一类非线性滤波器_UKF综述_潘泉
第20卷第5期
V ol.20N o.5
控 制 与 决 策
Contr ol and
Decision
2005年5月
M a y 2005
收稿日期:2004-05-29;修回日期:2004-09-15.
基金项目:国家自然科学基金项目(60172037);陕西省科学技术研究发展计划项目(2003k 06-G 15);西北工业大学
引进高层次人才科研启动费项目.
作者简介:潘泉(1961—),男,重庆人,教授,博士生导师,从事信息融合理论与应用、自适应滤波、估计与控制等研
究;杨峰(1977—),男,陕西西安人,博士生,从事多传感信息融合理论、机动目标跟踪等研究.
文章编号:1001-0920(2005)05-0481-09
一类非线性滤波器——UKF 综述
潘 泉,杨 峰,叶 亮,梁 彦,程咏梅
(西北工业大学自动化学院,陕西西安710072)
摘 要:回顾了U K F 算法的发展,从一般意义讨论了U T 变换算法和采样策略的选择依据,并给出了U K F 算法描述.从条件函数和代价函数入手,在给出多种采样策略的基础上对U K F 采样策略进行了分析和比较.最后对U K F 算法未来可能的研究方向进行了探讨.
关键词:非线性滤波器;unscented 卡尔曼波滤器;U T 变换;采样策略中图分类号:T P 273 文献标识码:A
Survey of a kind of nonlinear filters —UKF
PA N Quan ,YAN G Feng ,YE L iang ,LI A N G Yan ,CH EN G Yong -m ei
(Co llege of Auto matio n,No rt hw ester n Po ly technical U niver sity ,Xi ′an 710072,China.Cor respondent :YA N G Feng ,E -mail :fly ing _y ang feng @ho tmail .co m )
Abstract :T he adv ances of unscented K alman filter (U KF )ar e fir st ly r eviewed.T he combinat ion of the K alma n linear filter ing w it h t he unscented tr ansfo rm atio n (U T )is discussed in g eneral sense.U KF and its t ypical sampling st rateg ies ar e given and analyzed .Finally ,the po ssible future dir ectio ns o f the U K F ar e also discussed .Key words :no nlinear filtering;unscent ed K alman filt er;unscent ed tr ansfor matio n;sampling str ategy
1 引 言
在许多实际应用问题中,状态方程或量测方程为非线性而噪声为非高斯情况时,滤波问题也表现为非线性.解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其条件后验概率的完整描述,然而这种精确的描述需要无尽的参数而无法实际应用[1],为此人们提出了大量次优的近似方法[2,3].对于非线性滤波问题的次优近似,有两大途径:
1)将非线性环节线性化,对高阶项采用忽略或逼近措施;
2)用采样方法近似非线性分布.
对非线性函数进行线性化近似,对高阶项采用忽略或逼近是解决非线性问题的传统途径.其中最广泛使用的是扩展卡尔曼滤波器(EKF)[4,5].EKF 通过对非线性函数的T aylor 展开式进行一阶线性
化截断,从而将非线性问题转化为线性.尽管EKF
得到了广泛的使用,但它存在如下不足:
1)当非线性函数T aylor 展开式的高阶项无法
忽略时,线性化会使系统产生较大的误差,甚至于滤波器难以稳定[6];
2)在许多实际问题中很难得到非线性函数的雅克比矩阵求导;
3)EKF 需要求导,所以必须清楚了解非线性函数的具体形式,无法作到黑盒封装,从而难以模块
化应用.
目前,虽然对EKF 有众多的改进方法[2,3,7],如高阶截断EKF [2,7],迭代EKF [3]等,但这些缺陷仍然难以克服.
由于近似非线性函数的概率密度分布比近似非线性函数更容易,使用采样方法近似非线性分布来
解决非线性问题的途径在最近得到了人们的广泛关
DOI ：10.13195/j.cd.2005.05.2.panq.001
注.粒子滤波器(PF)[8～10]使用参考分布,随机产生大量粒子;然后将这些粒子通过非线性函数变换得到的值,通过一定的策略统计组合,得到系统的估计.该方法解决了EKF所存在的问题,但要得到高精度的估计,需要较多数目的粒子,即使在二维、三维情况下,也要达到数以千计[11],从而产生较大的计算量,很难满足实时性的需要.同时,粒子经过迭代后会产生退化问题.尽管目前已有一些降低粒子退化的方法,如重采样方法SIS等[8,10],但仍无法彻底解决.
