导数及其应用同步练习题(教师版)

导数及其应用同步练习题

一、选择题 1． 函数2

16x x

y +=的极大值为（ ） A. 3

B. 4

C. 2

D. 5

【答案】A 【解析】222222

6(1)626(1)

(1)(1)

x x x x y x x +-?-'==++,121,1x x =-=,当x=1时，y 取得极大值，极大值为3y =.

2．函数x y =lnx 的单调递减区间是 （ ）

A.(),1

-∞-e ) B. (),1

+∞-e ) C. （+∞,e ） D. （0，e 1-） 【答案】D 【解析】试题分析：函数定义域()0,+∞，

ln ln 1y x x y x '=∴=+，令0y '<得10x e -<<，所以

减区间为()

10,e -考点：函数单调性点评：判定函数单调性先求定义域，然后由导数小于零求得减区间，由导数大于零求得增区间

3．函数2

2

(2)y x x =-取得最大值时x 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．1± D ．2

【答案】C 【解析】解：因为2

2

3

(2)'444(1)(1)=-∴=-=-+y x x y x x x x x ，可知当y ’>0时，和y ’<0时的解集，进而得到极值，从而得到最值，可知在x=1±时，取得最大值。选C

4． 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是（ ）

A. 在)0,(-∞上为减函数

B. 在0=x 处取得最大值

C. 在),4(+∞上为减函数

D. 在2=x 处取得最小值 【答案】C 【解析】由)('x f y =的图象可知f(x)在x=2处取得极小值，在x=0,x=4处取得极大值，在),4(+∞上为减函数.

5．函数3

()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ） A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．1

2

b <

【答案】A 【解析】试题分析：先对函数f （x ）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，

从而得到b 的范围。解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x ）=3x 2

-3b=0，得

x 2

=b ，显然b ＞0，又∵x ∈（0，1），∴01．∴0＜b ＜1，故选A ．

考点：导数的运用点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题 6．函数3

()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞-

【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，由于3

()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则说明

22'()303f x x a a x =+≥∴≥-区间[1,)+∞内是恒成立，则只要a 大于函数的 最大值即可，结合二次函数的性

质可知当x=1时，函数取得最大值-3，因此可知实数a 的取值范围是[3,)-+∞，选B.考点：函数的单调性 点评：解决的关键是能够利用导数恒大于等于零来说明函数的单调性，从而利用分离参数的思想来得到结论，属于基础题。

7． 函数93)(2

3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】D 【解析】解：对函数求导可得，f ′（x ）=3x 2

+2ax+3∵f （x ）在x=-3时取得极值∴f ′（-3）=0?a=5 故答案为：选D

8．函数x

e x x

f )3()(-=的单调递减区间是( )

A.)2,(-∞

B.)3,0(

C.)4,1(

D.),2(+∞

【答案】A 【解析】解：因为

x x x x f (x)(x 3)e f '(x)e (x 3)e e (x 2)

f '(x)0x 2

=-∴=+-=-∴

因此递减区间为)2,(-∞，选A

9．函数32()6(,)f x ax x x =---∞+∞+在上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） (A)0a > (B)0a < (C)13a > (D)3

1

【解析】解：因为函数32()6(,)f x ax x x =---∞+∞+在上既有极大值又有极小值 所以21

'()321041203

f x ax x a a =-=∴?=->∴<

+ 10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内极值点有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】解：由导函数图像可知，图像穿过x 轴3次，说明有3个极值点，选C

11．函数)0(3)(3

>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间（ ）

A. （-1，1）

B. （0，1）

C. （-1，0）

D. （-2，-1）

【答案】：A 【解析】：函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则有'2

()330f x x a =-=，

x =可以得到()f x 在(,),-∞+∞为增函数，在(上为减函数，因此x =

值，x =

4b =，1a =，减区间为（-1，1）

12．已知函数5)63()(23+-+-=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．36 D ．a<1或a>3

【答案】C 【解析】f(x) 有极大值和极小值, 2

()3236f x x ax a '=-+-则2

443(36)0a a ?=-??-> ，所以a<3或a>6。 二、填空题

13．3

()31f x x x =-+在[-2,2]上的最大值是 ．【答案】3

【解析】2

()330,1,1f x x x x '=-=∴=-=,(1)3,(1)1,(2)1,(2)3f f f f -==--=-=.所以最大值为3.

