+8x+16 C．x2+4 D．x2-1 8.现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017 二、填空题 9.把9m2-36n2分解因式的结果是． 10.分解因式：9a2-b2= ． 11.248-1能被60～70之间的两个整数整除，这两个整数是． 12.若x+y+z=2，x2-（y+z）2=8时，x-y-z=． 13.分解因式：x2-（x-3）2= ． 14.若x2-4=（x-2）（x+a），则a=． 15.若a2-b2=9，a+b=9，则a-b= ．

因式分解公式法

知识点一：因式分解的概念 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；知识点三：方法及典型例题一、直接用公式:当所给的多用公式法分解因式。 例1、分解因式： 1）x2-9； :当所 分解因式： 1）x5y3-x3y5； :当 ,转换为 分解因式： 2-25y2; :通过方式的形式,然后利公式 再分解为止. 例4、分解因式: (1)x4-81y4;

五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式： （1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） (A)22x y + (B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ＢＤ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42819x x --，， Ａ．3x - Ｂ．(3 x +11、把下列各式分解因式． （1）249x -； （2）4 220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式．

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：

结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；

公式法分解因式经典练习题分类汇编

【基础知识】公式法分解因式 （1）平方差公式： a 2－b 2 ＝ . （2）完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝ . a 2－2ab ＋b 2＝ . （3）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+. （4）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++. 【题型1】利用平方差公式分解因式 分解因式：(1)4x 2－y 2； (2)－16＋a 2b 2； (3)x 2100－25y 2； (4)(x ＋2y)2－(x －y)2. 【变式训练】 1.分解因式 (1)4a 2－y 2； (2)x 2y 4－49； (3)4a 2－(3b －c)2； (4)(x ＋y)2－4x 2； (5)x 4－16； (6)(4x －3y)2－25y 2 (7)25(a ＋b)2－4(a －b)2； (8)9x 2－(2x －y)2；(9)(a ＋b)4－(a －b)4 ； (10)(2x ＋y)2－(x －2y)2； (11)9(a ＋b)2－16(a －b)2； (12)9(3a ＋2b)2－25(a －2b)2． 2.分解因式 (1)a 3－9a ； (2)3x 2－12； (3)8m 3－2m ； （4）12 m 2n 2-8； （5）3 1a 2b 2-3.

(6)3m(2x －y)2－3mn 2； (7)(a －b)b 2－4(a －b)； (8)x 2-y 2-3x-3y ； (9)a 2（a-b ）+b 2 （b-a ）. 【题型2】完全平方式 已知x 2＋kxy ＋16y 2是一个完全平方式，则k 的值是 . 【变式训练】 1.下列式子为完全平方式的是( ) A.a 2＋ab ＋b 2 B.a 2＋2a ＋2 C.a 2－2b ＋b 2 D.a 2＋2a ＋1 2.若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ） A.±4 B.±2 C.3 D.4或2 3.已知a 2x 2±2x＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为（ ） A.互为倒数或互为负倒数 B.互为相反数 C.相等的数 D.任意有理数 4.下列各式能组成完全平方式的个数是 . ①x 6－31128 x ②x 8+4x 4+4 ③3m 2+2m+3 ④m 2－2m+4 5.若x 2＋8x ＋k 是完全平方式，则k ＝ . 6.若x 2 ＋mx ＋9是完全平方式，则m 的值是 . 【题型3】利用完全平方公式分解因式 分解因式： (1)a 2+4a ＋4； (2)x 2＋4y 2－4xy ； (3)9+12a ＋4a 2； (4)a 2－2a ＋1. 【变式训练】 1.因式分解：(1)4x 2＋y 2－4xy ； (2)9－12a ＋4a 2； (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9.

初中数学 因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019 m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、4 4411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

公式法因式分解练习

运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）

因式分解公式法

因 式 分 解 公式法 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 1.利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-2 2 ①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。 2.利用完全平方公式因式分解：()2 2 22b a b ab a ±=+± 注意： ①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。 ⑤在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号. ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.