UKF[12～21]是另外一大类用采样策略逼近非线性分布的方法.U KF以U T变换为基础,采用卡尔曼线性滤波框架,具体采样形式为确定性采样,而非PF的随机采样.U KF采样的粒子点(一般称为Sigma点)的个数很少,具体个数根据所选择的采样策略而定.最常用的是2n+1个Sig ma点对称采样[12].UKF的计算量基本与EKF算法相当,但性能优于EKF[12],并且采用的是确定性采样,从而避免了PF的粒子点退化问题.通过分析,UKF算法具有如下特点:
1)对非线性函数的概率密度分布进行近似,而不是对非线性函数进行近似;
2)非线性分布统计量的计算精度至少达到2阶[13,18],对于采用特殊的采样策略,如高斯分布4阶采样和偏度采样等可达到更高阶精度[14];
3)不需要求导计算Jaco bian矩阵[12];
4)可处理非加性噪声情况以及离散系统,扩展了应用范围;
5)计算量与EKF同阶次[15];
6)由于采用确定性采样策略,而非PF的随机采样,避免了粒子衰退问题.
由于U KF的上述特点,U KF日益得到关注,其应用领域也不断扩展[22～74].U KF首先被应用于导航、跟踪方面,如导弹再入问题[13,24]、自治机器人定位[25]、地面车辆导航[12,20]和图像跟踪[29]等.最近在随机信号处理[28]、语音识别和增强[28,30]等方面也有应用.Merw e将U KF和目前流行的非线性估计算法par ticle filter方法结合,提出了unscented par ticle filter算法[32].Julier在提出U KF时使用的仿真实例就是导弹再入问题,用UKF处理状态方程中的强非线性[13].Ristic对U KF在导弹再入问题中的性能进行了分析[24].Brunke将UKF用于自治机器人定位,处理定位中的非线性变换问题[25].Julier用UKF 处理车辆导航中状态方程的强非线性[12,20].Cheng 等将UKF算法应用于椭圆轮廓物体(如人脸)的跟踪中[29],取得了优于EKF的跟踪效果.另外,M ITRE公司的研究人员将U KF算法用于导弹发射阶段参数估计问题[33],取得了比EKF算法更好的估计精度.Romanenko将UKF应用于热化学反应中[39];黄强宇将UKF应用于小行星软着陆问题[49];李培华将UKF应用于复杂背景条件下的轮廓跟踪[50];Camps等将UKF应用于Car atheodor y-fejer 多帧视觉跟踪[52];Crassidis将U KF用于飞机姿态估计.还有人将UKF应用于CDMA系统中,以处理联合通道系数和时延[67].作者将UKF的应用领域扩展到空间配准问题,并结合具体配准问题对多种采样策略进行了比较和分析[69],同时,还将UKF应用于多尺度估计,取得了较好效果.
U KF最近在应用领域不断拓宽[12～67,71～74],但对于U KF的各种采样策略形式,尚没有较为深入的分析,对于采样策略的分析已滞后于其应用研究.为此,本文回顾了U KF算法的发展,从一般意义讨论了U T变换算法和采样策略选择依据,并给出了U KF算法描述.在UKF算法中从条件函数和代价函数入手,对不同的采样策略进行分析和比较.最后对U KF算法未来可能的研究方向进行了讨论.
2 问题描述
考虑如下非线性系统:
x(k+1)=f[x(k),u(k),v(k)],(1)
z(k)=h[x(k),u(k),w(k)].(2)式中:x(k)为k时刻系统的n维状态向量,u(k)为输入向量,v(k)为q维零均值过程噪声向量,z(k)为量测向量,w(k)为m维零均值量测噪声.v(k)与w(k)线性无关,且满足
E{v(i)v T(j)}=D ij Q(i),P i,j;
E{w(i)w T(j)}=D ij R(i),P i,j.
卡尔曼滤波器在其更新规则中仅用到状态的前两阶信息(均值和协方差),因此卡尔曼滤波器具有如下优点[68]:
1)未知分布的均值和协方差的获得仅需要保存较少的信息量,但却能支持大多数的操作过程,如确定搜索目标的区域等;
2)均值和协方差具有线性传递性;
3)均值和协方差估计的集合能用来表征分布的附加特征,例如重要模式等.