14． 当]1,1[-∈x 时，函数x e

x x f 2

)(=的值域是 .【答案】[0,e]

【解析】22

222()x x x x

xe x e x x f x e e --'==,()f x ∴在区间(1,0)

-上是减函数，f(x)在区间(1,2)上是增函数，所以当x=0,f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e,f(1)=1

e

,显然最大值为e,所以f(x)的值域为[0,e]. 15．函数y ＝

13

x 3－ax 2

＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】试题分析：函数导数2

21y x ax '=-+，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数2

21y x ax '=-+与x 轴有两个交点01a ∴?>∴>或1a <-

考点：函数单调性

点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况

16．已知函数32

27y x ax bx =+++在1x =-处有极大值，在3x =处有极小值，则a = b =

【答案】3- ；9-【解析】略

17．若函数32

()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 【答案】[1,5)【解析】解：因为函数32

()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则说明了

2()32=+-‘f x x x a =0在区间()1,1-只有一个实数根，借助于二次函数图像可知实数a 的

取值范围为[1,5)

18．函数1)(2

3

+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围是： 【答案】 ),3

1[+∞【解析】略

19．若函数1)(2

3

+-=ax x x g 在区间[]2,1上单调递减，则实数a 的取值范围是_____________.

【答案】 3≥a 【解析】

[]32?2max ()11,2()320232363

g x x ax g x x ax a x a x a =-+=-≤≥≥=∴≥在上单减，则恒成立，恒成立，即（）

20． 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3

－ax 2

－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________.

【答案】9【解析】解：∵f ′（x ）=12x 2

-2ax-2b ，又因为在x=1处有极值

∴a+b=6∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤(a+b 2 )2=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab 的最大值等于9 三、解答题

21．设函数842)(2

3++--=x x x x f 。（Ⅰ）求)(x f 的极大值点与极小值点；

（Ⅱ）求)(x f 在区间]0,5[-上的最大值与最小值。

【答案】解：（Ⅰ）443)(2

+--='x x x f 。令0)(='x f ，解得

2,32

21-==

x x 。1分

∵)(x f 的单调递增区间)32,2(-，单调递减区间)2,(--∞，)

,32

(+∞。2分 ∴)(x f 的极大值点=x 32

，极小值点2-=x 。3分

（Ⅱ）列表

x 5-

)2,5(--

2-

)0,2(-

0 )(x f ' － 0 ＋ )(x f

↘

极小值

↗

5分 当0=x 时，8)0(=f ，当2-=x 时，0)2(=-f ，当5-=x 时，63)5(=-f 。 ∴在区间]0,5[-上的最大值为63，最小值为0。7分

【解析】本试题主要是考查了函数的极值和最值问题的运用。

（1）先求解导数，然后判定函数的单调性，利用极值的概念可知道饿到第一问的结论。 （2）在第一问的基础上，进一步比较端点值的函数值域极值的大小关系得到最值。 22． 已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3 （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；

（3）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值。

【答案】（1）2

3

96)(x x x f +-=∴；（2）增区间为)1,0(，减区间为),1(),0,(+∞-∞； (3) 12)(,84)2()(min max -==-=∴x f f x f

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中极值和最值的问题的运用。 解：（1）bx ax x f 23)(2

'

+=，由题意知3)1(,0)1('

==f f ………（2分）

???=+=+∴3023b a b a ，解得??

?=-=9

6b a ，2

396)(x x x f +-=∴ ……………（3分） （2）)1(181818)(2

'--=+-=x x x x x f

当10<

>x f ，)(x f ∴的单调递增区间为)1,0(

当10>

又12)2(,84)2(-==-f f ,12)(,84)2()(min max -==-=∴x f f x f 。 ……（10分）

23．已知函数3

()f x ax bx c =++在1x =处取得极值4c -.

(1)求,a b ; (2)设函数()y f x =为R 上的奇函数,求函数()f x 在区间(2,0)-上的极值.

【答案】(1) 2

6a b =??=-?

（2）()f x 在1x =-处有极大值 (1)264f -=-+= 无极小值.

【解析】试题分析：∵2

()3f x ax b '=+

(1)∴(1)4(1)0f c f =-??

'=? ∴430a b c c a b ++=-??+=? ∴2

6

a b =??=-?