典型例题分析： 利用平方差公式： 例1． 用平方差公式分解因式： （1）2 2 )(9y x x -+-； （2）2233 1n m -.

例2．分解因式： （1）ab b a -5； （2）)()(4 4 n m b n m a +-+ （3）2 2 2 2 )23()32(4y x m y x m ---； （4）b a b a 2418321822+-- 例3. 简算 （1） 226778- （2）22991001- 例4. 解方程：.36)321()321(2 2 =--+x x 【拓展提升】 例5. 分解因式：（1）8 8y x +-； (2) 2 2 2 16)4(x x -+. 例6. 1)12 ()12)(12)(12(32 3 2 +++++Λ的个位数字是 . 例7.若12 48 -能被60与70之间的两个整数整除，这两个数是 . 针对性训练： 1. 若)2)(2)(4(162 x x x x n -++=-，则n 的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 把多项式2 22 22 4)(b a b a -+分解因式的结果是（ ） A. 222)4(ab b a ++ B. 2 22)4(ab b a ++ C. )4)(4(2 2 2 2 ab b a ab b a -+++ D. 22)()(b a b a -+ 3. 分解因式： （1）2 2536x -； （2）2201.094n m +- ； （3）624 9 8116x y -； （4）224)32(x y x --

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

因式分解——公式法(1)教案

14.3.2因式分解——公式法（1） 一．教学内容 人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时 二．教材分析 分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是 在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面 的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简， 以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上 启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、 “类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学 学习的重要内 容。根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公 因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。因此公式法是分解因式的重 要方法之一，是现阶段的学习重点。 三．教学目标 知识与技能 ：理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公 式分解因式 过程与方法：1.培养学生自主探索、合作交流的能力 2.培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力 和数学应用意识，渗透整体思想 情感、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而 增强学好数学的愿望和信心 四．教学重难点 重点：会运用平方差公式分解因式 难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式 易错点：分解因式不彻底 五．教学设计 （一）温故知新 1.什么是因式分解？下列变形过程中，哪个是因式分解？为什么？ . 2)2-)(2(24-)3();13(33-93)2(; 14-41-212222x x x x x y x x x xy x x x x ++=+++=++=））（（ 2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将下列多项式分解因式。 .6-39-)2(; -2-122233xy xy y x ab b a b a +）（ 【设计意图】通过复习因式分解的定义和方法，为继续学习公式法作好铺垫。 3.根据乘法公式进行计算： ).2-(22)1-(11y x y x x x ））（（； ））（（++

(完整版)公式法因式分解分类练习题

公式法因式分解练习题 例1、分解因式： （1）x2-9 （2）9x2-6x+1 例2、分解因式： （1）x5y3-x3y5（2）4x3y+4x2y2+xy3 例3、分解因式： (1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4 例4、分解因式: (1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4 例5、分解因式： （1）-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2+4-4(x+y) 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1) 例7、分解因式：(x2+4)2-16x2 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24 x-2、2 9y -3、2 1a -4、22 4x y - 5、2 125b -6、222 x y z -7、22 4 0.01 9 m b -8、22 1 9 a x - 9、22 36m n -10、22 49 x y -11、22 0.8116 a b -12、22 2549 p q - 13、2422 a x b y -14、41 x-15、44 16a b -16、444 1 16 81 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22 ()() x p x q +-+2、22 (32)() m n m n +--3、22 16()9() a b a b --+ 4、22 9()4() x y x y --+5、22 ()() a b c a b c ++-+-6、22 4() a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1、53 x x -2、22 4ax ay -3、3 22 ab ab - 4、316 x x -5、24 33 ax ay -6、2(25)4(52) x x x -+- 7、32 4 x xy -8、343 322 x y x -9、44 16 ma mb -

因式分解法(提公因式法、公式法)

【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()2 2 a b a b a b -=+-； ()2 2 2 2a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2 3 2 1084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+