正是由于以上优点,人们仍然希望在非线性滤波方法中应用卡尔曼线性估计形式[2,3,7].
卡尔曼滤波包括两个步骤:预测与更新.假设x
d
(i?j)是利用从开始到j时刻的量测信息Z j= [z(1),…,z(j)]而得到的x(i)的估计,估计的协方差为P(i?j).给定x
d
(k?k),则预测与更新公式如下[15]:
482控 制 与 决 策第20卷
预测方程为x
d (k +1?k )=E {f [x d (k ?k ),u (k ),v (k )]?Z k },P (k +1?k )=
E {(x (k +1)-x d (k +1?k ))(x (k +1)-x d (k +1?k ))T ?Z ?k },
z d (k +1?k )=E {h (x d (k +1?k )?Z k },P vv (k +1?k )=
E {(z (k +1)-z d (k +1?k ))(z (k +1)-z d (k +1?k ))T ?Z k };(3)
更新方程为
v (k +1)=z (k +1)-z d (k +1?k ),
W (k +1)=P z v (k +1?k )P -1vv (k +1?k ),
x
d (k +1?k +1)=x
d (k +1?k )+W (k +1)v (k +1),P (k +1?k +1)=
P (k +1?k )-W (k +1)P vv (k +1?k )W T
(k +1).
(4)
当可以获取预测方程中的数学期望值时,整个更新方程均可以线性计算.当f (?)和h (?)均为线性时,则是完整的卡尔曼滤波公式.f (?)和h (?)为非线性时,当只有已知条件Z k 下的状态x (k )的分布时,才能得到上述统计量的值.然而,这种状态分布却没有一般形式.要应用卡尔曼线性滤波公式,则问题可转化为下面针对均值和协方差估计的非线性变换问题.
2.1 均值和协方差的非线性变换
假设随机变量x 为n 维向量,均值为x -,协方差
为P x x ,要预测m 维随机变量y 的均值y -和协方差P y y ,y 与x 的关系由如下非线性变换定义:y =f (x ).
(5)
对式(5)在x -点进行T aylor 展开,有y =f (x -+e )=
f (x -)+f (1)e 1
+f (2)e 22!+f (3)e 3
3!
+….
(6)
式中:f
(i )
为x 在x -点的i 阶偏导值,e 为x 在x -的邻
域偏值.则y 的均值y -和协方差P yy 为
y -=E (y )=
E f (x -)+f (1)e 1+
f
(2)e
2
2!
+f (3)e 33!
+…,
P yy =E ((y -y -)(y -y -T
))=
E f
(1)
e 1
+f (2)e 22!+f (3)e 33!
+…(?)T
.
(7)
如果可以精确得到f (?)的各阶偏导,则可以得
到
y -和P yy 的真实统计量.但在实际系统中,这一点是很难满足的,一般实际系统仅可获得f (?)的前两
阶统计量.因此,一般只能获取y -和P y y 近似值.
对于EKF 而言,仅用到f (?)中Tay lor 展开式
的第1项,得到y -和P yy 的近似值为[2,3]
y -=f (x -),P yy =E (f (1)
e 1?(f
(1)
e 1)T
)=
f
(1)
?P xx ?(f (1))T .
(8)
在引言中介绍了EKF 存在的不足,正是由于这些不足,人们寻求y -和P y y 的更精确的近似.UT 变
换采用确定性采样策略,用多个粒子点逼近f (?)的概率密度分布,从而得到y -和P yy 更高阶的近似.2.2 UT 变换
U T 变换基于先验知识[12,14]:近似非线性函数
的概率密度分布比近似其函数更容易.具体变换方
法可用图1解释.在确保采样均值和协方差为x
-和P xx 的前提下,选择一组点集(Sigm a 点集),将非线
性变换应用于采样的每个Sigm a 点,得到非线性转换后的点集.y -和P yy 是变换后Sigm a 点集的统计
量.