（2）因为其为奇函数∴3

()26f x x x =- ∴2

()666(1)(1)f x x x x '=-=+- 令()0f x '= ∴1x =-或1 ∵(2,0)x ∈- ∴1x =- ∴当(2,1),()0x f x '∈--> (1,0),()0x f x '∈-<

∴()f x 在1x =-处有极大值 (1)264f -=-+= 无极小值.

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。

点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究导数的正负，明确函数的单调性。判断函数的驻点是何种类型的极值点。

24．已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-

与1x =时都取得极值.

(1) 求,a b 的值；(2) 求函数()f x 的单调区间.

【答案】解：（1）a=－12，b=－2.（2）递增区间是2(,)3

-∞-与(1,)+∞,递减区间是2

(,1)3- 【解析】第一问，利用函数32

()f x x ax bx c =+++在23

x =-与1x =时都取得极值.得到两个导数值为零，然

后利用求解后的解析式，代入原式中，研究函数的单调性。令0)('

=x f ，得13

2=-=x x 或

当时0)('>x f ，132>-

2<<-x

解：（1）

3222f (x)x ax bx c f '(x)3x 2ax b 2

f (x)x=-x=13

2124f (-)=0=f (1)=0=3+2a+b=0

3931

a ,

b 262

2f '(x)3x -x-2=(3x+2)(x-1)8=+++∴=++∴=-=-=在和处取得极值，因此则有

’-a+b=0且’分

（）分

令0)('

=x f ，得132

=-

=x x 或 当时0)('

>x f ，132>-

当时0)('

………………………10分

所以函数()f x 的递增区间是2(,)3

-∞-与(1,)+∞,递减区间是2

(,1)3-；……………………12分

25．已知函数c bx ax x x f +++=2

3)(，曲线)(x f y =在点x=1处的切线为013=+-y x l ：，

若3

2

=

x 时，)(x f y =有极值。（1）求c b a ,,的值； （2）求)(x f y =在]1,3[-上的最大值和最小值。 【答案】函数c bx ax x x f +++=23)(的导函数为'2

()32f x x ax b =++，曲线)(x f y =在点x=1处的切线为

013=+-y x l ：，则有'(1)323f a b =++=，(1)14f a b c =+++=，

又根据32=

x 时，)(x f y =有极值，则有'2222()3()20333

f a b =?+?+=，解得a=2,b=-4,c=5 （2）'2()344(2)(32)0,f x x x x x =+-=+-=22,3x =-，当2(3,2)(,1)3

x ∈--?时，'

()0f x >，

当2(2,)3x ∈-时，'

()0f x <，函数()f x 在2(3,2),(,1)3

--为增函数，在2(2,)3-为减函数，取(2)f -与(1)f 中

的最大值为最大值，(3)f -与2

()3

f 中的最小值求得最小值，

最大值f(-2)=13, 最小值 f(2/3)=95/27 【解析】略

26．函数f （x ）= 4x 3

+ax 2

+bx+5的图在x=1处的切线方程为12y x =-；

（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值.

【答案】（1）f （x ）＝4x 3―3x 2

―18x ＋5；（2）最小值为－76，最大值为16.

【解析】（1）求出f 1（x ）＝ 12x 2

＋2ax ＋b ，由 '(1)12

(1)12f f ?=-?

=-?

解得a ＝－3 b ＝－18. 求出函数f （x ）的解析式； （2）在（1）的条件下，研究函数f （x ）在 [—3，1]上的单调性，求出其极值与端点值，比较得最值.

解：（1）f 1（x ）＝ 12x 2

＋2ax ＋b -----------------------------------2 分 ∵y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程为 y ＝－12x

∴???-==-=12)1()1(121f f k 即?

??-=+++-=++125412212b a b a 解得：a ＝－3 b ＝－18

∴f （x ）＝4x 3―3x 2

―18x ＋5 ----------------------------------------------5分

（2）∵f 1（x ）＝ 12x 2

－6x －18＝6（x ＋1）（2x －3）

令f 1

（x ）＝0 解得：x ＝－1或x ＝23

∴ 当x ＜－1或x ＞23

时，f 1

（x ）＞0

当－1＜ x ＜23

时， f 1

（x ）＜0 ----------------------------------------8分

∵ x ∈[－3，1]

∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f （－1）＝16 又∵f （－3）＝－76 f （1）＝-12

∴f （x ）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16.-------------------------------10分 27．已知1=x 是函数()()2x

f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R )

（1）求a 的值；（2）求)(x f 在区间[]0,2上的最值.