(完整版)公式法因式分解法

第四章 因式分解 3．公式法（二） 咸阳道北中学 翟肖锋 一．教学目标： 1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式． 2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。 3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。 教学重难点 学习重点：让学生掌握完全平方公式因式的方法。 学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。 教学方法：讲练结合 二．教学过程 第一环节 学习新知 活动内容：提问：1．整式乘法中的完全平方公式是_______________； 活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法． 注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容． a 2–2a b +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2 活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式． 注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系

可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 第二环节 落实基础 活动内容： 1．判别下列各式是不是完全平方式． 2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式． 结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央； 完全平方式可以进行因式分解， a 2–2a b +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2 活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫． 注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发． 第三环节 范例学习 活动内容： 例1．把下列各式因式分解： 活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力； 2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2x y x xy y x xy y x xy y x xy y +++-++--+-；；；；． ()()()()()22222222421_____249______3_____414_____4 52_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；． 229124)2(b ab a +-49 14)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 2 2)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---

公式法分解因式(1)

4.3（北师大版八年级下册）《运用公式法（1）》——运用平方差公式分解因式 教学目标 1、知识与技能 理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式分解因式 2、过程与方法 ①培养学生自主探索、合作交流的能力 ②培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想 3、情感与态度 让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而增强学好数学的愿望和信心 （四）教学重难点、 1、教学重点 会运用平方差公式分解因式，培养学生观察、分析问题的能力。 2、教学难点 准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式。 3、易错点 分解因式不彻底。 二、学法与教法分析 1、学法分析： ①注意分解因式与整式乘法的关系，两者是互逆的。 ②注意平方差公式的特点。 2、教法分析： 根据《课标》的要求，结合本班学生的知识水平，本堂课采用对比，探究，讲练结合的方法完成教学目标。在教学过程中，所选例题保证基本的运算技能，

避免复杂的题型，直接用公式不超过两次。采用观察、类比、分析的方法，引导学生把握因式分解的基本思路，灵活地运用“换元”和“化归”思想把问题中的多项式转化成适当的公式形式。 一、教学流程设计： （一）创设情境，激发兴趣；（二）分析问题，发现新知； （三）合作交流，探索新知；（四）例题探究，体验新知； （五）随堂练习，巩固新知；（六）拓展提高，加深理解 （七）归纳小结，形成体系。（八）作业分层，全面提升： 三、教学过程分析 （一）创设情境，激发兴趣； 1.整式的乘法公式有哪些? 填空： （1）（x+5）（x-5）=? （2）（3x+y）（3x-y）=； （3）（3m+2n）（3m–2n）=． 1、利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 2、尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。

运用公式法因式分解

因式分解(公式法) 一、学习指导 1、代数中常用的乘法公式有： 平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2 完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 2 2、因式分解的公式： 将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式： 平方差公式：a 2－b 2 ＝(a+b)(a －b) 完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)2 3、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。 二、例题分析： 例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16 解：（1）4a 2－9b 2 ＝(2a)2－(3b)2 ＝(2a+3b)(2a －3b) 解：（2）－25a 2y 4+16b 16 ＝16b 16－25a 2y 4 ＝(4b 8)2－(5ay 2)2 ＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2 ) 注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2 例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2 （3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2 分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。（2）题的 两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。（3）题也是两项式，9x 4和y 4 是公式中的a 和b 。（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。 解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 ＝9(4b 4x 8－c 6y 10 ) ＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2 ] ＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5 ) 注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。 （2）(x+2y)2－(x －2y)2 ＝[(x+2y)+(x －2y)][(x+2y)－(x －2y)] ＝(x+2y+x －2y)(x+2y －x+2y) ＝(2x)(4y)＝8xy 注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy ，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。 （3）8188y x ＝(9x 4)2－(y 4)2 ＝(9x 4+y 4)(9x 4－y 4 ) ＝(9x 4+y 4)[(3x 2)2－(y 2)2 ] ＝(9x 4+y 4)[(3x 2+y 2)(3x 2－y 2 )] ＝(9x 4+y 4)(3x 2+y 2)(3x 2－y 2 ) 注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x 4－y 4还可以再用平方差公式分解②3x 2－y 2 在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2 ＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)] ＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b －2a －3b) ＝(5a+5b)(a －b)