图1 UT 变换原理LTU [13～15]
为了说明问题,下面给出一般意义下的UT 变换算法(可应用任何Sig ma 采样策略).一般意义下
U T 变换算法框架的步骤如下:
1)根据输入变量x 的统计量x -和P xx ,选择一种
Sigm a 点采样策略,得到输入变量的Sigma 点集{V i },i =1,…,L ,以及对应的权值W m
i 和W c
i .其中:
L 为所采用的采样策略的采样Sig ma 点个数,W m
i 为
均值加权所用权值,W c i 为协方差加权所用权值.如
果不采用比例修正,则W m i =W c
i =W i .
2)对所采样的输入变量Sigm a 点集{V i }中的每个Sig ma 点进行f (?)非线性变换,得到变换后的
Sigm a 点集{y i }.
y i =f (V i ),i =1,…,L .
(9)
3)对变换后的变Sig ma 点集{y i }进行加权处理,从而得到输出变量y 的统计量y -和P yy .具体的权值仍然依据对输入变量x 进行采样的各个Sig ma
点的对应权值. y -=
∑L -1
i =0W
m i y i
,
P yy =
∑L -1i =0
W
c i
(y i -y -)(y i -y -)T
.
(10)
483
第5期潘泉等:一类非线性滤波器——UKF 综述
文献[13,18]对UT变化的精度给出了具体证明,得到y-和P y y的近似值为
y-=f(x-)+E(f(2)e2),
P yy=f(1)?P x x?(f(1))T.(11) 从式(11)可以看出,UKF的均值精度较EKF
高一阶(噪声均值为零),UKF方差与EKF同阶.
UT变换的特点如下:
1)对非线性函数的概率密度分布进行近似,而不是对非线性函数进行近似,不需要知道非线性函数的显式表达式;
2)非线性函数统计量的精度至少达到2阶[13,18],对于采用特殊的采样策略,如高斯分布4阶采样和偏度采样等可达到更高阶精度[14];
3)计算量与EKF同阶[15];
4)不需要求导计算Jaco bian矩阵,可以处理非可导的非线性函数.
在UT变换算法中,最重要的是确定Sig ma点采样策略,也就是确定使用Sig ma点的个数、位置以及相应权值.Sigm a点的选择应确保其抓住输入变量x的最重要的特征.假设p x(x)是x的密度函数, Sigma点选择遵循如下条件函数来确保其抓住x的必要特征[13]:
g[{V i},p x(x)]=0.(12) 在满足如上条件的前提下,Sig ma点的选择可能仍有一定自由度.代价函数c[{V i},p x(x)]可用来进一步优化Sigm a点的选取[13].代价函数的目的是进一步引入所需要的特征,但并不要求完全满足所引入特征.随着代价函数值的增大,采样策略的精度将降低.将条件函数和代价函数结合起来,就可以得到Sig ma点采样策略的一般性选择依据:在g[{V i}, p x(x)]=0的条件下,最小化c[{V i},p x(x)].
目前已有的Sig ma点采样策略有对称采样[12～15]、单形采样[17,20]、3阶矩偏度采样[16]以及高斯分布4阶矩对称采样等[14].其后,为了确保输出变量y协方差的半正定性,提出了对上述基本采样策略进行比例修正的算法框架[21].目前应用中最普遍使用的还是对称采样以及应用比例修正框架的比例对称采样.
3 UKF算法
在上述卡尔曼滤波算法中,对于一步预测方程,使用UT变换来处理均值和协方差的非线性传递,就成为UKF算法[28,68].
在U KF算法中,由于具有噪声项,需要对状态进行扩维处理[28,68]
.针对式(1)和(2)定义的系统,令x a=[x T v T w T]T,具体算法流程如下:状态初始条件为
x
d
0=E(x0),
P0=E((x0-x
d
0)(x0-x
d
0)T);(13)状态的初始条件扩维,即
x
d a
0=E(x a0)=[x
d
0;0;0],
P a0=E((x a0-x
d a
0)(x a0-x
d a
0)T)=
P000
0Q0
00R
.(14) 1)Sigm a点采样
采用某种采样策略,得到k时刻状态估计的Sigm a点集{V a i(k?k)},i=1,…,L,其中L为所采用的采样策略的采样Sigm a点个数.需要注意的是,此时的状态维数为n+q+m.V x i为粒子V a i的前n维组成的列向量,V v i为粒子V a i的n+1维到n+q维组成的列向量,V w i为粒子V a i的n+q+1维到n+q+ m维组成的列向量.