【答案】（1）1a =. （2）在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. 【解析】试题分析：（1）解：'()(2)e x

f x ax a =+-，

由已知得0)1('=f ，解得1=a ．当1a =时，()(2)e x

f x x =-，在1x =处取得极小值． 所以1a =.（2）由（1）知，()(2)e x

f x x =-，'()(1)e x f x x =-. 当)1,0[∈x 时，()()01<-='x

e x x

f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；

当(]1,2x ∈时，'()(1)0x

f x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增.

所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-. 又(0)2f =-，(2)0f =，

所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =.

考点：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值。

点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。 最值点不多是极值点或区间端点。

28．已知函数1)(--=ax e x f x

，()R a ∈.(1)当2=a 时,求)(x f 的单调区间与最值；

(2)若)(x f 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．

【答案】(1) 2=a 时，函数)(x f 的单调增区间是()+∞,2ln ，递减区间为()2ln ,∞- (2) a 的取值范围为(]0,∞-． 【解析】

试题分析：解:(1) 当2=a 时，12)(--=x e x f x

，∴2)(-='x

e x

f . 令0)(>'x f ，即02>-x e ，解得：2ln >x ； 令0)(<'x f ，即02<-x e ，解得：2ln

∴)(x f 在2ln =x 时取得极小值，亦为最小值，即2ln 21)2(ln -=f ． ∴当2=a 时，函数)(x f 的单调增区间是()+∞,2ln ，递减区间为()2ln ,∞-

)(x f 的最小值为:2ln 21-

(2)∵1)(--=ax e x f x ， ∴a e x f x

-=')(. ∵)(x f 在R 上单调递增，

∴0)(≥-='a e x f x

恒成立，

即x e a ≤，R x ∈恒成立． ∵R x ∈时，()+∞∈,0x

e ，∴0≤a .即a 的取值范围为(]0,∞-．

考点：导数在函数内的运用。

点评：解决该试题的关键是能根据导数的符号，判定函数单调性，进而确定出极值。同时能根据函数递增，则说明导数大于等于零，解决参数范围，属于中档题。 29．已知函数3

221()(1)(,)3

f x x ax a x b a b R =

-+-+∈，

其图象在点（1，(1)f ）处的切线方程为30.x y +-=（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[—2，4]上的最大值。 【答案】（1）A=-1 b=

3

8（2）8【解析】试题分析：解：（1）()122

2/-+-=a ax x x f ，由题意得。

1121)1(2/-=-+-=a a f 得：A=-1 b=3

8

（2）0)(2

/

=-=x x x f 得：x=1或x=0，有列表得，213

8

0)(====）（）（，）（极小值极大值f x f f x f 而f （-2）=-4，f （4）=8，所以，f （x ）的最大值为8

考点：函数的求导运算；函数的导数与单调性的关系；函数的导数与最值的关系

点评：求函数的单调区间急最值，有多种求法。但本题函数是次数较高，只能用导数求解。 30． 已知：函数)0(ln )(2

2

>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数. （1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）6=a （Ⅱ）)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞. （Ⅲ）),2

3

[]1,(+∞--∞

【解析】(I)由f(1)的值，及(1)0f '=可建立关于a,b 的方程，求出a,b 的值. (2)由()f x '大于（小）零，确定函数的单调增（减）区间.

（3）在(2)的基础上，求出f(x)的最小值，根据f(x)m i n 22c ≥-，解关于c 的不等式即可. （Ⅰ）由题意知c f --=3)1(，因此c c b --=-3，从而3-=b . 又对)(x f 求导得x ax x ax x f 6ln 2)('-+= 由题意0)1('=f ，因此02=+b a ，解得6=a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x f ln 12)(=.令0)('=x f ，解得1=x .

x )1,0(

1 ),1(+∞

)('x f － 0

＋ )(x f

↘

极小值)1(f

↗

因此)(x f 的单调递减区间为)1,0(，而)(x f 的单调递增区间为),1(+∞.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2

>-≥x c x f 恒成立，只需2

23c c -≥--.

