【阳光学习网精选】高考数学一轮复习必备40——41课时：第五章 平面向量的数量积

第40-41课时：第五章 平面向量——平面向量的数量积

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一．课题：{ TC "§5.3平面向量的数量积" }平面向量的数量积

二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充

要条件和向量数量积的简单运用．

三．教学重点：平面向量数量积及其应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．平面向量数量积的概念；

2．平面向量数量积的性质：22||a a =、cos ,||||a b a b a b ?<>=

； 3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥??=．

（二）主要方法：

1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用； 3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．

（三）基础训练：

1.下列命题中是正确的有

①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +?-=，则||||a b =；②||||||a b a b ?=?；

③a b a c ?=?，则b c =； ④若()a b c ⊥-，则a b a c ?=? 2．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =?=? （ ）

()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件()C 甲是乙的充要条件()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ）

()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25

- 4．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ?=，则向量b =______.

5．已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600，则a +b 在a 上的投影为 。

6．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-=，则|3|a b += 。

7．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ___。

8．已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ?-)2(= 。

（四）例题分析：

例1．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求

证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.

解：（1）∵ 1||||||===c b a ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，

∴ 0120cos ||||120cos ||||)(00=-=?-?=?-c b c a c b c a c b a

∴ 0)(=?-c b a

（2）∵ 1||>++c b a k ，即1||2>++c b a k

也就是12222222

>?+?+?+++c b c a k b a k c b a k ∵ 2

1-=?=?=?c a c b b a ，∴022>-k k 所以 0k ． 例2．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1） 若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；

（2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：

???2002122=+=?-?y x x y ∴ ???42==y x 或 ?

??42-=-=y x ∴)4,2(=c ，或)4,2(--=c

（2） ),2()2(b a b a -⊥+ 0)2()2(=-?+∴b a b a 即22

2320,a a b b +?-= 222||32||0a a b b ∴+?-=

∴ 0452352=?

-?+?b a ， 所以25-=?b a ∴ ,1|

|||cos -=??=b a b a θ ∵],0[πθ∈ ∴πθ=.

例3．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与

向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.

解：421=e ，122=e ，121=?e e

∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+?++=+?+t t e t e e t e t e t e e e t

∴ 071522<++t t 2

17-<<-t 设)(722121e t e e e +=+λ )0(<λ

14,21472722-=-=?=????==?λλ

λt t t t ∴ -=t 2

14时，2172e e t +与21e t e +的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(---

- 。

例4．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ?的值最大？并求出这个最大值.

解法一： ,AB AC ⊥

0.AB AC ∴?=

,,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=-

()()BP CQ AP AB AQ AC ∴?=-?- AP AQ AP AC AB AQ AB AC =?-?-?+?

2a AP AC AB AP =--?+? 2()a AP AB AC =--?-

212

a PQ BC =-+? 212a PQ BC =-+? A

C a

22cos .a a θ=-+

故当cos 1θ=，即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BC CQ ?最大，其最大值为0。

解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设||||AB c AC b ==，则(0,0),(,0),(0,),A B c C b 且||2,||.PQ a BC a ==

(,),(,),BP x c y CQ x y b ∴=-=---

设点P 的坐标为(,)x y ，

则(,)Q x y --，(,),(2,2).BC c b PQ x y =-=--

()()()BP CQ x c x y y b ∴?=--+--

22().x y cx by =-++- 2cos .||||

PQ BC cx by a PQ BC θ?-==? 2cos .cx by a θ∴-=

22cos .BP CQ a a θ∴?=-+

故当cos 1θ=，即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BC CQ ?最大，其最大值为0。

五．课后作业：

1．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ） ()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，0

2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC βα+=,

其中R ∈βα,，且1=+βα,则点C 的轨迹方程为：（ ）

()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x

3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos =b ，那么||b a -的值是（ ）

()A 21 ()B 2

2 ()C 2

3 ()D 1 A P C Q

y x

4．在ABC ?中，0

15，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( ) ()A 6π ()B 3

2π ()C 43π ()D 65π 5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ?的最大值为（ ）

()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a

6．设12,F F 是双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?=，则||||21PF PF ?的值等于 （ ）

()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8

7.设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①()()0a b c c a b ?-?=； ② ||||||a b a b -<-

③()()b c a c a b ?-?不与c 垂直 ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +?-=- 中，是真命题的有 ( )

（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④

8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0 =++c b a ，

c b b a ?=?=a c ?1-=，则||||||c b a ++＝___________________。

9．若对n 个向量n a a a ,,21存在n 个不全为零的实数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,21为“线性相关”．依此规定， 能说明1(1,0)a =，2(1,1)a =-，3(2,2)a =“线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

10．向量,a b 都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b +⊥--⊥-，求向量a 与b 的夹角.

11．已知向量33(cos ,sin )22a x x =， (cos ,sin )22

x x b =-。 （1）当]2

,0[π∈x ，求,||a b a b ?+； （2）若||2)(b a m b a x f +-?=≥2

3-对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。

12．设)sin ,cos 1(αα+=a ,)sin ,cos 1(ββ-=b ,),0(πα∈ ,)2,(ππβ∈，a 与x 轴正半轴的夹

角为1θ,b 与x 轴正半轴的夹角为2θ，且321πθθ=+,求||b a -

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