2)预测方程
V x i(k+1?k)=
f[V x i(k?k),u(k),V v i(k)],(15a)
x
d
(k+1?k)=∑
L-1
i=0
W m i V x i(k+1?k),(15b) P(k+1?k)=
∑L-1
i=0
W c i(V x i(k+1?k)-x
d
(k+
1?k))(V x i(k+1?k)-x
d
(k+1?k))T,(15c) z i(k+1?k)=
h[V x i(k+1?k),u(k),V w i(k+1)],(15d)
z
d
(k+1?k)=∑
L-1
i=0
W m i z i(k+1?k),(15e) P vv(k+1?k)=
∑L-1
i=0
W c i(z i(k+1?k)-z
d
(k+
1?k))(z i(k+1?k)-z
d
(k+1?k))T,(15f) P xv(k+1?k)=
∑L-1
i=0
W c i(V x i(k+1?k)-x
d
(k+
1?k))(z i(k+1?k)-z
d
(k+1?k))T.(15g) 3)更新方程
W(k+1)=
P x v(k+1?k)P-1vv(k+1?k),(16a)
x
d
(k+1?k+1)=
x
d
(k+1?k)+W(k+1)(z(k+
1)-z
d
(k+1?k)),(16b) P(k+1?k+1)=
P(k+1?k)-W(k+1)P vv(k+
484控 制 与 决 策第20卷
1?k )W T
(k +1).
(16c)
在UKF 算法公式中,状态是按扩维处理的,Sigma 粒子的个数会比较多.以对称采样为例,L =2(n +q +m )+ 1.随着维数的增大,计算量上升得比较快.
当系统过程噪声w (k )和量测噪声v (k )为加性噪声时,针对加性噪声,可以得到简化U KF 算法
[28]
.简化UKF 算法只对状态进行Sig ma 点采样,
而将过程噪声和量测噪声的信息提出来处理[28]
.
从处理一般情况的扩维U KF 算法和处理加性噪声的简化UKF 看,加性噪声简化U KF 的Sigm a 点较处理一般情况的扩维UKF 要少许多.对于对称采样,简化UKF 的Sigma 点个数为L =2n +1,非简化U KF 为L =2(n +q +m )+ 1.对于单形采样而言,简化U KF 的Sigm a 点个数为L =n +2,非简化UKF 为L =(n +q +m )+ 2.由上述分析可知,简化U KF 的计算量较之扩维U KF 大大降低.
在上述UKF 算法中,应用不同采样策略的区别仅在于算法的第1)步和后续计算的Sigm a 点个数L .下面给出UKF 算法中采用不同采样策略的讨论.
3.1 对称采样[15]
在仅考虑x 的均值x -和协方差P xx 的情况下,将
x -和P xx 由L =2n +1个对称Sigm a 点近似,得到条件函数
g [({V i },p x (x )]=
∑2n
i =0W
i
-1
∑2n
i =0
W
i
V i -x
-∑2n
i =0
W i
(V
i
-x -)(V i -x -)T
-P xx
.
求解得到Sig ma 点为
{V i }=[x - x -+C P xx x --C P xx ],
(17)
其中C =
n +J .对应的权值为W i =
J /(n +J ),i =0,1/2(n +J ),i ≠0.
(18)
其中:J 为比例参数,可用于调节Sig ma 点和x -
的距离,仅影响二阶之后的高阶矩带来的偏差;(
(n +J )P xx )i 为(n +J )P xx 的平方根矩阵的第i
行或列;W i 为第i 个Sigm a 点权值,且有
2n i =0
W i = 1.
对称采样的计算量基本与EKF 相当,均为O (n 3).
在对称采样中,Sigma 点除中心点外,其他
Sigm a 点的权值相同,且到中心点的距离也相同.这
说明在对称性采样中,除中心点外的所有Sigm a 点
具有相同的重要性,而且从Sig ma 点的分布可以看
到,Sigm a 点是空间中心对称和轴对称的.对称采样
确保任意分布的近似精度达到T aylo r 展开式2阶截
断.这种Sig ma 点选取策略使得高于1阶的x 奇次中
心矩为0.这一点使其比较吻合高斯分布的特征,对
于高斯分布,可达到Tay lor 展开式3阶截断.对于J 值的选取,应进一步考虑x 分布的高阶矩,也就是考
虑代价函数c [{V i },p x (x )].对于高斯分布,考虑4阶矩的统计量,求解c [{V i },p x (x )]=0得到J 的有
效选取为n +J =3[15].由于J 值可取正值或负值,当J 为负时,无法保证式(32)的半正定性.对式(29)进行如下修改[18]:
P vv =
∑L -1
i =0
W
c i
(z i -z 0)(z i -z 0)T
.