即0322

≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c .

解得23≥

c 或1-≤c .所以c 的取值范围为),2

3

[]1,(+∞--∞ 31．已知函数()x bx ax x f 622

3

-+=在1±=x 处取得极值。 （1）讨论()1f 和()1-f 是函数()x f 的极大值还是极小值.

（2）求函数()x f 在2-=x 处的切线方程.(3)求函数()x f 在区间[]2,3--上的最值. 【答案】（1）()1f 为极小值，()1-f 为极大值；（2）3218+=x y （3）()4)2(max =-=f x f ； ()()363min -=-=f x f 【解析】

()()()32`2`22266266260

1,0

626062666

11f x ax bx x f x ax bx a b a b a b f x ax bx x x x =+-∴=+-+-=?±?==?--=?

=+-=-><在x=1处取得极值,当时，导数为正，当-1<时，导数为负，f(-1)为极小值;

当x<-1时，导数为正，f(1)为极大值；

（2）函数()x f 在2-=x 处()()`23

26(2)618,264f f x x x -=--==-=-点纵标为，点斜式得出方程；

（3）

23x x =-=-由（1）得：当x<-1时，导数为正，原函数为增函数，所以当时区最大值，最小值。

32．已知函数3

2

()3,f x x ax x a R =-+∈.（Ⅰ）若函数()f x 是R 上的单调递增函数，求实数的a 的取值范围； （Ⅱ）若3x =是()f x 的一个极值点，求()f x 在R 上的极大值与极小值.

【答案】（1）33a -≤≤；（2）()f x 的极大值为3

2

1

11113()()5()3;333327

f =-?+?= ()f x

的极小值为(3)353339.f =-?+?=- 【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用函数()f x 是R 上的单调递增函数，则导数恒大于等于零，分离参数法求解参数a 的取值范围。第二问中，3x =是()f x 的一个极值点，()'30f =，即

273230a +-?=，解得5a =。这时()2'3103f x x x =-+，利用导数符号判定单调性。

解：（Ⅰ）解：因为()3

2

3f x x ax x =-+为在R 上的单调递增函数，

则()2

'323f x x ax =-+≥0对于x ∈R 恒成立，

所以2

4490a ?=-?≤，解得33a -≤≤. ………………………………3分 （Ⅱ）()2

'323f x x ax =-+，

因为当3x =时有极值，所以()'30f =，即273230a +-?=，

解得5a =. …………………5分 这时()2'3103f x x x =-+， 令()2'31030f x x x =-+=，得11

3

x =

或23x =. ………………………………6分 当x 变化时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表所示：

………………………………………………10分 由表可知：()f x 的极大值为3

2

111113()()5()3;333327

f =-?+?

= ()f x 的极小值为32(3)353339.f =-?+?=- …………………………………12分

33．已知函数4

4

()ln (0)f x ax x bx c x =+->（e=2.71828…是自然对数的底数）. 在1x =处取得极值3c --，其中a b ，为常数．

（Ⅰ）试确定a b ，的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若对任意0x >，不等式2

()2f x c -≥恒成立，求c 的取值范围． 【答案】（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得34

31

()4ln 4f x ax x ax bx x

'=++3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．

（II ）由（I ）知3

()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．

当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数． 因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞

． （III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2

()2f x c -≥（0x >）

恒成立，只需232c c ---≥．即2

230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，

解得32c ≥

或1c -≤．所以c 的取值范围为3(1]2??

-∞-+∞????

，

， 34．设函数c bx ax x x f 8332)(2

3

+++=在1=x 及2=x 时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[]3,0∈x ，都有2

)(c x f <成立，求c 的取值范围

【答案】（Ⅰ）2

()663f x x ax b '=++，

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??

