2019届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理(1)
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
例1：如图，椭圆()22
22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中
心为O ，其离心率为
3
2
，则:ABF BFO S S =△△（ ）
A ．()
23:3- B ．()
233:3-
C ．()
23:2-
D ．()
233:2-
【答案】B
【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而3
c a =
，所以()
:233:3ABF BFO S S =-△△，故选B ．
2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3-，则MAF △的面积为（ ） A ．3 B ．23
C ．43
D ．83
【答案】C 【解析】
设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为3-60AFN ∠=?，
所以4AF =，
由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三
2
4=．故选C ．
3．双曲线的几何性质
例3：已知点P 是双曲线2213664
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2
2104x y ++=和
()
2
2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．
【答案】15
【解析】在双曲线22
13664x y -=中，6a =，8b =，10c =，
()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，
11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．
一、单选题
1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：
12
p
=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2
2
13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，
则12PF F △的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．对点增分集训
【答案】B
【解析】据题意，124
3
PF PF =
，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得2
2
2
1212
1212
7cos 28
PF PF F F F PF PF PF +-∠==
．
从而12sin F PF ∠=
，所以121682PF F S =??=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45?的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ?等于（ ） A ．3- B ．13±
C ．13-
D ．12
-
【答案】C
【解析】椭圆方程为2
212
x y +=
，a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程
为1y x =-，
代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ??
???，所以13OM ON =?-，故选C ．
4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5
4
PQ m =，则m =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】B
【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则12
32
x x +=，125
644
m PQ x x p m =++=+
=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是
边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2
213x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．221412
x y -=
D ．221124
x y -=
【答案】B
【解析】双曲线()22
22
10,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF
△是边长为2的
等边三角形（O 为原点），可得2c =，3b
a =，即223
b a =，2223
c a a -=，解得1a =，3b =，
双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2
2
13
y x -=，故选B ．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道
Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ）
A ．
12
12
c c a a =
B ．1122a c a c -<-
C ．1212
c c a a >
D ．1122a c a c ->-
【答案】C
【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，11111
1c a R R
a a a -==-，22222
1c a R R a a a -==-， 由12a a >知
12
12
c c a a >
，故选C ． 7．已知双曲线22
1:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双
曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】D
【解析】双曲线221:14
x C y -=，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为
b
y x a
=，
可得2
F M b ==，即有OM a ==，
由216OMF S =△，可得1
162
ab =，即32ab =，又222a b c +=，且c a =
解得8a =，4b =，c =16．故选D ．
8．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ， 若2FM MN =，则FN =（ ） A ．1 B ．1
2
C ．52
D ．58
【答案】D
【解析】由题意得点F 的坐标为10,8??
???，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，
所以向量：00,18FM x y ?
?=- ???，()00,MN a x y =--，
由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：01
12
y =，
代入抛物线方程可得：0x =a =， 由两点之间的距离公式可得：5
8
FN =．故选D ．
9．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22
2222222
:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点
1F ，2F ，
点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22
12
4e e +的最小值为（ ）