(19)
3.2 单形采样[17,20]
在对称采样中,Sig ma 点的个数为L =2n + 1.在对实时性要求比较高的系统中,要求进一步减少
Sigm a 点的数目,从而降低计算负载.根据文献[20]的分析,对于一个n 维分布状态空间,最少需要n +
1个点才能确定.在单形采样策略中,Sig ma 点的个
数为L =n +2(考虑中心点).需要注意的是,在单
形采样策略中,Sig ma 点分布不是中心对称的.目前
的单形采样策略有两种:最小偏度单形采样[20]和超球体单形采样
[17]
.
最小偏度单形采样要求在匹配前两阶矩的前提
下使得3阶矩(即偏度)最小.根据这一要求,代入前面所给出的Sigm a 点采样策略的选择依据:在
g [(V i },p x (x )]=0的条件下,最小化c [{V i },p x (x )],求解得到Sigm a 点集如下
[20]
:
1)选择0≤W 0< 1.2)Sigm a 权值为
W i =
1-W 0
2n ,i =1,2;2
i -1
W 1,i =3,…,L .(20)
3)迭代初始向量(对应于状态为1维情况)V 10
=[0],V 11
=
-
12W 1
,V 12
=
12W 1
.(21)
4)对于输入维数j =2,…,n 时,迭代公式为
485
第5期
潘泉等:一类非线性滤波器——UKF 综述
V
j +1i
=
V j
00
,i =0;V j i
-12W j +1
,i =1,…,j ;
01
2W j +1
,i =j + 1.
(22)
5)对所生成的Sigm a 点加入x 的均值和协方差信息
V i =x -+(
P x x )V j
i .
(23)
由上述采样点公式,在最小偏度单形采样中,所选择的Sigma 点的权值和距离都是不同的,也就是说各个Sigma 点的重要性是不同的.低维扩维形成的Sigm a 点的权重较高维直接形成的Sigm a 点权重大,而且距中心点更近.随着维数的增大,有些Sigma 点的权值会变得很小,距中心点的距离也会很远.最小偏度单形采样的Sigm a 点分布不是中心对称的,但服从轴对称.公式推导是依照3阶矩为0进行推导的,也就是分布的3阶矩为0,确保了对于任意分布达到2阶截断精度,对于高斯分布达到3阶截断精度.
超球体单形采样只要求匹配前两阶矩,但要求除中心点外的其他Sig ma 点权值相同,而且与中心点距离相同.在如上要求下,Sig ma 点分布在空间上呈现超球体状,所以称之为超球体单形采样.将上述条件代入g [{V i },p x (x )]=0中,可确定Sig ma 点如下
[17]
:
1)选择0≤W 0< 1.
2)Sig ma 权值为
W i
=(1-W 0)/(n +1).
(24)
3)迭代初始向量(对应于状态为1维情况)
V 10=[0],V 1
1=
-
12W 1
,V 12=
12W
1
.
(25) 4)对于输入维数j =2,…,n 时,迭代公式为
5)对所生成的Sig ma 点加入x 的均值和协方差信息
V i =x -+(
P xx )V j i .
(27)
由上述采样点公式,在超球体单形采样中,除
中心点外的所有Sigma 点的权值和到中心点的距离
是相同的.这说明除中心点外的所有Sig ma 点具有
相同的重要性.超球体单形采样不是中心对称的.公式推导是依照前两阶矩进行推导的,推导中分布的
3阶矩不为0,确保了对于任意分布达到2阶截断精
度,对于高斯分布也不例外.显然,如果分布是高斯
分布,对称采样以及最小偏度采样的精度高于超球
体采样1阶.