++=?，．

解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32

()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．

当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；

当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，所以

298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．

《导数》基础训练题(1)答案

高考数学模拟卷基础题型训练（1）姓名： 导数概念公式 【笔记】 课堂练习 1、在曲线2 y x =上切线倾斜角为 4 π 的点是（ D ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(, )416 D ．11 (,)24 【笔记】 2、曲线2 21y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ A ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+ 【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10 【笔记】 4、函数1 y x x =+ 的导数是（ A ） A ．211x - B ．11x - C ．2 11x + D ．1 1x + 【笔记】 5、函数cos x y x = 的导数是（ C ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ． 2 cos cos x x x x +- 【笔记】 6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ C ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2 cos cos x x + 【笔记】 课后作业（1） 姓名： 1、3 2 ()32f x ax x =++,若' (1)4f -=，则a 的值等于（ D ） A ．3 19 B ．3 16 C ．3 13 D ．3 10 2、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为（ D ） A ．y x π=- B ．0y = C ． 4y x π=- D ．44y x π=- 3、求下列函数的导数： （1）12 y x =； （2）41 y x = ； （3 ）y 【答案】（1）11 ' 12x y =， （2）5 4--=x y ；（3）52 5 3- =x y 4、若3' 0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________1±________ 5、函数sin x y x =的导数为___________2 ' sin cos x x x x y -=__________ 6、与曲线y ＝1 e x 2相切于P (e ，e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底) 高考数学模拟卷基础题型训练（2）姓名： 1、已知曲线3 :C y x =。求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程为 【笔记】 2、已知3 2 ()32f x ax x =++，若' (1)4f -=，则a 的值是（ ） A ． 193 B ．163 C ．133 D ．10 3 【笔记】

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数练习题 含答案

导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．

5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数练习题带标准答案

导数练习题带答案

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导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ，则)1(f '的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0 x f x →存在，则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞Y D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+，那么速度为零的时 刻是 （ ） A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ． dx x ?+1 0)1( C ．dx ?1 01 D ．dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10

《导数及其应用》强化训练试题

《导数及其应用》强化训练试题 一、选择题 1．已知2)(x x f =，，则=')3(f = ( C ) A 0 B x 2 C 6 D 9 2.满足()()1 0f x dx f a =?，其中的函数()21f x x =+，则a 的值是（ B ） A 112-或 B 12 C 13 D 113 -或 3.曲线()ln 32y x =-在点（1，0）处的切线方程是（ C ） A 74y x =+ B 72y x =+ C 33y x =- D 2y x =- 4．函数f (x )＝3x 3－x 的极大值、极小值分别是（ D ） A 1，－1 B 132，612 - C 1，－17 D 29，29- 5．()2402cos 1x dx π -=? ( A ) A 12 B 1 C 12 - D －1 6. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( C ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 7．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 8．已知函数()y xf x '=的图象如图1所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ C ） 二、填空 9.某物体做直线运动，其运动规律是()2v t t =- ( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在[]1,4 上的路程为 3/2 . 10. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是__4x-y-3=0__

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

导数基础练习题

导数基础题 一 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2 x y =的切线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x 2． 函数)1()1(2 -+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．过抛物线2 x y =上的点M （41 ,21-）的切线的倾斜角为（ ） A ． 4 π B ．3π C ．43π D ．2 π 4．函数3 31x x y -+=有（ ) （A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2 （D ）极小值－1，极大值3 1、已知()2 f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、32y x =的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．1 2- D ．323x 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()3f x x =，则()1f '等于（ ） A ．0 B ．1 3 - C ．3 D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y -+=或210x y --= C ．210x y --= D ．20x y -=

7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为 4 π 的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 8、已知()53sin f x x x -=+，则()f x '等于（ ） A ．653cos x x --- B ．63cos x x -+ C ．653cos x x --+ D ．63cos x x -- 9、函数2cos y x -=的导数是（ ） A ．2cos sin x x - B ．4sin 2cos x x - C ．22cos x - D ．22sin x - 10、设()sin y f x =是可导函数，则x y '等于（ ） A ．()sin f x ' B ．()sin cos f x x '? C ．()sin sin f x x '? D ．()cos cos f x x '? 11、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 12、22sin 35cos y x x =+的导数是（ ） A ．22sin 35sin x x - B ．2sin 610sin x x x - C ．23sin 610sin x x x + D ．23sin 610sin x x x - 13、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+ B ．72y x =+ C ．4y x =- D ．2y x =- 14、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则 a =___________． 17、正弦曲线sin y x =上切线斜率等于 1 2 的点是___________．

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

导数练习题含答案

导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为

导数及其应用专题训练

导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析 问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（） （A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故 所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。 【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

导数基础练习题

导数基础练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

导数基础练习题 一 选择题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ C ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（A ） （A ） 10<b （D ） 2 1 ，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

导数及其应用大题精选

导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.

6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.