几种常用数学思想方法在初一教学渗透例举

几种常用数学思想方法在初一教学渗透例举

小学数学学习到中学数学学习经历的是一个质的飞跃，尤其是数学的“软件”――数学思想方法变得更为丰富、灵活，许多学生对具体的数学知识学过之后可能会忘掉，但通过知识表现的数学思想却永远不会忘掉，因此笔者认为，从初一开始就将数学思想方法的渗透作为教学中的核心，将为学生今后的学习打下坚实的基础，使学生受益终生。 一、 分类讨论思想

分类讨论思想是在对数学对象进行分类中寻求解答的一种思维方法。初中数学第一册引入的有理数概念，就蕴含了分类讨论思想，并在以后各个章节中不断渗透。

如有理数的分类可以从如下分类：

或

对绝对值可以如下分类：

为了培养学生的分类讨论思想，可配以适当的例题和练习。 【例1】若a 是有理数，则 一定是（ ）

（A ） 正数 （B ） 负数 （C ）非负数 （D ）无法确定

〖分析〗此题往往会错选为（A ），主要是忽视了有理数a 可为零这个特殊数。

【例2】在式子 中由不同的x 值代入，得到相应的值，所有这些值中最小值为＿＿＿＿。 〖分析〗根据绝对值定义，

原式

∴最小值为 1

二、 集合思想

集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。例如：某个班的全体学生，可以看成一个集合，某个书架上的所有书籍，可以当成一个集合。有时用集合思想来处理数学问题表现得更直观，更简洁，更深刻。

???

?

??????????

???负分数正分数

分数负整数

零正整数

整数有理数????

?

?????????

?负分数负整数负数零

正分数正整数

正数有理数()

()()??

?

??<-=>=0000a a a a a a a 1-+x x ()

()

()??

?

??≤-<≤≥-=021101112x x x x x

D

C

B

A 0

【例3】 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，把下列各数填入相应的集合中：

【例4】 运用集合思想理解三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的关系。

三、 对应思想

“对应”是数学中一个基本的不定义的概念。但对应思想在初中数学中广泛应用，就初一学生而言，主要要求学生掌握数轴上的点与有理数之间是一一对应关系。

【例5】（1）在数轴上画出表示下列各数的点。

3，－1.5，0，3／4，－3.5

（2）指出数轴上A ,B ,C ,D 各点分别表示什么数。

四、 数形结合思想

数形结合思想是指将数（量）与图（形）结合起来分析、研究、解决问题的一种思维策略。数形结合思想可以使抽象复杂的数量关系，通过几何图形直

4

3

,127,61,12.8,7.2,0,73,8.4,11-

--+-正数集合

负数集合

等腰直角

三角形

直角三角形

等腰三角形

三角形

－b

－a

b

a

A 观地表现出来，也可以使图形的性质通过数量间的计算、分析、达到更加完整、严密、准确。因此在实际的教学过程中要善于运用数形结合思想，由形思数，由数思形，数形结合。

【例6】 已知a>0,b <0,a +b <0,用“＜”号把a ,－a,b,－b 连接起来。

〖分析〗此题如果单从“数”的观点来思考，不易做对，但若与“形”（数轴）结合起来，就容易得多，很快得出答案：b ＜－a ＜a ＜－b 。

【例7】 李明从甲地到乙地，先以每小时12千米速度走下坡路，再以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟，然后从乙地返回，在返回途中，先以每小时8千米速度走平路，再以每小时4千米速度走上坡路，到达甲地共用时间1小时30分，求甲、乙两地之间的路程。 〖分析〗由题意画出行程路线示意图。

解：令A B ＝X 千米，BC ＝Y 千米，依题意可列方程组：

解得： X ＝3千米， Y ＝6千米

所以甲、乙两地之间的路程是9千米。 五、 化归思想

所谓“化归”就是将要解决的问题转化为另一个较易问题或已经解决的问题，具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题。

【例8】 当有理数的加法和乘法学过之后，有理数的减法可转化为有理数的加法，有理数的除法可转化为有理数的乘法。

如：（－3）－（－5）＝（－3）＋（＋5）＝2，

【例9】 当单项式乘以单项式学过之后，单项式乘以多项式可运用乘法分配律

??????

?=+=+)2.....(2

348)1...(1211

912x y y x 2

1

32(43)23(43-=-?=-÷

转化为单项式乘以单项式。如：2X 2Y （－X ＋Y －2X Y 2）＝2X 2Y （－X ）＋2X 2Y ·Y ＋2X 2Y （－2XY 2）＝－2X 3Y ＋2X 2Y 2－4X 3Y 3。同理，多项式除以单项式也可转化为单项式除以单项式。

【例10】 当一元一次方程的解法学过之后，二元一次方程组通过加减消元或代入消元将其归结为一元一次方程来求解。如：

由（2），得y=13－2x 代入（1）得7x ＋9(13－2x )=84，得到一个关于x 的一元一次方程。同理三元一次方程组通过消元可转化为二元一次方程组再转化为一元一次方程组来求解。

【例11】 分式方程可转化为已学过的整式方程，

如：

原方程最简公分母是x (x +2)

方程两边都乘以x (x +2)，得（x +4）－x =2(x +2)+ x (x +2),这样就把分式方程通过去分母转化为了整式方程。 六、 方程思想

方程思想是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题获解，具体说就是把问题中已知量与未知量之间的数量关系转化为解方程（组）的数学问题，其实质是数学建模。这种思想广泛应用在解应用题中。

【例12】 已知一个锐角的余角是这个锐角的补角的1／4，求这个锐角的度数。 〖分析〗 由已知量与未知量之间的数量关系，运用列方程方法来解决，设这个锐角为X 度，则它的余角是（90－X ）度，它的补角是（180－X ）度， 依题意，得90－X ＝1／4（180－X ），

解得X ＝60度。

所以所求锐角为60度。

七、 整体思想

整体思想就是考虑问题时不是着眼于它的局部特征，而是从宏观整体上认识问题的实质。把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

【例13】 分解因式（X ＋1）（X ＋2）（X ＋3）（X ＋4）－48

〖分析〗 多项式可变形为（X 2＋5X ＋4）（X 2＋5X ＋6）－48，把（X 2＋5X ）看成整体，

原式＝（X 2＋5X ）2＋10（X 2＋5X ）－24

＝（X 2＋5X ＋12）（X 2＋5X －2）

??

?=+=+)2.......(

132)1.....(

8497y x y x 解方程组1221242

+=+-++x

x x x x 解方程

【例14】 已知方程组 求a +b 的值。

〖分析〗 这题当然可以通过解方程组求出a ,b 的值，但若观察方程组的特点把

（1）－（2）可直接求出a +b ＝2.

【例15】计算

〖分析〗此题可把

只要在实际教学过程中牢牢把握好上述几种典型、常用的数学思想方法，结合教材内容和学生的认知水平能力从初一起始教育就开始有计划、有步骤的渗透、培养，相信一定能提高学生的数学解题能力和学习效率，为后续学习奠定扎实的基础。

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1

5

6

5156)5

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1

31212

2＝

－－＋＋＝＝则X X X X X

X X X X ?++-++=++原式