当输入变量的维数n =1时,最小偏度采样和
超球体采样的Sigma 点分布是一致的.在单形采样
中,仅需确定的参数为W 0,也就是x 的均值点的Sigm a 点权值.当W 0=0时,说明没有使用均值点
的Sig ma 点,L 退化为n +1个Sig ma 点.3.3 比例修正[21]
上述采样中,Sigm a 点到中心x -的距离随x 的维
数的增加而越来越远,会产生采样的非局部效应,对
于许多非线性函数(如指数函数和三角函数等)会产生一些问题,如J 为负,则导致式(6)半正定性不
满足
[21]
.尽管有修正算法
[18]
,但该方法要用到高阶
矩信息,而且仅验证了对于对称采样策略修正的有
效性,对其他采样策略(如单形采样)则无法保证.文献[21]提出了比例采样,可有效地解决采样非局部效应问题,并可适用于修正多种采样策略.比例采
样修正算法如下:
V ′i =V 0+A (V i -V 0);
W m i =W 0/A 2
+(1/A 2
-1),i =0,
W i /A 2
,i ≠0;
W c
i
=
W m 0+(W 0+1+B -A 2
),i =0,W m i ,i ≠0.
(28)
式中:A 为正值的比例缩放因子,可通过调整A 的取值来调节Sigma 点与x -的距离;B 为引入f (?)高阶项信息的参数,当不使用f (?)高阶项信息时,B =2
[21]
.
将比例修正算法应用于对称采样中,得到比例对称采样方法
[28]
.具体的Sigma 点采样公式为
{V i }=[x - x -+C P x x x --C
P xx ].
(29)
式中:K =
=A 2
(n +J )-n .K /(n +K ),i =0,2(n +K ),i ≠0;
486
控 制 与 决 策
第20卷
W c i=K/(n+K)+(1-A2+B),i=0, 1/2(n+K),i≠0.
比例对称采样中需要确定A,B和J共3个参数.文献[28]给出了参数确定的一般取值范围:A确定x-周围Sigma点的分布,通常设为一个较小的正数(例如1>A≥1e-4);对于高斯分布,B=2是最优的;而J是一个比例参数,通常设置为0或3-n.
3.4 其他采样策略
针对输入变量为高斯分布情况,为了进一步提高精度,文献[14]给出了一种高斯分布4阶矩对称采样方法,使用L=2n2+1个Sigm a点近似,其计算复杂度为O(n4).该方法将精度提高到4阶矩,将误差限制于6阶矩,但计算量也增大了许多.
对于达到任意分布的3阶精度,Julier[16]给出了利用3阶矩信息的偏度采样的方法,以保证前3阶矩精度.但计算过于复杂,目前很少使用.
4 展 望
U KF算法及其基础UT变换是一个较新的研究领域,目前虽取得了一些理论成果(如多种采样策略[12～21]、U T变换的精度证明[18]等),但尚有以下几方面问题值得关注:
1)对UKF算法的稳定性问题进行研究.目前虽然可以得到U T变换的精确证明,但对于UT变化与卡尔曼滤波相结合来处理非线性问题的U KF算法尚不能象EKF那样给出稳定性分析.
2)U KF算法和U T变换在处理非线性问题时具有普遍性.如果针对特定的一类非线性问题,则有可能利用一些特定领域的知识,以获取这一类具体问题更为有效的解决方法.
3)采样策略自适应研究.可根据系统的性能指标(计算复杂度、精度要求和存储量等)对采样策略进行自适应选取,从而将滤波问题转化为优化问题.
4)研究U KF算法的复杂度和性能分析.
5 结 语
本文对UKF算法的优点进行了分析和总结,对其应用领域进行了讨论.并从条件函数和代价函数入手,对目前几种典型的采样策略以及Sigm a点的分布特征进行了分析和探讨,给出了UKF算法应用具体采样策略的优缺点.随着研究的进一步深入, UKF算法将应用到更多的领域.需要指出的是,目前国内已有不少学者在这一领域开展了卓有成效的工作[29,49,50,71～74],但大多属于U KF的应用研究.
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489
第5期潘泉等:一类非线性滤波器——UKF综述
5 结 论
本文提出的智能群体模型的建立仅依赖于相互可检测到的个体之间的局部信息.对于任意规模、随机分布的智能群体,只要群体内个体之间存在任意一条可观测链,采用本文提出的个体局部控制算法,便能实现群体的稳定全局集聚行为,体现出了较强的简单性、适应性、鲁棒性以及可扩展性.
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494控 制 与 决 策第20卷